2021届上海市宝山区高三上学期(一模)期末数学试卷及答案解析

2021届上海市宝山区高三上学期（一模）期末数学试卷

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题）

一、选择题

直线的一个法向量可以是（ ） A.(3,1)-

B.(3,1)

C.(1,3)

D.(1,3)-

2.“函数()sin()f x x ω=（,x R ω∈，且0ω≠）的最小正周期为2”，是“ωπ=”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件

D.既非充分也非必要条件

3.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为4的概率为（ ） A.

121

B.

321

C.

521

D.

721

4.下列结论中错误的是（ ）

A.存在实数x ，y 满足1

1

x x y ?≤??+≤??，并使得4(1)(1)9x y ++>成立

B.存在实数x ，y 满足1

1x x y ?≤??+≤??

，并使得4(1)(1)7x y ++=成立

C.满足1

1

x x y ?≤??

+≤??，且使得4(1)(1)9x y ++=-成立的实数x ，y 不存在

D.满足11x x y ?≤??+≤??

，且使得成4(1)(1)9x y ++<-立的实数x ，y 不存在

第II 卷（非选择题）

二、填空题

(4,)=-+∞，则A B =_________．

6.抛物线y 2=6x 的准线方程为_____．

7.已知复数z 满足

1

1

i z =-（i 为虚数单位），则z =___________．

8.设(1,2),(2,1)a b ==，则a 和b 的夹角大小为___________．（结果用反三角函数表示）

9.已知二项式6

12x x ??+ ??

?，则其展开式中的常数项为_________． 10.若实数x ，y 满足02030x x y x y ≥??

-≤??+-≤?

，则2z x y =+的最大值为___________．

11.已知圆锥的底面半径为1

θ的大小为_________．

12.方程cos2sin 0x x -=在区间[0,]π上的所有解的和为__________． 13.已知函数()f x 的周期为2，且当01x <≤时，4()log f x x =，那么92f ??= ???

___________．

14.设数列{}n x 的前n 项和为n S ，对任意n *∈N ，均有1n n S x +=-，则6S =___________．

15.设函数()sin 2cos2(,)f x a x b x a b R =?+?∈，给出下列的结论： ①当0,1a b ==时，()f x 为偶函数； ②当1,0a b ==时，(2)f x 在区间0,4π??

???

上是单调函数；

③当1a b ==-时，2x

f ??

???

在区间(2,2)ππ-上恰有3个零点；

④当1a b =

=时，设()f x 在区间,()4t t t R π??

+

∈???

?

上的最大值为()t ?，最小值为()t ψ，

则()()t t ?ψ-≤．

则所有正确结论的序号是_________．

16.若定义在N 上的函数(),()f x g x 满足：存在0x N ∈，使得()()00f x g x <成立，则称

()f x 与()g x 在N 上具有性质(,)P f g ，设函数1()2

x

a f x -=与3

()g x x =，其中，

0a >，已知()f x 与()g x 在N 上不具有性质(,)P f g ，将a 的最小值记为0a ．设有穷数

列{}n b 满足[]()

1101,1,504n n b b b n N n a *

+==+∈≤?，这里[]0a 表示不超过0a 的最大整

数．若去掉{}n b 中的一项t b 后，剩下的所有项之和恰可表为()2

m m N *

∈，则t m

b

+的值为

_________．

三、解答题

17.如图，在长方体1111A B C D -中，T 为1DD 上一点，已知

12,4,2,6DT AB BC AA ====．

（1）求直线TC 与平面ABCD 所成角的大小（用反三角函数表示）； （2）求点1C 到平面1ATC 的距离． 18.已知函数()()1

m

f x x m R x =+

∈-． （1）当1m =时，解不等式()1(1)f x f x +>+；

（2）设[3,4]x ∈，且函数()3y f x =+存在零点，求实数m 的取值范围． 19.设函数()sin()0,2

2f x x π

πω?ω???

=+>-<<

??

?

的最小正周期为2π，且()f x 的图像过坐标原点． （1）求ω、?的值；

（2）在ABC 中，若2

2

2

2()3()2()()()()f B f C f A f B f C f A +=??+，且三边a ，b ，

c 所对的角分别为A ，B ，C ，试求

()

b f B C c

?+的值．

20.已知12,F F 分别为椭圆22:14

x

y Γ+=的左、右焦点，M 为Γ上的一点．

（1）若点M 的坐标为(1,)(0)m m >，求12F MF △的面积；

（2）若点M 的坐标(0,1)，且直线3()5

y kx k R =-∈与Γ交于两不同点A 、B ，求证：

MA MB ?为定值，并求出该定值；

（3）如图，设点M 的坐标为(,)s t ，过坐标原点O 作圆222

:()()M x s y t r -+-=（其中

r 为定值，01r <<且||s r ≠）的两条切线，分别交Γ于点P ，Q ，直线,OP OQ 的斜率分别记为12,k k ．如果12k k 为定值，试问：是否存在锐角θ，使2||||5sec OP OQ θ?=?？若存在，试求出θ的一个值；若不存在，请说明理由． 21.若有穷数列{}n x ：12,,

,n x x x 满足1,0i i i x x t x +≥+>（这里i ，

,3,11n N n i n *∈≥≤≤-，常数0t >），则称又穷数列{}n x 具有性质()P t ．

（1）已知有穷数列{}n x 具有性质()P t （常数1

2

t ≥

），且213211

2

n n n x x x x x x ---+-++-≤

，试求t 的值； （2）设1222i i i a a t a t +=++-+-（,,3,11i n N n i n *∈≥≤≤-，常数2t >），判断有穷数列{}n a 是否具有性质()2P t -，并说明理由； （3）若有穷数列{}n y ：12,,

,n y y y 具有性质(1)P ，其各项的和为20000，12,,,n

y y y 中的最大值记为A ，当A N *∈时，求A n +的最小值．

参考答案

1.C

【解析】1.

先求解出直线的一个方向向量，设出法向量，利用数量积为零计算即可.

直线310x y +-=的一个方向向量为11,3v ??=- ???

，设直线的法向量为()1,m t =，因为

0v m ?=，所以1103

t -=，得3t =，所以法向量()1,3m =.

故选：C. 2.B

【解析】2.

验证当函数()sin()f x x ω=最小正周期为2时，ωπ=是否成立；验证ωπ=成立时函数

()sin()f x x ω=（,x R ω∈，且0ω≠）的最小正周期为2是否成立，再结合充分必要条

件定义即可得出答案.

解：当函数()sin()f x x ω=（,x R ω∈，且0ω≠）的最小正周期为2时， 所以22,||

T π

ωπω=

=∴=±,不能得出ωπ=，故充分性不成立， 当ωπ=时，()sin()f x x ω=的最小正周期为22||

T π

ω=

=，故必要性成立 综上：“函数()sin()f x x ω=（,x R ω∈，且0ω≠）的最小正周期为2”，是“ωπ=”的必要非充分条件. 故选：B. 3.C

【解析】3.

直接利用组合数的应用求出基本事件的个数，进而求出概率的值. 根据题意：从10个数中任取5个不同的数， 则基本事件为5

10109876

49725254321

C ????=

=??=????，

则这5个不同的数的中位数为4的有：22

4560C C ?=，

故概率605

25221

P =

=.

故选：C 4.A

【解析】4.

画出约束条件的可行域，判断目标函数取得最值时的位置，然后判断选项的正误即可.

解：画出不等式组1

1x x y ?≤??+≤??

表示的平面区域，如图阴影所示：

(1,2),(1,0),(1,2),(1,0)A B C D ---，令4(1)(1)z x y =++，可知可行域内的点在边界时，

z 取得最大值或最小值；

对于A 项，最优解在1x y +=时，2

1

4(1)(1)4(1)(2)4()92

z x y x x x =++=+-=--+， 因为1x ≤，所以z 的最大值为9，且此时12

x y ==. 所以选项A 错误；

对于B 项，4(1)(1)7x y ++=即7(1)(1)4

x y ++=

，

由基本不等式知

(1)(1)

2

x y +++≥11x y +=+时等号成立，

即

22x y ++==，解得12

x y ==-，

且点(

1,1)22

--在可行域内，故B 项正确，不选； 对于C 项，最优解在1x y +=-时，2

14(1)(1)4(1)()4()12

z x y x x x =++=+-=-++，

因为1x ≤，所以81z -≤≤.

所以满足1

1

x x y ?≤??+≤??，且使得4(1)(1)9x y ++=-成立的实数x ，y 不存在，

所以C 项正确，不选；

对于D 项，由对C 项的分析可知，满足1

1

x x y ?≤??+≤??，且使得成4(1)(1)9x y ++<-立的实

数x ，y 不存在， 所以D 项正确，不选； 故选：A. 5.(4,3)--

【解析】5.

根据集合交集定义运算即可得出答案. 解：因为集合(,3),(4,)A B =-∞-=-+∞， 所以(4,3)A

B --=.

故答案为：(4,3)-- 6.x =?3

2

【解析】6.

因为抛物线的焦点在x 轴上，2p=6,那么其准线方程为

7.1i -

【解析】7.

根据复数的除法运算求解即可. 因为

1

1

i z =-， 所以1

1z i i

-=

=-，即1z i =-. 故答案为：1i - 8.4arccos 5

【解析】8.

直接利用向量的坐标运算求出向量的数量积和向量的模，进一步利用夹角公式的应用求出结果.

解：向量(1,2),(2,1)a b ==， 所以4

cos 5

5a b a b

θ?=

=

=?，

所以4arccos

5θ=. 故答案为：4arccos 5

. 9.160

【解析】9.

写出二项式展开式的通项，令x 的幂指数等于0，找到3r =，计算常数项即可. 由二项式展开式()

616

12r

r

r

r T C

x x -+??= ?

??

为常数项，可知

3r =，所以常数项为3362160C ?=.

10.4

【解析】10.

根据约束条件画出可行域，由目标函数的几何意义，结合图形，即可得出结果.

不等式组02030x

x y x y ≥??

-≤??+-≤?

所表示的平面区域如图中阴影部分所示，

由2z x y =+可得2y x z =-+， 则z 表示直线2y x z =-+在y 轴的截距，

由图像可得，当直线2y x z =-+过点C 时，在y 轴的截距最大，即z 有最大值； 联立20

30x y x y -=??

+-=?

，解得()1,2C ，故max 224z =+=.

故答案为：4. 11.π

【解析】11.

圆锥的底面半径为12π，即展开图的弧长，根据勾股定理可知圆锥母线即展开图的半径，再利用弧长公式计算.

圆锥的底面半径为12=， 即展开后所得扇形的半径为2，

圆锥底面圆的周长2l π=即为展开后所得扇形的弧长， 所以根据弧长公式可知22πθ=， 解得θπ= 故答案为：π 12.π

【解析】12.

利用二倍角公式，将方程cos2sin 0x x -=，转化为22sin sin 10x x +-=求解. 方程cos2sin 0x x -=， 即为：22sin sin 10x x +-=， 解得 1

sin 2

x =

或 sin 1x =-， 因为[0,]x π∈， 所以6

x π

=

或56

x π

π=

， 所以方程在区间[0,]π上的所有解的和为π 故答案为：π 13.12

-

根据函数()f x 为周期函数，得91()22f f ??=

???

，代入函数4()log f x x =即可得解. 解：因为函数()f x 是周期为2的周期函数， 所以91()22f f ??

=

?

??

， 又当01x <≤时，4()log f x x =，

所以142

911lg 21lg 21()log 222lg 22lg 22f f --??

====?=- ???

. 故答案为：12

- 14.6364

-

【解析】14.

由1n n S x +=-，利用数列通项和前n 项和的关系，求得数列是等比数列，然后利用前n 项和公式求解. 当1n =时，112

x =-

， 当2n ≥时，由1n n S x +=-， 得111n n S x --+=-， 两式相减得11

2

n n x x -=， 又211

2

x x =

， 所以数列{}n x 是以12

-

为首项，以1

2为公比的等比数列，

所以6

6

1112263164

12

S ????

-- ? ? ?

????=--=，

故答案为： 6364

- 15.①④

①当0,1a b ==时，()cos 2f x x =，由偶函数的定义判断①正确；②当1,0a b ==时，

(2)sin 4f x x =，由复合函数的单调性判断②错误；③当1a b ==-时，

2sin()26x f x π

??=- ???

，求得函数的零点判断③错误；④当1a b ==时，

()2sin(2)6

f x x π=+，令()()()4

g t f t f t π

=+-，求其最大值判断④正确.

①当0,1a b ==时，()cos 2f x x =，定义域为R ，且()()f x f x -=，函数为偶函数，故①正确；

②当1,0a b ==时，(2)sin 4f x x =，由0,4x π??∈ ???

，得4(0,)x π∈，则sin 4y x =在

(0,)4

π

上不单调，故②错误；

③当1a b ==-时，cos 2sin()26x f x x x π??=-=- ???

，由2sin()06x π-=，即,,,6

6

x k k Z x k k Z π

π

ππ-=∈=

+∈，则6

x π

=±

，7

6

x π=±，共四个零点，故③错

误；

④当1a b =

=时，()2cos22sin(2)6

f x x x x π

=+=+

，周期22

T π

π=

=， 区间,4t t π??+

???

?的长度为4

π，即为14周期， 所以当区间,4t t π??

+???

?

为函数()f x 的单调递增区间或单调递减区间时，()()t t ?ψ-最大， 令()()()|2cos(2)2sin(2)|466

g t f t f t t t π

π

π

=+

-=+-+ 5

|)||)|6412

t t π

ππ=+

+=+，

即()()t t ?ψ-≤，故④正确； 故答案为：①④. 16.2626

【解析】16.

问题可转化为()()f x g x ≥在N 上恒成立，令3

1()02

x a z x x -=-≥在N 上恒成立，根据

函数的单调性求出2

0a e =，从而求出n S ，再求出答案即可.

因为()f x 与()g x 在N 上不具有性质(,)P f g ， 所以()()f x g x ≥在N 上恒成立，

令3

1()02

x a z x x -=-≥在N 上恒成立，

当21'()ln 302

x

z x a a x =

?-=时，a 最小， 所以联立()0

'()0

z x z x =??=?，得到

2011ln 36x a x =+， 令21()36x h x x =

+，则311

'()32h x x

=-， 当0,1x =时，'()0h x <，()h x 递减， 当2,3,4,x =时，'()0h x >，()h x 递增，

所以117(1),(2)224

h h =

=，所以(1)(2)h h <， 当1x =时，2

0a e =，所以50473528n ≤?=，

因为111,1n n b b b +==+，所以n b n =， 所以2(1)35283529

22

n t n n S b m +?==+=，

2495.026=

=，

取2495m =，则131t b =，所以131********t b m +=+=， 故答案为：2626. 17.（1）1arctan 2

（或arcsin 2

．

【解析】17. 方法一（几何法）：

（1）连结TC ，由已知可得直线TC 与平面ABCD 所成的角即为TCD ∠，解三角形可求得直线TC 与平面ABCD 所成角的大小.

（2）运用等体积法可求得点1C 到平面1

ATC 的距离.

方法二（向量法）：

（1）如图，以D 为原点，DA 、DC 、1DD 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系. 运用线面角的向量求解方法可求得直线TC 与平面ABCD 所成角的大小. （2）由点到面的距离的向量方法可求得点1C 到平面1ATC 的距离. 方法一：

（1）连结TC ，在长方体1111ABCD A B C D -中，

因为1DD ⊥平面ABCD ，即TD ⊥平面ABCD ，所以直线TC 与平面ABCD 所成的角即为TCD ∠，

在Rt TCD 中，由2DT =，4CD AB ==，可得1

tan 2

DT TCD CD ∠==， 又0,

2TCD π??

∠∈ ??

?，故1

arctan 2

TCD ∠=， 所以直线TC 与平面ABCD 所成角的大小为1

arctan

2

. （2

）由已知可得1AT TC ==

，1AC =

所以11

2

A TC

S

=?=又1

1

64122

TCC S =??=. 设点1C 到平面1ATC 的距离为h .在长方体1111ABCD A B C D -中， 因为11A D ⊥平面11CDC D ，即11A D ⊥平面1TCC ， 再由1111C A TC A TCC V V --=得111111

33

A TC TCC S h S A D ?=?△△，

所以，1

111

7TCC A TC

S

A D h S

?

=

=

=.

即点1C 到平面1

ATC 的距离为7

.

方法二：

（1）如图，以D 为原点，DA 、DC 、1DD 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系.

由已知可得A (2，0，0)、B (2，4，0)、C (0，4，0)、D (0，0，0)、T (0，0，2)， 故()0,4,2TC =-，又平面ABCD 的一个法向量()0,0,1n =， 设直线TC 与平面ABCD 所成角的大小为θ， 则

2sin 4TC n TC n

θ?=

=

=

?

0,2π??θ∈???

?，故arcsin 5

θ=， 所以直线TC 与平面ABCD 所成角的大小为. （2）注意到1C (0，4，6)，1A (2，0，6)，及T (0，0，2)，C (0，4，0)，

故()1

2,0,4AT =--，()0,4,2CT =-，()10,4,4C T =--， 设平面1ATC 的一个法向量为(),,m x y z =， 由已知，得100

m AT m CT ??=?

?=?，即240420x z y z --=??

-+=?，所以42x y

z y

=-??=?，可取()4,1,2m =-，

所以点1C 到平面1

ATC

的距离为107

C T m m

??=

=. 即点1C 到平面1

ATC

的距离为7

. 18.（1）()(),01,-∞?+∞；（2）[]21,12--.

【解析】18.

（1）本题首先可根据1m =得出()1

1

f x x x =+-，然后将不等式转化整理为()10x x ->，通过计算即可得出结果；

（2）本题可将当[]3,4x ∈时函数()3y f x =+存在零点转化为当[]3,4x ∈时方程

()2

41m x =-++有解，然后令()()2

14g x x =-++，求出当[]3,4x ∈时函数的值域，

即可得出结果.

（1）当1m =时，()1

1

f x x x =+

-，1x ≠， 不等式()()11f x f x +>+，即()11111x x x x ??+> ?

??

+++-， 整理得

111x x >-，1101x x

->-，()101x x >-，()10x x ->，解得0x <或1x >， 故原不等式的解集为()(),01,-∞?+∞.

（2）当[]3,4x ∈时，函数()3y f x =+存在零点， 即当[]3,4x ∈时，方程301

m

x x +

+=-有解， 即当[]3,4x ∈时，方程()2

41m x =-++有解， 令()()2

14g x x =-++，

当[]3,4x ∈时，函数()()2

14f x x =-++的值域为[]21,12--，

故实数m 的取值范围为[]21,12--. 19.（1）1ω=，0?=；（2）1.

【解析】19. （1）由题意，利用

22π

πω

=，()00f =，即可求解.（2）由

2222sin 3sin 2sin sin sin sin B C A B C A +=??+，结合余弦定理可得：

222

sin cos 2b c A A bc bc +-=≥=sin cos )4A A A π--≤

b =，可得34

A π

=

，即可求出. （1）依题意，可得

22π

πω

=，所以1ω=，故()()sin f x x ?=+，

因为()f x 的图象过坐标原点，所以()00f =，即sin 0?=， 因为2

2

π

π

?-

<<

，因此，0?=.

（2）由（1）得()sin f x x =，由已知，可得

2222sin 3sin 2sin sin sin sin B C A B C A +=??+，

所以222232sin b c A bc a +=?+，

再利用余弦定理，并整理得22

2sin cos 2b c A A bc

+-=，

因为2222b c bc +≥=sin cos A A -≥

又sin cos )4

A A A π

--

≤，所以sin cos A A -=，且b =，34

A π

=

，

故

()

()

sin 1b f B C B C A c c

?+?+=

==.

20.（1）3

2

；（2）0MA MB ?=，证明见详解；（3）不存在.

【解析】20.

（1）将点(1,)(0)M m m >代入求出2

m =

，再求出左、右焦点即可求解. （2）将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量数量积的坐标运算即可求解. （3）设出直线OP :1y k x =，直线OQ :2y k x =，利用点到直线的距离公式可得1k 、2k 是关于ξ的方程(

)22

2222220s r

st t r ξ

ξ--+-=的两实根，根据题意12k k 为定值，可得

1214k k δ==-，r =，设()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线OP :1y k x =，直线OQ :

2y k x =与椭圆联立，求出5

2

OP OQ ?≤

，即求.

（1）由已知条件得22114m +=，因为0m >，所以2

m =，

又1F 、2F 的坐标分别为(0)、0)，

因此，12F MF △的面积为

13

22

?=.

（2）设(),A A A x y ，(),B B B x y ，由22

143

5x y y kx ?+=????=-??

，得()22

2464410525k x kx +--=， 显然2

2566425k ?=+>，且(

)(

)

22245

41

642541

A B A B k x x k x x k ?

+=?+????=

?+?

，

又35A A y kx =-

，3

5

B B y kx =-，所以， ()()()()264

18,1,125

5A A B B A B A B MA MB x y x y x x k k x x ?=-?-+-=++

()()()2

22

6482464

105252541541k k k k k ????=+?-?+=++????

， 即0MA MB ?=为定值.

（3）满足25sec OP OQ θ?=的锐角不存在. 理由如下：

因为直线OP :1y k x =与M

r =，

即(

)22

2221120s r

k

stk t r --+-=，

同理，由直线OQ :2y k x =与

M 相切，可得()

222

222

220s r k stk t r --+-=， 于是，1k 、2k 是关于ξ的方程(

)22

2

222220s r

st t r ξ

ξ--+-=的两实根，

注意到s r ≠，且2

214s t +=，故22

22122222

14s r t r k k s r s r

??-- ?-??==--， 因12k k 为定值，故不妨设12k k δ=（定值），

于是有2

2

2214s r s r

δ--=-，即()2211104s r δδ????++-+-= ?????

. 依题意可知，s 变化，而r 、δ均为定值，所以()2104110

r δδ?+=???-+-=?

，

解得1214k k δ==-

，5

r =， 再设()11,P x y ，()22,Q x y ，由2

2

114x y y k x

?+=???=?得2

1212

2112

1114414x k k y k ?=?+?

??=?+?； 同理可得2

222

2

22

222114414x k k y k ?=?+???=?+?

. 所以()()()()22

2

2

122222

11222212

4144141414k k OP OQ x y x y k k ++?=++=?++

()

2212119925

44242424k k k k =+

≤+=+??++，

即2

2

254OP OQ ?≤

，亦即5

2

OP OQ ?≤，（※） 若锐角θ?，使25sec OP OQ θ?=，则55

sec 22

OP OQ θ?=>，与（※）相矛盾. 因此，这样的锐角θ不存在. 21.（1）

1

2

；（2）当10a ≤时，有穷数列{a n }不具有性质P （t ﹣2），当10a >时，有穷数列{a n }具有性质P （t ﹣2），证明过程见解析；（3）110.

【解析】21.

（1）根据有穷数列{x n }具有性质P （t ），可得（n ﹣1）t ≤

1

2

n -，即可求出t 的值； （2）根据有穷数列{x n }具有性质P （t ）的定义，证明即可； （3）由已知可得A +n ≥

200031

22

n n +-，结合基本不等式即可求出． （1）因为有穷数列{x n }具有性质P （t ），

所以|x i +1﹣x i |＝x i +1﹣x i ≥t ，即|x i +1﹣x i |≥t ，（i ＝1，2，3，…n ﹣1）， 再由已知条件可得(1)n t -≤|x 2﹣x 1|+|x 3﹣x 2|+…+|x n ﹣x n ﹣1|1

2

n -≤， 即1

(1)2

n n t --≤

，

而n ≥3，所以12

t ≤， 又1

2t ≥

，所以12

t =； （2）当10a ≤时，有穷数列{a n }不具有性质P （t ﹣2）， 当10a >时，有穷数列{a n }具有性质P （t ﹣2），理由如下： 若10a ≤时，则有穷数列{a n }显然不具有性质P （t ﹣2），

若10a >，则由t ＞2，可得a 2＝2|a 1+t +2|﹣|a 1+t ﹣2|＝2（a 1+t +2）﹣（a 1+t ﹣2）＝a 1+t +6，即a 2＝a 1+t +6， 所以a 2＞a 1+t ﹣2，且a 2＞0，

同理可得a 3＝a 2+t +6，（a 2＞0），则a 3＞a 3+t ﹣2，且a 3＞0， …

一般地若a i ＝a i ﹣1+t +6，（a i ﹣1＞0），则a i ＞a i ﹣1+t ﹣2，且a i ＞0，

于是a i +1＝2|a i +t +2|﹣|a i +t ﹣2|＝2（a i +t +2）﹣（a i +t ﹣2）＝a i +t +6，即a i +﹣1＝a i +t +6， 所以a i ＞a i ﹣1+t ﹣2，且a i ＞0，（仍有a i +1＞0i ，这里i 、n ∈N*，n ≥3，1≤i ≤n ﹣1）， 因此当a 1＞0时，有穷数列{a n }具有性质P （t ﹣2）， 综上，当a 1≤0时，有穷数列{a n }不具有性质P （t ﹣2）， 当a 1＞0时，有穷数列{a n }具有性质P （t ﹣2），

（3）由已知可得y n ﹣1≤y n ﹣1，y n ﹣2≤y n ﹣2，…，y 1≤y n ﹣（n ﹣1）， 故y 1+y 2+…+y n ＝ny n ﹣[1+2+…+（n ﹣1）]，即2000≤ny n ﹣(1)

2

n n -， 整理可得y n 20001

22

n n ≥

+-， 显然y n ＝A ，

于是有A +n 2000311222n n ≥

+-≥=

注意到A ，n ∈N*，且12

-+＜110，

所以A +n ≥110，

可取y 1＝2，y i ＝36+i ，（i ＝2，3，…，37）， 因此A +n 的最小值为110．