常微分方程典型例题

1、 设()(1,2,,)i

x t i n = 是齐次线性方程 ()()()11110n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt

---++++= 的任意n 个解，它们所构成的朗斯基行列式记为()W t .证明()W t 满足一阶线性微分方程

'1()0w a t w +=，即有

()()()100,(,)t t a s ds w t w t e

t a b -⎰=∈

2、设含有n 个未知函数的齐次线性方程组'()X A t X =与'()X B t X =有相同的基本解组.求证：()()A t B t =

3、假设1()0x t ≠是二阶齐次线性方程'''12()()0x a t x a t x ++=的解，其中1()a t 与2()a t 在区间[,]a b 上连续，试证：

（1）2()x t 是方程的解的充要条件为：'12112[,][,]0w x x a w x x +=；

（2）方程的通解可以表示为：011221

1[exp(())]t t x x a s ds dt c x =-+⎰⎰，其中12,c c 为常数, 0,[,]t t a b ∈.

4、设12(),()y x y x 是方程'''()()0y p x y q x y ++=的解，且满足

10201()()0,()0y x y x y x ==≠，这里(),()p x q x 在(,)-∞+∞上连续，0(,)x ∈-∞+∞．证明：存在常数c 使得21()()y x cy x =．

-

5、设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证它们的朗斯基行列式c x w ≡)(，其中c 为常数.

6、设)(t x 是常系数线性方程组x p p q p

x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-='2212

的解，其中q p ,为常数，证明：当0,0>>q p 时， ()0lim t x t →+∞

=.