圆锥曲线与方程习题与答案
圆锥曲线与方程练习题及答案
一、选择题【共12道小题】
1、以的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为（）
A. B. C.
D.
2、与(a>b>0)的渐近线（）
A.重合
B.不重合,但关于x轴对称
C.不重合,但关于y轴对称
D.不重合,但关于直线y=x对称
3、抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）
A.2
B.3
C.
4 D.5
4、已知定点A、B，且|AB|=4，动点P满足|PA|-|PB|=3，则|PA|的最小值是（）
A. B. C.
D.5
5、过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于…（）
A.10
B.8
C.6
D.4
6、设F1和F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是（）
A.1
B.
C.2
D.5
7、动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过点（）
A.(4,0)
B.(2,0)
C.(0,2)
D.(0,-2)
8、若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（）
A.-2
B.2
C.-4
D.4
9、过双曲线M：的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（）
A. B. C.
D.
10、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处.已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是（）
A.y2=
B.y2=
C.x2=
D.x2=
11、
已知两点M（-2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足,则动点P（x，y）的轨迹方程为（）
A.y2=8x
B.y2=-8x
C.y2=4x
D.y2=-4x
参考答案与解析:解：依题意可设P（x,y）,
则
4+(4,0)·(x -2,y)=0
4+4(x-2)=0 化简整理得，y2=-8x.
答案：B
主要考察知识点:抛物线
12、抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是（）
A. B. C.
D.3
参考答案与解析:解：设(x0,y0)为抛物线y=-x2上任意一点，∴y0=-x02,
∴d=,
∴dmin=.
答案：A
主要考察知识点:抛物线
二、填空题【共4道小题】
1、双曲线的渐近线方程为y=±，则双曲线的离心率为 .
参考答案与解析:解析：∵双曲线的渐近线方程为
y=±,
∴或.
当时,,即,; 当时,,即=,.
答案：或
主要考察知识点:双曲线
2、抛物线y=的焦点坐标是 .
参考答案与解析:解析：y=x2=4y,p=2,其焦点为（0，1）.
答案：（0，1）.
主要考察知识点:抛物线
3、点P（8，1）平分双曲线x2-4y2=4的一条弦，则这条弦所在直线方程是 . 参考答案与解析:解析：设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则x12-4y12=4,x22-4y22=4. 两式相减得(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0.
∵AB的中点为P(8,1), ∴x1+x2=16,y1+y2=2.
∴. ∴直线AB的方程为y-1=2(x-8),即2x-y-15=0. 答案：2x-y-15=0
主要考察知识点:双曲线
4、有一系列中心在原点，以坐标轴为对称的椭圆，它们的离心率en=()n(n∈N)，且都以x=1为准线，则所有椭圆的长轴之和为 .
参考答案与解析:解析：因,=()n,故an=()n,2an=2·()n,
故所有椭圆的长轴之和为.
答案：2
主要考察知识点:椭圆
三、解答题【共6道小题】
1、已知直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于点A、B，求证：OA⊥OB.
参考答案与解析:证法一:将y=x-2代入y2=2x中,得 (x-2)2=2x,化简得x2-6x+4=0,∴x=.
∴x=时,y=,x=时,y=.
∴kOA·kOB=×.
∴OA⊥OB.
证法二:同证法一得方程x2-6x+4=0.
∴x1+x2=6,x1·x2=4.
∴y1·y2=(x1-2)(x2-2)=x1·x2-2(x1+x2)+4=-4.
∴kOA·kOB=.
∴OA⊥OB.
主要考察知识点:抛物线
2、A、B 为椭圆(a>0)上的两点，F2为右焦点，若|AF2|+|BF2|，且A、B的中点P到右准线
的距离为，求该椭圆的方程.
参考答案与解析:解析：设A、B、P三点到椭圆右准线的距离分别为d1、d2、d，则由椭圆的第二定义及几何性质得
|AF2|=ed1=,|BF2|=,
d=. 又2d=d1+d2,∴5a-3=2d.
又=|AF2|+|BF2|=(d1+d2), ∴d1+d2=2a,∴5a-3=2a,
∴a=1,
∴该椭圆的方程为. 主要考察知识点:椭圆
3、已知双曲线与点P(1,2),过P点作直线l与双曲线交于A,B两点,若P为AB的中点.
(1)求直线AB的方程;
(2)若Q(1,1),证明不存在以Q为中点的弦.
参考答案与解析:（1）解：设过点P(1,2)的直线AB的方程为y-2=k(x-1),
代入双曲线方程并整理得(2-k2)x2+(2k2-4k)x-(k2-4k+6)=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=.
由已知,
∴,解得k=1.
又k=1时,Δ=(2k2-4k)2+4(2-k2)(k2-4k+6)=16>0,从而直线AB的方程为x-y+1=0.
(2)证明:设过Q(1,1)点的直线方程为y-1=k(x-1),
代入双曲线方程并整理,得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(k2-2k+3)=0.
由题知,解得k=2.
而当k=2时,Δ=［-2k(1-k)］2+4(2-k2)(k2-2k+3)=-62<0.
∴这样的直线不存在.
主要考察知识点:双曲线
4、已知倾角为45°的直线l过点A（1，-2）和点B，其中B在第一象限，且|AB|=.
（1）求点B的坐标；
（2）若直线l与双曲线C：(a>0)相交于不同的两点E、F，且线段EF的中点坐标为（-4，1），求实数a的值.
参考答案与解析:解：（1）直线AB方程为y=x-3,设点B（x,y）,
由及x>0,y>0,得x=4,y=1,∴点B的坐标为（4，1）.
(2)由得（）x2+6x-10=0.
设E（x1,y1）,F(x2,y2)，则x1+x2==-4,得a=2,此时，Δ>0,∴a=2.
主要考察知识点:双曲线
5、过抛物线y2=4x的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN 为直径的圆经过抛物线的焦点？
参考答案与解析:解：抛物线ｙ2＝４ｘ的准线与对称轴的交点为（-1，0）设直线MN的方程为y＝k（ｘ＋1）.
由得k2x2＋2（k2－2）x＋k2＝０.
∵直线与抛物线交于M、N两点,
∴Δ＝4（k2－2）2－4k4＞０,
即k2＜|k2－2|，k2＜1，－1＜ｋ＜1.
设M（x1，y1），N（x2，y2），抛物线焦点为F(1，0)
∵以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点,
∴MF⊥NF.
∴·＝－１,即ｙ1ｙ2＋ｘ1ｘ2－（ｘ1＋ｘ2）＋1＝0.
∴k=±,
即直线的倾斜角为arctan或π-arctan时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点.
主要考察知识点:抛物线
6、
已知两定点F1（-，0），F2（，0），满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点.
（1）求k的取值范围；
（2）如果|AB|=，且曲线E上存在点C ，使，求m的值和△ABC的面积S.
参考答案与解析:解：（1）由双曲线的定义可知，曲线E是以F1（，0）、F2（，0）为焦点的双曲线的左支，且c=,a=1,易知b=1.
故曲线E的方程为x2-y2=1(x<0）.
设A（x1,y1）,B(x2,y2),由题意建立方程组
消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0.
又已知直线与双曲线左支交于A、B 两点，有
解得- (2)因为|AB|=|x1-x2| =· =· =. 依题意得=. 整理后得28k4-55k2+25=0. ∴k2=或k2=. 但 故直线AB 的方程为. 设C（xc,yc）,由已知,得(x1,y1)+(x2,y2)=(mxc,myc), ∴(xc,yc)=(,)(m≠0). 又x1+x2==,y1+y2=k(x1+x2)-2===8, ∴点C(,). 将点C的坐标代入曲线E的方程，得-=1. 得m=±4.但当m=-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意. ∴m=4,C点坐标为（-，2）. C到AB的距离为. ∴△ABC的面积S=××=.