2020年全国中考数学试卷分类汇编(一)专题32 正多边形与圆(含解析)

正多边形与圆
一.选择题
1.（2020年德州市）10．（4分）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半
圆，则图中阴影部分的面积为（）
A．24﹣4πB．12+4πC．24+8πD．24+4π
【分析】设正六边形的中心为O，连接OA，OB首先求出弓形AmB的面积，再根据S阴＝6•（S半圆﹣S弓形AmB）求解即可．
【解答】解：设正六边形的中心为O，连接OA，O B．
由题意，OA＝OB＝AB＝4，
∴S弓形AmB＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×42＝π﹣4，
∴S阴＝6•（S半圆﹣S弓形AmB）＝6•（•π•22﹣π+4）＝24﹣4π，
故选：A．
【点评】本题考查正多边形和圆，扇形的面积，弓形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二.填空题
1.(2020•江苏省徐州市•3分)如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中
心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为10．
【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，于是得到结论．【解答】解：连接OA，OB，∵A，B，C，D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，∴点A，B，C，D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，∵∠ADB＝18°，∴∠AOB ＝2∠ADB＝36°，∴这个正多边形的边数＝＝10，故答案为：10．
【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．
2.(2020•江苏省扬州市•3分)如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手
的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a＝cm．
【分析】根据正六边形的性质，可得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，根据等腰三角形的性质，可得CD的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案．
【解答】解：如图，连接AC，过点B作BD⊥AC于D，由正六边形，得
∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，∠BCD＝∠BAC＝30°．由AC＝3，得CD＝1.5．
cos∠BCD＝＝，即＝，解得a＝，故答案为．
【点评】本题考查了正多边形和圆，利用了正六边形的性质得出等腰三角形是解题的关键，又利用了正三角形的性质，余弦函数，
3. （2020•江苏省南京市•2分）如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC
上，则△PEF的面积为2cm2．
【分析】连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T，证明S△PEF＝S△BEF，求出△BEF的面积即可．
【解答】解：连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T
∵ABCDEF是正六边形，
∴CB∥EF，AB＝AF，∠BAF＝120°，
∴S△PEF＝S△BEF，
∵AT⊥BE，AB＝AF，
∴BT＝FT，∠BAT＝∠F AT＝60°，
∴BT＝FT＝AB•sin60°＝，
∴BF＝2BT＝2，
∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，
∴∠BFE＝90°，
∴S△PEF＝S△BEF＝•EF•BF＝×2×＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
4. （2020•湖南省株洲市·4分）据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、
斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为4尺．（结果用最简根式表示）
【分析】根据正方形性质确定△CDE为等腰直角三角形，CE为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE，求出CD，问题得解．
【解答】解：如图，
∵四边形CDEF为正方形，
∴∠D＝90°，CD＝DE，
∴CE为直径，∠ECD＝45°，
由题意得AB＝2.5，
∴CE＝2.5﹣0.25×2＝2，
∴CD＝CE，
∴∠ECD＝45°，
∴正方形CDEF周长为尺．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径．
5 （2020•湖南省株洲市·4分）一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，
其中心点为点O，点M、N分别在射线O A.OC上，则∠MON＝80度．
【分析】根据正多边形性质求出中心角，即可求出∠MON的度数．
【解答】解：根据正多边形性质得，中心角为：
∠AOB＝360°÷9＝40°，
∴∠MON＝2∠AOB＝80°．
故答案为：80．
【点评】本题考查了正n边形中心角的定义，在正多边形中，中心角为．
6.（2020•贵州省安顺市•4分）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，
E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是120度．
【分析】连接OA，OB，根据已知条件得到∠AOB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA＝30°，根据全等三角形的性质得到∠DOA＝∠BOE，于是得到结论．【解答】解：连接OA，OB，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∴∠OAD＝∠OBE，
∵AD＝BE，
∴△OAD≌△OBE（SAS），
∴∠DOA＝∠BOE，
∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOB＝∠AOE+∠BOD＝120°，
故答案为：120．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
7（2020•广西省玉林市•3分）如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF 绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F′处，此时边AD′与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是3π．
【分析】根据正六边形的性质和旋转的性质以及扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵在边长为3的正六边形ABCDEF中，∠DAC＝30°，∠B＝∠BCD＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∵CD＝3，
∴AD＝2CD＝6，
∴图中阴影部分的面积＝S四边形ADEF+S扇形DAD′﹣S四边形AF′E′D′，
∵将四边形ADEF 绕顶点A 顺时针旋转到四边形AD 'E 'F ′处，
∴S 四边形ADEF ＝S 四边形AD ′E ′F ′
∴图中阴影部分的面积＝S 扇形DAD ′＝
＝3π，
故答案为：3π．
【点评】本题考查了正多边形与圆，旋转的性质，扇形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
8.
9.
10.
三.解答题
1.（2020•广东省广州市•10分）如图，O 为等边ABC ∆的外接圆，半径为2，点D 在劣弧
AB 上运动（不与点,A B 重合），连接DA ，DB ，DC ．
（1）求证：DC 是ADB ∠的平分线；
（2）四边形ADBC 的面积S 是线段DC 的长x 的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；
（3）若点,M N 分别在线段CA ，CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置，DMN ∆的周长有最小值，随着点D 的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值．
【答案】(1)详见解析；(2)是， 23(234)S x x =<≤；(3)43。