2020年复旦大学自主招生数学试题
复旦自主招生数学
一、选择题1．在(x 2−1x)10的展开式中系数最大的项是_____.A ．第4、6项B ．第5、6项C ．第5、7项D ．第6、7项 2．设函数y=ƒ (x)对一切实数x 均满足ƒ (5+x )=ƒ(5−x)，且方程ƒ (x )=0恰好有6个不同的实根，那么这6个实根的和为____.A ．10B ．12C ．18D ．30 3．假设非空集合X=｛x ｜a +1≤x≤3a−5｝，Y=｛x ｜1≤x≤16｝，那么使得X ⊆X ∪Y 成立的所有a 的集合是_____.A ．｛a ｜0≤a≤7｝B ．｛a ｜3≤a≤7｝C ．｛a ｜a≤7｝D ．空集 4．设z 为复数，E=｛z ｜(z−1)2=|z−1|2｝，那么以下_ 是正确的A ．E={纯虚数}B ．E={实数}C ．{实数}⊆E ⊆{复数}D ．E={复数}5．把圆x 2+(y−1)2=1与椭圆x 2+2(1)9y +=1的公共点，用线段连接起来所得到的图形为_____.A ．线段B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．四边形6．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，假设BB 1，那么AB 1与C 1B 所成的角的大小是___. A ．60° B ．75° C ．90° D ．105°7．某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如在最合理的安排下，获得的最大利润是______百元.A ．58B ．60C ．62D ．648．假设向量a +3b 垂直于向量7a −5b ，并且向量a −4b 垂直于向量7a −2b ，那么向量a 与b 的夹角为___ ___.A ．2π； B ．3π； C ．4π； D ．6π. 9．复旦大学外语系某年级举行一次英语口语演讲比赛，共有十人参赛，其中一班有三位，二班有两位，其它班有五位.假设采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，那么一班的三位同学恰好演讲序号相连.问二班的两位同学的演讲序号不相连的概率是____.A ．120 B ．140 C ．160 D ．19010．sin α，cos α是关于x 的方程x 2−tx+t=0的两个根，这里t ∈3sin α+3cos α=___.A ．B ．；C ．−D ．11．设z 1，z 2为一对共轭复数，如果|z 1−z 2且122z z 为实数，那么|z 1|=|z 2|=____. AB ．2C ．3 D12．假设四面体的一条棱长是x ，其余棱长都是1，体积是V(x)，那么函数V(x)在其定义域上为____.A ．增函数但无最大值B ．增函数且有最大值C ．不是增函数且无最大值D ．不是增函数但有最大值 13．以下正确的不等式是____.A ．16<1201k =； B ．18<1201k =<19； C ．20<1201k =； D ．22<1201k =<23. 14．设{αn }是正数列，其前n 项和为S n ，满足：对一切n ∈Z +，αn 和2的等差中项等于S n 和2的等比中项，那么limnn n→∞α=______.A ．0B ．4C ．12D ．10015．x 1，x 2是方程x 2−(α−2)x+(α2+3α+5)=0(α为实数)的两个实根，那么x 12+x 22的最大值为______.A ．18B ．19C ．20D ．不存在 16=α.条件乙：sin2θ+cos 2θ=α.那么以下________是正确的. A ．甲是乙的充分必要条件 B ．甲是乙的必要条件C ．甲是乙的充分条件D ．甲不是乙的必要条件，也不是充分条件 17．函数ƒ(x)的定义域为(0，1)，那么函数g(x)= ƒ(x+c)+ƒ(x−c)在0<c<12时的定义域为____. A ．(−c,1+c); B ．(1−c,c); C ．(1+c,−c); D ．(c,1−c); 18．函数____.A ．y min =54-，y max =54； B ．无最小值，y max =54； C ．y min =54-，无最大值 D ．既无最小值也无最大值19．等差数列{αn }中，α5<0，α6>0且α6>|α5|，S n 是前n 项之和，那么以下___是正确的.A ．S 1，S 2，S 3均小于0，而S 4，S 5，…均大于0B ．S 1，S 2，…，S 5均小于0，而S 6，S 7，…均大于0C ．S 1，S 2，…，S 9均小于0，而S 10，S 11，…均大于0D ．S 1，S 2，…，S 10均小于0，而S 11，S 12，…均大于0 20．角θ的顶点在原点，始边为x 轴正半轴，而终边经过点Q(，y)，(y≠0)，那么角θ的终边所在的象限为___.A ．第一象限或第二象限B ．第二象限或第三象限C ．第三象限或第四象限D ．第四象限或第一象限21．在平面直角坐标系中，三角形△ABC 的顶点坐标分别为A(3,4),B(6,0),C(−5,−2),那么∠A 的平分线所在直线的方程为_____.A ．7x−y−17=0;B ．2x+y+3=0;C ．5x+y−6=0;D ．x−6y=0. 22．对所有满足1≤n≤m≤5的m ，n ，极坐标方程11cos nm C θρ=-表示的不同双曲线条数为_____.A ．6B ．9C ．12D ．1523．设有三个函数，第一个是y=ƒ(x)，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于直线x+y=0对称，那么第三个函数是______.A ．y=−ƒ(x)；B ．y=−ƒ(−x)；C ．y=−ƒ−1(x)；D ．y=−ƒ−1(−x)；24∈[2，3]时，ƒ(x)=x ，那么当x ∈[−2,0]时，ƒ(x)的解析式为_____.A ．x+4;B ．2−x;C ．3−|x+1|;D ．2+|x+1|. 25．α,b 为实数，满足(α+b)59=−1,( α−b)60=1,那么α59+α60+b 59+b 60=_____.A ．−2B ．−1C ．0D ．1 26．设αn 是)n 的展开式中x 项的系数(n=2,3,4,…)，那么极限2323222lim()nn n →∞+++ααα…=________. A ．15 B ．6 C ．17 D ．8 27．设x 1,x 2∈(0，2π)，且x 1≠x 2，不等式成立的有 (1)12(tanx 1+tanx 2)>tan 122x x +; (2) 12(tanx 1+tanx 2)<tan 122x x +; (3)12(sinx 1+sinx 2)>sin 122x x +; (4) 12(sinx 1+sinx 2)<sin 122x x + A ．(1),(3) B ．(1),(4) C ．(2),(3) D ．(2),(4)28．如下图，半径为r 的四分之一的圆ABC 上，分别以AB 和AC 为直径作两个半圆，分别标有α的阴影局部面积和标有b 的阴影局部面积，那么这两局部面积α和b 有_____.A ．α>bB ．α<bC ．α=bD ．无法确定CBAba29．设a ,b PQ =2a +k b ，QR =a +b ，RS =2a −3b .假设P ，Q ，S 三点共线，那么k 的值为_____.A ．−1；B ．−3；C ．43-；D ．35-； ##Answer## 1.C 2.D 3.C 4.B 5.B6. 【简解】设BB 1=1,那么取AC 、BC 1的中点D 、O,DOC 1B 1A 1CBAOD ∥AB 1，∠BOD 即为所求；在△BOD 中，OD=OB 1=2,BD=2,∠BOD=90°。
2020年复旦大学强基计划数学试题及参考解答(回忆版)
x
<
√ 2
−
x},
B
=
{x
满足 ∠AOB = 2 arctan 1 的概率为
.
3
解析: 因为 ∠AOB = 2 arctan 1 , 则 tan 1 ∠AOB = 1 . A, B 关于 y = x 对称, 故只需
3
2
3
要 tan ∠COB = 1 , 利用到角公式可得 1 = 1 − k , 解出 k = 1 . 点 (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)
(
)
(A) m 和 n 可能重合
(B) m 和 n 不可能垂直
(C) m 和 n 可能平行
(D) 在 m 上存在一点 P , 使得 n 以 P 为中心旋转后与 m 重合
解析: 直线 m 的斜率的取值范围只能是 [−1, 1], 故
A
和
C
错误. 当 cos α = 1 时, 3
两直线垂直, B 错误. 对于 D , 直线 m, n 必然相交, 交点就是我们要找的 P , D 正确.
练习:
证明:
√ f (x) = sin x + sin 2x
(x
∈ R)
不是一个周期函数.
证明: 反证法, 假定 f (x) 以 T 为周期, 则 0 = f (x + T ) − f (x), 即
(
)
0 = 2 sin T cos
T x+
+
2
sin
T √
(√ cos 2x +
T √
) .
2
2
2
2
由此知
=0 .
=0
考虑 f (x) = x3 + sin x, 显然 f (x) 为奇函数, 且当 x > 0 时, 求导后容易验证 f (x) 为单调 增函数, 又 f (x) + f (2y) = 0, 则 x + 2y = 0, cos(x + 2y) = 1.
2020年复旦大学强基计划数学试题及其详解
２０２０年复旦大学强基计划数学试题及其详解甘志国(北京市丰台二中㊀１０００７１)摘㊀要:２０２０年复旦大学强基计划数学试题共计３３道ꎬ全部是单项选择题.本文中的试题均是由参加考试的学生回忆得出的ꎬ因而回忆出的题目可能不准确(没有回忆出选项的题目均改成了填空题)ꎬ题号也不准确.㊀关键词:复旦大学ꎻ强基计划ꎻ数学试题ꎻ详解ꎻ华清园教育ꎻ整理中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２８－００５１－０３收稿日期:２０２０－０７－０５作者简介:甘志国(１９７１－)ꎬ湖北省竹溪人ꎬ研究生ꎬ正高级教师ꎬ特级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:本文系北京市教育学会 十三五 教育科研滚动立项课题 数学文化与高考研究 (课题编号ＦＴ２０１７ＧＤ００３ꎬ课题负责人:甘志国)阶段性研究成果之一.㊀㊀试题及其解答是笔者由华清园教育(ｈｔｔｐ://ｇｋ.ｑｈｙｅｄｕ.ｃｏｍ/ｑｈｙ/２０２００７１４/９８１８５.ｈｔｍｌ)等公开的内容整理而成的.１.已知直线ｍ:ｘｃｏｓα－ｙ＝０和直线ｎ:３ｘ＋ｙ－ｃ＝０ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ｍ和ｎ可能重合Ｂ.ｍ和ｎ不可能垂直Ｃ.直线ｍ上存在点Ｐꎬ使得直线ｎ绕点Ｐ旋转后与直线ｍ重合Ｄ.以上都不对２.Ｇｉｖｅｎ㊀ｔｗｏ㊀ｓｅｔｓ㊀Ａ:１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５{}㊀ａｎｄ㊀Ｂ:３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７{}ꎬｔｈｅｎ㊀ｔｈｅ㊀ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ㊀ｓｅｔ㊀ｏｆ㊀Ａ㊀ａｎｄ㊀Ｂ㊀ｉｓ(㊀㊀).Ａ.{１ꎬ２}㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ.{３ꎬ４ꎬ５}Ｃ.{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７}㊀㊀Ｄ.{６ꎬ７}３.若实数ｘꎬｙ满足ｘ２＋２ｘｙ－１＝０ꎬ则ｘ２＋ｙ２最小值为.４.若点Ｏ是әＡＢＣ的内心ꎬｃｏｓøＢＡＣ＝１３ꎬ且满足ＡＯң＝ｘＡＢң＋ｙＡＣңꎬ则ｘ＋ｙ的最大值是.Ａ.３＋３２㊀㊀Ｂ.３－３２㊀㊀Ｃ.３４㊀㊀Ｄ.４３５.Ｗｈｉｃｈ㊀ｎｕｍｂｅｒ㊀ｔｈａｔ㊀ｎｕｍｂｅｒ㊀５㊀ｉｓ㊀ｔｈｅ㊀ｃｕｂｉｃ㊀ｒｏｏｔ㊀ｏｆ?Ａ.３㊀㊀Ｂ.５㊀㊀Ｃ.２５㊀㊀Ｄ.１２５６.在抛物线ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)中ꎬ过焦点Ｆ作直线交抛物线于两点ＡꎬＢꎬ且有ＡＦң＝３ＦＢң.再过点Ａ作抛物线准线的垂线ꎬ垂足为Ａᶄꎬ准线与ｘ轴交于点Ｃ.若四边形ＣＦＡＡᶄ的面积是１２３ꎬ则ｐ＝.７.已知抛物线ｘ＝３ｙ２的焦点为Ｆꎬ若该抛物线在点Ａ处的切线与直线ＡＦ的夹角为３０ʎꎬ则点Ａ的横坐标为.Ａ.１９㊀㊀Ｂ.１３６㊀㊀Ｃ.１４㊀㊀Ｄ.１１６８.已知点Ｐ在直线ｘｙ－６－１４＝０上ꎬ且点Ｐ到点Ａ２ꎬ５()和点Ｂ(４ꎬ３)的距离相等ꎬ则点Ｐ的坐标为.９.已知两点Ａ(ｘꎬｙ)ꎬＢ(ｙꎬｘ)ꎬ其中ｘꎬｙɪ{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７ꎬ８}且ｘʂｙꎬ连结ＯＡꎬＯＢ(其中Ｏ是坐标原点)ꎬ则øＡＯＢ＝２ａｒｃｔａｎ１３的概率为.１０.ａｒｃｓｉｎ１４＋３２８＋ａｒｃｓｉｎ３４＝.Ａ.π３㊀㊀Ｂ.π２㊀㊀Ｃ.２π３㊀㊀Ｄ.３π４１１.已知三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的体积为２１２ꎬ且ＡＢ＝６ꎬＡＣ＝ＢＣ＝４ꎬＡＰ＝ＢＰ＝１０ꎬ则ＣＰ＝.１２.在әＡＢＣ中ꎬ已知ＡＢ＝９ꎬＢＣ＝６ꎬＣＡ＝７ꎬ则ＢＣ边上中线长为.１３.已知ｆｘ()＝ａｓｉｎ(２πｘ)＋ｂｃｏｓ(２πｘ)＋ｃｓｉｎ(４πｘ)１５＋ｄｃｏｓ(４πｘ)ꎬ若ｆ１２＋ｘæèçöø÷＋ｆｘ()＝ｆ２ｘ()ꎬ则在ａꎬｂꎬｃꎬｄ中能确定的参数是.１４.若关于ｘ的实系数一元三次方程ｘ３＋ａｘ２＋４ｘ＋５＝０有一个根是纯虚数ꎬ则ａ＝.１５.ｘ２＋１ｘ＋ｙ３＋１ｙæèçöø÷１０的展开式中的常数项为１６.ｌｉｍｎң¥１１ˑ４＋１２ˑ５＋ ＋１ｎｎ＋３()[]＝１７.已知ｘꎬｙɪ[－π４ꎬπ４]ꎬ若ｘ２＋ｃｏｓ(ｘ＋３π２)－２ａ＝０ꎬ４ｙ２＋ｓｉｎｙｃｏｓｙ＋ａ＝０ꎬ{则ｃｏｓ(ｘ＋２ｙ)的值是.Ａ.０㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.－１㊀㊀Ｄ.与ａ有关图１１８.如图１所示ꎬ在凸四边形ＡＢＣＤ中ꎬøＢＡＣ＝øＢＤＣ是øＤＡＣ＝øＤＢＣ的.Ａ.充分不必要条件Ｂ.必要不充分条件Ｃ.充要条件Ｄ.既不充分也不必要条件１９.如图２所示ꎬ平面内两条直线ｌ１ꎬｌ２交于点ＯꎬＭ为该平面内的任意一点.若点Ｍ到直线ｌ１ꎬｌ２的距离分别为ｐꎬｑꎬ则称(ｐꎬｑ)是点Ｍ的 距离坐标 .ｐꎬｑ是已知的非负常数ꎬ给出下列三个结论:图２(１)若ｐ＝ｑ＝０ꎬ则 距离坐标 为(０ꎬ０)的点有且仅有１个ꎻ(２)若ｐｑ＝０ꎬ且ｐ＋ｑʂ０ꎬ则 距离坐标 为ｐꎬｑ()的点有且仅有２个ꎻ(３)若ｐｑʂ０ꎬ则 距离坐标 为ｐꎬｑ()的点有且仅有４个.其中正确结论的个数是.Ａ.０㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.２㊀㊀Ｄ.３２０.若函数ｆ(ｘ)＝３ｘ－３－ｘ的反函数为ｙ＝ｆ－１(ｘ)ꎬ则ｇ(ｘ)＝ｆ－１(ｘ－１)＋１在[－３ꎬ５]上的最大值和最小值的和为.Ａ.０㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.２㊀㊀Ｄ.４２１.若ｋ>４ꎬ则直线ｋｘ－２ｙ－２ｋ＋８＝０与２ｘ＋ｋ２ｙ－４ｋ２－４＝０与两条坐标轴围成的四边形面积的取值范围是.２２.如图３所示ꎬ已知ＡꎬＢꎬＣꎬＤ四点共圆ꎬ且ＡＢ＝１ꎬ图３ＣＤ＝２ꎬＡＤ＝４ꎬＢＣ＝５ꎬ则ＰＡ＝.Ａ.１３３㊀㊀Ｂ.１４３㊀㊀Ｃ.５㊀㊀Ｄ.１６３２３.已知向量数列ａｎң{}满足ａｎ＋１ң＝ａｎң＋ｄң(ｎɪＮ∗)ꎬ且ａ１ң＝３ꎬａ１ңｄң＝－３２.若Ｓｎ＝ａ１ңðｎｉ＝１ａｉңꎬ则当Ｓｎ取最大值时ꎬｎ＝.Ａ.８㊀㊀Ｂ.７㊀㊀Ｃ.６㊀㊀Ｄ.６或７２４.给定５个函数ꎬ其中３个是奇函数但不是偶函数ꎬ２个是偶函数但不是奇函数ꎬ则在这５个函数中任意取３个ꎬ其中既有奇函数又有偶函数的概率为.２５.方程５ρｃｏｓθ＝４ρ＋３ρｃｏｓ２θ所表示的曲线形状是.２６.在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ把点(４ꎬ５)绕点(１ꎬ１)顺时针旋转６０ʎꎬ所得的点的坐标为.２７.已知实数ｘꎬｙ满足ｘ２＋ｙ２＝１ꎬ若ｘ＋２ｙ－ａ＋ａ＋６－ｘ－２ｙ的值与ｘꎬｙ的取值无关ꎬ则ａ的取值范围是.２８.某公司安排甲㊁乙㊁丙等７人完成除夕到大年初六共７天的值班任务ꎬ每人值班一天.已知甲不值第一图４天ꎬ乙不值第二天ꎬ甲和丙在相邻两天值班ꎬ则不同的安排方式共有种.２９.若函数ｆ(ｘ)的图象如图４所示ꎬ则函数ｆ(ｆ(ｘ))的图象大致为.２９.解法１㊀Ｂ.设ｇ(ｘ)＝ｆｆｘ()().由ｆ(ｘ)的图象关于ｙ轴对称不关于坐标原点对称ꎬ可得ｆ(ｘ)是偶函数不是奇函数ꎬ所以可得ｇ(ｘ)也是偶函数不是奇函数ꎬ从而可排除选项ＡꎬＤ.可得ｇ(１)＝ｆｆ１()()＝ｆ(０)＝－１<０ꎬ可排除选项Ｃ.３０.定义ｆＭ(ｘ)＝１ꎬｘɪＭꎬ－１ꎬｘ∉Ｍꎬ{Ｍ Ｎ＝ｘ｜ｆＭ(ｘ)ｆＮ(ｘ)＝－１{}ꎬ已知集合Ａ＝ｘ｜ｘ<２－ｘ{}ꎬＢ＝２５ｘ｜ｘ(ｘ＋３)(ｘ－３)>０{}ꎬ则Ａ Ｂ＝.３１.方程３ｘ＋４ｙ＋１２ｚ＝２０２０的自然数解的组数为.Ａ.Ｃ２１６８㊀㊀Ｂ.Ｃ２１６９㊀㊀Ｃ.Ｃ２１７０㊀㊀Ｄ.Ｃ２１７１３２.已知ｍꎬｎɪＺꎬ且０ɤｎɤ１１.若２２０２０＋３２０２１＝１２ｍ＋ｎꎬ则ｎ＝.Ａ.４㊀㊀Ｂ.７㊀㊀Ｃ.１０㊀㊀Ｄ.１３３３.下列不等式恒成立的是(㊀㊀).Ａ.ｘ２＋１ｘ２ȡｘ＋１ｘ㊀㊀㊀Ｂ.｜ｘ－ｙ｜＋１ｘ－ｙȡ２Ｃ.｜ｘ－ｙ｜－１ｘ－ｙȡ２Ｄ.｜ｘ－ｙ｜ȡ｜ｘ－ｚ｜＋｜ｙ－ｚ｜参考答案１.Ｃ㊀２.Ｂ㊀３.㊀５－１２㊀４.Ｂ㊀５.Ｂ㊀６.２２㊀７.Ｃ８.(１ꎬ２)㊀９.１９㊀１０.ｄ㊀１１.９８ʃ７４３㊀１２.２１４㊀１３.ａꎬｂꎬｃꎬｄ㊀１４.５４㊀１５.１２６００㊀１６.１１１８㊀１７.Ｂ㊀１８.Ｃ㊀１９.Ｄ㊀２０.Ｃ㊀２１.(１７４ꎬ８)㊀２２.Ｂ㊀２３.Ｄ㊀２４.９１０㊀２６.(５２＋２３ꎬ３－３２３)㊀２７.[５－６ꎬ－５]㊀２８.１１２８㊀２９.Ｂ㊀３０.(－ɕꎬ－３]ɣ[０ꎬ１)ɣ(３ꎬ＋ɕ)㊀３１.Ｃ㊀３２.Ｂ㊀３３.Ａ㊀㊀参考文献:[责任编辑:李㊀璟]函数与不等式齐驱并驾㊀多角度解决最值问题２０２０年全国Ⅱ卷第２１题一题多解探讨张培杰(云南省大理大学教师教育学院㊀６７１０００)摘㊀要:最值问题能考查学生推理㊁转换㊁归纳等综合数学能力ꎬ每年高考都会出现.在高中数学教学中ꎬ最值问题的有两个主要的解决策略ꎬ一是转换成函数ꎬ利用函数性质求解ꎬ二是利用不等式求解.２０２０年全国Ⅱ卷第２１题第(２)问是典型的最值问题ꎬ本文分别从函数性质和不等式的角度给出不同的解答ꎬ以总结出一般的思路步骤ꎬ供复习参考.关键词:最值问题ꎻ函数ꎻ不等式ꎻ一题多解中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２８－００５３－０３收稿日期:２０２０－０７－０５作者简介:张培杰(１９９３.９－)ꎬ男ꎬ研究生ꎬ从事数学教学研究.㊀㊀一㊁真题再现(２０２０年全国Ⅱ卷第２１题)已知函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ２ｘｓｉｎ２ｘ.(１)讨论ｆ(ｘ)在(０ꎬπ)的单调性ꎻ(２)证明:ｆ(ｘ)ɤ３３８ꎻ(３)证明:ｓｉｎ２ｘｓｉｎ２２ｘｓｉｎ２４ｘ ｓｉｎ２２ｎｘɤ３ｎ４ｎ.通过观察题目发现ꎬ该题以三角函数为背景ꎬ考查判断函数在区间内的单调性㊁求函数值域㊁不等式证明等多个知识点.题目综合性强ꎬ难度较大ꎬ对考生的逻辑推理能力和运算能力有较高的要求ꎬ很好地体现了课程标准要求的核心素养导向ꎬ具有高考命题需要的区分度.下面重点给出第(２)问的一题多解ꎬ对于第(１)㊁(３)问仅给出一种可行的解答.３５。
复旦大学自主招生考试数学试题及答案
1、设函数y=f（x）=e x+1，则反函数OyxOyxO x答案：A2、设f（x）是区间[a，b]f（x）是[a，b]上的递增函数，那么，f（xA．存在满足x<y的x，y∈[a，b]B．不存在x，y∈[a，b]满足x<y且fC．对任意满足x<y的x，y∈[a，b]D．存在满足x<y的x，y∈[a，b]答案：A3、设]2,2[,ππβα-∈，且满足sinαA． [−2，2] B． [答案：D4、设实数0,≥yx，且满足2=+yxA．97/8 B．答案：C5则该多面体的体积为______________。
A．2/3 B．3/4答案：D6、在一个底面半径为1/2，高为1的圆柱内放入一个直径为1的实心球后，在圆柱内空余的地方放入和实心球、侧面以及两个底面之一都相切的小球，最多可以放入这样的小球个数是___________。
A ．32个；B ．30个；C ．28个；D ．26个答案：B7、给定平面向量（1，1），那么，平面向量（231-，231+）是将向量（1，1）经过________． A ．顺时针旋转60°所得； B ．顺时针旋转120°所得； C ．逆时针旋转60°所得；D ．逆时针旋转120°所得；答案：C8、在直角坐标系O xy 中已知点A 1（1，0），A 2（1/2，3/2），A 4（−1，0），A 5（−1/2，−3/2）和A6（1/2， −3/2）．问在向量−−→−ji A A （i ，j=1，2，3，4，5，6，i≠j）中，不同向量的个数有_____． A ．9个； B ．15个； C ．18个； D ．30个答案：C9、对函数f:[0，1]→[0，1]，定义f 1（x ）=f （x ），……，f n（x ） =f （f n −1（x ）），n=1，2，3，……．满足f n （x ）=x 的点x ∈[0，1]称为f 的一个n −周期点．现设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=121,22,210,2)(x x x x x f 问f 的n −周期点的个数是___________．A ．2n 个；B ．2n 2个；C ．2n个；D ．2（2n−1）个．答案：C10、已知复数z 1=1+3i ，z 2=−3+3i ，则复数z 1z 2的幅角__________． A ．13π/12 B ．11π/12 C ．−π/4 D ．−7π/12答案：A11、设复数βαβαcos sin ,sin cos i w i z +=+=满足z w =3/2，则sin （β−α）=______． A ．±3/2B ．3/2，−1/2C ．±1/2D ．1/2，−3/2答案：D12、已知常数k 1，k 2满足0<k 1<k 2，k 1k 2=1．设C 1和C 2分别是以y =±k 1（x −1）+1和y =±k 2（x −1）+1为渐近线且通过原点的双曲线．则C 1和C 2的离心率之比e 1/e 等于_______．A ．222111k k ++ B ．212211k k ++ C ．1 D ．k 1/k 2答案：C13、参数方程0,)cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 所表示的函数y=f （x ）是____________．A ．图像关于原点对称；B ．图像关于直线x =π对称；C ．周期为2a π的周期函数D ．周期为2π的周期函数．答案：C14、将同时满足不等式x −k y −2≤0，2x +3y −6≥0，x +6y −10≤0 （k>0）的点（x ，y ）组成集合D 称为可行域，将函数（y +1）/x 称为目标函数，所谓规划问题就是求解可行域中的点（x ，y ）使目标函数达到在可行域上的最小值．如果这个规划问题有无穷多个解（x ，y ），则k 的取值为_____．A ．k≥1;B ．k≤2C ．k=2D ．k=1．答案：C15、某校有一个班级，设变量x 是该班同学的姓名，变量y 是该班同学的学号，变量z 是该班同学的身高，变量w 是该班同学某一门课程的考试成绩．则下列选项中正确的是________．A ．y 是x 的函数；B ．z 是y 的函数；C ．w 是z 的函数；D ．w 是x 的函数．答案：B16、对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是________． A ．逆命题为“周期函数不是单调函数”； B ．否命题为“单调函数是周期函数”； C ．逆否命题为“周期函数是单调函数”； D ．以上三者都不正确 答案：D17、设集合A={（x ，y ）|log a x +log a y >0}，B={（x ，y ）|y +x <a}．如果A∩B=∅，则a 的取值范围是_______ A ．∅ B ．a>0，a≠1 C ．0<a≤2， a≠1 D ．1<a≤2答案：D18、设计和X 是实数集R 的子集，如果点x 0∈R 满足：对任意a>0，都存在x ∈X 使得0<|x −x 0|<a ，则称x 0为集合X 的聚点．用Z 表示整数集，则在下列集合（1）{n/（n+1）|n ∈Z ， n≥0}， （2） R\{0}， （3）{1/n|n ∈Z ， n≠0}， （4）整数集Z 中，以0为聚点的集合有_____． A ．（2），（3）B ．（1），（4）C ．（1），（3）D ．（1），（2），（4）答案：A19、已知点A （−2，0），B （1，0），C （0，1），如果直线kx y =将三角形△ABC 分割为两个部分，则当k =______时，这两个部分得面积之积最大？A ．23-B ．43-C ．34-D ．32-答案：A20、已知x x x x f 2cos 3cos sin )(+=，定义域⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ππ127,121)(f D ，则=-)(1x f_____A ．π12123arccos 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x B ．π6123arccos 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x C ．π12123arcsin 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x D ．π6123arcsin 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 答案：A21、设1l ，2l 是两条异面直线，则直线l 和1l ，2l 都垂直的必要不充分条件是______ A ．l 是过点11l P ∈和点22l P ∈的直线，这里21P P 等于直线1l 和2l 间的距离 B ．l 上的每一点到1l 和2l 的距离都相等 C ．垂直于l 的平面平行于1l 和2lD ．存在与1l 和2l 都相交的直线与l 平行 答案：D22、设ABC −A’B’C’是正三棱柱，底面边长和高都为1，P 是侧面ABB’A’的中心，则P 到侧面ACC’A’的对角线的距离是_____A ．21B ．43C ．814D ．823答案：C23、在一个球面上画一组三个互不相交的圆，成为球面上的一个三圆组．如果可以在球面上通过移动和缩放将一个三圆组移动到另外一个三圆组，并且在移动过程中三个圆保持互不相交，则称这两个三圆组有相同的位置关系，否则就称有不同的位置关系．那么，球面上具有不同的位置关系的三圆组有______A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种 答案：A24、设非零向量()()()321321321,,,,,,,,c c c c b b b b a a a a ===为共面向量，),,(31x x x x x = 是未知向量，则满足0,0,0=⋅=⋅=⋅x c x b x a的向量x 的个数为_____A ．1个B ．无穷多个C ．0个D ．不能确定 答案：B25、在Oxy 坐标平面上给定点)1,2(),3,2(),2,1(C B A ，矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-112k 将向量OC OB OA ,,分别变换成向量,,，如果它们的终点',','C B A 连线构成直角三角形，斜边为''C B ，则k 的取值为______A ．2±B ．2C ．0D ．0，−2 答案：B26、设集合A ，B ，C ，D 是全集X 的子集，A∩B≠∅，A∩C≠∅．则下列选项中正确的是______． A ．如果B D ⊂或C D ⊂，则D∩A≠∅； B ．如果A D ⊂，则C x D∩B≠∅，C x D∩C≠∅； C ．如果A D ⊃，则C x D∩B=∅，C x D∩C=∅； D ．上述各项都不正确．27、已知数列{}n a 满足21=a 且n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，则∑==nk k a 1______A ．221-+n nB ．22)1(1+-+n n C ．)1(22-+n n n D ．n n n 22)1(+-28、复平面上圆周2211=+--iz z 的圆心是_______ A ．3+i B ．3−iC ．1+iD ．1−i29．已知C 是以O 为圆心、r 为半径的圆周，两点P 、P *在以O 为起点的射线上，且满足|OP|∙|OP *|=r 2，则称P 、P *关于圆周C 对称．那么，双曲线22x y -=1上的点P （x ，y ）关于单位圆周C':x 2＋y 2=1的对称点P *所满足的方程是（A ）2244x y x y -=+（B ）()22222x y x y-=+（C ）()22442x y x y-=+（D ）()222222x y x y-=+30、经过坐标变换⎩⎨⎧+-=+=θθθθcos sin 'sin cos 'y x y y x x 将二次曲线06532322=-+-y xy x 转化为形如1''2222=±b y a x 的标准方程，求θ的取值并判断二次曲线的类型_______ A ．)(6Z k k ∈+=ππθ，为椭圆 B ．)(62Z k k ∈+=ππθ，为椭圆C ．)(6Z k k ∈-=ππθ，为双曲线D ．)(62Z k k ∈-=ππθ，为双曲线31、设k ， m ， n 是整数，不定方程mx+ny=k 有整数解的必要条件是____________ A ．m ，n 都整除kB ．m ，n 的最大公因子整除kC ．m ，n ，k 两两互素D ．m ，n ，k 除1外没有其它共因子。
2020年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之1、不等式
专题之10、不等式一、选择题。
1．(2009年复旦大学)若实数x满足对任意实数a>0,均有x2<1+a,则x的取值范围是( ) A.(-1,1) B.[-1,1]C.(-,)D.不能确定2．(2010年复旦大学)已知点A(-2,0),B(1,0),C(0,1),如果直线y=kx将△ABC分割为两个部分,则当k= 时,这两个部分的面积之积最大. ( )A.-B.-C.-D.-3．(2010年复旦大学)将同时满足不等式x-ky-2≤0(k>0),2x+3y-6≥0,x+6y-10≤0的点(x,y)组成的集合D称为可行域,将函数z=称为目标函数,所谓规划问题就是求解可行域内的点(x,y),使目标函数达到在可行域内的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解,则( ) A.k≥1 B.k≤2 C.k=2 D.k=14．(2011年复旦大学)设n是一个正整数,则函数y=x+在正实半轴上的最小值是( )A. B. C. D.5．(2011年复旦大学)若对一切实数x,都有|x-5|+|x-7|>a,则实数a的取值范围是( ) A.a<12 B.a<7 C.a<5 D.a<26．(2011年清华大学等七校联考)已知向量a=(0,1),b=(-,-),c=(,-),xa+yb+zc=(1,1),则x2+y2+z2的最小值为( )A.1B.C.D.2二、填空题。
7．(2010年中南财经政法大学)已知实数a,b满足a>b,ab=1,则的最小值是 . 8．(2009年华中科技大学) 对任意的a>0,b>0,的取值范围是 .三、解答题。
9．(2009年中国科技大学)求证:∀x,y∈R,不等式x2+xy+y2≥3(x+y-1)恒成立.10．(2009年南京大学)P为△ABC内一点,它到三边BC,CA,AB的距离分别为d1,d2,d3,S为△ABC的面积,求证:++≥.11．(2010年南京大学)(a+b)2+3a+2b=(c+d)2+3c+2d. (*)证明:(1)a=c,b=d的充分必要条件是a+b=c+d;(2)若a,b,c,d∈N*,则(*)式成立的充要条件是a=c,b=d.12．(2010年浙江大学)有小于1的n(n≥2 )个正数:x1,x2,x3,…,x n,且x1+x2+x3+…+x n=1.求证:+++…+>4.13．(2009年清华大学)设a=(n∈N*),S n=(x1-a)(x2-a)+(x2-a)(x3-a)+…+(x n-1-a)(x n-a),求证:S3≤0.14．(2009年清华大学)(1)x,y为正实数,且x+y=1,求证:对于任意正整数n,x n+y n≥;(2)a,b,c为正实数,求证:++≥3,其中x,y,z为a,b,c的一种排列.15．(2009年北京大学)∀x∈R都有acos x+bcos 2x≥-1恒成立,求a+b的最大值. 16．(2011年北京大学等十三校联考)求f(x)=|x-1|+|2x-1|+…+|2 011x-1|的最小值. 17．(2012年北京大学等十一校联考)求+=1的实数根的个数.1.B【解析】对任意实数a>0,函数f(a)=1+a的值域是(1,+∞),因此只要x2≤1即可.由x2≤1,解得x∈[-1,1].3.C【解析】可行域如图中阴影部分所示,目标函数z=的几何意义是可行域内的点与点(0,-1)连线的斜率,如果要使其取得最小值的点有无穷多个,则直线x-ky-2=0必过点(0,-1),即k=2.选C. 在解含有参数的平面区域问题时要注意含有参数的直线系的特点,本题的突破点是直线系x-ky-2=0过定点(2,0).4.C【解析】题中函数为非常规函数,可利用导数求其最值.因为y=x+=x+x-n,所以y'=1-x-n-1=1-,令y'=0得x=1,且函数y在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,故函数y在正实半轴上的最小值为1+=.5.D【解析】可先求出函数y=|x-5|+|x-7|的最小值,然后根据不等式恒成立的条件求得a的取值范围.由于|x-5|+|x-7|≥|5-7|=2,即函数y=|x-5|+|x-7|的最小值等于2,所以要使|x-5|+|x-7|>a恒成立,应有a<2.方法二∵xa+yb+zc=(1,1),∴-y+z=1,x-y-z=1,∴-y+z=,y+z=2x-2,∴z=+x-1,y=-+x-1,∴x2+(-+x-1)2+(+x-1)2=3x2-2(+1)x+(+1)2+2(-1)x+(-1)2=3x2-4x++2=3(x2-x+)++2-=3(x-)2+≥,当且仅当x=,z=,y=时等号成立.9.x2+xy+y2-3(x+y-1)=(x+y)2+x2+y2-3x-3y+3=(x+y)2+(x-3)2+(y-3)2-6≥(x+y)2+(x+y-6)2-6=(x+y)2-3(x+y)+3=[(x+y)-]2≥0,故∀x,y∈R,不等式x2+xy+y2≥3(x+y-1)恒成立.10.2S=2(S△PBC+S△PCA+S△PAB),2S=ad1+bd2+cd3.要证++≥成立,即证(ad1+bd2+cd3)(++)≥(a+b+c)2成立.由柯西不等式可得上面不等式成立,当且仅当d1=d2=d3时等号成立.11.(1)由a=c,b=d得到a+b=c+d是显然的;反之,把a+b=c+d代入(*)式可得a=c,于是b=d.因此,a=c,b=d的充要条件是a+b=c+d.(2)充分性是显然的,下面证明必要性.当a+b=c+d时,由(1)可知:a=c,b=d,即必要性成立.当a+b>c+d时,有a-c>d-b,设a-c=d-b+p(p≥1),由(*)式得(a+b+1)2+a=(c+d+1)2+c,∴(a+b-c-d)(a+b+c+d+2)+a-c=0,∴[(a-c)-(d-b)](a+b+c+d+2)+a-c=0.∴a-c+p(a+b+c+d+2)=0,∴(1+p)a+pb+(p-1)c+pd+2p=0,这与p≥1相矛盾,于是a+b>c+d不能成立. 同理可证a+b<c+d也不能成立.综上可知:必要性成立.12.∵0<x i<1,∴>(i=1,2,3,…,n).∴+++…+>+++…+≥,又∵1=x 1+x2+x3+…+x n≥n,∴≥n,又∵n≥2,∴+++…+>n2≥4.13.S3=(x1-)(x2-)+(x2-)(x3-)=(x2-)(x1-+x3-)=·=-(x1+x3-2x2)2≤0.14.(1)设x=+a,则y=-a,其中-<a<,于是x n+y n=(+a)n+(-a)n=()n+()n-1·a+()n-2·a2+…+a n+()n-()n-1·a+()n-2·a2-…+(-a)n=2[()n+()n-2·a2+()n-4·a4+…]≥2×()n=.(2)不妨设a≥b≥c>0,即0<≤≤,且{,,}={,,},由排序不等式得++≥++=3.15.2【解析】方法一令cos x=t,则-1≤t≤1,f(t)=2bt2+at+1-b≥0恒成立.(1)当b<0时,,利用线性规划知识，如下图，可以解得:-1≤a+b<1.(2)当b=0时,at+1≥0,由-1≤t≤1,得-1≤a+b≤1.(3)当b>0时,(i),利用线性规划知识，如下图，可以解得:0<a+b<;(ii),即,⇒9b2-(2k+8)b+k2≤0,Δ≥0⇒-1≤k≤2,∴(a+b)max=2;(iii),即,利用线性规划知识，如图，可以解得:-1≤a+b<0.综上,(a+b)max=2.方法二2bcos2x+acos x-b+1≥0,令cos x=-,得+≤1,即a+b≤2,又当a=,b=时,cos2x+cos x+=(2cos x+1)2≥0成立,∴(a+b)max=2.16.【解析】解法一由绝对值的几何意义联想到求距离的最小值,如|x-a|+|x-b|的最小值应该是在数轴上a,b两点之间取得,为|a-b|,所以将函数f(x)的右边整理为|x-1|+|x-|+|x-|+|x-|+|x-|+|x-|+…+|x-|+|x-|+…+|x-|,共有1+2+3+…+2 011=1 006×2 011项,则f(x)可以理解为x到这1 006×2 011个零点的距离之和.从两端开始向中间靠拢,每两个绝对值的和的最小值都是在相应的零点之间取得,而且范围是包含关系,比如|x-1|+|x-|的最小值是在x∈[,1]上取得,|x-|+|x-|的最小值是在x∈[,]上取得,…,所以f(x)的最小值应该在正中间的零点或正中间的相邻两个零点之间取得.由=503×2 011可知,f(x)取得最小值的范围在第503×2 011个零点和第503×2 011+1个零点之间(这两个零点也可能相等).由<503×2 011算得n≤1 421,所以第503×2 011个零点和第503×2 011+1个零点均为,则[f(x)]min=f()=.解法二由零点分区间法讨论去绝对值:当x∈(-∞,]时,f(x)=(1-x)+(1-2x)+…+(1-2 011x),此函数图象是一条直线中的一部分,斜率k1=-1-2-…-2 011.当x∈(,]时,f(x)=(1-x)+(1-2x)+…+(1-2 010x)+(2 011x-1),此函数图象是一条直线中的一部分,斜率k2=-1-2-…-2 010+2 011.当x∈(,]时,f(x)=(1-x)+…+(1-2 009x)+(2 010x-1)+(2 011x-1),此函数图象是一条直线中的一部分,斜率k3=-1-2-…-2 009+2 010+2 011. ……当x∈(,]时,f(x)=(1-x)+…+(1-mx)+[(m+1)x-1]+…+(2 011x-1),此函数图象是一条直线中的一部分,斜率k2 012-m=-1-2-…-m+(m+1)+…+2 011. 当x∈(,]时,f(x)=(1-x)+…+[1-(m-1)x]+(mx-1)+…+(2 011x-1),此函数图象是一条直线,斜率k2 013-m=-1-2-…-(m-1)+m+…+2 011.令,即,即,由于m∈N*,解得m=1 422.所以当x∈(,]时,f(x)=(1-x)+…+(1-1 422x)+(1 423x-1)+…+(2 011x-1)=833-711×1 423x+1 717×589x, [f(x)]min=f()=.。
二零二一年复旦大学自主招生数学试题-教师版
2022年复旦大学自主招生数学试题2022年的高校自主招生已经落下帷幕，笔者对2022年复旦大学自主招生数学试题作出解析，以餐读者.第1题 抛物线22y px =, 过焦点F 作直线交抛物线于A B 、两点, 满足3AFFB =, 过A 作抛物线准线的垂线, 垂足记为A ', O 为顶点, 若四边形'CFAA 的面积为123, 求p .解法1:由题意可知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为()02p x my m =+>，()(),,,AABBA x yB x y联立222y pxpx my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得2220y pmy p --=由韦达定理可得：22,ABABy y pm y y p +==-因为3AF FB=,所以3ABy y=-易得22223B B y pm y p -=⎧⎨-=-⎩，所以2133A m y p ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以32A x p =所以2'3333123222A AA CF S y p p p +=⋅=⋅==，解得22p =.解法2:设直线AB 的倾斜角为θ，易得,1cos 1cos p pAF BF θθ==-+因为3AFFB =，则1cos 31cos θθ+=-，解得1cos 2θ=，所以3πθ= 因为3'2,'232AF AA p CA p p ===⨯=所以()1231232S p p p =+⋅=，解得22p =. 第2题 已知实数xy , 满足221x xy +=, 求22x y +最小值.解法1:（消元法）因为0x ≠ ，则112y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2222111515422x y x x -⎛⎫+=+-≥⎪⎝⎭ 当且仅当2215x x =，即255x =时，等号成立. 解法2:（三角换元法）设222x y r +=，则cos ,sin x r y r θθ==因为221x xy +=，所以222cos 2sin cos 1r r θθθ+⋅=即()221cos 215151cos sin 2sin 2sin 222222r θθθθθϕ+=+=++=++≤ 因此2512r -≥，所以22x y +的最小值为512-. 第3题已知()sin(2π)cos(2π)sin(4π)cos(4π)f x a x b x c x d x =+++, 若()()122f x f x f x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭, 则在,,,a b c d 中能确定的参数是________. 解：因为()()122f x f x f x⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以令0x =，则102f d b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以b d =令14x =，则3110442f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得20d -=，则0b d ==易得()sin(2π)sin(4π)f x a x c x =+因为()()122f x f x f x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以2sin 4sin 4sin8c x a x c x πππ=+恒成立即()sin 422cos40x c a c x ππ--=，惟独0a c ==恒成立，所以0a b c d ====. 第4题 若三次方程32450x ax x +++=有一个根是纯虚数, 则a =________.解：设纯虚数根为bi ，则32450b i ab bi --++=，所以3245b b b a⎧=⎨=⎩，解得54a =5.展开式102311x y x y ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭中, 常数项为________.解法1：101010101023233410101010i=0i=0001111i i i i i i k k i j j i i i k j x y C x y C C x C y x y x y ---+--==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫+++=++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑则有304100k i j i -=⎧⎨+-=⎩，即3104i k ij ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，易得0,3,6,9i =当0i =时，52j Z =∉；当3i =时，74j Z =∉；当9i =时，14j Z =∉；当6i =时，2j k ==符合题意，则常数项为622106412600C C C ⋅⋅=解法2:只有一种情况出现常数，即()()3422311x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，它的系数为24131084312600C C C C ⋅⋅⋅=.6. ()111lim ++14253n n n →∞⎡⎤+=⎢⎥⨯⨯+⎣⎦________. 解：因为()1111333n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 所以()1111111111111++14253314253123n n n n n n ⎛⎫+=-+-++⋅⋅⋅+-+- ⎪⨯⨯+-++⎝⎭1111111323123n n n ⎛⎫=++--- ⎪+++⎝⎭， 所以()11111111111lim ++lim 11425332312318n n n n n n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫+=++---= ⎪⎢⎥⨯⨯++++⎝⎭⎣⎦ 第7题 点()4,5绕点()1,1顺时针旋转60度, 所得的点的坐标为________. 解法1:设点()()()1,1,3,4,,A B C x y ，则直线AB 的斜率为514413ABk-==- 由夹角公式可得43tan 6034113AC ABAC ABACACkk kk kk --︒===+⋅+,所以2534839AC k -=由()()221253481391125y x x y ⎧--=⎪-⎨⎪-+-=⎩可解得54326332x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，所以所得的点的坐标为54363322⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭， 解法2: 设点()()()1,1,3,4,,A B C x y ，则()3,4AB =,()1,1AC x y =-- 因为5AB AC ==,所以()()221125x y -+-=因为3471cos 252AB ACx y BAC AB AC⋅+-∠===⋅，所以41332y x =-+ 由()()22413321125y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪-+-=⎩可解得：54326332x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 易得点的坐标为54363322⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭， 解法3: 设点()()1,1,3,4A B ，则()3,4AB =,在复平面对应的复数为()345cos sin z i i θθ=+=+（其中34cos ,sin 55θθ==）则顺时针旋转60︒，则15cos sin 33z AC i ππθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即343433,22AC ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭,易得点的坐标为54363322⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭， 第8题 方程5cos 43cos2ρθρρθ=+所表示的曲线形状是________.解法1：因为()25cos 43cos2432cos 1θθθ=+=+-，所以26cos 5cos 10θθ-+=所以1cos 2θ=或者1cos3θ=，所以曲线形状是从原点出发的左半平面的四条射线.解法2:原方程可化为2225cos 43cos2ρθρρθ=+，即()()222222543x x y x y x y +=++- 所以222257x x y x y +=+，即222424110x x y y -+=， 故()()()22223800x y xy x --=≥，所以()3,220y x y x x =±=±≥，所以曲线形状是从原点出发的左半平面的四条射线.第9题 设ππ,,,44x y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦若333πcos 20,24sin cos 0x x a y y y a ⎧⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪++=⎩则()cos 2x y += . 解：由333πcos 20,24sin cos 0x x a y y y a ⎧⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪++=⎩可得()33sin 202sin 220x x a y y a ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩构造函数()3sin f x x x=+，易得()f x 是奇函数.所以()()20f x f y +=所以20x y +=，则()cos 21x y +=第10题 实数,x y 满足221,x y +=若262x y a a x y +-++--的值与,x y 无关,则a 的范围是 .解法1:()262262x y a a x y x y a x y a +-++--=+-+-+-的值与,x y 无关，所以2x y a +-与()62x y a -+-同号，即026x y a ≤+-≤，所以26a x y a ≤+≤+因为221x y +=，令cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，则()2cos 2sin 5sin 5,5x y αααϕ⎡⎤+=+=+∈-⎣⎦所以565a a ⎧≤-⎪⎨+≥⎪⎩，所以565a -≤≤-.解法2: ()2622625+55x y a x y a x y a a x y ⎡⎤+-++-+-++--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的值与,x y 无关，说明直线()20,260x y a x y a +-=+-+=在单位圆的两侧，所以565a -≤≤-. 第11题 在△ABC 中,1cos ,3BAC ∠=若O为内心,且满足,AO xAB y AC =+则x y +的最大值为 .解:设ADAO xAB y AC λλλ==+,因为,,B C D 三点共线，所以1x y λλ+=即11111sin 2AO AO AO x y OE AAD AO OD AO OE AO λ+===≤==++++因为21cos 1sin 23A A =-=,所以3sin 23A =.所以332x y -+≤第12题 已知直线:cos m y x α=和:3n x y c +=, 则( ) A.m 和n 可能重合 B. m 和n 不可能垂直C. 存在直线m 上一点,P 以P 为中心旋转后与m 重合D. 以上都不对解：直线m 的斜率为[]cos 1,1α∈-，所以m 和n 不可能重合，故A 错；当1cos 3α=时，两直线垂直，故B 错；直线m 和n 必相交，当点P 位于交点处时，以点P 为中心旋转后与m 重合，故选C.第13题 抛物线23y x =的焦点为,F A 在抛物线上,A 点处的切线与AF 夹角为30°,则A 点的横坐标为 .解：设()23,A y y ，对隐函数23yx =求导可得6'1y y ⋅=，即1'6y y=，所以切线的斜率为016k y =，因为0201312AF y k y =-，由夹角公式tan 301AF AF k k kk -︒=+,解得133AF k k k +=-即002003161133126y y y y+=--，解得0123y =,所以200134x y ==第14题 已知P 为直线6014x y -=-上一点,且P 点到()2,5A 和()4,3B 的距离相同,则P 点坐标为.解：直线方程为460x y +-=，线段AB 的中点为()34，，所以直线AB 的中垂线方程为1y x =+，点P 为直线460x y +-=与直线AB 的中垂线的交点.则146y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，所以P 点坐标为()12， 第15题 已知{},1,2,3,4,5,6,7,8,9x y ∈且,y x ≠联结原点O 和()(),,,A x y B y x 两点,则12arctan 3AOB ∠=的概率为 .解法1：如图，设线段AB 的中点为C ,即1arctan 3AOC ∠=，易得,22x y x y C ++⎛⎫⎪⎝⎭在Rt ADC 中，,22x y x yCD AC --==, 所以在Rt ACO 中，2212sin 10x yACAOC AOx y -∠=⇒=+，解得12y x =在1~9中任取两个数,x y 满足12y x =的有()()()()21426384，，，，，，，，所以29419P C ==. 解法2:如图，设1arctan 3α=，线段OA 与x 轴正半轴所成的角为β，所以1113tan tan 14213πβα-⎛⎫=-== ⎪⎝⎭+，所以12y x = 在1~9中任取两个数,x y 满足12y x =的有()()()()21426384，，，，，，，，所以29419P C ==. 第16题 14323arcsin arcsin 84++=. 解：设14323arcsin,arcsin 84αβ+==，则14323sin ,sin 84αβ+== 易得32147cos ,cos 84αβ-==，所以()2cos cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-=-，故34παβ+= 第17题 已知三棱锥-P ABC 的体积为10.5, 且6,4,10,AB AC BC AP BP =====则CP 长度为 .解：如图，取AB 的中点D ,连接,PD CD ,易得AB ⊥平面PCD ,91,7PD CD ==,所以三棱锥-P ABC 的体积为12132PCD SAB⋅=,即1121917sin 6322PDC ⨯⨯⨯⨯∠⨯=所以3sin 213PDC ∠=，所以43cos 213PDC ∠=±由余弦定理可得291+743cos 2917213PC PDC -∠==±⨯⨯,解得98743PC =± 第18题 在△ABC 中,9,6,7,AB BC CA ===则BC 边上中线长度为 .解法1:取BC 的中点D ，由中线长公式可得：222222AB AC AD BD +=+,解得214AD =.解法2:由余弦定理可知22296717cos 29627B +-==⨯⨯, 所以2279329321427AD =+-⨯⨯⨯= 第19题 若()21,f x x =-则()()f f x 的图象大致为 . 解：()()()2242112f f x x x x =--=-，图象大致为W 形.第20题 定义{}1,(),|()()11,M M Nx M f x M N x f x f x x M ∈⎧⎪=⊗==-⎨-∉⎪⎩, 已知{}|2A x x x =<-, {}|(3)(3)0B x x x x =+->, 则A B ⊗= .解：易知()()(),1,3,03,A B =-∞=-+∞当3x ≤-时，()()1AB fx f x =-满足题意；当30x -<<时，()()1AB fx f x =不满足题意；当01x ≤<时，()()1ABf x f x =-满足题意；当13x <≤时，()()1ABf x f x =不满足题意；当3x >时，()()1ABfx f x =-满足题意.综上所述，(][)(),30,13,A B ⊗=-∞-+∞第21题 方程34122022x y z ++=的非负整数解的组数为 .解：因为34122022x y z ++=，,,0x y z ≥，易得4|x ，设4x m =，则124122022m y z ++= 即33505m y z ++=，则3|505y -，因此()505mod3y ≡，则()1mod3y ≡，设31y n =+所以168,,,0m n z m n z ++=≥，设111p m q n r z =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，则171,,1p q r p q r ++=≥，，用隔板法可得2170C 种.第22题 已知,,m n ∈且011,n ≤≤若满足202220222312,m n +=+则n = . 解：因为()()2022202220222022231mod3233mod 4+=+=，，所以7n =.第23题 凸四边形,ABCD 则BAC BDC ∠=∠是DAC DBC ∠=∠的 条件. 解：充要条件第24题 设函数()33x x f x -=-的反函数为()1,y f x -=则()()111g x f x -=-+在[]3,5-上的最大值和最小值的和为 .解：()()111g x f x -=-+在[]3,5-上的最大值和最小值等价于求()11f x -+在[]44-,上的最大值和最小值，即()44f x -≤≤,解得52325x -≤≤+，所以()()22log 52,log 25x ⎡⎤∈-+⎣⎦，所以()()111g x fx -=-+在[]3,5-上的最大值和最小值的和为()()32log52522⎡⎤+-+=⎣⎦. 第25题 若4,k >直线2280kx y k --+=与222440x k y k +--=和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是 .解：直线2280kx y k --+=与222440x k y k +--=恒过定点()2,4C ，则2480,4,2,0A B k k ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2214181411422448,0,224S k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+-⨯=-+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以17,82S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.第26题 已知A B C D 、、、四点共圆,且1,2,4,5,AB CD AD BC ====则PA 的长度为 . 解：易得PABPCD ,则12PA PB AB PC PD CD ===,设,PA X PB Y ==,则25124254Y X X Y Y X Y X =-⎧==⇒⎨=+++⎩,解得143X = 第27题 给定5个函数,其中3个奇函数,2个偶函数,则在这5个函数中任意取3个,其中既有奇函数、又有偶函数的概率为 .解：33359110C P C =-= 第28题 下列不等式恒成立的是( )A. 2211x x x x+≥+ B. 12x y x y -+≥- C. x y x z y z -≥-+- 解：()()()()()222322221111111110x x x x x x x x x x x x x x x x -++-⎛⎫⎡⎤+-+=-+=---=≥ ⎪⎣⎦⎝⎭，A 选项正确；当0,2x y ==时，B 选项不成立；当1,2,0x y z ===时，C 选项不成立. 第29题 向量数列{}n a 满足1,n n a a d +=+且满足1133,,2a a d =⋅=-令11,n n ii S a a =⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑则当nS 取最大时,n 的值为 . 解：()()()211111313913244n n i i n n n n S a a a na d n n n =--⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅+=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，当6n =或者7n =时，nS 取得最大值. 第30题 某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任务,每人负责一天.已知甲不安排在第一天,乙不安排在第二天,甲和丙在相邻两天,则不同的安排方式有 种.解：当甲丙在第一二天时，则有55120A =种；当甲丙在第二三天时，则有2525240A A =种； 当甲丙连续在第三四五六七天时，则有242444768A A =种；所以共有120+240+768=1128种.第31题 直线12,l l 交于O 点,M 为平面上任意一点,若,p q 分别为M 点到直线12,l l 的距离,则称(),p q 为点M 的距离坐标.已知非负常数,,p q 下列三个命题正确的个数是 .(1) 若0,p q ==则距离坐标为()0,0的点有且仅有1个;(2) 若0,pq =且0,p q +≠则距离坐标为(),p q 的点有且仅有2个;(3) 若0,pq ≠则距离坐标为(),p q 的点有且仅有4个.解：(1)正确，当0,p q ==则距离坐标为()0,0的点有且仅有1个为O 点;(2)正确，若0p =时，该点分别为关于交点O 对称的点,A B ；若0q =类似.(3)正确，作12,l l 的平行线交于,,,A B C D ,,AC BD 距离2l 为q ，,AB CD 距离1l 为p 故答案为3个.。
复旦大学自主招生试题
复旦大学自主招生试题（正文）复旦大学自主招生试题自主招生，作为一种独特的选拔方式，给予了高中生更多展示自己的机会，而复旦大学作为一所顶尖的综合性大学，其自主招生试题更是备受考生关注。
本文将通过介绍复旦大学自主招生试题的一些例子，分析其考查内容和要求。
一、数学试题1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5，求函数f(x)在区间[-2, 3]上的最小值和最大值。
分析：首先，我们需要先求出函数f(x)的导函数f'(x)，然后再通过导函数的零点来找出函数f(x)的极值点。
根据极值的定义，我们可以通过求解f'(x) = 0来得到。
2. 某商店商品价格打9折，然后再减去10元，最后的价格是原价的40%。
求该商品的原价。
分析：假设原价为x元，那么根据题意，我们可以得到以下等式：0.9x - 10 = 0.4x。
通过解这个方程，我们可以求出该商品的原价x。
二、英语试题1. 阅读下面短文，并根据短文内容完成后面的题目。
Most people know that exercise is good for their health. Regular physical activity can prevent a multitude of diseases and improve one’s overall well-being. However, it is essential to find an exercise routine that suits your lifestyle and preferences. In this regard, yoga is a great option for many.Yoga combines physical poses, breathing exercises, and meditation to promote a healthy mind and body. The slow and controlled movements help build flexibility, strength, and balance. Additionally, the focus on deep breathing and mindfulness promotes relaxation and stress reduction.Furthermore, yoga can be practiced by people of all ages and fitness levels. From beginner classes to advanced poses, there are variations suitable for everyone. It is a versatile practice that can be adapted to individual needs and goals.Based on the information provided in the passage, answer the following questions:a. What are the benefits of regular exercise?b. What aspects does yoga combine?c. Why is yoga suitable for people of all ages and fitness levels?三、文学试题阅读下面的《Active Learning》一文，根据文章内容回答问题。
2020年上海市复旦大学自主招生数学试卷
2020年上海市复旦大学自主招生数学试卷一、解答题1．抛物线y2＝2px，过焦点F作直线交抛物线于A、B两点，满足，过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A'，O为顶点，若，求p．2．抛物线y2＝2px，过焦点F作直线交抛物线于A，B两点，满足，过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A'，准线交x轴于C点，若，求p．3．已知实数x，y满足x2+2xy＝1，求x2+y2最小值．二、填空题4．已知f（x）＝a sin（2πx）+b cos（2πx）+c sin（4πx）+d cos（4πx），若，则在a，b，c，d中能确定的参数是 ．5．若三次方程x3+ax2+4x+5＝0有一个根是纯虚数，则实数a＝ ．6．展开式中，常数项为 ．7．[++…+]＝ ．8．点（4，5）绕点（1，1）顺时针旋转60度，所得的点的坐标为 ．9．方程5ρcosθ＝4ρ+3ρcos2θ所表示的曲线形状是 ．10．设，若，则cos（x+2y）＝ ．11．当实数x、y满足x2+y2＝1时，|x+2y﹣a|+|a+6﹣x﹣2y|的取值与x、y均无关，则实数a 的取值范围是 ．12．在△ABC中，，若O为内心，且满足，则x+y的最大值为 ．三、选择题13．已知直线m：y＝x cosα和n：3x+y＝c，则（ ）A．m和n可能重合B．m和n不可能垂直C．存在直线m上一点P，以P为中心旋转后与n重合D．以上都不对四、填空题14．抛物线3y2＝x的焦点为F，A在抛物线上，A点处的切线与AF夹角为30°，则A点的横坐标为 ．15．已知点P在直线上，且点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，则点P的坐标是 ．16．已知x，y∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}且y≠x，连接原点O和A（x，y），B（y，x）两点，则∠AOB＝2arctan的概率为 ．17．arcsin+arcsin＝ ．18．已知三棱锥P﹣ABC的体积为10.5，且AB＝6，AC＝BC＝4，AP＝BP＝10，则CP长度为 ．19．在△ABC中，AB＝9，BC＝6，CA＝7，则BC边上中线长度为 ．20．若f（x）＝x2﹣1，则f（f（x））的图象大致为 ．21．定义f M（x）＝，M⊗N＝{x|f M（x）f N（x）＝﹣1}，已知A＝，B＝{x|x（x+3）（x﹣3）＞0}，则A⊗B＝ ．22．方程3x+4y+12z＝2020的非负整数解的组数为 ．23．已知m，n∈Z，且0≤n≤11，若满足22020+32021＝12m+n，则n＝ ．24．凸四边形ABCD，则∠BAC＝∠BDC是∠DAC＝∠DBC的 条件．25．设函数f（x）＝3x﹣3﹣x的反函数为y＝f﹣1（x），则g（x）＝f﹣1（x﹣1）+1在[﹣3，5]上的最大值和最小值的和为 ．26．若k＞4，直线kx﹣2y﹣2k+8＝0与2x+k2y﹣4k2﹣4＝0和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是 ．27．已知A、B、C、D四点共圆，且AB＝1，CD＝2，AD＝4，BC＝5，则PA的长度为 ．28．给定5个函数，其中3个奇函数，2个偶函数，则在这5个函数中任意取3个，其中既有奇函数、又有偶函数的概率为 ．五、选择题29．下列不等式恒成立的是（ ）A．x2+≥x+B．C．|x﹣y|≥|x﹣z|+|y﹣z|D．六、填空题30．向量数列满足，且满足，令，则当S n取最大时，n的值为 ．31．某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任务，每人负责一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有 种．32．直线l1，l2交于O点，M为平面上任意一点，若p，q分别为M点到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的距离坐标．已知非负常数p，q，下列三个命题正确的个数是 ．（1）若p＝q＝0，则距离坐标为（0，0）的点有且仅有1个；（2）若pq＝0，且p+q≠0，则距离坐标为（p，q）的点有且仅有2个；（3）若pq≠0，则距离坐标为（p，q）的点有且仅有4个．2020年上海市复旦大学自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、解答题1．抛物线y2＝2px，过焦点F作直线交抛物线于A、B两点，满足，过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A'，O为顶点，若，求p．【考点】抛物线的性质．【分析】过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A'，过B作抛物线准线的垂线，垂足记为B'，过B作AA′的垂线，垂足记为M．设|BF|＝m，则|AF|＝3m，|AM|＝2m，可得∠A′AF＝600，即可得A（，），利用可得2p＝3m，利用梯形面积公式即可得p．【解答】解：过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A'，过B作抛物线准线的垂线，垂足记为B'，过B作AA′的垂线，垂足记为M．设|BF|＝m，则|AF|＝3m，|AM|＝2m，cos∠A′AF＝，∴∠A′AF＝600．A（，），由A在抛物线y2＝2px上，，解得2p＝3m，或2p＝﹣9m（舍），∴|AF|＝|AA′|＝3m＝2p，∵，∴（2p+）p＝12，∴p＝．【点评】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了三角形面积的计算问题，是中档题．2．抛物线y2＝2px，过焦点F作直线交抛物线于A，B两点，满足，过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A'，准线交x轴于C点，若，求p．【考点】抛物线的性质．【分析】过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A'，过B作抛物线准线的垂线，垂足记为B'，过B作AA′的垂线，垂足记为M．设|BF|＝m，则|AF|＝3m，|AM|＝2m，可得∠A′AF＝600，即可得A（，），利用可得2p＝3m，利用梯形面积公式即可得p．【解答】解：过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A'，过B作抛物线准线的垂线，垂足记为B'，过B作AA′的垂线，垂足记为M．设|BF|＝m，则|AF|＝3m，|AM|＝2m，cos∠A′AF＝，∴∠A′AF＝600．A（，），由A在抛物线y2＝2px上，，解得2p＝3m，或2p＝﹣9m（舍），∴|AF|＝|AA′|＝3m＝2p，∵，∴，∴p＝2．【点评】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了三角形面积的计算问题，是中档题．3．已知实数x，y满足x2+2xy＝1，求x2+y2最小值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】先把y用x表示，问题转化为单变量问题，再利用基本不等式求最小值即可．【解答】解：因为x2+2xy＝1（x≠0），故，所以，当且仅当等号成立，所以x2+y2最小值为．【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．二、填空题4．已知f（x）＝a sin（2πx）+b cos（2πx）+c sin（4πx）+d cos（4πx），若，则在a，b，c，d中能确定的参数是 a＝b＝c＝d＝0 ．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先令x＝0和x＝可得b＝d＝0，再由得到a＝c＝0．【解答】解：令，令，，，所以sin4πx（2c﹣a﹣2c cos4πx）＝0恒成立，所以2c﹣a＝2c＝0⇒a＝c＝0，综上所述a＝b＝c＝d＝0．故答案为：a＝b＝c＝d＝0．【点评】本题考查赋值法在抽象函数中的应用，考查二倍角公式，属于中档题．5．若三次方程x3+ax2+4x+5＝0有一个根是纯虚数，则实数a＝ ．【考点】实系数多项式虚根成对定理．【分析】设三次方程的纯虚数根为bi（b∈R，b≠0），代入三次方程，由复数的运算性质和复数为0的条件，解方程可得所求值．【解答】解：设三次方程的纯虚数根为bi（b∈R，b≠0），可得﹣b3i﹣ab2+4bi+5＝0，即（5﹣ab2）+（4b﹣b3）i＝0，可得5﹣ab2＝0，且4b﹣b3＝0，解得b＝±2，a＝．故答案为：．【点评】本题考查实系数高次方程的根的定义，以及复数的运算法则的运用，考查运算能力，是一道基础题．6．展开式中，常数项为 12600 ．【考点】二项式定理．【分析】要使展开式中出现常数项，由题意可知，展开式中的常数项应符合以下特征：，且k+2k+m+3m＝10，由此求出k，m的值即可．【解答】解：利用组合的知识可知，展开式中的常数项满足：，且k+2k+m+3m＝10，k，m∈N．即3k+4m＝10，m，k∈N．解得，故常数项为：．【点评】本题考查二项式展开式中特定项的求法，注意组合知识在解题中的应用．属于基础题．7．[++…+]＝ ．【考点】数列的极限．【分析】通过裂项消项法，求解数列的和，然后利用数列的极限的运算法则求解即可．【解答】解：＝++…+＝＝（1++﹣﹣﹣）．[++…+]＝（1++﹣﹣﹣）＝＝．故答案为：．【点评】本题考查数列求和以及数列的极限的运算法则的应用，是中档题．8．点（4，5）绕点（1，1）顺时针旋转60度，所得的点的坐标为 ．【考点】旋转变换．【分析】不妨设A（1，1），B（4，5），则，在在复平面对应的复数求出来，并用三角表示，再结合复数乘法运算的几何意义即可求出所对应的复数z2，进而求出的坐标，再求C点坐标，即为答案．【解答】解：不妨设A（1，1），B（4，5），则，在复平面对应的复数为，则顺时针旋转60°，则，，，因此，从而可得点．【点评】本题考查复数乘法运算的几何意义，考查转化能力和计算能力，属于中档题．9．方程5ρcosθ＝4ρ+3ρcos2θ所表示的曲线形状是 两条射线 ．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】直接利用转换关系，消去ρ，整理成三角函数关系式，进一步求出结果．【解答】解：根据方程5ρcosθ＝4ρ+3ρcos2θ，整理得5cosθ＝4+3（2cos2θ﹣1），即6cos2θ﹣5cosθ+1＝0，解得cos或cos．所以该曲线为两条射线．故答案为：两条射线．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和普通方程之间的转换，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10．设，若，则cos（x+2y）＝ 1 ．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】设f（x）＝x3+sin x，把已知条件转化为f（x）+f（2y）＝0，又因为函数f（x）在R上是单调递增的奇函数，故x+2y＝0，进而求出cos（x+2y）＝1．【解答】解：原式可得变形为，设f（x）＝x3+sin x，因为f（﹣x）＝（﹣x）3+sin（﹣x）＝﹣（x3+sin x）＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，当x＞0 时，f（x）′＝3x2+cos x①当0＜x＜时，cos x＞0，所以f（x）′＞0；②当x＞时，3x2＞3，cos x＜1，所以f（x）′＞0．所以f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，又因为奇函数关于原点对称，所以函数f（x）在R上是单调递增函数，因此f（x）+f（2y）＝0，则x+2y＝0，则cos（x+2y）＝1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合，考查学生的转化能力，是一道综合性的题目，属于中档题．11．当实数x、y满足x2+y2＝1时，|x+2y﹣a|+|a+6﹣x﹣2y|的取值与x、y均无关，则实数a 的取值范围是 ．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】根据x，y满足的表达式可设x＝cosθ，y＝sinθ，进而求出x+2y的范围，再由条件可知x+2y﹣a≥0，且a+6﹣x﹣2y≥0，则可求出a的取值范围．【解答】解：因为实数x，y满足x2+y2＝1，设x＝cosθ，y＝sinθ，则x+2y＝cosθ+2sinθ＝，其中α＝arctan2，所以﹣≤x+2y≤，因为|x+2y﹣a|+|a+6﹣x﹣2y|的取值与x、y均无关，所以|x+2y﹣a|+|a+6﹣x﹣2y|＝x+2y﹣a+a+6﹣x﹣2y＝6，即此时，所以x+2y﹣6≤a≤x+2y，则≤a≤﹣，故答案为：【点评】本题考查了圆的参数方程，涉及绝对值取值范围等知识点，属于中档题．12．在△ABC中，，若O为内心，且满足，则x+y的最大值为 ．【考点】平面向量的基本定理．【分析】设＝λ，根据共线向量的几何意义和二倍角公式解答．【解答】解：延长AO交BC于D，设BC与圆O相切于点E，AC与圆O相切于点F，则OE＝OF，则OE≤OD，设＝λ，因为B、C、D三点共线，所以λx+λy＝1，即x+y＝＝＝＝＝＝，因为cos A＝1﹣2sin2＝，所以sin＝，所以x+y≤＝．故答案是：．【点评】本题主要考查向量数量积的运算及几何意义，三角形的内心的概念，三角函数的转化关系，属于中档题．三、选择题13．已知直线m：y＝x cosα和n：3x+y＝c，则（ ）A．m和n可能重合B．m和n不可能垂直C．存在直线m上一点P，以P为中心旋转后与n重合D．以上都不对【考点】确定直线位置的几何要素；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】求出直线m与直线n的斜率，由斜率不能相等判断两直线不可能重合；由斜率之积为﹣1，得出两直线垂直；由两直线不平行，得出两直线相交，从而判断直线m以交点P为中心旋转后与n重合．【解答】解：直线m：y＝x cosα，斜率为k1＝cosα；直线n：3x+y＝c，斜率为k2＝﹣3；k1≠k2，所以m和n不可能重合，A错误；cosα＝时，k1•k2＝﹣1，m和n垂直，所以B错误；由k1≠k2知m和n不平行，设m、n相交于点P，则直线m以P为中心旋转后与n重合，所以C正确．故选：C．【点评】本题考查了两条直线的位置关系应用问题，是基础题．四、填空题14．抛物线3y2＝x的焦点为F，A在抛物线上，A点处的切线与AF夹角为30°，则A点的横坐标为 ．【考点】直线与抛物线的综合．【分析】设A的坐标求导可得A的切线的斜率，设切线的倾斜角为α，求出准线AF的斜率，由题意可得k AF＝tan（30°+α），可得A的横坐标．【解答】解：抛物线3y2＝x可得y2＝，所以焦点F坐标（，0），设A（x0，y0），设y0＞0y＝，y'＝，所以在A处的切线的斜率为：k＝，设在A处的倾斜角为α，则k＝tanα＝，k AF＝＝＝，tan（30°+α）＝＝＝，由题意可得k AF＝tan（30°+α），所以＝，整理可得：（1﹣2）（12x 0+1）＝0，解得：x0＝，所以A的横坐标为：，故答案为：．【点评】本题考查抛物线的性质及由求导法求在点的切线的斜率，属于中档题．15．已知点P在直线上，且点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，则点P的坐标是 （1，2） ．【考点】行列式．【分析】由二项展开式性质得点P在直线4x+y﹣6＝0，设P（a，﹣4a+6），由点P到A （2，5）、B（4，3）两点的距离相等，能求出点P的坐标．【解答】解：∵点P在直线上，∴点P在直线4x+y﹣6＝0，设P（a，﹣4a+6），∵点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，∴，解得a＝1，∴点P的坐标是（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查行列式、直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．已知x，y∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}且y≠x，连接原点O和A（x，y），B（y，x）两点，则∠AOB＝2arctan的概率为 ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先由题设条件求出数对（x，y）总的个数，然后利用∠AOB＝2arctan求出满足题意的数对（x，y）的个数，最后利用古典概型概率公式计算出结果．【解答】解：∵x，y∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}且y≠x，∴数对（x，y）共有9×8＝72个．∵∠AOB＝2arctan，∴tan∠AOB＝＝，cos∠AOB＝，又连接原点O和A（x，y），B（y，x）两点，得＝（x，y），＝（y，x），则cos∠AOB＝＝＝，即（2x﹣y）（x﹣2y）＝0，即y＝2x，或y＝x，∴满足∠AOB＝2arctan的数对有：（1，2），（2，4），（3，6），（4，8），（2，1），（4，2），（6，3），（8，4），共8个，∴∠AOB＝2arctan的概率P＝＝．故答案为：．【点评】本题主要以集合为背景考查满足古典概型的概率的计算及三角公式的简单应用，属于中档题．17．arcsin+arcsin＝ ．【考点】反三角函数．【分析】由题意判断出＜arcsin+arcsin＜π，求出sin（arcsin+arcsin）的值，即可得出arcsin+arcsin的值．【解答】解：由arcsin＜arcsin＜arcsin1，所以＜arcsin＜，又arcsin＜arcsin＜arcsin1，所以＜arcsin＜，所以＜arcsin+arcsin＜π，所以sin（arcsin+arcsin）＝sin（arcsin）cos（arcsin）+cos（arcsin）sin（arcsin）＝×+×＝×+×＝+＝，所以arcsin+arcsin＝．故答案为：．【点评】本题考查了反三角函数值的计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．18．已知三棱锥P﹣ABC的体积为10.5，且AB＝6，AC＝BC＝4，AP＝BP＝10，则CP长度为 7 或 ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】先根据题意证明平面ABC⊥平面PCD，进而得到P点到CD的距离即P点到平面ABC的距离，再利用三棱锥P﹣ABC的体积为10.5，求出sin∠PDC，利用同角的三角函数关系求出cos∠PDC，在△PDC中运用余弦定理即可求出PC的长度．【解答】解：取AB中点D，因为AB⊥CD，AB⊥PD，又因为PD∩CD＝D且PD，CD⊂平面PCD，则AB⊥面PDC，又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面PCD，那么P点到CD的距离即P点到平面ABC的距离，依题意可得，所以，那么，由余弦定理可得或．故答案为：7 或．【点评】本题考查线面垂直及面面垂直的证明，三棱锥体积公式，余弦定理，考查学生的转化能力和运算能力，属于中档题．19．在△ABC中，AB＝9，BC＝6，CA＝7，则BC边上中线长度为 2 ．【考点】三角形中的几何计算．【分析】利用余弦定理求出cos∠BAC的值，再利用平面向量的线性表示，即可求出中线的长度．【解答】解：△ABC中，AB＝9，BC＝6，CA＝7，如图所示；由余弦定理得cos∠BAC＝＝；设AD是BC边上的中线，则＝（+），所以＝×（+2•+）＝×（81+2×9×7×+49）＝56，解得||＝2，所以BC边上的中线长度为2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积与解三角形的应用问题，是基础题．20．若f（x）＝x2﹣1，则f（f（x））的图象大致为 ．【考点】函数的图象与图象的变换．【分析】求出f（f（x））的解析式，并判断奇偶性，利用导数求出x＞0时的单调性，由对称性即可作出大致图象．【解答】解：f（f（x））＝（x2﹣1）2﹣1＝x4﹣2x2，令g（x）＝x4﹣2x2，g（x）＝0，可得x＝±或0，由g（﹣x）＝g（x），可得g（x）为偶函数，当x≥0时，g′（x）＝4x3﹣4x＝4x（x+1）（x﹣1），x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，由偶函数关于y轴对称，可得f（f（x））的图象大致为故答案为：．【点评】本题主要考查函数的图象的画法，属于基础题．21．定义f M（x）＝，M⊗N＝{x|f M（x）f N（x）＝﹣1}，已知A＝，B＝{x|x（x+3）（x﹣3）＞0}，则A⊗B＝ （﹣∞，﹣3]∪[0，1）∪（3，+∞）． ．【考点】子集与交集、并集运算的转换．【分析】求出集合A，B，利用新定义求出A⊗B即可．【解答】解：A＝（﹣∞，1），B＝{x|x（x﹣3）（x+3）＞0}＝（﹣3，0）∪（3，+∞）；∁R A＝[1，+∞），∁R B＝（﹣∞，﹣3]∪[0，3]．因为f A（x）•f B（x）＝﹣1，所以当f A（x）＝﹣1，f B（x）＝1，A⊗B＝B∩∁R A＝{x|x＞3}，当f A（x）＝1，f B（x）＝﹣1，A⊗B＝A∩∁R B＝{x|x≤﹣3或0≤x＜1}，故A⊗B＝（﹣∞，﹣3]∪[0，1）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[0，1）∪（3，+∞）．【点评】考查集合的交并集的计算，集合概念的理解，属于基础题．22．方程3x+4y+12z＝2020的非负整数解的组数为 14365 ．【考点】计数原理的应用．【分析】利用非负整数这一条件结合题干中的3×4＝12进行分析入手即可．【解答】解：因为3x+4y+12z＝2020，所以，因为x，y，z均为整数，所以也是整数，所以设x＝4k，则3k+y+3z＝505，所以3（k+z）+y＝505，易知505÷3＝168…1，则k+z可取的值为0～168，当k+z＝0时，k＝z＝0，当k+z＝1时，或，当k+z＝n时，k的取值集合为{0，1，2，…，n}，对应z＝n﹣k，故当k+z取遍0～168时，z的所有可能取值数为种，故所有的非负整数解为14365种，故答案为14365．【点评】本题考查逻辑分析能力，考查学生对于题中隐藏条件的判断，属于中档题．23．已知m，n∈Z，且0≤n≤11，若满足22020+32021＝12m+n，则n＝ 7 ．【考点】进行简单的合情推理．【分析】通过研究2n+3n+1除以12的余数的规律得到结果．【解答】解：归纳：21+32＝12×0+11，22+33＝12×2+7，23+34＝12×7+5，24+35＝12×21+7，25+36＝12×63+5，26+37＝12×187+7，27+38＝12×557+5，…由以上过程可知，除去第一个式子之外，余数为7，5循环；易知2n中n为奇数对应余数为5，n为偶数对应余数为7；2020为偶数，故余数为7．故答案为7．【点评】本题考查归纳推理，属于中档题．24．凸四边形ABCD，则∠BAC＝∠BDC是∠DAC＝∠DBC的 充要 条件．【考点】充分条件、必要条件、充要条件．【分析】根据四点共圆的性质，对∠BAC＝∠BDC，∠DAC＝∠DBC进行逻辑判断即可．【解答】解：在凸四边形ABCD中，若∠BAC＝∠BDC，则ABCD四点共圆，则必有∠DAC ＝∠DBC；在凸四边形ABCD中，若∠DAC＝∠DBC，则ABCD四点共圆，则必有∠BAC＝∠BDC；所以：∠BAC＝∠BDC是∠DAC＝∠DBC的充要条件．故答案为：充要．【点评】本题考查了四点共圆问题，充分必要条件的定义，属于基础题．25．设函数f（x）＝3x﹣3﹣x的反函数为y＝f﹣1（x），则g（x）＝f﹣1（x﹣1）+1在[﹣3，5]上的最大值和最小值的和为 2 ．【考点】函数的最值及其几何意义；反函数．【分析】由﹣3≤x≤5，可得﹣4≤x﹣1≤4，令﹣4≤f（x）≤4，结合函数f（x）的单调性可得此时，再由反函数的性质即可得解．【解答】解：由﹣3≤x≤5，可得﹣4≤x﹣1≤4，令﹣4≤f（x）≤4，由f（x））＝3x﹣3﹣x单调递增可得，，∴，∴g（x）在[﹣3，5]上的最大值与最小值之和为，故答案为：2．【点评】本题主要考查反函数的性质，考查运算能力，属于中档题．26．若k＞4，直线kx﹣2y﹣2k+8＝0与2x+k2y﹣4k2﹣4＝0和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是 （，+∞） ．【考点】两条直线的交点坐标；三角形的面积公式．【分析】求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与x轴的交点，与y轴的交点，得到所求的四边形，求出四边形的面积表达式，应用二次函数的知识求面积最小时的k值【解答】解：如图所示：直线L：kx﹣2y﹣2k+8＝0 即k（x﹣2）﹣2y+8＝0，过定点B（2，4），与y轴的交点D（0，4﹣k），与x轴的交点A（2﹣，0），直线M：2x+k2y﹣4k2﹣4＝0，即2x+k2（y﹣4）﹣4＝0，过定点B（2，4 ），与x轴的交点E（2k2+2，0），与y轴的交点C（0，4+），由题意，四边形OABC的面积等于△OCE面积﹣△ABE面积，∴所求四边形的面积为S＝×（4+）（2k2+2）﹣×4×（2k2+2﹣2+）＝﹣+8＝4﹣8，∵k＞4，∴0＜则8＞S＞故k＞4时，直线kx﹣2y﹣2k+8＝0与2x+k2y﹣4k2﹣4＝0和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是（，8）．【点评】本题考查了直线过定点问题，以及二次函数的最值问题，是基础题．27．已知A、B、C、D四点共圆，且AB＝1，CD＝2，AD＝4，BC＝5，则PA的长度为 ．【考点】余弦定理．【分析】连接AC，BD，由圆内接四边形的性质可得∠PAB＝∠BCD，∠PBA＝∠ADC，在△ABD和△BCD中运用余弦定理，结合诱导公式求得cos∠PAB，sin∠PAB，同理可得cos∠PBA，sin∠PBA，再由两角和的正弦公式求得sin P，在△PAB中运用余弦定理可得所求；另解：由四点共圆的性质和三角形的相似的性质，解方程可得所求值．【解答】解：连接AC，BD，由A，B，C，D四点共圆，可得∠PAB＝∠BCD，∠PBA＝∠ADC，由BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD，BD2＝CB2+CD2﹣2CB•CD•cos∠BCD，且∠BAD+∠BCD＝180°，可得cos∠BAD＝﹣cos∠BCD，则1+16﹣2×1×4cos∠BAD＝25+4﹣2×5×2×cos∠BCD，化为17+8cos∠BCD＝29﹣20cos∠BCD，解得cos∠BCD＝，即cos∠PAB＝，则sin∠PAB＝＝，又AC2＝BA2+BC2﹣2BA•BC•cos∠ABC，AC2＝DA2+DC2﹣2DA•DC•cos∠ADC，且∠ABC+∠ADC＝180°，可得cos∠ABC＝﹣cos∠ADC，则1+25﹣2×1×5cos∠ABC＝16+4﹣2×4×2×cos∠ADC，化为26+10cos∠ADC＝20﹣16cos∠ADC，解得cos∠ADC＝﹣，即cos∠PBA＝﹣，则sin∠PBA＝＝，则sin P＝sin（∠PAB+∠PBA）＝sin∠PAB cos∠PBA+cos∠PAB sin∠PBA＝×（﹣）+×＝，在△PAB中，由＝，可得＝，解得PA＝．另解：由A，B，C，D四点共圆，可得∠PAB＝∠PCD，∠PBA＝∠PDC，则△PAB∽△PCD，即有＝＝，设PA＝x，PB＝y，可得＝＝，即有2x＝5+y，即y＝2x﹣5，2y＝4+x，即有2（2x﹣5）＝4+x，解得x＝，即PA＝．故答案为：．【点评】本题考查三角形的余弦定理和正弦定理的运用，以及圆内接四边形的性质，考查化简运算能力，属于中档题．28．给定5个函数，其中3个奇函数，2个偶函数，则在这5个函数中任意取3个，其中既有奇函数、又有偶函数的概率为 ．【考点】函数奇偶性的性质与判断；古典概型及其概率计算公式．【分析】基本事件总数n＝＝10，其中既有奇函数、又有偶函数包含的基本事件个数m ＝＝6，由此能求出其中既有奇函数、又有偶函数的概率．【解答】解：给定5个函数，其中3个奇函数，2个偶函数，则在这5个函数中任意取3个，基本事件总数n＝＝10，其中既有奇函数、又有偶函数包含的基本事件个数m＝＝6，∴其中既有奇函数、又有偶函数的概率为P＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查概率定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．五、选择题29．下列不等式恒成立的是（ ）A．x2+≥x+B．C．|x﹣y|≥|x﹣z|+|y﹣z|D．【考点】不等关系与不等式；基本不等式及其应用．【分析】A．x＜0时，x2+≥x+成立；x＞0时，设t＝x+≥2，不等式x2+≥x+化为：t2﹣2≥t，化简即可判断出正误．B．取特殊值，令x﹣y＝﹣1，即可判断出正误；C．由绝对值不等式的性质即可判断出正误；D.﹣＝﹣，即可判断出真假．【解答】解：A．x＜0时，x2+≥x+成立；x＞0时，设t＝x+≥2，不等式x2+≥x+化为：t2﹣2≥t，化为（t﹣2）（t+1）≥0，即t≥2，恒成立．因此不等式恒成立．B．取x﹣y＝﹣1，则|x﹣y|+＝1﹣1＝0＜2，因此不恒成立；C．由绝对值不等式的性质可得：|x﹣z|+|y﹣z|≥|（x﹣z）﹣（y﹣z）|＝|x﹣y|，因此不恒成立．D．∵﹣＞，∴﹣＝﹣≤0，∴≤，错误．故选：A．【点评】本题考查了不等式的性质、绝对值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．六、填空题30．向量数列满足，且满足，令，则当S n取最大时，n的值为 6或7 ．【考点】数列的求和；平面向量数量积的性质及其运算．【分析】直接利用向量的运算求出数列的通项公式，进一步利用前n项和公式的应用求出结果为二次函数的形式，最后利用二次函数的性质求出结果．【解答】解：数列满足，所以，，…，，所有的式子相加得到：，所以，由于，由于＝＝＝＝＝＝，由于二次函数的对称轴方程为n＝（n为整数），所以n＝6或7时，S n取最大值．故答案为：6或7【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式，向量的运算，数列的前n项和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．31．某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任务，每人负责一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有 1128 种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，按甲乙丙的安排分5种情况讨论：①甲在第二天值班，则丙可以安排在第一天和第三天，乙没有限制，②甲在第三天值班，丙安排在第二天值班，乙没有限制，③甲在第三天值班，丙安排在第四天值班，乙有4种安排方法，④甲在第四五六天值班，丙有2种安排方法，乙有4种安排方法，⑤甲安排在第七天值班，丙只能安排在第六天，乙有4种安排方法，求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，分5种情况讨论：①甲在第二天值班，则丙可以安排在第一天和第三天，有2种情况，剩下5人全排列，安排在剩下的5天，有A55＝120种安排方式，此时有2×120＝240种安排方式，②甲在第三天值班，丙安排在第二天值班，剩下5人全排列，安排在剩下的5天，有A55＝120种安排方式，此时有1×120＝120种安排方式，③甲在第三天值班，丙安排在第四天值班，乙有4种安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的4天，有A44＝24种安排方式，此时有4×24＝96种安排方式，④甲在第四五六天值班，丙有2种安排方法，乙有4种安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的4天，有A44＝24种安排方式，此时有3×2×4×24＝576种安排方式，⑤甲安排在第七天值班，丙只能安排在第六天，乙有4种安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的4天，有A44＝24种安排方式，此时有4×24＝96种安排方式；故有240+120+96+576+96＝1128种安排方式；故答案为：1128【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．32．直线l1，l2交于O点，M为平面上任意一点，若p，q分别为M点到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的距离坐标．已知非负常数p，q，下列三个命题正确的个数是 （1）（2）（3） ．（1）若p＝q＝0，则距离坐标为（0，0）的点有且仅有1个；（2）若pq＝0，且p+q≠0，则距离坐标为（p，q）的点有且仅有2个；（3）若pq≠0，则距离坐标为（p，q）的点有且仅有4个．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由题意点到直线l1，l2的距离分别为p，q，由点M的距离坐标的定义逐一判断即可．【解答】解：（1）p＝q＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且只有1个，此点为点O．故（1）正确；（2）若pq＝0，且p+q≠0，则p，q中有且仅有一个为0，当p＝0，q≠0时，距离坐标点在l1上，分别为关于O点对称的两点，当q＝0，p≠0时，在l2上也有两点，但是这两种情况不能同时存在，∴若pq＝0，且p+q≠0，则距离坐标为（p，q）的点有且仅有2个，故（2）正确；（3）若pq≠0，则距离坐标为（p，q）的点有且只有4个，而四个交点为与直线l1相距为p的两条平行线和与直线l2相距为q的两条平行线的交点．故答案为：（1）（2）（3）．【点评】本题考查了新定义“距离坐标”，考查了理解能力与推理能力，属于中档题．。