历年上海高考题(立体几何)

17．（2017-21-17）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． （1）求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积；

（2）设M 是BC 中点，求直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小．

17.【解析】（1）∵直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面为直角三角形， 两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5．

∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V=S △ABC ·AA 1=12AB ·AC ·AA 1=1

2×4×2×5=20.（2）连接AM.

∵直三棱柱ABC-A 1B 1C 1， ∴AA 1⊥底面ABC.

∴∠AMA 1是直线A 1M 与平面ABC 所成角. ∵△ABC 是直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，点M 是BC 的中点，

∴AM=12BC=1

2×42+22= 5.

由AA 1⊥底面ABC ，可得AA 1⊥AM,

∴tan ∠A 1MA=AA 1AM =5

5= 5.

∴直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小为arctan 5．

19．（2016•23-19）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为π，A 1B 1长为

，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧．

（1）求三棱锥C ﹣O 1A 1B 1的体积；

（2）求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小．

【考点】异面直线及其所成的角．

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．

【分析】（1）连结O1B1，推导出△O1A1B1为正三角形，从而=，由此能求出

三棱锥C﹣O1A1B1的体积．

（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），由此能求出直线B1C与AA1所成角大小．

【解答】解：（1）连结O1B1，则∠O1A1B1=∠A1O1B1=，

∴△O1A1B1为正三角形，

∴=，

==．

（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，

∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），

BB1=AA1=1，

连结BC、BO、OC，

∠AOB=∠A1O1B1=，，∴∠BOC=，

∴△BOC为正三角形，

∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=45°，

∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．

【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

19、（2015.上海）如图。在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,,AA AB AD E F ===分别是,AB BC 的中点，证明：11,,,A C F E 四点共面，并求直线1CD 与平面11A C FE 所成角的大小。

19．（2014）（本题满分12分）

底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三角形

123PP P ，如图，求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的体积V ．

19．（本题满分12分）

解：在123PP P ∆中，13P A P A =，23P C P C =，所以AC 是中位线，故1224PP AC ==．

同理，234P P =，314P P =．所以123PP P ∆是等边三角形，各边长均为4． 设Q 是ABC ∆的中心，则PQ ⊥平面ABC ，所以2

33

AQ =

，222

63

PQ AP AQ =-=

． 从而，1223ABC V S PQ ∆=

⋅=． 19.(2013)（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离. 【解答】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故1111//,AB C D AB C D =， 故ABC 1D 1为平行四边形，故11//BC AD ，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面DA 1C ；

直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h

考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得111

(12)1323

V =

⨯⨯⨯⨯= 1B

1C B

F

A

E

C

1A

1D D

D 1

C 1

B 1

1

D C B

A

而1AD C ∆

中，11AC DC AD ===，故13

2

AD C S ∆= 所以，13123233

V h h =

⨯⨯=⇒=，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23．

19.(2012)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的

中点.已知AB=2，AD=22，P A=2.求：

(1)三角形PCD 的面积；(6分) (2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小.(6分)

[解](1)因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ，又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面P AD ， 从而CD ⊥PD . ……3分 因为PD=32)22(22

2

=+，CD =2，

所以三角形PCD 的面积为323222

1=⨯⨯.

(2)[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系， 则B (2, 0, 0)，C (2, 22,0)，E

(1, 2, 1)，

)1,2,1(=AE ，)0,22,0(=BC . ……8分

设AE 与BC 的夹角为θ，则 222

224|

|||cos =

=

=

⨯⋅BC AE BC AE θ，θ=4π.

由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π ……12分

[解法二]取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则

EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线 BC 与AE 所成的角 ……8分

在AEF ∆中，由EF =2、AF =2、AE =2 知AEF ∆是等腰直角三角形， 所以∠AEF =4π.

21．(2011)（14分）已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，1O 是11A C 和11B D 的交点。

（1）设1AB 与底面1111A B C D 所成的角的大小为α，二面角111A B D A --的大小为β。

求证：tan βα=

；

（2）若点C 到平面11AB D 的距离为4

3

，求正四棱柱1111ABCD A B C D -的高。

A B C

D P E

y

D

B