指数函数对数函数幂函数的图像和性质知识点总结完整版
指数对数幂函数知识点总结_驻点销售工作总结
指数对数幂函数知识点总结_驻点销售工作总结指数、对数、幂函数是高中数学中常见的函数类型，也是大学数学的基础。
本文将从定义、性质、图像、求导等方面对这三类函数进行总结。
一、指数函数1. 定义：指数函数（exponential function）是以自然常数e为底，自变量为幂的函数，形如y=ae^x。
其中，a为实数，x为自变量，e为自然常数，其值约为2.71828。
2. 性质：（1）指数函数的值域为(0, +∞)，因为e的幂值为正或零。
（2）指数函数在x轴上有一个水平渐近线，当x趋近负无穷时，y趋近于0。
（3）指数函数是增函数，当a>1时，增长速度比x慢；当0<a<1时，增长速度比x快。
（4）指数函数的导数等于其本身：(e^x)’=e^x。
3. 图像：指数函数的图像呈现出增长迅速的指数曲线，当a>1时，函数图像上升缓慢，当a<1时，函数图像上升更加迅速。
其中，a为底，x为真数，y为幂次。
（2）对数函数在a>1时为增函数，在0<a<1时为减函数，在a=1时为常函数。
（3）对数函数的导数公式为ln’x=1/x，其中ln表示以自然常数e为底的对数函数。
对数函数的图像与指数函数的图像y=e^x互为反函数，其自变量和值域互换，因此对数函数表现为一个增长缓慢的曲线。
当底数a趋近于1时，函数的图像趋近于一条水平的直线。
三、幂函数（1）当a>1时，幂函数是增函数；当0<a<1时，幂函数是减函数；当a=0时，函数恒为1；当a<0时，函数在定义域内不是函数，因为幂次为偶数时函数为非负数，而幂次为奇数时函数为正负数。
（2）幂函数的导数公式为(ax^a-1)’=a^2x^a-2，其中a为常数，x为自变量。
总之，指数、对数、幂函数在数学领域中有着重要的地位。
它们不仅是高中数学的重点，也是大学数学的基础。
对于从事数理科学的人员来说，了解这些函数的性质和应用是必不可少的。
幂函数、指数函数与对数函数(解析版))
幂函数、指数函数与对数函数知识方法扫描一、指数函数及其性质形如y =a x (a >0,a ≠1)的函数叫作指数函数，其定义域为R ，值域为(0,+∞)．当0<a <1时，y =a x 是减函数，当a >1时，y =a x 为增函数，它的图像恒过定点(0,1)．二、分数指数幂a 1n=na ,a m n=n a m ,a -n=1an ,a -mn =1na m三、对数函数及其性质对数函数y =log a x (a >0,a ≠1)的定义域为(0,+∞)，值域为R ，图像过定点(1,0)．它是指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的反函数，所有性质均可由指数函数的性质导出．当0<a <1时，y =log a x 为减函数，当a >1时，y =log a x 为增函数．四、对数的运算性质(M >0,N >0)(1)a log M a =M (这是定义)；(2)log a (MN )=log M a +log a N ；(3)log a MN=log a M -log a N ；(4)log a M n =n log a M ；(5)log a b =log c blog c a (a ,b ,c >0,a ,c ≠1)(换底公式)．由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论：1)log a mb n =n m log a b ；2)log a b =1log b a．典型例题剖析1已知x 1是方程x +lg x =10的根，x 2是方程x +10x =10的根，求x 1+x 2的值．【解法1】由题意得lg x 1=10-x 110x 2=10-x 2，表明x 1是函数y =lg x 与y =10-x 的交点的横坐标，x 2是函数y =10x 与y =10-x 的交点的横坐标．因为y =lg x 与y =10x 互为反函数，其图像关于y =x 对称，由y =10-x y =x 得，x =5y =5 ，所以x 1+x 22=5，所以x 1+x 2=10．【解法2】构造函数f (x )=x +lg x ，由x 1+lg x 1=10知f x 1 =10，x 2+10x 2=10即10x 2+lg10x 2=10，则f 10x 2 =10，于是f x 1 =f 10x 2 ，又f (x )为(0,+∞)上的增函数，故x 1=10x 2，x 1+x 2=10x 2+x 2=10．【解法3】由题意得x 1=1010-x 110-x 2=10x 2，两式相减有x 1+x 2-10=1010-x 1-10x 2．若x 1+x 2-10>0，则1010-x 1-10x 2>0，得10-x 1>x 2，矛盾；若x 1+x 2-10<0，则1010-x 1-10x 2<0，得10-x 1<x 2，矛盾；而当x 1+x 2=10时，满足题意．【评注】解法1巧妙地利用了数形结合的方法，解法2巧妙地利用了函数的单调性，解法3巧妙地利用了反证法的技巧．2已知a >0，b >0，log9a =log 12b =log 16(a +b )，求ba的值．【解法1】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．由于9k ×16k =12k 2故(a +b )a =b 2，解得：b a =1+52(负根舍去)．【解法2】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．b a =12k 9k =43 k ，而9k +12k =16k，故1+12k 9k =16k 9k ，即43 k 2-43 k -1=0，故b a =43 k =1+52(负根舍去)．【评注】对数运算和指数运算互为逆运算，有关对数的运算和处理，往往可以转化为指数的运算和处理．3已知函数f (x )=1x +1+log 13x 2-x，试解不等式f x x -12 >12．【分析】本题为分式不等式与对数不等式混合．初看不易解决，但可以发现该函数在其定义域内单调递减，这是本题的解题关键．【解】易证函数y =f (x )在其定义域(0,2)内是单调减函数．并且f (1)=12，所以原不等式即为f x x -12 >f (1)等价于x x -12 <10<x x -12 <2⇒ x 12<x <1+174或1-174<x <0 ．【评注】利用函数单调性解决不易入手的不等式是一种常用方法．4设方程lg (kx )=2lg (x +1)仅有一个实根，求k 的取值范围．【分析】本题要注意函数的定义域．【解法1】当且仅当kx >0①x +1>0②x 2+(2-k )x +1=0③时原方程仅有一个实根，对方程③使用求根公式，得x 1,x 2=12k -2±k 2-4k ④Δ=k 2-4k ≥0⇒k <0或k ≥4．当k <0时，由方程③，得x 1+x 2=k -2<0,x 1x 2=1>0,所以x 1，x 2同为负根．又由方程程④知x 1+1>0,x 2+1<0,所以原方程有一个解x 1．当k =4时，原方程有一个解x =k2-1=1．当k >4时，由方程③，得x 1+x 2=k -2>0,x 1x 2=1>0. 所以x 1，x 2同为正根，且x 1≠x 2，不合题意，舍去．综上所述可得k <0或k =4为所求．【解法2】由题意，方程kx =(x +1)2，也即方程k =x +1x+2在满足关于x 的不等式kx >0x +1>0 的范围内有唯一实数根，以下分两种情况讨论：(1)当k >0时，k =x +1x +2在x >0范围内有唯一实数根，则有k =4；(2)当k <0时，k =x +1x+2在-1<x <0范围内有唯一实数根，则有k <0．综上可得k <0或k =4为所求．【评注】本题实质上是一道一元二次方程问题．5解不等式：log 12(x +3x )>log 64x ．【分析】若考虑到去根号，可设x =y 6(y >0)，原不等式变为log 12y 3+ y 2 >log 6446=log 2y ，即2log 12y +log 2(y +1)>log 2y ，陷入困境．原不等式即6log 12(x +3x )>log 2x ⇒2log 12x +log 121+x166>log 2x ，设t =log 2x ，则log 12x =1log x12=12log x 2+log x 3，同样陷入困境．下面用整体代换y =log 64x ．【解】设y =log 64x ，则x =64y，代人原不等式，有log 128y +4y >y ，8y +4y >12y，23 y +13 y >1，由指数函数的单调性知y =log 64x <1，则0<x <64．故原不等式的解集为(0,64)．6已知1<a ≤b ≤c 证明：log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c ．【证法1】注意到log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c=ln b ln a +ln c ln b +ln a ln c -ln a ln b+ln b ln c +ln c ln a =ln 2b ln c +ln 2c ln a +ln 2a ln b -ln 2b ln a +ln 2c ln b +ln 2a ln c ln a lnb ln c=-(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )ln a ln b ln c．【证法2】设log b a =x ，log c b =y ，则log a c =1xy ，于是原不等式等价于x +y +1xy ≤1x +1y+xy ，即x 2y +xy 2+1≤y +x +x 2y 2，即xy (x +y )-(x +y )+1-x 2y 2 ≤0，也即(x +y -1-xy )(xy -1)≤0也即(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，由1<a ≤b ≤c 知x ≥1,y ≥1，所以(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，得证．因为1<a ≤b ≤c ，所以ln a ln b ln c >0，(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )≥0所以log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c ≤0即log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c °【评注】若令x =ln a ，y =ln b ，z =ln c 则原不等式等价于：设0<x ≤y ≤z ，求证：x 2y +y 2z +z 2x ≤xy 2+yz 2+zx 2．7设函数f (x )=|lg (x +1)|，实数a ，b (a <b )满足f (a )=f -b +1b +2，f (10a +6b +21)=4lg2，求a 、b 的值．【分析】利用已知条件构建关于a 、b 的二元方程组进行求解．【解】因为f (a )=f -b +1b +2 ，所以|lg (a +1)|=lg -b +1b +2+1 =lg 1b +2=|lg (b +2)|所以，a +1=b +2或(a +1)(b +2)=1，又因为a <b ，所以a +1≠b +2，所以(a +1)(b +2)=1又由于0<a +1<b +1<b +2，于是0<a +1<1<b +2，所以(10a +6b +21)+1=10(a +1)+6(b +2)=6(b +2)+10b +2>1，从而f (10a +6b +21)=lg 6(b +2)+10b +2=lg 6(b +2)+10b +2，又f (10a +6b +21)=4lg2，所以lg 6(b +2)+10b +2 =4lg2，故6(b +2)+10b +2=16．解得b =-13或b =-1(舍去)．把b =-13代故(a +1)(b +2)=1，解得a =-25．所以，a =-25,b =-13．同步训练一、选择题1已知a 、b 是方程log 3x 3+log 27(3x )=-43的两个根，则a +b =()．A.1027B.481C.1081D.2881【答案】C ．【解析】原方程变形为log 33log 3(3x )+log 3(3x )log 327=-43，即11+log 3x +1+log 3x 3=-43．令1+log 3x =t ，则1t +t 3=-43，解得t 1=-1,t 2=-3．所以1+log 3x =-1或1+log 3x =-3，方程的两根分别为19和181，所以a +b =1081．故选C ．2已知函数f (x )=1a x -1+12x 2+bx +6(a ,b 为常数，a >1)，且f lglog 81000 =8，则f (lglg2)的值是()．A.8 B.4 C.-4 D.-8【答案】B ．【解析】由已知可得f lglog 81000 =f lg33lg2=f (-lglg2)=8，又1a -x -1+12=a x 1-a x +12=-1+11-a x +12=-1a x -1-12，令F (x )=f (x )-6，则有F (-x )=-F (x )．从而有f (-lglg2)=F (-lglg2)+6=-F (lglg2)+6=8，即知F (lglg2)=-2，f (lglg2)=F (lglg2)+6=4．3如果f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364，则使f (x )<0的x 的取值范围为()．A.0<x <1 B.1<x <83C.x >1D.x >83【答案】B ．【解析】显然x >0，且x ≠1．f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364=1-log x 2+log x 3-log x 4=log x 38x ．要使f (x )<0．当x >1时，38x <1，即1<x <83；当0<x <1时，38x >1，此时无解．由此可得，使得f (x )<0的x 的取值范围为1<x <83．应选B ．4若f (x )=lg x 2-2ax +a 的值域为R ，则a 的取值范围是()．A.0<a <1 B.0≤a ≤1 C.a <0或a >1 D.a ≤0或a ≥1【答案】D ．【解析】由题目条件可知，(0,+∞)⊆y |y =x 2-2ax +a ，故Δ=(-2a )2-4a ≥0，解得a ≤0或a ≥1．选D ．二、填空题5设f (x )=log 3x -4-x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是．【答案】[3,4]．【解析】定义域(0,4]．在定义域内f (x )单调递增，且f (3)=0．故f (x )≥0的x 的取值范围为[3,4]．6设0<a <1，0<θ<π4，x =(sin θ)log asin θ，y =(cos θ)log atan θ，则x 与y 的大小关系为．【答案】x <y ．【解析】根据条件知，0<sin θ<cos θ<1，0<sin θ<tan θ<1，因为0<a <1，所以f (x )=log a x 为减函数，所以log a sin θ>log a tan θ>0，于是x =(sin θ)log a sin θ<(sin θ)log a tan θ<(cos θ)log a tan θ=y .7设f (x )=12x +5+lg 1-x 1+x ，则不等式f x x -12<15的解集为．【答案】1-174,0 ∪12,1+174．【解析】原不等式即为f x x -12<f (0)．因为f (x )的定义域为(-1,1)，且f (x )为减函数．所以-1<x x -12 <1x x -12 >0.解得x ∈1-174,0∪12,1+174．8设f (x )=11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x ，则f (x )+f 1x =．【答案】3．【解析】f (x )+f 1x =11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x +11+2-lg x +11+4-lg x +11+8-lg x =3．三、解答题9已知函数f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)的反函数是y =f -1(x )，而且函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称．(1)求函数y =g (x )的解析式；(2)若函数F (x )=f -1(x )-g (-x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，求a 的取值范围．【解析】(1)由f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)，得f -1(x )=log a (x -3a )．又函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称，则g (a +x )=-f -1(a -x )，于是，g (x )=-f -1(2a -x )=-log a (-x -a )，(x <-a )．(2)由(1)的结论，有F (x )=f -1(x )-g (-x )=log a (x -3a )+log a (x -a )．要使F (x )有意义，必须满足x -3a >0,x -a >0. 又a >0，故x >3a ．由题设F (x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，所以a +2>3a ，即a <1．于是，0<a <1．10设f (x )=log a (x -2a )+log a (x -3a )，其中a >0且a ≠1．若在区间[a +3,a +4]上f (x )≤1恒成立，求a 的取值范围．【解析】f (x )=log a x 2-5ax +6a 2=log a x -5a 2 2-a 24．由x -2a >0x -3a >0, 得x >3a ，由题意知a +3>3a ，故a <32，从而(a +3)-5a 2=-32(2-a )>0，故函数g (x )=x -5a 2 2-a 24在区间[a +3,a +4]上单调递增．若0<a <1，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递减，所以f (x )在区间[a +3，a +4]上的最大值为f (a +3)=log a 2a 2-9a +9 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式loglog a 2a 2-9a +9 ≤1恒成立，从而2a 2-9a +9≥a ，解得a ≥5+72或a ≤5-72．结合0<a <1，得0<a <1．若1<a <32，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递增，所以f (x )在区间[a +3,a +4]，上的最大值为f (a +4)=log a 2a 2-12a +16 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式log a 2a 2-12a +16 ≤1恒成立，从而2a 2-12a +16≤a ，即2a 2-13a +16≤0，解得13-414≤a ≤13+414．易知13-414>32，所以不符合．综上所述，a 的取值范围为(0,1)．11解方程组x x +y=y 12y x +y =x 3，(其中x ,y ∈R * ．【解析】两边取对数，则原方程组可化为(x +y )lg x =12lg y ①(x +y )lg y =3lg x ②把式①代入式②，得(x +y )2lg x =36lg x ，所以(x +y )2-36 lg x =0．由lg x =0，得x =1；代入式①，得y =1．由(x +y )2-36=0x ,y ∈R * 得x +y =6．代入式①得lg x =2lg y ，即x =y 2，所以y 2+y -6=0．又y >0，所以y =2,x =4．所以方程组的解为x 1=1y 1=1 ，x 2=4y 2=2 ．12已知f (x )=lg (x +1)-12log 3x ．(1)解方程f (x )=0；(2)求集合M =n f n 2-214n -1998 ≥0,n ∈Z 的子集个数．【解析】(1)任取0<x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =lg x 1+1 -lg x 2+1 -12log 3x 1-log 3x 2=lgx 1+1x 2+1-12log 3x 1x 2=lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2，因为x 1+1x 2+1>x 1x 2，所以lg x 1+1x 2+1>lg x 1x 2．故f x 1 -f x 2 =lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2>lg x 1x 2-lg x1x 2lg9，因为0<lg9<1，lg x 1x 2<0，所以f x 1 -f x 2 >lg x 1x 2-lg x1x 2=0，f (x )为(0,+∞)上的减函数，注意到f (9)=0，当x >9时，f (x )<f (9)=0；当<x <9时，f (x )>f (9)=0，所以f (x )=0有且仅有一个根x =9．(2)由f n 2-214n -1998 ≥0⇒f n 2-214n -1998 ≥f (9)所以n 2-214n -1998≤9n 2-214n -1998>0 ⇔n 2-214n -2007≤0n 2-214n -1998>0⇔(n -223)(n +9)≤0(n -107)2>1998+1072=13447>1152⇔-9≤n ≤223n >222或n <-8 ⇔⇔-9≤n ≤223n ≥223或n ≤-9 ，所以n =223或n =-9,M ={-9,223},M 的子集的个数是4．13已知a >0，a ≠1，试求使得方程log a (x -ak )=log a x 2-a 2 有解的k 的取值范围．【解析】由对数性质知，原方程的解x 应满足(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0x 2-a 2>0(1)(2)(3)若式(1)、式(2)同时成立，则式(3)必成立，故只需要解(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0.由式(1)可得2kx =a 1+k 2(4)当k =0时，式(4)无解；当k ≠0时，式(4)的解是x =a 1+k 2 2k ，代人式(2)，得1+k 22k>k ．若k <0，则k 2>1，所以k <-1；若k >0，则k 2<1，所以0<k <1．综上所述，当k ∈(-∞,-1)∪(0,1)时，原方程有解．14已知0.301029<lg2<0.301030，0.477120<lg3<0.477121，求20001979的首位数字．【解析】lg20001979=1979lg2000=1979(3+lg2)．所以6532.736391<lg20001979<6532.73837．故20001979为6533位数，由lg5=1-lg2,lg6=lg2+lg3，得0.698970<lg5<0.6989710.778149<lg6<0.778151⇒lg5<0.736391<0.73837<lg6,说明20001979的首位数字是5．15已知3a +13b =17a ，5a +7b =11b ，试判断实数a 与b 的大小关系，并证明之．【解析】令a =1，则13b =14,5+7b =11b ，可见b >1．猜想a <b ．下面用反证法证明：若a ≥b ，则13a ≥13b ,5a ≥5b ，所以17a =3a +13b ≤3a +13a ,11b =5a +7b ≥5b +7b ，即317 a +1317 a ≥1,511 b +711 b ≤1，而函数f (x )=317 x +1317 x和g (x )=511 x +711 x在R 上均为减函数，且f (1)=317+1317=1617<1≤f (a ),g (1)=511+711=1211>1≥g (b )．所以a <1,b >1．这与a ≥b 矛盾，故a <b ．16解不等式log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <1+log 2x 4+1 ．【解析】原不等式等价于log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <log 22x 4+2 ．由于y =log 2x 为单调递增函数，于是x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1<2x 4+2，两端同时除以x 6，并整理得2x2+1x 6>x 6+3x 4+3x 2+1+2x 4+2=x 2+1 3+2x 2+1 构造函数g (t )=t 3+2t ，则上述不等式转化为g1x2>g x 2+1 .显然g (t )=t 3+2t 在R 上为增函数．于是以上不等式等价于1x2>x 2+1，即x 2 2+x 2-1<0，解得x 2<5-12．故原不等式的解集为-5-12,5-12．。
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结.docx
(一)指数与指数函数1.根式(1)根式的概念根式的It念3符号表示a备注3如果x n=a，那么x叫做a的〃次方根a n > lfin e AT P 当«为奇数时,正数的«次方根是一个正数,负数的川次方根是一个负数3零的兀次方根是零3当n为偶数时,正数的n次方根有两个，它们互为相反数"土嚅(° >0)3负数没有偶次方根卩(2).两个重要公式*a①> 0)\a\=<[-a{ci < 0)②=a (注意a必须使砺有意义)。
2.有理数指数幕(1)幕的有关概念①正数的正分数指数幕:a"= 奸(d > (),m. n w AT,且〃〉1);豐 1 1②正数的负分数指数幕：a n = —=-=(^7>0,/?K /?G N\JBL H>1)a n③0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义.注：分数指数幕与根式可以互化，通常利用分数指数幕进行根式的运算。
(2)有理数指数幕的性质①a I a'=a H'"(a>0,r、s G Q)；②(a r)s=a re(a>0,r> sEQ)；③(ab)'=a r b s(a>0,b>0,r E Q);.3.指数函数的图象与性质y=a x a>l 0<a<l图象~d 1 *定义域 R 值域 (0, +oo) 性质(1)过定点(0, 1)(2)当 x>0 时,y>l; x<0 时,0<y<l(2)当 x>0 时，0<y<l; x<0 时，y>l(3)在(-oo, +oo)上是增函数(3)在 (-00 , 4-00 )上是减函数注：如图所示，是指数函数(1) y=a x , (2) y=b x ' (3) ,y=c x (4) ,y=d x 的图象，如何确 定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图屮作直线x=l,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即 ci>』>l>ai>bi,・・・c>d>l>a>b 。
升学复习第四章-幂函数、指数函数、对数函数
n
1
M= logaM.
n
典例解析
例11.求下列对数的值：
(1)log64+log69；
(2)log2162；
(3)log672-log62；
(4)lg5+lg2.
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5.换底公式
logaN lgN
logbN= loga = lg (a>0且a≠1，b＞0且b≠1，N＞0).
函数时,图像只分布在第一象限.
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3.幂函数的图象与性质
(-2,4)
4
y=x3
(2,4)
y=x2
3
y=x
1
-6
-4
-2
(1,1)
-1
-2
-3
-4
(0,+∞)内都有定义,并且函数图象
y=x-1
2
(-1,-1)
（2）过定点：所有的幂函数在
y=x 2
(4,2)
2
(-1,1)
1
4
6
都通过点(1,1).
特别地，以10为底的对数函数y=lgx叫做常用对数函数
以e为底的对数函数y=lnx叫做自然对数函数.
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2
对数
函数
的图
象与
性质
解析式
对数函数y=log
a>1(真大整体大,真小整体小)
图
象
a
0<a<1(真大整体小,真小整体大)
y
o
x (a>0, a≠1)
y
（1, 0)
（2）正数的负分数指数幂的意义：
a
m
n
1m
an
n
1 ( a 0, m , n N , 且n 1)
幂函数指数函数和对数函数知识点梳理
幂函数指数函数和对数函数知识点梳理一、幂函数1.定义：幂函数是形如f(x)=x^n的函数，其中n为常数，x为自变量，n可以是整数、分数或实数。
2.性质：-当n为正偶数时，幂函数是单调递增函数，图像呈现开口向上的抛物线形状。
-当n为正奇数时，幂函数是单调递增函数，图像呈现开口向上的直线形状。
-当n为负偶数时，幂函数是单调递减函数，图像呈现开口向下的抛物线形状。
-当n为负奇数时，幂函数是单调递减函数，图像呈现开口向下的直线形状。
-当n=0时，幂函数f(x)=x^0恒等于1，所有x轴上的点对应于y=1，即图像是一条水平直线。
3.应用：-幂函数常用于描述成比例关系，如面积和边长的关系、体积和边长的关系等。
-幂函数还用于经济学、物理学、化学等学科中的一些数学模型。
二、指数函数1.定义：指数函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a为正实数且不等于1，x为自变量。
2.性质：-指数函数的值域为正实数，图像始终位于y轴的上方。
-当a>1时，指数函数是单调递增函数，图像呈现开口向上的曲线形状。
-当0<a<1时，指数函数是单调递减函数，图像呈现开口向下的曲线形状。
-当a=1时，指数函数f(x)=1^x恒等于1，所有x轴上的点对应于y=1，即图像是一条水平直线。
3.应用：-指数函数常用于描述指数增长或指数衰减的情况，如人口增长、放射性物质衰变等。
-指数函数还用于描述复利、投资和经济增长等问题。
三、对数函数1. 定义：对数函数是形如f(x)=loga(x)的函数，其中a为正实数且不等于1，x为自变量。
2.性质：-对数函数的定义域为正实数，值域为实数。
-对数函数的图像呈现开口向右的曲线形状。
-对数函数关于直线y=x对称。
-对数函数的导数为1/x。
3.应用：-对数函数常用于解决指数方程和指数不等式，将复杂的指数问题转化为相对简单的对数问题。
-对数函数还广泛应用于科学、工程、经济等领域的数据处理和模型建立。
综上所述，幂函数、指数函数和对数函数是高中数学中的重要函数类型。
(完整版)指数函数、对数函数和幂函数知识点归纳
一、幂函数1、幂的有关概念正整数指数幂：...()nna a a a n N=∈零指数幂：01(0)a a=≠负整数指数幂：1(0,)ppa a p Na-=≠∈分数指数幂：正分数指数幂的意义是：(0,,,1)mn mna a a m n N n=>∈>且负分数指数幂的意义是：11(0,,,1) mnm n mna a m n N naa-==>∈>且2、幂函数的定义一般地，函数ay x=叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)．3、幂函数的图象幂函数ay x=当11,,1,2,332a=时的图象见左图；当12,1,2a=---时的图象见上图：由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质：a y x =有下列性质： (1)0a >时：①图象都通过点(0,0)，(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时：①图象都通过点(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点．二、指数函数①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞；3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a .5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=⋅-=三、对数函数如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =log b a a N N b =⇔=（0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质()log log log a a a MN M N =+． log log log aa a MM N N=-．log log n a a M n M =．（00M N >>，，0a >，1a ≠）（ a, b > 0且均不为1）2．换底公式：log log log m a m NN a=( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠) 常用的推论：（1）log log 1a b b a ⨯= ； ．（2）log log m na a nb b m=（a 、0b >且均不为1）．1log log 1N N a a mn n m==． （3）， （4）对数恒等式．一、对数函数的图像及性质① 函数log a y x =（0a >，1a ≠）叫做对数函数② 对数函数的性质：定义域：(0,)+∞； 值域：R ； 过点(1,0)，即当1x =时，0y =．当0a >时，在（0，+∞）上是增函数；当01a <<时，在（0，+∞）上是减函数．二、对数函数与指数函数的关系对数函数log a y x =与指数函数x y a =图像关于直线y x =对称． 指数方程和对数方程主要有以下几种类型：()()log ,log ()()f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=（定义法）b mnb a n am log log =1log log log =⋅⋅a c b c b a 01log =a 1log =a a N a N a =log()()()(),log ()log ()()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>（转化法） ()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔= (取对数法)。
指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像
指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•指数函数的定义与性质•对数函数的定义与性质•幂函数的定义与性质•指数函数、对数函数与幂函数的比较•指数函数、对数函数与幂函数的应用案例•总结与展望01指数函数的定义与性质指数函数的定义02指数函数：y=f(x)=a^x03a>0时，函数图像过一三象限；a<0时，函数图像过二四象限。
指数函数的性质函数图像恒过(0,1)点值域：R a>1时，函数为单调递增函数；0<a<1时，函数为单调递减函数奇偶性：当a>0时，为奇函数；当a=0时，既不是奇函数也不是偶函数；当a<0时，为偶函数指数函数的图像图像恒过(0,1)点当a>1时，函数的增长速度随着x的增大而逐渐加快；当0<a<1时，函数的增长速度随着x的增大而逐渐减慢。
a>1时，函数为单调递增函数，图像位于一三象限；0<a<1时，函数为单调递减函数，图像位于二四象限。
当a>1时，函数的最大值无限趋近于正无穷大；当0<a<1时，函数的最小值无限趋近于0。
02对数函数的定义与性质1 2 3自然对数：以数学常数e为底数的对数，记作ln(x)。
常用对数：以10为底数的对数，记作lg(x)。
底数为任意正数的对数，记作log(x)。
对数的运算性质log(a*b)=log(a)+log(b)；log(a/b)=log(a)-log(b)；log(a^n)=nlog(a)。
对数恒等式log(a/b)=log(a)-log(b)；log(a^n)=nlog(a)。
对数的运算律如果a>0且a不等于1，M>0，N>0，那么log(a)(MN)=log(a)M +log(a)N；log(a)(M/N)=log(a)M -log(a)N；log(a)M^n=nlog(a)M。
•对数函数的图像与性质：图像与x轴交点为1，当x>1时，函数值大于0；当0<x<1时，函数值小于0。
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
指数函数、对付数函数、幂函数的图像与本量之阳早格格创做（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的观念（2）．二个要害公式 ①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 蓄意思）. 2．有理数指数幂 （1）幂的有闭观念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)mnaa m n N n *=>∈>、且;②正数的背分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的背分数指数幂不意思. 注：分数指数幂与根式不妨互化，常常利用分数指数幂举止根式的运算.（2）有理数指数幂的本量n 为奇数n为奇数①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);. 3．指数函数的图象与本量y=ax a>1 0<a<1 图象定义域R值域（0，+∞）本量（1）过定面（0，1）（2）当x>0时，y>1; x<0时,0<y<1 (2) 当x>0时，0<y<1; x<0时, y>1(3)正在（-∞，+∞）上是删函数（3）正在（-∞，+∞）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx （4）,y=dx的图象，怎么样决定底数a,b,c,d与1之间的大小闭系？提示：正在图中做曲线x=1，与它们图象接面的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b.即无论正在轴的左侧仍旧左侧，底数按顺时针目标变大.（二）对付数与对付数函数1、对付数的观念（1）对付数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 喊干以a 为底，N 的对付数，记做log N a x =，其中a 喊干对付数的底数，N 喊干真数. （2）几种罕睹对付数2、对付数的本量与运算规则（1）对付数的本量（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②log 1a a =，③logNa a N =，④log Na a N =.（2）对付数的要害公式：①换底公式：log log (,1,0)log N Na b baa b N =>均为大于零且不等于； ②1log log b a ab =. （3）对付数的运算规则：如果0,1a a >≠且，0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②NM NMa a a log log log -=；③)(log log R n M n M a n a ∈=； ④b mnb a n amlog log =. 3、对付数函数的图象与本量象本量（1）定义域：（0,+∞）（2）值域：R（3）当x=1时，y=0即过定面（1，0） （4）当01x <<时，(,0)y ∈-∞； 当1x >时，(0,)y ∈+∞ （4）当1x >时，(,0)y ∈-∞； 当01x <<时，(0,)y ∈+∞ （5）正在（0,+∞）上为删函数（5）正在（0,+∞）上为减函数注：决定图中各函数的底数a ，b ，c ，d 与1的大小闭系 提示：做背来线y=1，该曲线与四个函数图象接面的横坐标即为它们相映的底数. ∴0<c<d<1<a<b. 4、反函数指数函数y=ax 与对付数函数y=logax 互为反函数，它们的图象闭于曲线y=x 对付称. （三）幂函数 1、幂函数的定义形如y=xα（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数注：幂函数与指数函数有真量辨别正在于自变量的位子分歧，幂函数的自变量正在底数位子，而指数函数的自变量正在指数位子.2、幂函数的图象注：正在上图第一象限中怎么样决定y=x3，y=x2，y=x ，12y x =，y=x-1要领：可绘出x=x0；当x0>1时，按接面的下矮，从下到矮依次为y=x3，y=x2， y=x ，12y x =， y=x-1；当0<x0<1时，按接面的下矮，从下到矮依次为y=x-1，12y x =，y=x ， y=x2，y=x3. 3、幂函数的本量y=x y=x2y=x312y x =y=x-1定义域 R R R [0，+∞） {}|0x x R x ∈≠且值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {}|0y y R y ∈≠且奇奇性 奇 奇奇非奇非奇 奇单调性删x ∈[0，+∞）时，删； x ∈(,0]-∞时，减删 删x ∈(0,+∞)时，减； x ∈(-∞,0)时，减定面 （1，1）三：例题诠释，闻一知十知识面1：指数幂的化简与供值 例1.(2007育才A)（1）估计：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---；（2）化简：5332332323323134)2(248aa a a ab aa ab b ba a ⋅⋅⨯-÷++--变式：（2007执疑A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）;)(65312121132ba ba b a ⋅⋅⋅⋅--（2）.)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a(3)1200.2563433721.5()82(23)()63-⨯-+⨯+⨯- 知识面2：指数函数的图象及应用 例2.(2009广附A)已知真数a 、b 谦脚等式b a )31()21(=，下列五个闭系式：①0＜b ＜a;②a ＜b ＜0;③0＜a ＜b;④b ＜a ＜0;⑤a=b.其中不可能创造的闭系式有 （ ） A.1个B.2个C.3个D.4个变式：（2010华附A ）若曲线a y 2=与函数 0(|1|>-=a a y x 且)1≠a 的图象有二个公同面，则a 的与值范畴是_______. 知识面3：指数函数的本量例3.（2010省真B ）已知定义域为R 的函数12()22x x b f x +-+=+是奇函数.（Ⅰ）供b 的值；（Ⅱ）推断函数()f x 的单调性;（Ⅲ）若对付任性的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒创造，供k 的与值范畴．变式：（2010东莞B ）设a ＞0,f(x)=x x aa ee +是R 上的奇函数.（1）供a 的值；（2）供证：f(x)正在（0，+∞）上是删函数.知识面4：对付数式的化简与供值 例4.（2010云浮A ）估计：（1）)32(log 32-+（2）2(lg2)2+lg2·lg5+12lg )2(lg 2+-;（3）21lg 4932-34lg 8+lg 245.变式：（2010惠州A ）化简供值. （1）log2487+log212-21log242-1;（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;（3）(log32+log92)·(log43+log83).知识面5：对付数函数的本量例5.（2011深圳A ）对付于01a <<，给出下列四个不等式： ①1log (1)log ();a a a a a+<+②1log (1)log (1)a a a a+>+；③111;aaaa++<④111;aaaa++>其中创造的是（）（A ）①与③（B ）①与④（C ）②与③（D ）②与④变式：（2011韶闭A ）已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则loga bb b ba1log ,log,1的大小闭系是 （ ）bb b b a 1log log 1<< B.b b b b a a 1log 1log log <<C.bb b ab a 1log 1log log << D.b b b a a b log 1log 1log << 例6.（2010广州B ）已知函数f(x)=logax(a ＞0,a≠1)，如果对付于任性x ∈［3，+∞）皆有|f(x)|≥1创造，试供a 的与值范畴.变式：（2010广俗B ）已知函数f （x ）=log2(x2-ax-a)正在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.供真数a 的与值范畴.知识面6：幂函数的图象及应用 例7.(2009佛山B)已知面(22)，正在幂函数()f x 的图象上，面124⎛⎫- ⎪⎝⎭，，正在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <．变式：（2009掀阳B ）已知幂函数f(x)=x 322--m m （m ∈Z ）为奇函数，且正在区间（0，+∞）上是单调减函数.（1）供函数f(x);（2）计划F （x ）=a）（）（x xf bx f -的奇奇性.四：目标预测、胜利正在视1．（A ）函数41lg )(--=x x x f 的定义域为（ ）A ．(1，4)B ．[1，4)C ．(－∞，1)∪(4，＋∞)D ．(－∞，1]∪(4，＋∞)2.（A ）以下四个数中的最大者是（ ）(A) (ln2)2(B) ln(ln2)(C) ln 2(D) ln23（B ）设a>1，函数f(x)=logax 正在区间［a,2a ］上的最大值与最小值之好为,21则a=( )(A)2 （B ）2 （C ）22 （D ）44.（A ）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a fb f ==5(),2c f =则（ ）（A ）a b c << （B ）b ac << （C ）c b a << （D ）c a b << 5.（B ）设f(x)=1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩则不等式f(x)>2的解集为（ ）(A)（1，2）⋃（3，+∞） (B)（10，+∞）(C)（1，2）⋃（10，+∞）(D)（1，2）6．（A ）设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ） Ａ．R Q P <<Ｂ．P R Q <<Ｃ．Q R P <<Ｄ．R P Q << 7．(A)已知c a b 212121log log log <<，则( )A ．c a b 222>>B ．c b a 222>>C ．a b c 222>>D ．b a c 222>> 8．（B ）下列函数中既是奇函数，又是区间[]1,1-上单调递减的是（ ）（A ）()sin f x x = (B)()1f x x =-+(C)1()()2xx f x a a -=+ (D)2()2xf x ln x-=+9.（A ）函数y =的定义域是：（）A [1,)+∞B 23(,)+∞C 23[,1] D 23(,1] 10.(A)已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公同面A ，且面A 的横坐标为2，则k （ ）A ．41- B ．41 C ．21- D ．2111．（B ）若函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x 、三、四象限，则一定有（ ）A ．010><<b a 且B ．01>>b a 且C ．010<<<b a 且D ．01<>b a 且12．(B)若函数)10(log )(<<=a x x f a 正在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a=（ ）A.42B.22C. 41D.21 13.(A)已知0＜x ＜y ＜a ＜1，则有（ ）（A ）0)(log <xy a （B ）1)(log 0<<xy a（C ）2)(log 1<<xy a （D ）2)(log >xy a14.（A ）已知x x f 26log )(=，那么)8(f 等于（ ） （A ）34（B ）8（C ）18（D ）2115．（B ）函数y ＝lg|x| （ ）A ．是奇函数，正在区间(－∞，0)上单调递加B ．是奇函数，正在区间(－∞，0)上单调递减C ．是奇函数，正在区间(0，＋∞)上单调递加D ．是奇函数，正在区间(0，＋∞)上单调递减 16.（A ）函数3)4lg(--=x x y 的定义域是____________________________. 17．（B ）函数1(01)x y a a a -=>≠，的图象恒过定面A ，若面A 正在曲线10(0)mx ny mn +-=>上，则11mn+的最小值为 ．18．（A ）设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩ 则1(())2g g =__________19．（B ）若函数f(x) = 1222--+a ax x 的定义域为R ，则a 的与值范畴为___________.20．(B)若函数)2(log )(22a a x x x f ++=是奇函数，则a=．21.(B)已知函数xx xx f -+-=11log 1)(2，供函数)(x f 的定义域，并计划它的奇奇性战单调性. 参照问案：三：例题诠释，闻一知十 例1. 解：（1）92，（2）2a变式：解：（1）1, （2）.4514545)(45)·232321233136123abab ab b a b a b a b -=⋅-=⋅-=÷-=------ (3)110 例2. 解：B变式：解：)21,0(；例3. 解：（Ⅰ）1=b （Ⅱ）减函数. （Ⅲ）31-<k变式：解：（1）a=1.（2）略 例4. 解：（1）-1.（2）1.（3）21.变式：解：(1).232log 221log 242481272322-===⨯⨯⨯-（2）2.（3）45例5. 解：选D.变式：解： C例6. 解：(1，3］∪［31，1） 变式：解：{a|2-23≤a ＜2}例7. 解：（1）当1x >或者1x <-时，()()f x g x >；（2）当1x =±时，()()f x g x =；（3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <．变式：解：（1）f(x)=x-4.（2）F （x ）=32bx x a-， ∴F （-x ）=2x a+bx3.①当a≠0，且b≠0时，F （x ）为非奇非奇函数；②当a=0,b≠0时，F （x ）为奇函数；③当a≠0,b=0时，F （x ）为奇函数；④当a=0,b=0时，F （x ）既是奇函数，又是奇函数. 四：目标预测、胜利正在视1—5 ADDDC ； 6—10 AADDA ； 11—15 CADDB.16. (-, 3)(3,4) 17. 4 18.21 19.[-1,0] 20.22 21．[解]x 须谦脚,11011,0110<<->-+⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠x x x xx x 得由 所以函数)(x f 的定义域为（－1，0）∪（0，1）.果为函数)(x f 的定义域闭于本面对付称，且对付定义域内的任性x ，有)()11log 1(11log 1)(22x f xx x x x x x f -=-+--=+---=-，所以)(x f 是奇函数.钻研)(x f 正在（0，1）内的单调性，任与x1、x2∈（0，1），且设x1<x2 ，则 得)()(21x f x f >0，即)(x f 正在（0，1）内单调递减， 由于)(x f 是奇函数，所以)(x f 正在（－1，0）内单调递减.。
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指数函数对数函数幂函数的图像和性质知识点
总结
Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
（一）指数与指数函数
1．根式
（1）根式的概念 （2）．两个重要公式
①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a
a n n
；
②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念
①正数的正分数指数幂:0,,1)m n
a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂:10,,1)m
n
m n
a
a m n N n a
-*=
=
>∈>、且
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. 3．指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶
数
注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？
提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义
如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
（2
2（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1
log 0a =，②log 1a
a =，③log N
a a N =，
④log N
a a N =。
（2）对数的重要公式：
①换底公式：log log (,1,0)log N N
a b b
a
a b N =>均为大于零且不等于； ②1
log log b a a
b
=。
（3）对数的运算法则：
如果0,1a a >≠且，0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N
M
a a a
log log log -=； ③)(log log R n M n M a n a ∈=；
④b m
n
b a n a m log log =。
提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。
∴0<c<d<1<a<b. 4、反函数
指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称。
（三）幂函数 1、幂函数的定义
形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数
注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
2、幂函数的图象
注：在上图第一象限中如何确定y=x 3
，y=x 2
，y=x ，12
y x =，y=x -1方法：可画出x=x 0；
当x 0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x 3
，y=x 2
，y=x ，12
y x =，y=x -1； 当0<x 0<1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x -1，12
y x =，y=x ，y=x 2，y=x 3。