2019北京西城高一数学下期末
一、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分.
1．分层抽样 2． 900 3． 4 − π 4． 3 5． π
4
8 12
二、解答题：本大题共 3 小题，共 30 分.
6.（本小题满分 10 分） （Ⅰ）解：从 A ， B 两组数据中各随机抽取一个数据，所有不同的取法共有 5 5 = 25 种．
（A） (4,2)
（B） (2,1)
（C） (2,4)
（D） (1,2)
2．直线 l 经过点 A(0,−1) ， B(1,1) ，则直线 l 的斜率是（）
（A） 2
（B） −2
（C） 1 2
（D） − 1 2
3．下列直线中，与直线 3x + y − 2 = 0 平行的是（）
（A） 3x − y = 0
…………2 分
从 A 组中取到128,151,125,120 时， B 组中符合题意的取法为100,97,100 ，
共 4 3 =12 种；
…………3 分
从 A 组中取到100 时， B 组中符合题意的取法为100,102,97,101,100 ，
共1 5 = 5 种； 因此符合题意的取法共有12 + 5 =17 种，…………5 分
32 + 42 所以 | AD |= | AC |2 − | CD |2 = 4 ．…………9 分 所以 | AB |= 2 | AD |= 8 ．…………10 分
所以△ ABC 的面积 S = 1 | AB || CD |= 12 ．…………12 分 2
19.（本小题满分 12 分） （Ⅰ）证明：因为 底面 ABCD 是菱形，
5 / 10
2019 北京市西城区高一（下）期末数学参考答案
A 卷[立体几何初步与解析几何初步] 满分 100 分
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.
1.B 2.A 3.C 4.D 5.B 6.D 7.B 8.B 9.C 10.D.
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分.
二、解答题：本大题共 3 小题，共 30 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
6．（本小题满分 10 分）
为缓解交通运行压力，某市公交系统实施疏堵工程．现调取某路公交车早高峰时段全程运输时间（单位：分
钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取 5 个数据，记为 A 组；从疏堵工程完成后的数据中随机抽取 5 个数据，记为 B 组．
如图，在三棱锥 P − ABC 中， PB = PC ， AB = AC ． D ， E 分别是 BC ， PB 的中点． （Ⅰ）求证： DE // 平面 PAC ； （Ⅱ）求证：平面 ABC ⊥ 平面 PAD ； （Ⅲ）在图中作出点 P 在底面 ABC 的正投影，并说明理由．
18．（本小题满分 12 分） 已知圆心为 C ( 4，3) 的圆经过原点 O ．
7．（本小题满分 10 分）
已知 △ABC 同时满足下列四个条件中的三个：
① A = π ；② cos B = − 2 ；③ a = 7 ；④ b = 3 ．
3
3
（Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；
（Ⅱ）求 △ABC 的面积．
8．（本小题满分 10 分） 在直角坐标系 xOy 中，已知圆 M : (x − 3)2 + ( y − 4)2 = 4 及其上一点 A ． （Ⅰ）求 | OA | 的最大值； （Ⅱ）设 A(3, 2) ，点 T 在 x 轴上．若圆 M 上存在两点 P 和 Q ，使得 TA + TP = TQ ，求点 T 的横坐标的取值范围．
由（Ⅱ）知平面 ABC ⊥ 平面 PAD ，且平面 ABC 平面 PAD = AD ，
又 PO 平面 PAD ， PO ⊥ AD ，
所以 PO ⊥ 平面 ABC ，
即点 O 为点 P 在底面 ABC 的正投影．…………12 分
18.（本小题满分 12 分） （Ⅰ）解：圆 C 的半径为 | OC |= 32 + 42 = 5 ，
（Ⅰ）求圆 C 的方程； （Ⅱ）设直线 3x − 4y +15 = 0 与圆 C 交于 A ， B 两点，求△ ABC 的面积．
19．（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，对角线 AC ， BD 交于点 O ．
（Ⅰ）若 AC ⊥ PD ，求证： AC ⊥ 平面 PBD ；
A 组：128 100 151 125 120
B 组：100 102 97 101 100
4 / 10
（Ⅰ）该路公交车全程运输时间不超过100 分钟，称为“正点运行”．从 A ， B 两组数据中各随机抽取一个数
据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率；
（Ⅱ）试比较 A ， B 两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义．
7 / 10
因为菱形 ABCD 中， BC // AD ，且 BC 平面 PAD ，
所以 BC // 平面 PAD ．
又因为 BM 平面 PBC ，所以 平面 PBC // 平面 PAD ．…………11 分
这显然矛盾！
从而，棱 PC 上不存在点 M ，使得 BM // 平面 PAD ．…………12 分 B 卷 [学期综合] 满分 50 分
…………4 分
所以该路公交车至少有一次“正点运行”的概率 P = 17 . …………7 分 25
11. 60
12.
(0,1)
13.
4π
14.
(x
− 1)2
+
y2
=
1 2
15.
1 6
16. [−
2,
2]
三、解答题：本大题共 3 小题，共 36 分.
17.（本小题满分 12 分） （Ⅰ）证明：因为 D ，E 分别是 BC ，PB 的中点， 所以 DE//PC ．…………3 分 因为 DE 平面 PAC ，…………4 分
（B）①③
（C）②④
（D）③④
5．圆 x2 − 6x + y2 −16 = 0 的周长是（）
1 / 10
（A） 25π
（B）10π
（C） 8π
6．如图，在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中，若 E,F,G,H 分别 是棱 A1B1，BB1，CC1，C1D1 的中点，则必有（）
（D） 5π
（A） BD1 // GH （C）平面 EFGH // 平面 ABCD
2 / 10
11．直线 y = 3x +1的倾斜角的大小是______． 12．对于任意实数 k ，直线 y = kx +1经过的定点坐标为______． 13．圆柱的高是 2 ，底面圆的半径是1 ，则圆柱的侧面积是______． 14．圆心为 (1,0) ，且与直线 x − y = 0 相切的圆的方程是______． 15．设三棱锥 P − ABC 的三条侧棱两两垂直，且 PA = PB = PC =1 ，则三棱锥 P − ABC 的体积是______． 16．已知点 M (−1,0) , N(1,0) ．若直线 l :x + y − m = 0 上存在点 P 使得 PM ⊥ PN ，则实数 m 的取值范围是 ______． 三、解答题：本大题共 3 小题，共 36 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分）
AB （A）函数 y = f (x) 的值域为 (0, 4]
（B）函数 y = f (x) 为偶函数
（C）函数 y = f (x) 在 (0, 2) 上单调递减 3
（D）函数 y = f (x) 满足 f (x) = f (1− x)
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．把答案填在题中横线上．
所以 DE // 平面 PAC ．…………5 分
（Ⅱ）证明：因为 PB = PC ，AB = AC ，D 是 BC 的中点， 所以 PD ⊥ BC ，AD ⊥ BC ．…………8 分 所以 BC ⊥ 平面 PAD ．…………9 分 所以平面 ABC ⊥ 平面 PAD ．…………10 分 （Ⅲ）解：在△ PAD 中，过 P 作 PO ⊥ AD 于 O ，则点 O 为点 P 在底面 ABC 的正投影． 理由如下：
（A） (−1,1)
（B） (−1,0)
（C） (0, −1)
（D） (−2,1)
9．已知圆 O1 的方程为 x2 + y2 = 4 ，圆 O2 的方程为 (x − a)2 + ( y −1)2 = 1，那么这两个圆的位置关系不可能是（）
（A）外离
（B）外切
（C）内含
（D）内切
10．如图，在空间四边形 ABCD 中，两条对角线 AC, BD 互相垂直，且长度分别为 4 和 6，平行于这两条对角线的 平面与边 AB, BC,CD, DA 分别相交于点 E, F,G, H ．记四边形 EFGH 的面积为 y ，设 BE = x ，则（）
（B） x − 3y = 0
（C） 3x + y = 0
（D） x + 3y = 0
4．在空间中，给出下列四个命题：
①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．
其中正确命题的序号是（）
（A）①②
所以 AC ⊥ BD ．…………2 分 因为 AC ⊥ PD ，…………3 分 所以 AC ⊥ 平面 PBD ．…………4 分 （Ⅱ）证明：连接 PO ． 由（Ⅰ）可知 AC ⊥ BD ． 因为平面 PAC ^ 平面 ABCD ， 所以 BD ⊥ 平面 PAC ．…………5 分 因为 PO 平面 PAC ， 所以 BD ⊥ PO ．…………6 分 因为 底面 ABCD 是菱形， 所以 BO = DO ．…………7 分 所以 PB = PD ．…………8 分 （Ⅲ）解：不存在，证明如下． 假设存在点 M （异于点 C ），使得 BM // 平面 PAD ．
2019学年北京市西城区高一下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】
2019学年北京市西城区高一下学期期末考试数学试卷
【含答案及解析】
姓名 ____________ 班级 _______________ 分数 ____________ 题号 总分
得分
、选择题
1. 对一个容量为-的总体抽取容量为 .的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样 和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率依次为 f .广.A' 则（ ________ ）
2. 从1，2，3, 4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和为 5的概率是 （_______ ）
A . - ________________________
B . - _________
C . - _____ K 4
1
S 值为（
c • ' 一 _______________ D 3. 执行如图所示的程序框图，输出的
押i *
参考答案及解析
第1题【答案】
j
【解析】
试题分■析：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三大拊样都是等槪率抽样，因此对一个容量対N的总体抽取容量为影的样轧不管用哪种抽样，总体中每个个体被抽中的概率都相等第2题【答案】
【解析】
之W葵的概戦I
第3题【答案】
【解析】
试题分析：根掳题青，第一次执行完循环结构时；当第二次执行完循环结构时，
13 2 5
X2.S = 1H ；当第三次执行循环结构时，^ = 3.5=1+| = | ；止匕时不满足上＜3 ,结束循环 ,冊S.S=|。
(3份试卷汇总)2019-2020学年北京市西城区高一数学下学期期末考试试题
【解析】
【分析】
通过反例、作差法、不等式的性质可依次判断各个选项即可.
【详解】
若 ， ，则 ， 错误；
，则 ， 错误；
， ，则 ， 错误；
，则 等价于 ，成立， 正确.
本题正确选项：
【点睛】
本题考查不等式的性质，属于基础题.
4．D
【解析】
该程序的功能是计算并输出分段函数 .
当 时， ，解得 ；
7．A
【解析】
【分析】
根据相邻的两个组的编号确定相邻的两个组的编号分别为12，21，所以组矩为9，
则第一组所取学生的编号为3，第四组所取学生的编号为30.
故选：A
【点睛】
此题考查系统抽样，关键在于根据系统抽样方法确定组矩，依次求得每组选取的编号.
8．B
【解析】
【分析】
A．40B．36C．30D．20
6．已知函数 ，且此函数的图象如图所示，由点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．某学校从编号依次为01，02，…，72的72个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为12，21，则该样本中来自第四组的学生的编号为（）
A．30B．31C．32D．33
【详解】
解：由图象可得函数的周期 ∴ ，得 ，
将 代入 可得 ，∴ （注意此点位于函数减区间上）
∴
由 可得 ，
∴点 的坐标是 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查利用图象求三角函数 的解析式，其步骤如下：
①求 、 ： ， ；
②求 ：利用一些关键点求出最小正周期 ，再由公式 求出 ；
③求 ：代入关键点求出初相 ，如果代对称中心点要注意附近的单调性。
北京市西城区2018 -2019学年度第二学期期末考试高一数学试卷
北京市西城区2018 — 2019学年度第二学期期末试卷高一数学2019.7试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷[立体几何初步与解析几何初步] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知点(1,2)P ，(3,0)Q ，则线段PQ 的中点为（） （A ）(4,2)（B ）(2,1)（C ）(2,4)（D ）(1,2)2．直线l 经过点(0,1)A -，(1,1)B ，则直线l 的斜率是（） （A ）2（B ）2-（C ）12（D ）12-3．下列直线中，与直线320x y +-=平行的是（） （A ）30x y -= （B ）30x y -= （C ）30x y +=（D ）30x y +=4．在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行． 其中正确命题的序号是（） （A ）①② （B ）①③ （C ）②④（D ）③④ 5．圆226160x x y -+-=的周长是（） （A ）25π （B ）10π（C ）8π（D ）5π6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若E F G H ,,,分别 是棱111111A B BB CC C D ，，，的中点，则必有（）（A ）1//BD GH（B ）//BD EF（C ）平面//EFGH 平面ABCD（D ）平面//EFGH 平面11A BCD7．棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体 的三视图如图所示，则截去的几何体是（） （A ）三棱锥 （B ）三棱柱 （C ）四棱锥（D ）四棱柱8．已知点(0,1)A ,点B 在直线10x y ++=上运动．当||AB 最小时，点B 的坐标是（） （A ）(1,1)- （B ）(1,0)- （C ）(0,1)-（D ）(2,1)-9．已知圆1O 的方程为224x y +=，圆2O 的方程为22()(1)1x a y -+-=，那么这两个圆的 位置关系不可能是（） （A ）外离 （B ）外切 （C ）内含（D ）内切10．如图，在空间四边形ABCD 中，两条对角线,AC BD 互相垂直，且长度分别为4和6， 平行于这两条对角线的平面与边,,,AB BC CD DA 分别相交于点,,,E F G H ．记四边形 EFGH 的面积为y ，设BExAB=，则（） （A ）函数()y f x =的值域为(0,4] （B ）函数()y f x =为偶函数（C ）函数()y f x =在2(0,)3上单调递减（D ）函数()y f x =满足()(1)f x f x =-二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．11．直线1y =+的倾斜角的大小是______．12．对于任意实数k ，直线1y kx =+经过的定点坐标为______．13．圆柱的高是2，底面圆的半径是1，则圆柱的侧面积是______．14．圆心为(1,0)，且与直线0x y -=相切的圆的方程是______．15．设三棱锥P ABC -的三条侧棱两两垂直，且1PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -的 体积是______．16．已知点(1,0)M -,(1,0)N ．若直线:0l x y m +-=上存在点P 使得PM PN ⊥，则实数m 的取值范围是______．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PB PC =，AB AC =．D ，E 分别是BC ，PB 的中点．（Ⅰ）求证：//DE 平面PAC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面PAD ；（Ⅲ）在图中作出点P 在底面ABC 的正投影，并说明理由．18．（本小题满分12分）已知圆心为(43)C ，的圆经过原点O ． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线34150x y -+=与圆C 交于A ，B 两点，求△ABC 的面积．19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．（Ⅰ）若AC PD ⊥，求证：AC ⊥平面PBD ； （Ⅱ）若平面PAC平面ABCD ，求证：PB PD =；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M （异于点C ），使得//BM 平面PAD ？说明理由．B 卷 [学期综合]本卷满分：50一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．1．某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价， 该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样， 则最合适的抽样方法是_____．2．从某校3000名学生中随机抽取若干学生，获得了他们一天课外阅读时间（单位：分钟） 的数据，整理得到频率分布直方图如下．则估计该校学生中每天阅读时间在[70,80)的学 生人数为_____．3．设正方形ABCD 的边长是2，在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点A 的距离大 于2的概率是_____．4．从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第 一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为_____．5．在△ABC 中，2a =，c sin cos 0A A +=，则角B 的大小为_____．二、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 6．（本小题满分10分）为缓解交通运行压力，某市公交系统实施疏堵工程．现调取某路公交车早高峰时段全程运输时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组；从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组．A组：128100*********B组：10010297101100（Ⅰ）该路公交车全程运输时间不超过100分钟，称为“正点运行”．从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率；（Ⅱ）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义．7．（本小题满分10分）已知ABC△同时满足下列四个条件中的三个：①π3A=；②2cos3B=-；③7a=；④3b=．（Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求ABC△的面积．8．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，已知圆22:(3)(4)4M x y-+-=及其上一点A．（Ⅰ）求||OA的最大值；（Ⅱ）设(3,2)A，点T在x轴上．若圆M上存在两点P和Q，使得TA TP TQ+=，求点T 的横坐标的取值范围．北京市西城区2018— 2019学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2019.7A 卷[立体几何初步与解析几何初步] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.B2.A3.C4.D5.B6.D7.B8.B9.C 10.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.60︒12.(0,1)13.4π14.221(1)2x y -+=15.1616.[三、解答题：本大题共3小题，共36分.17.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为D ，E 分别是BC ，PB 的中点， 所以//DE PC ．…………3分 因为DE ⊄平面PAC ，…………4分 所以//DE 平面PAC ．…………5分（Ⅱ）证明：因为PB PC =，AB AC =，D 是BC 的中点， 所以PD BC ⊥，AD BC ⊥．…………8分 所以BC ⊥平面PAD ．…………9分 所以平面ABC ⊥平面PAD ．…………10分（Ⅲ）解：在△PAD 中，过P 作PO AD ⊥于O ，则点O 为点P 在底面ABC 的正投影． 理由如下：由（Ⅱ）知平面ABC ⊥平面PAD ，且平面ABC 平面PAD AD =，又PO ⊂平面PAD ，PO AD ⊥， 所以PO ⊥平面ABC ，即点O 为点P 在底面ABC 的正投影．…………12分18.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：圆C 的半径为 ||5OC =， …………2分 从而圆C 的方程为22(4)(3)25x y -+-=．…………4分 （Ⅱ）解：作CD AB ⊥于D ，则CD 平分线段AB ．…………5分在直角三角形ADC 中，由点到直线的距离公式，得||3CD =，…………7分所以||4AD ==．…………9分 所以||2||8AB AD ==．…………10分所以△ABC 的面积1||||122S AB CD ==．…………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为 底面ABCD 是菱形，所以 AC BD ⊥．…………2分 因为 AC PD ⊥，…………3分 所以 AC ⊥平面PBD ．…………4分 （Ⅱ）证明：连接PO ． 由（Ⅰ）可知AC BD ⊥．因为平面PAC平面ABCD ，所以 BD ⊥平面PAC ．…………5分 因为 PO ⊂平面PAC ， 所以 BD PO ⊥．…………6分 因为 底面ABCD 是菱形， 所以BO DO =．…………7分 所以 PB PD =．…………8分 （Ⅲ）解：不存在，证明如下．假设存在点M （异于点C ），使得//BM 平面PAD ． 因为菱形ABCD 中，//BC AD ，且BC ⊄平面PAD ， 所以 //BC 平面PAD ．又因为BM ⊂平面PBC ，所以 平面//PBC 平面PAD ．…………11分 这显然矛盾！从而，棱PC 上不存在点M ，使得//BM 平面PAD ．…………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1．分层抽样2．9003．4π4-4．385．π12二、解答题：本大题共3小题，共30分.6.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：从A ，B 两组数据中各随机抽取一个数据，所有不同的取法共有5525⨯=种． …………2分从A 组中取到128,151,125,120时，B 组中符合题意的取法为100,97,100， 共4312⨯=种； …………3分 从A 组中取到100时，B 组中符合题意的取法为100,102,97,101,100， 共155⨯=种； …………4分 因此符合题意的取法共有12517+=种，…………5分 所以该路公交车至少有一次“正点运行”的概率1725P =. …………7分 （Ⅱ）解：B 组数据的方差小于A 组数据的方差．说明疏堵工程完成后，该路公交车全程 运输时间更加稳定，而且“正点运行”率高，运行更加有保障．…………10分7.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：ABC △同时满足①，③，④．理由如下：…………1分 若ABC △同时满足①，②．因为21cos 32B =-<-，且(0,π)B ∈，所以2π3B >．所以πA B +>，矛盾．…………3分 所以ABC △只能同时满足③，④．所以a b >，所以A B >，故ABC △不满足②．…………5分 故ABC △满足①，③，④．（Ⅱ）解：因为2222cos a b c bc A =+-，…………6分所以222173232c c =+-⨯⨯⨯． 解得8c =，或5c =-（舍）．…………8分所以△ABC 的面积1sin 2S bc A ==．…………10分 8.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：圆22:(3)(4)4M x y -+-=的圆心为(3,4)M ，半径2r =．根据平面几何知识得||OA 的最大值为||27OM r +=．…………3分 （Ⅱ）解：设1122(,),(,),(,0)P x y Q x y T t ．因为TA TP TQ +=，所以1122(3,2)(,)(,)t x t y x t y -+-=-， 即21213,2.x x t y y =+-⎧⎨=+⎩①因为点Q 在圆M 上，所以 2222(3)(4)4x y -+-=．②将①代入②，得2211()(2)4x t y -+-=．…………6分于是点11(,)P x y 既在圆M 上，又在圆22()(2)4x t y -+-=上，从而圆22:(3)(4)4M x y -+-=与圆22()(2)4x t y -+-=有公共点．………… 8分所以2222-+，…………9分解得33t -+≤10分。
北京市西城区2019—2020学年度高一第二学期期末试卷及答案
北京市西城区2019—2020学年度第二学期期末试卷高一数学 2020.7本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题 共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）下列各角中，与27︒角终边相同的是 （A ）63︒ （B ）153︒ （C ）207︒（D ）387︒（2）圆柱的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，则圆柱的侧面积为 （A ）220cm π （B ）210cm π （C ）228cm π （D ）214cm π（3）sin()2απ+= （A ）sin α （B ）cos α （C ）sin α-（D ）cos α-（4）设(,)α∈-ππ，且1cos 2α=-，则α=（A ）2π3-或2π3 （B ）π3-或π3（C ）π3-或2π3（D ）2π3-或π3（5）设a ，b 均为单位向量，且14⋅=a b ，则2+=|a b |（A ）3 （B （C ）6（D ）9（6）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(0,)2π上为增函数的是（A ）sin 2y x = （B ）cos2y x = （C ）tan y x =（D ）sin 2xy =（7）向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，则,〈〉=a b（A ）45︒ （B ）60︒ （C ）120︒ （D ）135︒（8）设(0,)αβ,∈π，且αβ>，则下列不等关系中一定成立的是 （A ）sin sin αβ< （B ）sin sin αβ> （C ）cos cos αβ<（D ）cos cos αβ>（9） 将函数()sin 2f x x =的图像向右平移π(0)2ϕϕ<≤个单位，得到函数()g x 的图像．在同一坐标系中，这两个函数的部分图像如图所示，则ϕ=（A ）π6 （B ）π4（C ）π3（D ）π2（10）棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个小棱锥和一个棱台．小棱锥的体积记为y ， 棱台的体积记为x ，则y 与x 的函数图像为（A ） （B ） （C ） （D ）第二部分（非选择题 共100分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。
西城区2019-2020学年度第一学期期末高一数学试题及答案(WORD版)
北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷 高一数学 第1页（共11页）北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷高一数学 2020.1本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题 共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，{|33}B x x =-<<，那么A B =I （ ） （A ）{1,1}- （B ）{2,0}- （C ）{2,0,2}-（D ）{2,1,0,1}--（2）方程组220,2x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（ ）（A ）{(1,1),(1,1)}-- （B ）{(1,1),(1,1)}-- （C ）{(2,2),(2,2)}-- （D ）{(2,2),(2,2)}-- （3）函数11y x =+-的定义域是（ ） （A ）[0,1) （B ）(1,)+∞ （C ）(0,1)(1,)+∞U（D ）[0,1)(1,)+∞U（4）下列四个函数中，在(0,)+∞上单调递减的是（ ） （A ）1y x =+（B ）21y x =-（C ）2x y =（D ）12log y x =（5）设2log 0.4a =，20.4b =，0.42c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）a c b <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<（6）若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ） （A ）ac bd < （B ）ac bd >（C ）ad bc <（D ）ad bc >北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷 高一数学 第2页（共11页）（7）设,a b ∈∈R R ．则“a b >”是“||||a b >”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了 2000mg 该药物，那么x 小时后病人血液中这种药物的含量为（ ） （A ）2000(10.2)mg x - （B ）2000(10.2)mg x - （C ）2000(10.2)mg x - （D ）20000.2mg x ⋅（9）如图，向量a b -等于（ ）（A ）123e e - （B ）123e e - （C ）123e e -+ （D ）123e e -+（10）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为 x ，其函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图像．给出下列四种说法：① 图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ② 图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③ 图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④ 图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本． 其中，正确的说法是（ ） （A ）①③ （B ）①④（C ）②③（D ）②④北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷 高一数学 第3页（共11页）第二部分（非选择题 共100分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。
2019-2020学年北京市西城区2019级高一下学期期末考试数学试卷参考答案
且
OD
1 3
AD
3． 3
在 Rt△POD 中，PO
PD2 OD2
69 3
，
所以正三棱锥
P
ABC
的体积为
1 3
S△ABC
PO
23 ． 3
……… 10 分 ……… 11 分 ……… 13 分
（19）（共 12 分）
解：（Ⅰ）因为 C
3 4
，
所以 A (0, 4) ．
所以
cos A
1
sin 2
A
25 5
(2k
π
π 4
, 2k
π
3π 4
)
(k Z) ．
……… 1 分 ……… 2 分 ……… 3 分 ……… 4 分 ……… 6 分 ……… 7 分 ……… 8 分
……… 9 分 ……… 11 分 ……… 12 分 ……… 13 分
……… 14 分
北京市西城区 2019—2020 学年度第二学期期末试卷 高一数学参考答案 第 3 页（共 5 页）
2019-2020学年北京市西城区2019级高一下学期期末考试数学试卷
（18）（共 13 分） 解：（Ⅰ）取 BC 的中点 D ，连接 PD ．
在 Rt△PBD 中， PD PB2 BD2 2 2 ，………1 分
所以
S△PBC
1 2
BC PD
2
2．
………3 分
因为正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，
2019-2020学年北京市西城区2019级高一下学期期末考试数学试卷
（21）（共 12 分）
解：（Ⅰ）在正方形 DCC1D1 中，直线 D1E 与直线 DC 相交， 设 D1E DC F ，连结 AF ． ……… 2 分
北京市西城区2018 — 2019学年度第二学期期末试卷 高一期末试题
北京市西城区2018 — 2019学年度第二学期期末试卷高一数学2019.7试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷[立体几何初步与解析几何初步]本卷满分：100分三题号 一 二1718 19 本卷总分分数一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知点，，则线段的中点为（ ）(1,2)P (3,0)Q PQ （A ）(4,2)（B ）(2,1)（C ）(2,4)（D ）(1,2)2．直线经过点，，则直线的斜率是（ ）l (0,1)A -(1,1)B l （A ）2（B ）2-（C ）12（D ）12-3．下列直线中，与直线平行的是（ ）320x y +-=（A ） 30x y -=（B ） 30x y -=（C ）30x y +=（D ）30x y +=4．在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行． 其中正确命题的序号是（ ）（A ）① ② （B ）① ③ （C ）② ④（D ）③ ④5．圆的周长是（ ）226160x x y -+-=（A ） 25π（B ）10π（C ）8π（D ）5π6．如图，在长方体中，若分别 1111ABCD A B C D -E F G H ,,, 是棱的中点，则必有（）111111A B BB CC C D ，，，（A ）1//BD GH （B ）//BD EF （C ）平面平面//EFGH ABCD （D ）平面平面//EFGH 11A BCD 7．棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是（ ）（A ）三棱锥 （B ）三棱柱 （C ）四棱锥（D ）四棱柱8．已知点,点在直线上运动．当最小时，点的坐标是(0,1)A B 10x y ++=||AB B （）（A ） (1,1)-（B ） (1,0)- （C ）(0,1)-（D ）(2,1)-9．已知圆的方程为，圆的方程为，那么这两个圆的 1O 224x y +=2O 22()(1)1x a y -+-= 位置关系不可能是（ ）（A ）外离 （B ）外切 （C ）内含（D ）内切10．如图，在空间四边形中，两条对角线互相垂直，且长度分别为4和6， ABCD ,AC BD 平行于这两条对角线的平面与边分别相交于点．记四边形,,,AB BC CD DA ,,,E F G H的面积为，设，则（ ）EFGH y BExAB= （A ）函数的值域为 ()y f x =(0,4] （B ）函数为偶函数()y f x = （C ）函数在上单调递减 ()y f x =2(0,)3（D ）函数满足 ()y f x =()(1)f x f x =-二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．11．直线的倾斜角的大小是______．1y =+12．对于任意实数，直线经过的定点坐标为______． k 1y kx =+13．圆柱的高是，底面圆的半径是，则圆柱的侧面积是______． 2114．圆心为，且与直线相切的圆的方程是______． (1,0)0x y -=15．设三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则三棱锥的 P ABC -1PA PB PC ===P ABC - 体积是______．16．已知点,．若直线上存在点使得，则实数 (1,0)M -(1,0)N :0l x y m +-=P PM PN ⊥m的取值范围是______．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，，．，分别是，的中点． P ABC -PB PC =AB AC =D E BC PB（Ⅰ）求证：平面； //DE PAC （Ⅱ）求证：平面平面；ABC ⊥PAD （Ⅲ）在图中作出点在底面的正投影，并说明理由． P ABC18．（本小题满分12分）已知圆心为的圆经过原点． (43)C ，O （Ⅰ）求圆的方程；C （Ⅱ）设直线与圆交于，两点，求△的面积．34150x y -+=C A B ABC 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，对角线，交于点．P ABCD -ABCD AC BD O（Ⅰ）若，求证：平面； AC PD ⊥AC ⊥PBD （Ⅱ）若平面平面，求证：； PAC ^ABCD PB PD =（Ⅲ）在棱上是否存在点（异于点），使得PC M C。
2018-2019学年北京市西城区高一下学期期末考试数学试卷(解析版)
北京市西城区2018-2019学年高一下学期期末考试数学试卷A 卷[立体几何初步与解析几何初步]一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1.已知点(1,2)P ，(3,0)Q ，则线段PQ 的中点为（）A. (4,2)B.(2,1)C. (2,4)D. (1,2)【答案】B【解析】因为点(1,2)P ，(3,0)Q ，所以PQ 的中点的横坐标为1322+=，纵坐标为2012+=，所以线段PQ 的中点为(2,1)，故本题选B.2.直线l 经过点(0,1)A -，(1,1)B ，则直线l 的斜率是（）A. 2B. 2-C. 12D.12-【答案】A【解析】因为直线l 经过点(0,1)A -，(1,1)B ，所以直线l 的斜率为1(1)210--=-，故本题选A.3.下列直线中，与直线320x y +-=平行的是（） A. 30x y -=B. 30x y -=C. 30x y +=D.30x y +=【答案】C【解析】直线320x y +-=的斜率为3-，在纵轴上的截距为2. 选项A:直线30x y -=的斜率为3，显然不与直线320x y +-=平行；选项B:直线30x y -=的斜率为13，显然不与直线320x y +-=平行；选项C:直线30x y +=的斜率为3-，在纵轴上的截距为0，故与与直线320x y +-=平行；选项D:直线30x y +=的斜率为13-，显然不与直线320x y +-=平行，故本题选C.4.在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行． 其中正确命题的序号是（） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④【答案】D【解析】命题①:平行于同一个平面的两条直线可以平行、相交、异面，显然命题①是假命题；命题②：垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以垂直，显然命题②是假命题； 命题③：这是平行公理显然命题③是真命题；命题④：根据平行线的性质和线面垂直的性质，可以知道这个真命题，故本题选D.5.圆226160x x y -+-=的周长是（） A. 25πB. 10πC. 8πD. 5π【答案】B【解析】22226160(3)25x x y x y -+-=⇒-+=，所以圆的半径为5，因此圆的周长为10π，故本题选B.6.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,E F G H 分别是棱111111A B BB CC C D ，，，的中点，则必有（）A. 1BD GHB. BD EFC. 平面EFGH 平面ABCDD. 平面EFGH 平面11A BCD【答案】D【解析】选项A:由中位线定理可知：1GH D C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以1,BD GH不可能互相平行，故A 选项是错误的；选项B: 由中位线定理可知：1EFA B，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以,BD EF 不可能互相平行，故B 选项是错误的； 选项C: 由中位线定理可知：1EFA B，而直线1A B与平面ABCD 相交，故直线EF 与平面ABCD 也相交，故平面EFGH 与平面ABCD 相交，故C 选项是错误的； 选项D:由三角形中位线定理可知：111,EF A B EH A D ，所以有EF 平面11A BCD ，EH平面11A BCD 而EFEH E =，因此平面//EFGH 平面11A BCD ，故本题选D.7.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是()A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱【答案】B【解析】由三视图可知，剩余几何体是如图所示的四棱柱11ABEA DCFD -，则截去的部分是三棱柱11BB E CC F-，故选B.8.已知点(0,1)A ,点B 在直线10x y ++=上运动．当||AB 最小时，点B 的坐标是（）A. (1,1)-B. (1,0)-C. (0,1)-D. (2,1)-【答案】B【解析】因为点B 在直线10x y ++=上运动，所以设点B 的坐标为(,1)x x --，由两点间距离公式可知：AB ==1x =-时, ||AB B 的坐标是(1,0)-，故本题选B.9.已知圆1O 的方程为224x y +=，圆2O 的方程为22()(1)1x a y -+-=，那么这两个圆的位置关系不可能是（） A. 外离B. 外切C. 内含D. 内切【答案】C 【解析】因为圆1O 的方程为224x y +=，所以圆1O 的圆心坐标为(0,0)，半径为2，又因为圆2O 的方程为22()(1)1x a y -+-=，所以圆2O 的圆心坐标为(,1)a ，半径为1，因此有121O O =≥，两圆的半径和为3，半径差的绝对值为1，故两圆的圆心距不可能小于两圆的半径差的绝对值，不可能是内含关系，故本题选C.10.如图，在空间四边形ABCD 中，两条对角线,AC BD 互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边,,,AB BC CD DA 分别相交于点,,,E F G H ，记四边形EFGH 的面积为y ，设BE x AB =，则（）A. 函数()y f x =值域为(0,4]B. 函数()y f x =的最大值为8C. 函数()y f x =在2(0,)3上单调递减D. 函数()y f x =满足()(1)f x f x =-【答案】D【解析】由题可得，////EF AC HG AC ，，所以//EF HG ．同理////EH BD GF BD ，，所以//EH GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形．又AC BD ⊥，所以EF EH ⊥，所以平行四边形EFGH 为矩形．因为//EF AC ，所以EF BFx AC AB ==，所以4EF x =,因为//EH BD ，所以1AE EHx AB BD ==-，所以()61-EH x =．所以矩形EFGH 的面积()()24101y x x x =-<<．函数()y f x =图象关于12x =对称，在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，可求得()max 162f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.所以值域是(]0,6. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 11.直线1y =+的倾斜角的大小是______． 【答案】π3（或60）【解析】πtan [0,π)3θθθ=∈∴=. 12.对于任意实数k ，直线1y kx =+经过的定点坐标为______． 【答案】(0,1)【解析】对于任意实数k ，直线1y kx =+在纵轴上的截距圴为1，因此直线1y kx =+经过的定点坐标为(0,1).13.圆柱的高是2，底面圆的半径是1，则圆柱的侧面积是______． 【答案】4π【解析】因为圆柱的侧面积公式为:2πS rl =，（其中,r l 分别是圆柱底面的半径和圆柱的母线），因为圆柱的高是2，所以圆柱的母线也是2，因此圆柱的侧面积为2π4πS rl ==. 14.圆心为(1,0)，且与直线0x y -=相切的圆的方程是______． 【答案】221(1)2x y -+=【解析】圆心(1,0)到直线0x y -=2=，而直线0x y -=是圆的切线，所以圆的半径为2，因此圆的方程为221(1)2x y -+=.15.设三棱锥P ABC -的三条侧棱两两垂直，且1PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -的体积是______．【答案】16【解析】由题意可知:,,PA PB PB PC PA PC ⊥⊥⊥，因为PB PC P ⋂=,,PB PC ⊂平面PBC ,所以有PA ⊥平面PBC ,所以三棱锥P ABC -的体积是-P ABC A PBC V V -==11113326BPC S AP PB PC PA ∆⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=.16.已知点(1,0)M -,(1,0)N ．若直线:0l x y m +-=上存在点P 使得PM PN ⊥，则实数m 的取值范围是______．【答案】[【解析】设直线:0l x y m +-=上存在点P 使得PM PN ⊥，点P 的坐标为(,)x m x -， 则(1,),(1,)MP x m x NP x m x =+-=--，因为PM PN ⊥，所以MP NP ⊥， 由平面向量数量积的坐标表示公式可得，(1)(1)()()0x x m x m x +-+--=，222210x mx m ⇒-+-=，由题意可知该方程有实根，即22(2)8(1)0m m ∆=---≥，解得m ≤≤三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.如图，在三棱锥P ABC -中，PB PC =，AB AC =．D ，E 分别是BC ，PB 的中点．（Ⅰ）求证：DE 平面PAC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面PAD ；（Ⅲ）在图中作出点P 在底面ABC 的正投影，并说明理由． （Ⅰ）证明：因为D ，E 分别是BC ，PB 的中点，所以DE PC ． 因为DE ⊄平面PAC ，所以DE 平面PAC ．（Ⅱ）证明：因为PB PC =，AB AC =，D 是BC 的中点，所以PD BC ⊥，AD BC ⊥．所以BC ⊥平面PAD ．所以平面ABC ⊥平面PAD ． （Ⅲ）解：在△PAD 中，过P 作PO AD ⊥于O ，则点O 为点P 在底面ABC 的正投影．理由如下：由（Ⅱ）知平面ABC ⊥平面PAD ，且平面ABC平面PAD AD =，又PO ⊂平面PAD ，PO AD ⊥，所以PO ⊥平面ABC ， 即点O 为点P 在底面ABC 的正投影．18.已知圆心为(43)C ，的圆经过原点O ． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线34150x y -+=与圆C 交于A ，B 两点，求△ABC 的面积．（Ⅰ）解：圆C 的半径为||5OC ==，从而圆C 的方程为22(4)(3)25x y -+-=． （Ⅱ）解：作CD AB ⊥于D ，则CD 平分线段AB ．在直角三角形ADC 中，由点到直线的距离公式，得||3CD ==，所以||4AD ==．所以||2||8AB AD ==．所以△ABC 的面积1||||122S AB CD ==．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．（Ⅰ）若AC PD ⊥，求证：AC ⊥平面PBD ； （Ⅱ）若平面PAC ⊥平面ABCD ，求证：PB PD =；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M （异于点C ），使得BM ∥平面PAD ？说明理由． （Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是菱形， 所以AC BD ⊥．因为AC PD ⊥，BD PD D =，,BD PD ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ． （Ⅱ）证明：连接PO ．由（Ⅰ）可知AC BD ⊥．因为平面PAC ⊥平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAC ． 因为PO ⊂平面PAC ，所以BD PO ⊥．因为底面ABCD 是菱形，所以BO DO =．所以PB PD =． （Ⅲ）解：不存在，证明如下．假设存在点M （异于点C ），使得BM 平面PAD ．因为菱形ABCD 中，BC AD ，且BC ⊄平面PAD ，所以BC 平面PAD ． 又因为BM ⊂平面PBC ，所以平面PBC 平面PAD ．这显然矛盾！ 从而，棱PC 上不存在点M ，使得BM ∥平面PAD ．B 卷 [学期综合]本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上． 20.某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________. 【答案】分层抽样【解析】由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样，故答案为：分层抽样.21.从某校3000名学生中随机抽取若干学生，获得了他们一天课外阅读时间（单位：分钟）的数据，整理得到频率分布直方图如下．则估计该校学生中每天阅读时间在[70,80)的学生人数为_____．【答案】900【解析】因为在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1，所以有下列等式成立：(0.0050.0350.0200.010)1010.03a a ++++⨯=⇒=，在[70,80)这个组内，频率与组距之比的值为0.03，所以频率为0.03100.3⨯=，因此3000名学生每天阅读时间在[70,80)的学生人数为0.33000=900⨯.22.设正方形ABCD 的边长是2，在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点A 的距离大于2的概率是_____． 【答案】4π4- 【解析】正方形ABCD 的面积为224⨯=，如下图所示：阴影部分的面积为:21π2π4⋅⋅=，在正方形内，阴影外面部分的面积为4π-，则在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点A 的距离大于2的概率是4π4-.23.从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为_____．【答案】38【解析】写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的个数为4416⨯=，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件为：(2,1),(3,1),(3,2)(4,1)(4,2),(4,3)，共6个，因此抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为63168=. 24.在△ABC 中，2a =，c =sin cos 0A A +=，则角B 的大小为_____．【答案】π12【解析】因为角A 是三角形的内角，所以(0,π)A ∈，又因为sin cos 0A A +=，所以有tan 1A =-，所以3π4A =，由正弦定理可知：1sin sin sin sin 2a c C A C C=⇒=⇒=，因为3π4A =，所以π(0,)4C ∈，因此π6C =，由三角形内角和定理可知：ππ12 B A C=--=.二、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25.为缓解交通运行压力，某市公交系统实施疏堵工程．现调取某路公交车早高峰时段全程运输时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组；从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组．A组：128100*********B组：10010297101100（Ⅰ）该路公交车全程运输时间不超过100分钟，称为“正点运行”．从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率；（Ⅱ）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义．（Ⅰ）解：从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，所有不同的取法共有5525⨯=种．从A组中取到128,151,125,120时，B组中符合题意的取法为100,97,100，共4312⨯=种；从A组中取到100时，B组中符合题意的取法为100,102,97,101,100，共155⨯=种；因此符合题意的取法共有12517+=种，所以该路公交车至少有一次“正点运行”的概率1725 P=.（Ⅱ）解：B组数据的方差小于A组数据的方差．说明疏堵工程完成后，该路公交车全程运输时间更加稳定，而且“正点运行”率高，运行更加有保障．26.已知ABC△同时满足下列四个条件中的三个：①π3A=；②2cos3B=-；③7a=；④3b=．（Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求ABC△的面积．（Ⅰ）解：ABC△同时满足①，③，④．理由如下：若ABC△同时满足①，②．因为21cos 32B =-<-，且(0,π)B ∈，所以2π3B >．所以πA B +>，矛盾． 所以ABC △只能同时满足③，④．所以a b >，所以A B >，故ABC △不满足②． 故ABC △满足①，③，④．（Ⅱ）解：因为2222cos a b c bc A =+-，所以222173232c c =+-⨯⨯⨯．解得8c =，或5c =-（舍）．所以△ABC的面积1sin 2S bc A ==．27.在直角坐标系xOy 中，已知圆22:(3)(4)4M x y -+-=及其上一点A ． （Ⅰ）求||OA 的最大值；（Ⅱ）设(3,2)A ，点T 在x 轴上．若圆M 上存在两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求点T 的横坐标的取值范围．（Ⅰ）解：圆22:(3)(4)4M x y -+-=的圆心为(3,4)M ，半径2r =． 根据平面几何知识得||OA的最大值为||27OM r +=．（Ⅱ）解：设1122(,),(,),(,0)P x y Q x y T t ．因为TA TP TQ +=，所以1122(3,2)(,)(,)t x t y x t y -+-=-，即21213,2.x x t y y =+-⎧⎨=+⎩①因为点Q 在圆M 上，所以2222(3)(4)4x y -+-=．② 将①代入②，得2211()(2)4x t y -+-=．于是点11(,)P x y 既在圆M 上，又在圆22()(2)4x t y -+-=上，从而圆22:(3)(4)4M x y -+-=与圆22()(2)4x t y -+-=有公共点．所以2222-+，解得33t -+≤。
北京市西城区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
北京市西城区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. sin(−π3)的值是( )A. 12B. −12C. √32D. −√32【答案】D【解析】解：sin(−π3)=−sin π3=−√32，故选：D ．由条件利用诱导公式进行化简求值，可得结论． 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．2. 函数f(x)=sin(x2+π3)的最小正周期为( )A. πB. 2πC. 4πD. 6π【答案】C【解析】解：函数f(x)=sin(x 2+π3)的最小正周期为：T =2π12=4π．故选：C ．直接利用三角函数的周期求解即可．本题考查三角函数的简单性质的应用，周期的求法，考查计算能力．3. 如果向量a ⃗ =(0,1)，b ⃗ =(−2,1)，那么|a ⃗ +2b⃗ |=( ) A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】B【解析】解：由向量a ⃗ =(0,1)，b ⃗ =(−2,1)， 所以a ⃗ +2b ⃗ =(−4,3)，由向量的模的运算有：|a ⃗ +2b ⃗ |=√(−4)2+33=5， 故选：B ．本由向量加法的坐标运算有：a ⃗ +2b ⃗ =(−4,3)，由向量的模的运算有|a ⃗ +2b ⃗ |=√(−4)2+33=5，得解．本题考查了向量加法的坐标运算及向量的模的运算，属简单题． 4.sin(π2−α)cos(−α)=( )A. tanαB. −tanαC. 1D. −1【答案】C 【解析】解：sin(π2−α)cos(−α)=cosαcosα=1．故选：C ．利用诱导公式化简即可计算得解．本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．5. 已知函数y =sinx 和y =cosx 在区间I 上都是减函数，那么区间I 可以是( )A. (0,π2)B. (π2,π) C. (π,3π2) D. (3π2,2π)【答案】B【解析】解：A ：y =sinx 在(0,π2)上是增函数； C ：y =cosx 在(π,3π2)上是增函数；D ：y =cosx 在(3π2,2π)上是增函数． 故选：B ．依次分析四个选项可得结果．本题考查了正、余弦函数的单调区间，熟练掌握函数图象是关键，属基础题．6. 如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ D. DC ⃗⃗⃗⃗⃗【答案】D【解析】解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：D ．根据向量加法和减法的几何意义即可得出答案． 考查向量加法和减法的几何意义．7. 已知a ⃗ ，b ⃗ 为单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =−√22，那么向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角是( )A. π4B. π2C. 2π3D. 3π4【答案】D【解析】解：∵a ⃗ ,b ⃗ 为单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =−√22； ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >=cos <a ⃗ ,b ⃗ >=−√22；又0≤<a ⃗ ,b ⃗ >≤π；∴<a ⃗ ,b ⃗ >=3π4．故选：D ．根据条件即可求出cos <a ⃗ ,b ⃗ >=−√22，根据向量夹角的范围即可求出向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角． 考查单位向量的概念，向量数量积的计算公式，以及向量夹角的范围．8. 设α∈[0,2π)，则使sinα>12成立的α的取值范围是( )A. (π3,2π3)B. (π6,5π6)C. (π3,4π3)D. (7π6,11π6)【答案】B【解析】解：∵α∈[0,2π)，sinα>12， ∴π6<α<5π6．∴设α∈[0,2π)，则使sinα>12成立的α的取值范围是(π6,5π6).故选：B ．利用正弦函数的图象和性质直接求解．本题考查满足正弦值的角的取值范围的求法，考查正弦函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9. 已知函数f(x)=A 1sin(ω1x +φ1)，g(x)=A 2sin(ω2x +φ2)，其图象如图所示.为得到函数g(x)的图象，只需先将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再( )A. 向右平移π6个单位 B. 向右平移π3个单位 C. 向左平移π6个单位D. 向左平移π3个单位【答案】A【解析】解：函数f(x)=A 1sin(ω1x +φ1)，g(x)=A 2sin(ω2x +φ2)，其图象如图所示， 可见f(x)的周期为2π，g(x)的周期为π，且f(x)图象上的点(0,0)，在g(x)的图象上对应(π6,0)，为得到函数g(x)的图象，只需先将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，在向右平移π6个单位， 故选：A ．利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．10. 在△ABC 中，A =π2，AB =2，AC =1.D 是BC 边上的动点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( )A. [−4,1]B. [1,4]C. [−1,4]D. [−4,−1]【答案】A【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示；则A(0,0)，B(2,0)，C(0,1)， 设D(x,y)，则x2+y =1，x ∈[0,2]； ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1)，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +y =−2x +(1−12x)=−52x +1∈[−4,1]，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[−4,1]． 故选：A ．建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围即可． 本题考查了平面向量数量积的计算问题，是基础题．二、填空题（本大题共11小题，共44.0分）11. 若cosθ=−12，且θ为第三象限的角，则tanθ=______． 【答案】√3【解析】解：∵cosθ=−12，且θ为第三象限的角， ∴sinθ=−√1−sin 2θ=−√32， ∴tanθ=sinθcosθ=−√32−12=√3．故答案为：√3．由已知利用同角三角函数基本关系式先求sinθ，进而可求tanθ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．12. 已知向量a ⃗ =(1,2).与向量a ⃗ 共线的一个非零向量的坐标可以是______． 【答案】(2,4)【解析】解：2a⃗ =(2,4)与a ⃗ 共线； 即与向量a⃗ 共线的一个非零向量的坐标可以是(2,4)． 故答案为：(2,4)．可求出2a ⃗ =(2,4)，而2a ⃗ 与a ⃗ 共线，即得出与向量a ⃗ 共线的一个非零向量的坐标可以是(2,4)．考查共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算．13. 如果tan(x +π3) =0 (x >0)，那么x 的最小值是______． 【答案】2π3【解析】解：tan(x +π3) =0 (x >0)， 可得x +π3=kπ， 即x =kπ−π3，k ∈N ∗， 可得x 的最小值为π−π3=2π3，故答案为：2π3，由正切韩寒说的图象和性质可得x +π3=kπ，k 为正整数，即可得到所求最小值． 本题考查三角方程的解法，注意运用正切函数的图象和性质，考查运算能力，属于基础题．14. 如图，已知正方形ABCD.若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ，μ∈R ，则λμ=______．【答案】−1【解析】解：∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=−1，μ=1， ∴λμ=−1， 故答案为：−1．利用向量加减法容易把AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示成AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得λ，μ，得解． 此题考查了向量加减法，属容易题．15. 在直角坐标系xOy 中，已知点A(3,3)，B(5,1)，P(2,1)，M 是坐标平面内的一点．①若四边形APBM 是平行四边形，则点M 的坐标为______； ②若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点M 的坐标为______． 【答案】(6,3) (4,2)【解析】解：①设M(x,y)，则：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−x,1−y)； ∵四边形APBM 是平行四边形； ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴(−1,−2)=(5−x,1−y)； ∴{1−y =−25−x=−1； 解得{y =3x=6；∴点M 的坐标为(6,3)；②PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y −1)； ∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴(1,2)+(3,0)=2(x −2,y −1)； ∴(4,2)=(2(x −2),2(y −1))； ∴{2(y −1)=22(x−2)=4； 解得{y =2x=4；∴点M 的坐标为(4,2)． 故答案为：(6,3)，(4,2)．①可设M(x,y)，得出AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−x,1−y)，根据四边形APBM 为平行四边形即可得出AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得出(−1,−2)=(5−x,1−y)，从而得到{1−y =−25−x=−1，解出x ，y 即可；②可求出PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y −1)，根据PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得出(4,2)=(2(x −2),2(y −1))，从而得出{2(y −1)=22(x−2)=4，解出x ，y 即可．考查相等向量的概念，根据点的坐标可求向量的坐标，向量坐标的加法和数乘运算．16.设函数f(x)=sin(ωx+π3).若f(x)的图象关于直线x=π6对称，则ω的取值集合是______．【答案】{ω|ω=6k+1,k∈Z}【解析】解：由题意ωπ6+π3=kπ+π2，k∈Z，得ω=6k+1，k∈Z，故答案为：{ω|ω=6k+1,k∈Z}．利用正弦函数图象的对称轴为x=kπ+π2，列出关于ω的方程，得解．此题考查了正弦函数的对称性，难度不大．17.若集合A={x|0<x<3}，B={x|−1<x<2}，则A∪B=______．【答案】{x|−1<x<3}【解析】解：∵集合A={x|0<x<3}，B={x|−1<x<2}，∴A∪B={x|−1<x<3}．故答案为：{x|−1<x<3}．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.函数f(x)=1log2x的定义域是______．【答案】{x|0<x<1或x>1}【解析】解：由函数的解析式可得log2x≠0，即{x≠1x>0，解得函数的定义域为{x|0<x<1或x>1}，故答案为{x|0<x<1或x>1}．由函数的解析式可得log2x≠0，即{x≠1x>0，由此求得函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求法，对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，属于基础题．19.已知三个实数a=312，b=√2，c=log32.将a，b，c按从小到大排列为______．【答案】c<b<a【解析】解：312=√3>√2>1，log32<log33=1；∴c<b<a．故答案为：c<b<a．容易得出312>√2>1，log32<1，从而a，b，c从小到大排列为c<b<a．考查对数函数和y =√x 的单调性，以及增函数的定义．20. 里氏震级M 的计算公式为：M =lgA −lgA 0，其中A 0=0.005是标准地震的振幅，A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅.在一次地震中，测震仪记录的地震曲线的最大振幅是500，则此次地震的里氏震级为______级；8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的______倍. 【答案】5 1000【解析】解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是500，此时标准地震的振幅为0.005，则M =lgA −lgA 0=lg500−lg0.005=lg105=5． 设8级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ， 8=lgx +5，5=lgy +5，解得x =103，y =1， ∴x y=1000．故答案为：5；1000．根据题意中的假设，可得M =lgA −lgA 0=lg500−lg0.005=lg105=5；设8级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ，8=lgx +5，5=lgy +5，由此知8级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的1000倍．本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用，是基础题．21. 已知函数f(x)={x −1, c <x ≤3.x 2+x, −2≤x≤c若c =0，则f(x)的值域是______；若f(x)的值域是[−14,2]，则实数c 的取值范围是______．______． 【答案】[−14,+∞) [12,1] [12,1]【解析】解：c =0时，f(x)=x 2+x =(x +12)2−14， f(x)在[−2,−12)递减，在(−12,0]递增， 可得f(−2)取得最大值，且为2，最小值为−14； 当0<x ≤3时，f(x)=1x 递减，可得f(3)=13， 则f(x)∈[13,+∞)，综上可得f(x)的值域为[−14,+∞)；∵函数y =x 2+x 在区间[−2,−12)上是减函数， 在区间(−12,1]上是增函数，∴当x ∈[−2,0)时，函数f(x)最小值为f(−12)=−14， 最大值是f(−2)=2；由题意可得c>0，∵当c<x≤3时，f(x)=1x 是减函数且值域为[13,1c)，当f(x)的值域是[−14,2]，可得12≤c≤1．故答案为：[−14,+∞)；[12,1]．若c=0，分别求得f(x)在[−2,0]的最值，以及在(0,3]的范围，求并集即可得到所求值域；讨论f(x)在[−2,1]的值域，以及在(c,3]的值域，注意c>0，运用单调性，即可得到所求c的范围．本题给出特殊分段函数，求函数的值域，并在已知值域的情况下求参数的取值范围，着重考查了函数的值域和二次函数的单调性和最值等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共66.0分）22.已知α∈(0,π2)，且sinα=35．(Ⅰ)求sin(α−π4)的值；(Ⅱ)求cos2α2+tan(π4+α)的值．【答案】解(Ⅰ)：因为α∈(0,π2)，sinα=35，所以cosα=√1−sin2α=45．所以sin(α−π4)=√22(sinα−cosα)=−√210．(Ⅱ)：因为sinα=35，cosα=45，所以tanα=sinαcosα=34．所以cos2α2+tan(π4+α)=1+cosα2+1+tanα1−tanα=7910．【解析】(Ⅰ)根据同角的三角函数的关系，以及两角差的正弦公式即可求出，(Ⅱ)根据二倍角公式和两角和的正切公式即可求出．本题考查同角的三角形函数的关系，以及两角差的正想说和二倍角公式，属于中档题23.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，其中A>0，ω>0，|φ|<π．(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)求f(x)在区间[π2,π]上的最大值和最小值；(Ⅲ)写出f(x)的单调递增区间．【答案】(Ⅰ)解：由函数f(x)=Asin(ωx +φ)的部分图象可知 A =3， 因为 f(x)的最小正周期为T =7π6−π6=π，所以 ω=2πT=2．令 2×π6+φ=π2，解得 φ=π6，适合|φ|<π． 所以 f(x)=3sin(2x +π6)．(Ⅱ)解：因为x ∈[π2,π]，所以2x +π6∈[7π6, 13π6]．所以，当2x +π6=13π6，即x =π时，f(x)取得最大值32，当2x +π6=3π2，即x =2π3时，f(x)取得最小值−3．(Ⅲ)解：结合f(x)的图象可得它的单调递增区间为[ kπ−π3, kπ+ π6 ](k ∈Z)． 【解析】(Ⅰ)由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f(x)的解析式．(Ⅱ)利用正弦函数的定义域和值域，求得f(x)在区间[π2,π]上的最大值和最小值． (Ⅲ)由f(x)的图象，可得它的单调递增区间．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的增区间，属于中档题．24. 在直角坐标系xOy 中，已知点A(−1,0)，B(0,√3)，C(cosθ,sinθ)，其中θ∈[ 0, π 2]． (Ⅰ)求AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值；(Ⅱ)是否存在θ∈[ 0, π 2]，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求出θ的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】解：(Ⅰ)由题意，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ+1,sinθ)， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ,sinθ−√3)； ……………………(2分)所以 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ+1)⋅cosθ+sinθ⋅(sinθ−√3)……………………(3分)=cosθ−√3sinθ+1=2cos(θ+π3)+1； ……………………(4分)因为 θ∈[ 0, π2]，所以 θ+π3∈[π3, 5π6]； ……………………(5分)所以 当θ+π3=π3，即θ=0时，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值2； ……………………(6分) (Ⅱ)因为|AB|=2，|AC| =√(1+cosθ)2+sin 2θ=√2+2cosθ，|BC| =√cos 2θ+(sinθ−√3)2=√4−2√3sinθ； 又 θ∈[ 0, π2]，所以 sinθ∈[0,1]，cosθ∈[0,1]， 所以|AC|≤2，|BC|≤2；所以 若△ABC 为钝角三角形，则角C 是钝角， 从而CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ <0；………………(8分) 由(Ⅰ)得2cos(θ+π3)+1<0，解得cos(θ+π3)<−12； ……………………(9分)所以 θ+π3∈(2π3, 5π6]，即θ∈(π3, π2]； ……………………(11分) 反之，当θ∈(π3, π2]时，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ <0， 又 A ，B ，C 三点不共线，所以△ABC 为钝角三角形；综上，当且仅当θ∈(π3, π2]时，△ABC 为钝角三角形.……………………(12分)【解析】(Ⅰ)由平面向量数量积的坐标运算，利用三角恒等变换求得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值2； (Ⅱ)由两点间的距离公式求得|AC|、|BC|，并判断△ABC 为钝角三角形时角C 是钝角， 利用CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ <0，结合题意求得θ的取值范围． 本题考查了平面向量的数量积与解三角形的应用问题，是中档题．25. 已知函数f(x)=xx 2−1．(Ⅰ)证明：f(x)是奇函数；(Ⅱ)判断函数f(x)在区间(−1,1)上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明． 【答案】解：(Ⅰ)：函数f(x)的定义域为D ={x|x ≠±1}.……………………(1分) 对于任意x ∈D ，因为 f(−x)=−x(−x)2−1=−f(x)，……………………(3分) 所以 f(x)是奇函数. ……………………(4分)(Ⅱ)解：函数f(x)=xx 2−1在区间(−1,1)上是减函数.……………………(5分) 证明：在(−1,1)上任取x 1，x 2，且 x 1<x 2，……………………(6分)则 f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12−1−x2x 22−1=(1+x 1x 2)(x 2−x 1)(x 12−1)(x 22−1). ……………………(8分)由−1<x 1<x 2<1，得 1+x 1x 2>0，x 2−x 1>0，x 12−1<0，x 22−1<0，所以 f(x 1)−f(x 2)>0，即 f(x 1)>f(x 2).所以 函数f(x)=xx 2−1在区间(−1,1)上是减函数.……………………(10分)【解析】(Ⅰ)先求定义域，再用奇函数的定义f(−x)=−f(x)证明f(x)为奇函数； (Ⅱ)按照①取值，②作差，③变形，④判号，⑤下结论，这5个步骤证明． 本题考查了奇偶性与单调性的综合，属中档题．26. 已知函数f(x)=ax 2+x 定义在区间[0,2]上，其中a ∈[−2,0]．(Ⅰ)若a =−1，求f(x)的最小值； (Ⅱ)求f(x)的最大值．【答案】解：(Ⅰ)根据题意，当a =−1时，f(x)=−x 2+x =−(x −12)2+14； 所以 f(x)在区间(0,12)上单调递增，在(12,2)上f(x)单调递减． 因为 f(0)=0，f(2)=−2， 所以 f(x)的最小值为−2． (Ⅱ)①当a =0时，f(x)=x ． 所以 f(x)在区间[0,2]上单调递增， 所以 f(x)的最大值为f(2)=2．当−2≤a <0时，函数f(x)=ax 2+x 图象的对称轴方程是x =−12a ． ②当0<−12a ≤2，即−2≤a ≤−14时，f(x)的最大值为f(−12a )=−14a ． ③当−14<a <0时，f(x)在区间[0,2]上单调递增， 所以 f(x)的最大值为f(2)=4a +2．综上，当−2≤a ≤−14时，f(x)的最大值为f(−12a )=−14a ； 当−14<a ≤0时，f(x)的最大值为4a +2．【解析】(Ⅰ)根据题意，将a =−1代入函数的解析式，结合二次函数的性质分析可得 f(x)在区间(0,12)上单调递增，在(12,2)上f(x)单调递减，分析可得答案；(Ⅱ)根据题意，按a 的取值范围分情况讨论，求出函数的最大值，综合即可得答案． 本题考查二次函数的性质以及函数的最值，注意结合函数的单调性进行讨论．27. 已知函数f(x)的定义域为D.若对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2，都有f(x 1)+f(x 2)<2f(x 1+x 22)，则称函数f(x)为“凸函数”．(Ⅰ)判断函数f 1(x)=2x 与f 2(x)=√x 是否为“凸函数”，并说明理由； (Ⅱ)若函数f(x)=a ⋅2x +b(a,b 为常数)是“凸函数”，求a 的取值范围； (Ⅲ)写出一个定义在(12,+∞)上的“凸函数”f(x)，满足0<f(x)<x.(只需写出结论)【答案】(本小题满分10分)(Ⅰ)解：对于函数f 1(x)=2x ，其定义域为R ．取x 1=0，x 2=1，有f(x 1)+f(x 2)=f(0)+f(1)=2，2f(x 1+x 22)=2f(12)=2，所以 f(x 1)+f(x 2)=2f(x 1+x 22)，所以 f 1(x)=2x 不是“凸函数”.…………(2分)对于函数f 2(x)=√x ，其定义域为[0,+∞)．对于任意x1，x2∈[0,+∞)，且x1≠x2，由[f(x1)+f(x2)]2−[2f(x1+x22)]2=(√x1+√x2)2−(2√x1+x22)2=−(√x1−√x2)2<0，所以[f(x1)+f(x2)]2<[2f(x1+x22)]2．因为f(x1)+f(x2)>0，2f(x1+x22)>0，所以f(x1)+f(x2)<2f(x1+x22)，所以f2(x)=√x是“凸函数”.……………(4分) (Ⅱ)解：函数f(x)=a⋅2x+b的定义域为R．对于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，f(x1)+f(x2)−2f(x1+x22)=(a⋅2x1+b)+(a⋅2x2+b)−2(a⋅2x1+x22+b)……………………(5分)=a(2x1+2x2−2×2x1+x22)=a(2x12−2x22)2.……………………(7分)依题意，有a(2x12−2x22)2<0．因为(2x12−2x22)2>0，所以a<0.……………………(8分)(Ⅲ)f(x)=√x−12 (x>12).(注：答案不唯一)……………………(10分)【解析】(Ⅰ)取x1=0，x2=1，有f(x1)+f(x2)=f(0)+f(1)=2，2f(x1+x22)=2f(12)=2，验证，然后利用单调性证明即可．(Ⅱ)函数f(x)=a⋅2x+b的定义域为R.对于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，f(x1)+f(x2)−2f(x1+x22)转化证明即可．(Ⅲ)f(x)=√x−12 (x>12)．本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力．。
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西城区高一数学期末试题201X
要多练习，知道自己的不足，对大家的学习有所帮助，详细内容请看下文西城
区高一数学期末试题。
一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上.
1.函数的定义域是_____.
2.若幂函数的图象过点，则 _____.
3. _____.
4.函数的零点是_____.
5.设是定义在上的偶函数，且在上是减函数.若，则实数的取值范围是
_____.
二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤.
6.(本小题满分10分)
已知全集，集合， .
(Ⅰ)求集合 ;
(Ⅱ)若，求实数的取值范围.
7.(本小题满分10分)
已知函数，其中 .
(Ⅰ)若的图象关于直线对称，求的值;
(Ⅱ)求在区间上的最小值.
8.(本小题满分10分)。