2018年高三数学(理)一轮复习课件 直线、平面平行的判定与性质
������������ ������������ 1 = = ,得 MN∥AB,因此,MN∥平面 ABC,且 MN∥平面 ABD.关闭 ������������ 2 平面������������ ABC、平面 ABD
解析
答案
第八章
知识梳理 双基自测
8.4
直线、平面平行的判定与性质
知识梳理 核心考点
关闭
它们平行于平面 DC ,D1C1,A1B1 ABP
解析 答案
第八章
知识梳理 双基自测
8.4
直线、平面平行的判定与性质
知识梳理 核心考点
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5
4.(教材习题改编P62TA3)在四面体ABCD中,M,N分别是平面 △ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是 .
关闭
如图,连接 AM 并延长交 CD 于 E,连接 BN 并延长交 CD 于 F,由重心性质可知,E,F 重合为一点,且该点为 CD 的中点 E,由
8.4 直线、平面平行的判定与性质
第八章
知识梳理 双基自测
8.4
直线、平面平行的判定与性质
知识梳理 核心考点
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1
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3
1.直线与平面平行的判定与性质
判 定义 图形 条件 a∩α=⌀ a⊂α,b⊄α,a∥b 结论 a∥α b∥α 定 定理 性 质
a ∥α
a∥α,a⊂β,α∩β=b a ∥b
a∩α=⌀
第八章
知识梳理 双基自测
8.4
直线、平面平行的判定与性质
知识梳理 核心考点
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3.常用结论 (1)两个平面平行的有关结论 ①垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β. ②平行于同一平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ. (2)在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则会出现 错误.
第八章
知识梳理 双基自测
8.4
直线、平面平行的判定与性质
知识梳理 核心考点
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2.面面平行的判定与性质
判 定义 图形 条件 α∩β=⌀ 结论 α∥β 定 定理 性 质
a⊂β,b⊂β,a∩b=P, α∥β,α∩γ=a, α∥β,a⊂β β∩γ=b a∥α,b∥α ____________
α∥β a∥b a∥α
第八章
知识梳理 双基自测
8.4
直线、平面平行的判定与性质
知识梳理 核心考点
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3.已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1棱DD1上任意一点(不与端点重 合),则在正方体的12条棱中,与平面ABP平行的直线 是 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
关闭
DC,D1C1,A1B1均平行于直线AB,依据直线与平面平行判定定理,均可证明
第八章
知识梳理 双基自测
8.4
直线、平面平行的判定与性质
知识梳理 核心考点
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1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于 这个平面.( ) (2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的 任一条直线.( ) (3)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.( ) (4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平 面平行.( ) (5)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行 或异面.( )
关闭
①②④
答案
第八章
知识梳理 双基自测
8.4
直线、平面平行的判定与性质
知识梳理 核心考点
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解析 因为 AB������C1D1,
所以四边形AD1C1B为平行四边形. 故AD1∥BC1,从而①正确; 易证BD∥B1D1,AB1∥DC1, 又AB1∩B1D1=B1,BD∩DC1=D, 故平面AB1D1∥平面BDC1,从而②正确; 由图易知AD1与DC1异面,故③错误; 因AD1∥BC1,AD1⊄平面BDC1,BC1⊂平面BDC1, 故AD1∥平面BDC1,故④正确.
关闭
M∈线段FH
解析 答案
第八章
考点1 考点2 考点3
8.4
直线、平面平行的判定与性质
知识梳理 核心考点
-11-
考点 1
线面平行、面面平行的基本问题
例1(1)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题 中正确的是( ) 关闭 A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n (1)A ,m 与 m n可平行、可异面 C.中 若 ⊥n n可相交、可异面、可平行 ,m⊂α,n⊂β,则α⊥β D.若;B m中 ⊥,α ,与 m∥ n,n∥β,则α⊥β ;C中,若 (2) 设m,n表示不同直线 ββ 表示不同平面 ,则下列结论中正确的是 α∥ β,仍然可满足 m⊥n,m⊂α,,α n, ⊂ ,故C错误;故D正确 . ( ) ,n有可能在平面α内;B错误,平面α有可能与平面β相交;C错误,n也 (2)A错误 A.若m∥α,m∥n,则n∥α 有可能在平面β内;D正确,易知m∥β或m⊂β,若m⊂β,又n∥m,n⊄β,∴n∥β,若 B.若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β m∥β,过m作平面γ交平面β于直线l,则m∥l,又n∥m,∴n∥l,又 C.若α∥β,m∥α,m∥n,则n∥β n⊄β,l⊂β,∴n∥β. D.若α∥β,m∥α,n∥m,n⊄β,则n∥β 关闭 (1)D 思考(2)D 如何借助几何模型来找平行关系?
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5.如图所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱 CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其 内部运动,则M满足条件 时,有MN∥平面 B1BDD1.
关闭
由题意易知平面HNF∥平面B1BDD1知,当M点满足在线段FH上有MN∥平 面B1BDD1.
解析 答案
第八章
考点1 考点2 考点3
8.4
直线、平面平行的判定与性质
知识梳理 核心考点
-12-
解题心得线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现,处 理方法是数形结合,画图或结合正方体等有关模型来解题.
关闭
(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
答案
第八章
知识梳理 双基自测
8.4
直线、平面平行的判定与性质
知识梳理 核心考点
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2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,下列结论中,正确的是 (填序号). ①AD1∥BC1; ②平面AB1D1∥平面BDC1; ③AD1∥DC1; ④AD1∥平面BDC1.
解析
答案
第八章
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8.4
直线、平面平行的判定与性质
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关闭
它们平行于平面 DC ,D1C1,A1B1 ABP
解析 答案
第八章
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8.4
直线、平面平行的判定与性质
知识梳理 核心考点
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4.(教材习题改编P62TA3)在四面体ABCD中,M,N分别是平面 △ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是 .
关闭
如图,连接 AM 并延长交 CD 于 E,连接 BN 并延长交 CD 于 F,由重心性质可知,E,F 重合为一点,且该点为 CD 的中点 E,由
8.4 直线、平面平行的判定与性质
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知识梳理 双基自测
8.4
直线、平面平行的判定与性质
知识梳理 核心考点
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1.直线与平面平行的判定与性质
判 定义 图形 条件 a∩α=⌀ a⊂α,b⊄α,a∥b 结论 a∥α b∥α 定 定理 性 质
a ∥α
a∥α,a⊂β,α∩β=b a ∥b
a∩α=⌀
第八章
知识梳理 双基自测
8.4
直线、平面平行的判定与性质
知识梳理 核心考点
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3.常用结论 (1)两个平面平行的有关结论 ①垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β. ②平行于同一平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ. (2)在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则会出现 错误.
第八章
知识梳理 双基自测
8.4
直线、平面平行的判定与性质
知识梳理 核心考点
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2.面面平行的判定与性质
判 定义 图形 条件 α∩β=⌀ 结论 α∥β 定 定理 性 质
a⊂β,b⊂β,a∩b=P, α∥β,α∩γ=a, α∥β,a⊂β β∩γ=b a∥α,b∥α ____________
α∥β a∥b a∥α
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8.4
直线、平面平行的判定与性质
知识梳理 核心考点
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3.已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1棱DD1上任意一点(不与端点重 合),则在正方体的12条棱中,与平面ABP平行的直线 是 .
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DC,D1C1,A1B1均平行于直线AB,依据直线与平面平行判定定理,均可证明
第八章
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8.4
直线、平面平行的判定与性质
知识梳理 核心考点
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1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于 这个平面.( ) (2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的 任一条直线.( ) (3)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.( ) (4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平 面平行.( ) (5)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行 或异面.( )
关闭
①②④
答案
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8.4
直线、平面平行的判定与性质
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解析 因为 AB������C1D1,
所以四边形AD1C1B为平行四边形. 故AD1∥BC1,从而①正确; 易证BD∥B1D1,AB1∥DC1, 又AB1∩B1D1=B1,BD∩DC1=D, 故平面AB1D1∥平面BDC1,从而②正确; 由图易知AD1与DC1异面,故③错误; 因AD1∥BC1,AD1⊄平面BDC1,BC1⊂平面BDC1, 故AD1∥平面BDC1,故④正确.
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M∈线段FH
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第八章
考点1 考点2 考点3
8.4
直线、平面平行的判定与性质
知识梳理 核心考点
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考点 1
线面平行、面面平行的基本问题
例1(1)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题 中正确的是( ) 关闭 A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n (1)A ,m 与 m n可平行、可异面 C.中 若 ⊥n n可相交、可异面、可平行 ,m⊂α,n⊂β,则α⊥β D.若;B m中 ⊥,α ,与 m∥ n,n∥β,则α⊥β ;C中,若 (2) 设m,n表示不同直线 ββ 表示不同平面 ,则下列结论中正确的是 α∥ β,仍然可满足 m⊥n,m⊂α,,α n, ⊂ ,故C错误;故D正确 . ( ) ,n有可能在平面α内;B错误,平面α有可能与平面β相交;C错误,n也 (2)A错误 A.若m∥α,m∥n,则n∥α 有可能在平面β内;D正确,易知m∥β或m⊂β,若m⊂β,又n∥m,n⊄β,∴n∥β,若 B.若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β m∥β,过m作平面γ交平面β于直线l,则m∥l,又n∥m,∴n∥l,又 C.若α∥β,m∥α,m∥n,则n∥β n⊄β,l⊂β,∴n∥β. D.若α∥β,m∥α,n∥m,n⊄β,则n∥β 关闭 (1)D 思考(2)D 如何借助几何模型来找平行关系?
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5.如图所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱 CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其 内部运动,则M满足条件 时,有MN∥平面 B1BDD1.
关闭
由题意易知平面HNF∥平面B1BDD1知,当M点满足在线段FH上有MN∥平 面B1BDD1.
解析 答案
第八章
考点1 考点2 考点3
8.4
直线、平面平行的判定与性质
知识梳理 核心考点
-12-
解题心得线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现,处 理方法是数形结合,画图或结合正方体等有关模型来解题.
关闭
(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
答案
第八章
知识梳理 双基自测
8.4
直线、平面平行的判定与性质
知识梳理 核心考点
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2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,下列结论中,正确的是 (填序号). ①AD1∥BC1; ②平面AB1D1∥平面BDC1; ③AD1∥DC1; ④AD1∥平面BDC1.
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高考数学一轮总复习课件：直线、平面平行的判定及性质
∴平面MNP∥平面AA1B1B.
又∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.
【答案】 略
(2)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作 平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
【证明】 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO， 因为四边形ABCD是平行四边形，
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列结论中，正确的是 __①_②__④___．
①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1； ④AD1∥平面BDC1.
解析 连接AD1，BC1，
因为AB綊C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，
故AD1∥BC1，从而①正确； 易证BD∥B1D1，AB1∥DC1， 又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D， 故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确； 由图易知AD1与DC1异面，故③错误； 因AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，故AD1∥平
因为A1G与EB平行且相等， 所以四边形A1EBG是平行四边形．所以A1E∥GB. 因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， 所以A1E∥平面BCHG. 因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG. 【答案】 (1)略 (2)略
【讲评】 要证四点共面，只需证GH∥BC即可；要证面面 平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行，注 意“线线平行”“线面平行”“面面平行”之间的相互转化．
∵BD＝B1C，DN＝CM， ∴B1M＝BN.
∵△MEB1∽△CBB1，∴
ME CB
＝
B1M B1C
，又
∵△NFB∽△DAB，DNAF ＝BBND，
2018届高考数学文一轮课标通用课件：29直线、平面平行
66 .直 线、平 面平行 的判定 与性质
高考示例 考查频度 考情分析 2017 课标Ⅲ,文 10 2016 课标Ⅰ,文 1 .高频考 ★★★★☆ 11 向:线线 2016 课标Ⅱ,文 5 年 4 考 垂直、线 19 面平行的 2015 课标Ⅱ,文 证明. 19 2 .低频考 2017 课标Ⅰ,文 向:面面 6 平行和面 2016 课标Ⅲ,文 ★★★☆☆ 面垂直的 19 5 年 3 考 证明. 2014 课标Ⅱ,文 18
1 4
由此得 EF⊥HD, EF ⊥HD', 所以 AC⊥HD'. (2)由 EF∥AC 得
������������ ������������
=
= .
由 AB=5, AC=6 得 DO=BO= ������������ 2 -������������ 2=4. 所以 OH=1, D'H=DH=3. 于是 OD'2 +OH2 =(2 2)2 +12 =9=D'H2 , 故 OD'⊥OH.
3 2
B.
2 2
C.
3 3
D.
1 3
∴m,n 所成的角的正弦值为 .
3 2
考点65
考点66
考点67
试做真题
高手必备 萃取高招 对点精练
(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移, 补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF∥平面CB1D1,所以 平面AEF即为平面α,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为 m与n所成的角. 因为△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°, 3 故m,n所成角的正弦值为 2 .
考点65
考点66
考点67
试做真题
2018年高考数学(人教A版)一轮复习课件：7.4直线、平面平行的判定及其性质
(1)已知AB=BC,AE=EC.求证:AC⊥FB. (2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH∥平面ABC.
【解题提示】(1)利用线线垂直判断线面垂直,再由线 面垂直的性质证明线线垂直. (2)找FC中点I,连接GI,HI,构造面面平行,进而证明线 面平行.
【规范解答】(1)连接ED,因为AB=BC,AE=EC,D为AC中点, 所以AC⊥DE,AC⊥DB,DE∩DB=D,又EF∥DB,所以E,F,B,D 四点共面,所以AC⊥平面EFBD,所以AC⊥FB.
同理可得:CD1∥n.故m,n所成角的大小与B1D1,CD1所成 角的大小相等,即∠CD1B1的大小. 而B1C=B1D1=CD1(均为面对角线),
3 因此∠CD1B1= ,即sin∠CD1B1= . 2 3
4.(2017·太原模拟)若a,b,c为三条不同的直线,
α ,β ,γ 为三个不同的平面,则下列命题正确的为
所以a∥b
【特别提醒】 1.两个平面平行的有关结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若 a⊥α ,a⊥β ,则α ∥β . (2)平行于同一平面的两个平面平行,即若 α ∥ β , β ∥ γ ,则 α ∥ γ .
2.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否 则会出现错误.
【小题快练】 链接教材 练一练 ( )
考点一
直线与平面平行的判定与性质
【考情快递】
命题角度 命题视角
证明直线与平面 主要考查利用线面平行的判定定理或利用
平行
面面平行的性质证明线面平行
线面平行性质定 主要考查利用线面平行性质定理得出线线
理的应用
平行,进而求解其他问题
【考题例析】 命题角度1:证明直线与平面平行 【典例1】(2016·山东高考)在如图所示的几何体中,D 是AC的中点,EF∥DB.
2018届高三高考数学复习课件：8-4直线、平面平行的判定与性质
由已知可得 OB＝4 2， PO＝ PB2－OB2＝ 68－32＝6， 所以 GK＝3. GH＋EF 故四边形 GEFH 的面积 S＝ ·GK 2 4 ＋8 ＝ 2 ×3＝18.
【思维升华】 判断或证明线面平行的常用
方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α， a∥b⇒a∥α)；
§8.4 直线、平面平行的判定与性质
1．线面平行的判定定理和性质定理
2.面面平行的判定定理和性质定理
【知识拓展】 重要结论：
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若
a⊥α，a⊥β，则α∥β； (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 a⊥α，b⊥α，则a∥b； (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若
因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， 所以 PM⊥AD，PM⊥底面 ABCD. 因为 CM⊂底面 ABCD，所以 PM⊥CM. 设 BC＝x，则 CM＝x，CD＝ 2x，PM＝ 3x，PC＝PD＝2x. 如图，取 CD 的中点 N，连接 PN，则 PN⊥CD， 14 所以 PN＝ 2 x.
1 14 因为△PCD 的面积为 2 7，所以2× 2x× 2 x＝2 7， 解得 x＝－2(舍去)或 x＝2. 于是 AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2 3. 1 2（2＋4） 所以四棱锥 PABCD 的体积 V＝3× ×2 3＝4 3. 2
(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：GH∥平面PAD.
【证明】 (1)连接 EC， 1 ∵AD∥BC，BC＝2AD， ∴BC 綊 AE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴O为AC的中点． 又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，
2018届高考数学一轮复习直线平面平行的判定与性质课件人教A版
2．三种平行关系的转化图
1 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝2AD， E，F，H 分别为线段 AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点， G 是线段 OF 上一点．
(1)求证：AP∥平面 BEF； (2)求证：GH∥平面 PAD.
1 证明：(1)连接 EC，∵AD∥BC，BC＝2AD，
[典题 1]
正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB，
在 AE，BD 上各一点 P，Q，且 AP＝DQ.求证：PQ∥平面 BCE.
[证明]
证法一：如图所示．作 PM∥AB 交 BE 于点 M，作
QN∥AB 交 BC 于点 N，连接 MN.
∵正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB， ∴AE＝BD. 又 AP＝DQ，∴PE＝QB. 又 PM∥AB∥QN， PM PE QB QN QB ∴ ＝ ＝ ， ＝ . AB AE BD DC BD PM QN ∴ ＝ . AB DC ∴PM 綊 QN，即四边形 PMNQ 为平行四边形，
平行 ． 平面 AB1C 与平面 A1DC1 的位置关系是________
相交直线与另一个 定 ________
图形表示
符号表示 a⊂α，b⊂α， a∩b＝P，a∥ β， b∥β⇒α∥β
定 平面平行，则这两 理 个平面平行
两个平面平行，则 其中一个平面内的
α ∥β ，a ⊂α ⇒a∥β α ∥β ， α∩γ＝a， β ∩γ ＝ b ⇒a∥b
平行 于另 性 直线________
§8.4 直线、平面平行的判定与性质
考纲展示► 1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理 解空间中线面平行的有关性质与判定定理． 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平 行关系的简单命题．
2018届高三数学理一轮总复习江苏专用课件：第八章第四节 直线、平面平行的判定及其性质 精品
2．面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条 件．
3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易 误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．
[小题纠偏] 1．直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：
①若m∥n，n∥α，则m∥α； ②若m∥β，α∥β，则m∥α； ③若m⊥n，n⊥α，则m∥α； ④若m⊥β，α⊥β，则m∥α. 其中正确命题的个数是________．
①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无 数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个 平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有 一个平面和已知直线平行；④如果直线 l 和平面 α 平行， 那么过平面 α 内一点和直线 l 平行的直线在 α 内．
解析：由线面平行的性质定理知①④正确；由直线与平面 平行的定义知②正确；③错误，因为经过一点可作一直线 与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面． 答案：①②④
2．(教材习题改编)已知平面α∥平面β，直线a⊂α，有下列 命题： ①a与β内的所有直线平行； ②a与β内无数条直线平行； ③a与β内的任意一条直线都不垂直． 其中真命题的序号是________．
答案：②
3.( 教 材 习 题 改 编 ) 如 图 所 示 ，在 四 面 体 ABCD 中，M，N 分别是△ACD，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与 MN 平 行的是________．
解析：由a∥α，b∥α，得a与b平行、相交或异面，所以①错 误；由a⊄α，可得a与α相交或平行，所以②错误；由a∥α，b ⊂α，得a与b异面或平行，所以③错误；易知④正确． 答案：1
[题组练透] 1．(易错题)已知直线 a 与直线 b 平行，直线 a 与平面 α 平
行，则直线 b 与 α 的位置关系是________． 解析：依题意，直线 a 必与平面 α 内的某直线平行， 又 a∥b，因此直线 b 与平面 α 的位置关系是平行或直 线 b 在平面 α 内． 答案：平行或直线 b 在平面 α 内
3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易 误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．
[小题纠偏] 1．直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：
①若m∥n，n∥α，则m∥α； ②若m∥β，α∥β，则m∥α； ③若m⊥n，n⊥α，则m∥α； ④若m⊥β，α⊥β，则m∥α. 其中正确命题的个数是________．
①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无 数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个 平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有 一个平面和已知直线平行；④如果直线 l 和平面 α 平行， 那么过平面 α 内一点和直线 l 平行的直线在 α 内．
解析：由线面平行的性质定理知①④正确；由直线与平面 平行的定义知②正确；③错误，因为经过一点可作一直线 与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面． 答案：①②④
2．(教材习题改编)已知平面α∥平面β，直线a⊂α，有下列 命题： ①a与β内的所有直线平行； ②a与β内无数条直线平行； ③a与β内的任意一条直线都不垂直． 其中真命题的序号是________．
答案：②
3.( 教 材 习 题 改 编 ) 如 图 所 示 ，在 四 面 体 ABCD 中，M，N 分别是△ACD，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与 MN 平 行的是________．
解析：由a∥α，b∥α，得a与b平行、相交或异面，所以①错 误；由a⊄α，可得a与α相交或平行，所以②错误；由a∥α，b ⊂α，得a与b异面或平行，所以③错误；易知④正确． 答案：1
[题组练透] 1．(易错题)已知直线 a 与直线 b 平行，直线 a 与平面 α 平
行，则直线 b 与 α 的位置关系是________． 解析：依题意，直线 a 必与平面 α 内的某直线平行， 又 a∥b，因此直线 b 与平面 α 的位置关系是平行或直 线 b 在平面 α 内． 答案：平行或直线 b 在平面 α 内
高考数学一轮复习---直线、平面平行的判定与性质
直线、平面平行的判定与性质一、基础知识1．直线与平面平行的判定定理和性质定理2．平面与平面平行的判定定理和性质定理二、常用结论平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．三、考点解析考点一直线与平面平行的判定与性质考法(一)直线与平面平行的判定例、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．求证：MN∥平面BB1C1C.考法(二)线面平行性质定理的应用例、如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.跟踪训练1．已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM＝2MC.求证：BM∥平面P AD.3.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和P A作平面P AHG交平面BMD于GH.求证：P A∥GH.考点二平面与平面平行的判定与性质例、如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.变式练习：1.(变结论)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.课后作业1．已知直线额a与直线b平行，直线a与平面α平行，则直线b与α的关系为()A．平行B．相交C．直线b在平面α内D．平行或直线b在平面α内2．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中（）A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线3．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF的位置关系是()A．平行B．相交C．在平面内D．不能确定4．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α5.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH所在四边形的面积为定值；③棱A1D1始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．其中正确命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．46.如图，平面α∥平面β，△P AB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________.7．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．8．在三棱锥PABC中，PB＝6，AC＝3，G为△P AC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．9.如图，E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点．求证：10．如图，在四棱锥PABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，P A⊥平面ABCD，P A＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．(1)求证：平面CMN∥平面P AB；(2)求三棱锥PABM的体积．提高训练1.如图，四棱锥PABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC＝4，M为线段AD 上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)求证：MN∥平面P AB；(2)求四面体NBCM的体积．2.如图所示，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.。
高考数学大一轮复习.3直线平面平行的判定与性质课件
判定 垂直于同一条直线的两个平面平行
定理
符号语言
a
b
a b P
a
b
⇒α∥β
l ⇒α∥β
l 2Leabharlann 判定 平行于同一个平面的两个平面平
定理 行
3
⇒α∥γ
性质
如果两个平面平行,那么在一个平面
定理
内的所有直线都平行于另一个平面
点,E,F分别为B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形;
(2)求证:平面AMN∥平面EFDB.
解题导引
证明
(1)连接B1D1.
∵在△B1D1C1中,E,F分别是B1C1,C1D1的中点,
1
2
∴EF∥B1D1且EF= B1D1.
又易证在正方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形BDD1B1是矩形,∴BD B1D1.
那么PM∥平面BCE,
∵PM∥BE,∴ = ,
AP
PE
AM
MB
又AE=BD,AP=DQ,
∴PE=BQ,
∴
AP DQ
AM DQ
=
,∴
=
,
PE BQ
MB QB
∴MQ∥AD,又AD∥BC,
∴MQ∥BC,又MQ⊄平面BCE,BC⊂平面BCE,∴MQ∥平面BCE,又PM∩
MQ=M,
∴平面PMQ∥平面BCE,
1.利用定义,证明直线a与平面α没有公共点,一般结合反证法来证
明,这
时“平行〞的否认应是“在平面内〞或“相交〞两种,只有排除这
两种
位置关系后才能得出“直线a与平面α平行〞这一结论.
2018高考数学文全国大一轮复习课件：第七篇 立体几何
③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
④若直线a与平面α 内无数条直线平行,则a∥α . ⑤空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,则EF∥平面BCD.
⑥若α ∥β ,直线a∥α ,则a∥β .
答案:⑤
考点专项突破
考点一 与平行相关命题的判断
在讲练中理解知识
【例1】 已知m,n是两条不同直线,α ,β ,γ 是三个不同平面,下列命题 中正确的是( ) (A)若m∥α ,n∥α ,则m∥n (B)若m∥n,n⊂α ,则m∥α (C)若m∥α ,m∥β ,则α ∥β (D)若α ∥β ,α ∥γ ,则β ∥γ 解析: m,n平行于α,m,n可以相交也可以异面,如图中正方体的棱A1B1, B1C1 都与底面 ABCD 平行 , 但这两条棱相交 , 故选项 A 不正确 ; 在正方体 中,AB∥A1B1,A1B1⊂平面A1B1BA,而AB不平行于平面 A1B1BA, 故选项B错;正 方体的棱 B1C1既平行于平面ADD1A1,又平行于平面 ABCD,但这两个平面是 相交平面 ,故选项 C 不正确 ; 由平面与平面平行的传递性 ,得选项 D 正确 . 故选D.
第 4节
直线、平面平行的判定与性质
最新考纲 1.理解直线与平面平行、平面与
2.能运用公理、定理和已获得的 结论证明一些与平行相关的命题.
平面平行的判定定理及性质定理.
知识链条完善 考点专项突破 解题规范夯实
知识链条完善
【教材导读】
把散落的知识连起来
1.若直线a与平面α 内无数条直线平行是否有a∥α ? 提示:不一定,有可能a⊂α.
α ∥β
(2)性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果两个平行平面同时和第三个平面 相交,那么它们的交线 平行 (简记为 “面面平行⇒ 线线平行”)
高考数学一轮复习第六章第四讲直线、平面平行的判定与性质课件
【名师点睛】平行关系中的重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a⊥α，a⊥β，则 α∥β.
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 a⊥α，b⊥α，则 a∥b.
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则 α∥γ.
(4)垂直于同一平面的两个平面不一定平行，平行于同一直线 的两个平面不一定平行.
∴GH∥B1C1. 又 B1C1∥BC，∴GH∥BC. ∵GH 平面 ABC，BC⊂平面 ABC， ∴GH∥平面 ABC.
(2)∵在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点， ∴EF∥BC，A1G BE，
∴四边形 BGA1E 是平行四边形，∴A1E∥BG. ∵A1E 平面 BCHG，BG⊂平面 BCHG， ∴A1E∥平面 BCHG.同理 EF∥平面 BCHG. 又 A1E∩EF＝E， ∴平面 EFA1∥平面 BCHG.
(1)求证：EF∥平面β； (2)若 E，F 分别是 AB，CD 的中点，AC＝4， BD＝6，且 AC，BD 所成的角为 60°，求 EF 的 长.
图 6-4-9
(1)证明：①当 AB，CD 在同一平面内时，由平面α∥平面β， 平面α∩平面 ABDC＝AC，平面β∩平面 ABDC＝BD，知 AC∥BD.
图 6-4-1
(1)证明：如图 6-4-2，记 AC 与 BD 的交点为 O，连接 OE.
图 6-4-2 因为 O，M 分别为 AC，EF 的中点，四边形 ACEF 是矩形， 所以四边形 AOEM 是平行四边形，所以 AM∥OE.
又因为 OE⊂平面 BDE，AM 平面 BDE，
所以 AM∥平面 BDE.
2.如图 6-4-7，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边 形，M 是 AD 的中点.过点 M 且平行于平面 PCD 的平面交棱 PB于 点 E.求PEEB的值.