立体几何--空间几何体的表面积与体积

第2讲空间几何体的表面积与体积
考点
考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大．
【复习指导】
本讲复习时，熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简单的问题．
基础梳理
1．柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积体积
圆柱S
侧
＝2πrh V＝Sh＝πr2h
圆锥S
侧＝πrl
V＝
1
3Sh＝
1
3πr
2h＝
1
3
πr2l2－r2
圆台S
侧＝π(r1＋r2)l
V＝
1
3(S上＋S下＋S上S下)h＝
1
3π(r
2
1
＋r22＋r1r2)h
直棱柱S
侧
＝Ch V＝Sh
正棱锥S
侧＝
1
2Ch′V＝
1
3Sh
正棱台S
侧＝
1
2(C＋C′)h′V＝
1
3(S上＋S下＋S上S下)h
球S
球面＝4πR2V＝
4
3πR
3
2.几何体的表面积
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．
两种方法
(1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图．
(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()．
A．4πS B．2πS
C．πS D.23 3πS
解析设圆柱底面圆的半径为r，高为h，则r＝S π，
又h＝2πr＝2πS，∴S圆柱侧＝(2πS)2＝4πS.
答案 A
2．(2012·东北三校联考)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()．
A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2
解析由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，则长方体的体对角线长为(2a)2＋a2＋a2＝6a.又长方体外接球的直径2R等于长方体的体对角线，∴2R＝6a.∴S球＝4πR2＝6πa2.
答案 B
3．(2011·北京)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是
( )．
A ．8
B ．6 2
C ．10
D ．8 2
解析 由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,62，8,10，所以面积最大的是10，故选择C. 答案 C 4．(2011·湖南)设
右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )． A.92π＋12 B.9
2π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18
解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，故所求体积为2×32＋43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝9
2π＋18.
答案 B
5．若一个球的体积为43π，则它的表面积为________． 解析 V ＝4π
3R 3＝43π，∴R ＝3，S ＝4πR 2＝4π·3＝12π. 答案 12π
考向一几何体的表面积
【例1】►(2011·安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
()．
A．48 B．32＋817
C．48＋817 D．80
[审题视点] 由三视图还原几何体，把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积．
解析换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为4的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为2,4，高为4，故腰长为17，所以该几何体的表面积为48＋817.
答案 C
以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
【训练1】若一
个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于()．
A. 3 B．2
C．2 3 D．6
解析由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1的直三棱柱，则此三棱柱的侧面积为2×1×3＝6.
答案 D
考向二几何体的体积
【例2】►(2011·广东)如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()．
A．18 3 B．12 3 C．9 3 D．6 3
[审题视点] 根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解．
解析该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为3，故V＝3×3×3＝9 3.
答案 C
以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．【训练2】 (2012·东莞模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于()．
A.28
3π B.
16
3π
C.4
3π＋8 D．12 π
解析由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为2的圆柱和半径为1的球的组合体，则该几何体的体积为π×22×2＋
4
3π＝28 3π.
答案 A
考向三几何体的展开与折叠
【例3】►(2012·广州模拟)如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体DABC ，如图2所示．
(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体DABC 的体积．
[审题视点] (1)利用线面垂直的判定定理，证明BC 垂直于平面ACD 内的两条相交线即可；(2)利用体积公式及等体积法证明． (1)证明 在图中，可得AC ＝BC ＝22，
从而AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC ， 取AC 的中点O ，连接DO ，
则DO ⊥AC ，又平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，DO ⊂平面ADC ，从而DO ⊥平面ABC ，∴DO ⊥BC ，
又AC ⊥BC ，AC ∩DO ＝O ，∴BC ⊥平面ACD .
(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥BACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V BACD ＝ 13S △ACD ·
BC ＝13×2×22＝42
3，
由等体积性可知，几何体DABC 的体积为42
3.
(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图
形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．
(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题． 【训练3】 已知
在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝2，P 是BC1上一动点，如图所示，则CP＋P A1的最小值为________．
解析P A1在平面A1BC1内，PC在平面BCC1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决．计算A1B＝AB1＝40，BC1＝2，又A1C1＝6，故△A1BC1是∠A1C1B＝90°的直角三角形．铺平平面A1BC1、平面BCC1，如图所示．
CP＋P A1≥A1C.
在△AC1C中，由余弦定理得
A1C＝62＋(2)2－2·6·2·cos 135°＝50＝52，故(CP＋P A1)min＝5 2.
答案5 2
难点突破17——空间几何体的表面积和体积的求解
空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧、把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧、对旋转体作其轴截面的技巧、通过方程或方程组求解的技巧等，这是化解空间几何体面积和体积计算难点的关键．
【示例1】► (2010·安徽)一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为
()．
A．280 B．292 C．360 D．372
【示例2】►(2011·全国新课标)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都
在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的3
16，则这两个圆锥中，体积较小者的高
与体积较大者的高的比值为________．。