新人教版八年级数学下《16.1 二次根式 二次根式化简》优质课教学设计_62
二次根式（第一课时） 1、了解二次根式的概念．
2 2、理解 a （a≥ 0）是一个非负数，（ a ）2=a（ a≥0）， a =a
（a≥0）． 先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．• 再对概念的内涵实行分析，得出几个重要结论，并使用这些重要结论 实行二次根式的计算和化简． 培养学生辩证唯物主义观点.发展学生观察、分析、发现问题的水平．
课标 要求 教材 分析
1、了解二次根式的概念 2、掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题； 本节课是人教版八年级上册第 16 章二次根式第一节二次根式第一课时的内 容，它是前面学习的数的开方的后继学习，也是学习二次根式的运算的基础， 他在整个初中阶段起着重要的作用，贯穿始终，为后继学习打下夯实的基础。 它是学习本章的关键，它也是学习二次根式的化简和运算的依据。
. 学生思考并回答
使学生回忆平方 根和算术平方根 的内容
学生发现所填结果都表 示一个数的算术平方根， 教师引导学生用一
时 的高度 h(单位：m)满足关系 h=5t2。如 果 用 含 有 h 的 式 子 表 示 t, 则 ； 在上面的问题中，结果分别 是 ， ， ，它们都是表 示一些正数的算数平方根。 2、思考下列问题①—1 有算术平方根 吗？ ②0 的算术平方根是多少？③当 a<0， a 有意义吗？ 3、二次根式是怎样定义的？ 4 自学例 1 知道如何求一个字母的取 值范围？ 活动二接触新知 1. 二次根式的定义：一般 的,我们把形如 a ( a ≥0)的式子叫 做二次根式， “ ” 称为二次根号. 个式子表示这些有共同 特点的式子。 学生观察所得结果的特 点
利用开方开 不进的式子引出 二次根式的定义. 请同学们思考： 为什么一 定要加上 a ≥0 这个条 件?引导学生说出只有正 数和零才有平方根， 负数 没有平方根
2.例题与练习 例 1.下列各式是否为二次根式?
（1） m 2 1 ;（2） a 2 ; （3） n 2 ;（4） a 2 ; （5） x y . 解：（1）∵m ≥0, ∴m +1>0 ∴ m 2 1 是二次根式. （2）∵ a ≥0,
4
3 B． 7
C． x C． 8
D． x
1 D． x 1 C． 5 ；
2、 下列式子中， 不是二次根式的是 （
）
A．
B． 16
3、已知一个正方形的面积是 5，那么它的边长是（
） A．5 ； B． 5 ；
D．以上皆不对；
4、 形如________的式子叫做二次根式． 5、 面积为 a 的正方形的边长为________． 6、负数________平方根． 7、面积为 S 的圆的半径为 ； 8、某工厂要制作一批体积为 1m3 的产品包装盒，其高为 0.2m，按设计需要，•底面 应做成正方形，试问底面边长应是 ；
问题与情境 师生行为 设计意图
活动一回顾与思考 1、思考：用带根号的式子填空，看看 写出的结果有什么特点： （1）面积为 S 的正方形的边长 为 ； （2）要修建一个面积为 6.28cm2 的圆 形喷水池， 他的半径为 m （∏ 取 3.14） （3）物体从高处自由落下，落到 地面所用的时间 t(单位： s)与开始落下
布置作业： A 类：教材 P5---习题 16.1 第一题 B 类： 1、当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)
己的错误避免今 后再出现同样的 失误. 分层作业
3a ;(2)
a 1 ;(3)
6 2a2 .
课堂检测 1、 下列式子中， 是二次根式的是 （ ）
A． - 7
2 2 2
（1）小题与学生一起分 析；
（2）小题请学生分析；
∴ a 2 是二次根式; （3）∵n ≥0,∴-n ≤0, ∴当 n=0 时 n 2 才是二次根式； （4）当 a -2≥0 时是二次
2 2
进一步巩固 被开方数一定要 大于等于零这个 （3）小题请学生认真思 条件. 考后回答；
（5）两小题需要分 根式,当 a -2<0 时不是二次根式； 即当 （4）
（1） （2）小题学生自己 能够解决.
x3
2 4x 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
使学生进一 步掌握二次根式 （3） 小题注意符号问题； 取值范围的习题. （4）小题请学生思考后 解答. 对第四小题 试着讨论.
5x
x 1
学生练习 1、2 两小 题是基础题,学生自己能 1、2 两小题 练习： 够完成. 检查中等及以下 2 1. 一个矩形的面积是 18cm , 它的边 学生对基础知识 长之比为 2：3,它的边长应为多少？ 3 题是灵活应用二 的掌握情况. 2. 当 a 是怎样的实数时，下列各式在 次根式的取值范围才能 实数范围内有意义？ 解的题目,需要学生认真 3 题检查中 思考. 等以上学生是否 （1） a 1 （2） 2a 3 对二次根式的取 值范围有更深刻 3.已知 y= x 3 - 3 x ,求 x+y 的值. 的理解. 活动三.总结收获 学生总结有何收获和经 有助于培养 1.二次根式的定义及被开方数的取值 验教训,教师补充. 学生的总结水平, 范围; 并让学生总结经 2.被开方数的取值范围在计算中经常 验教训有助于学 作为隐含条件给出,注意合理应用. 生大胆的说出自
板书设计
16.1 二次根式
二次根式定义： 例题：
课后反思：
学 情 本节课是在数的开方的相关知识的基础上展开的，有了一定知识基础，他们并 分析 不陌生，所以只要我们连接好新旧知识，学生很容易接受，增强新旧知识的联 系，化为知为已知。 重点 形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 难点 教法 利用“ a （a≥0）”解决具体问题 启发式和引导探究式
教 学 过 程
a ≥2 是二次根式,当 a <0 时不是二次 根式； （5）当 x-y≥0 时是二次根式,当 x-y<0 时不是二次根式；即当 x≥y 是二次 根式,当 x<y 时不是二次根式.
情况讨论， 请学生考虑清 渗透整体思想 楚在回答.
例 2.当 x 为何值时,下列各式在实数 范围内有意义? （1） （2） （3） （4）
新人教版八年级数学下册二次根式教案(14篇)
新人教版八年级数学下册二次根式教案（14篇）篇1：新人教版八年级数学下册二次根式教案1.二次根式：式子( ≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：(1)( )2= ( ≥0); (2)5.二次根式的运算：(1)因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.= ? (a≥0，b≥0); (b≥0，a>0).(4)有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1) ，其中是二次根式的是_________(填序号).例2、求下列二次根式中字母的取值范围(1) ;(2)例3、在根式1) ，最简二次根式是( )A.1) 2)B.3) 4)C.1) 3)D.1) 4)例4、已知：例5、 (龙岩)已知数a，b，若 =b-a，则 ( )A. a>bB. a2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a移到根号内，得 ( )A. ;B. - ;C. - ;D.例2. 把(a-b)-1a-b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：，其中a= ，b= .例5、如图，实数、在数轴上的位置，化简：4、比较数值(1)、根式变形法当时，①如果，则;②如果，则。
人教版数学八年级下册16.1第1课时《 二次根式的概念》教学设计
人教版数学八年级下册16.1第1课时《二次根式的概念》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1第1课时《二次根式的概念》是初中数学的重要内容，主要让学生了解二次根式的概念，理解二次根式与有理数、实数之间的关系，为后续学习二次根式的运算和应用打下基础。
本节课的内容包括二次根式的定义、性质和运算方法，通过学习，让学生能够熟练掌握二次根式的相关知识，提高他们的数学素养。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数等相关知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。
但二次根式作为新的数学概念，对于部分学生来说可能较为抽象，难以理解。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出二次根式的概念，帮助他们建立直观的认识，从而更好地理解和掌握二次根式的相关知识。
三. 教学目标1.让学生了解二次根式的定义、性质和运算方法。
2.培养学生从实际问题中抽象出二次根式的能力。
3.提高学生的数学素养，培养他们的逻辑思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质。
2.二次根式的运算方法。
3.引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设实际问题情境，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
2.讲授法：讲解二次根式的定义、性质和运算方法。
3.实践操作法：让学生通过实际操作，掌握二次根式的运算方法。
4.小组讨论法：分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示二次根式的相关知识。
2.实际问题：准备一些与生活实际相关的问题，用于引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实际问题情境，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
例如，讲解一个物体从地面上升到最高点再下降到地面的过程，上升和下降的距离分别是3米和4米，求物体的最大高度。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的定义、性质和运算方法。
新人教版八年级下册数学16.1二次根式教学设计
16．1 二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键1．重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用“（a≥0）”解决具体问题．教学过程一、问题引入1.完成书上第二页的第一个思考题，采用小组讨论的形式2.选择一个小组进行汇报。
3.教师进行点评4.完成练习题1二、探索新知观察这些题计算的结果有什么特点1.形式上都含有“”2.被开方的数是数或者含有字母的式子3.（a≥0）因此，一般地，我们把形如（a≥0）•的式子叫做二次根式，其中“”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0，有意义吗？为什么？老师点评:（略）例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y•≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、（x>0）、、-、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、、．例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥当x≥时，在实数范围内有意义．三、展示交流教材P3练习2题．四、堂清巩固例3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？分析：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和中的x+1≠0．解：依题意，得由①得：x≥-由②得：x≠-1当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．例4(1)已知y=++5，求的值．(答案:2)(2)若+=0，求a2004+b2004的值．(答案:)五、课堂小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业1．教材16.1第1题和第7题2．选用课时作业设计．3.课后作业:《练习册》中的相关内容七、板书设计16.1二次根式（1）一、二次根式定义二、二次根式有意义条件以及应用八、课后回顾第一课时作业设计一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（）A．- B． C． D．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）A． B． C． D．3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 B． C． D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？3．若+有意义，则=_______．4.使式子有意义的未知数x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值．第一课时作业设计答案:一、1．A 2．D 3．B二、1．（a≥0）2． 3．没有三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：x=．2．依题意得：，∴当x>-且x≠0时，＋x2在实数范围内没有意义．3.4．B5．a=5，b=-416.1 二次根式(2)第二课时教学内容1．（a≥0）是一个非负数；2．（）2=a（a≥0）．教学目标理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键1．重点：（a≥0）是一个非负数；（）2=a（a≥0）及其运用．2．难点、关键：用分类思想的方法导出（a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出（）2=a（a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当a≥0时，叫什么？当a<0时，有意义吗？老师点评（略）．二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）（a≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出（a≥0）是一个非负数．做一做：根据算术平方根的意义填空：（）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；（）2=_______．老师点评：是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有（）2=4．同理可得：（）2=2，（）2=9，（）2=3，（）2=，（）2=，（）2=0，所以（）2=a（a≥0）例1计算1．（）2 2．（3）2 3．（）2 4．（）2 分析：我们可以直接利用（）2=a（a≥0）的结论解题．解：（）2 =，（3）2 =32·（）2=32·5=45，（）2=，（）2=．三、展示交流计算下列各式的值：（）2（）2（）2（）2（4）2四、堂清巩固例2 计算1．（）2（x≥0）2．（）2 3．（）24．（）2分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4题都可以运用（）2=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x≥0，所以x+1>0（）2=x+1（2）∵a2≥0，∴（）2=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴=a2+2a+1（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥0，∴（）2=4x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3分析：(略)五、课堂小结本节课应掌握：1．（a≥0）是一个非负数；2．（）2=a（a≥0）;反之:a=（）2（a≥0）．六、布置作业1．教材第五页4题2．选用课时作业设计．3.课后作业:《练习册》中的相关内容七、板书设计16.1二次根式（2）1．（a≥0）是一个非负数；2．（）2=a（a≥0）;反之:a=（）2（a≥0）．八、课后回顾第二课时作业设计一、选择题1．下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．12．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）．A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0二、填空题1．（-）2=________．2．已知有意义，那么是一个_______数．三、综合提高题1．计算（1）（）2（2）-（）2（3）（）2（4）（-3）2(5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4 （3）（4）x（x≥0）3．已知+=0，求x y的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5第二课时作业设计答案:一、1．B 2．C二、1．3 2．非负数三、1．（1）（）2=9 （2）-（）2=-3 （3）（）2=×6=（4）（-3）2=9×=6 (5)-62．（1）5=（）2（2）3.4=（）2（3）=（）2（4）x=（）2（x≥0）3． x y=34=814.（1）x2-2=（x+）（x-）（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+）（x-）(3)略16.1 二次根式(3)第三课时教学内容＝a（a≥0）教学目标理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键1．重点：＝a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0时，＝a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式；2．（a≥0）是一个非负数；3．()2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0时，=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：=_______；=_______；=______；=________；=________；=_______．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：=2；=0.01；=；=；=0；=．因此，一般地：=a（a≥0）例1 化简（1）（2）（3）（4）分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可运用=a（a≥0）•去化简．解：（1）==3 （2）==4（3）==5 （4）==3三、展示交流教材P7练习2．四、堂清巩固例2 填空：当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，•并根据这一性质回答下列问题．（1）若=a，则a可以是什么数？（2）若=-a，则a可以是什么数？（3）>a，则a可以是什么数？分析：∵=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，=，那么-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1）因为=a，所以a≥0；（2）因为=-a，所以a≤0；（3）因为当a≥0时=a，要使>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，=-a，要使>a，即使-a>a，a<0综上，a<0例3当x>2，化简-．分析：(略)五、课堂小结本节课应掌握：=a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0时，＝－a的堂清巩固．六、布置作业1．教材P8习题16．1 5、6、8．9.102．选作课时作业设计．3.课后作业:《练习册》中的相关内容七、板书设计16.1二次根式（3）1．=a（a≥0）及其运用2. 当a<0时，＝－a八、课后回顾第三课时作业设计一、选择题1．的值是（）．A．0 B． C．4 D．以上都不对2．a≥0时，、、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）． A．=≥- B．>>-C．<<- D．->=二、填空题1．-=________．2．若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│+=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。
新人教版八年级数学下册《十六章 二次根式 16.1 二次根式 二次根式化简》教案_7
二次根式的化简教学目标：1、掌握最简二次根式概念及分母有理化。
2、利用二次根式的性质和乘除法化简二次根式。
3、通过对本节课的学习，提高学生的合作探究能力，培养学生的数学学习兴趣。
教学重点：最简二次根式教学难点：二次根式的性质的应用和分母有理化课时安排：1课时教学工具：多媒体设备教学过程：一、复习1、二次根式的性质: 当a ≥0时，a 2= a 当a ＜0时，a 2= -a 也就是说：a 2 = |a|即 2、二次根式的乘除法：二、创设情境、引入新课 1、提问：（1分别等于多少？学生讨论并回答。
（22、新课引入：（1）根据以上问题的回答，有些二次根式的被开方数不能开的尽方，例如32不是某个有理数的平方。
（2）教师讲解：对于有些二次根式虽然不能直接开方但是我们可以化简，使得最终的被开方数最简。
三、新课探究⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>)0a (a )0a (00a (a a a 2，，），＝＝0,0)a b =≥≥0,0)a b =≥>1、概念引入-----最简二次根式：①被开方数中不能含有能开的尽方的因数或因式②分母里不能有根号③被开方数的因数是整数，因式是整式-----分母有理化：把分母中的根号化去,使分母变成有理数的过程叫做分母有理化2、典例分析例1解：（1（2注：（1）根号下是一个正整数时：将该数字拆分成一个完全平方数和某一个数的乘积，然后将完全平方数开平方放到根号外面。
例2、化简：解：10（15（2 注：分母含有一个单独根式时：①先将分子、分母化成最简二次根式，能约分的进行约分②将分子、分母都乘以分母的有理化因式(分母有理化)③最后结果化成最简二次根式例3、化简解：1=====注：分母含有两项时：①先将分子、分母化成最简二次根式，能约分的进行约分。
②借助平方差公式 进行分母有理化 。
22))((b a b a b a -=-+最后结果化成最简二次根式。
有理化因式：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式。
《16.1 二次根式(第1课时)》教学设计
《16.1 二次根式（第1课时）》教学设计一、内容和内容解析1．内容二次根式的概念.2．内容解析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念.它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.本节课的教学重点是：了解二次根式的概念；二、目标和目标解析1.教学目标（1）体会研究二次根式是实际的需要．（2）了解二次根式的概念．2. 教学目标解析（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．三、教学问题诊断分析对于二次根式的定义，应侧重让学生理解“的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断.本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性.四、教学过程设计1．创设情境，提出问题问题1你能用带有根号的的式子填空吗？（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m?，则它的宽为______m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t?，如果用含有h的式子表示t，则t= _____．师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价.【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．问题2 上面得到的式子，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫．2．抽象概括，形成概念问题3你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？师生活动：学生小组讨论，全班交流．教师由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．【设计意图】让学生体会由特殊到一般的过程，培养学生的概括能力．追问：在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”？师生活动：教师引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由．【设计意图】进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解．3．辨析概念，应用巩固例1当时怎样的实数时，在实数范围内有意义？师生活动:引导学生从概念出发进行思考，巩固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解．例2当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？师生活动:先让学生独立思考，再追问．【设计意图】在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解．问题4 你能比较与0的大小吗？师生活动：通过分和这两种情况的讨论，比较与0的大小，引导学生得出≥0的结论，强化学生对二次根式本身为非负数的理解，【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生分类讨论和归纳概括的能力.4．综合运用，巩固提高练习1 完成教科书第3页的练习.练习2 当x是什么实数时，下列各式有意义.（1）；（2）；（3）；（4）.【设计意图】辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件.【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，开阔学生的视野，训练学生的思维.5．总结反思教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.（1）本节课你学到了哪一类新的式子？（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？（3）二次根式与算术平方根有什么关系？师生活动：教师引导，学生小结.【设计意图】：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.6．布置作业：教科书习题16.1第1，3，5，7，10题．五、目标检测设计1.下列各式中，一定是二次根式的是（）A.B.C.D.【设计意图】考查对二次根式概念的了解，要特别注意被开方数为非负数．2.当时，二次根式无意义．【设计意图】考查二次根式无意义的条件，即被开方数小于0，要注意审题．3.当时，二次根式有最小值，其最小值是．【设计意图】本题主要考查二次根式被开方数是非负数的灵活运用．4.对于，小红根据被开方数是非负数，得出的取值范围是≥．小慧认为还应考虑分母不为0的情况．你认为小慧的想法正确吗？试求出的取值范围．【设计意图】考查二次根式的被开方数为非负数和一个式子的分母不能为0，解题时需要综合考虑．。
人教版八年级数学下册第16章 二次根式 教案
第十六章 二次根式16.1 二次根式第1课时 二次根式的概念1.理解二次根式的概念.2.≥0)的意义解答具体题目.自学指导：阅读教材第2页至3页，完成下列的问题.知识探究平方根的性质：正数有2个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.思考：用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：(1)面积为S 的正方形的边长为__________；(2)要修建一个面积为6.28 m 2的圆形喷水池，它的半径约为__________m ；(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时的高度h(单位：m)满足关系h=5t 2如果用含有h 的式子表示t ，则t=__________...开平方时，被开方数a 的取值范围是a ≥0(为什么？)自学反馈(1)下列式子，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？1x 、、1x y +≥0，y ≥0).判断二次根式的依据是一个形式一个条件，二者缺一不可.(2)当a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？a≥1a≥-3 2a≤3a≥0a≤0任意实数a>3任意实数任意实数二次根式中求字母的取值范围的依据是：被开方数大于等于零.活动1 小组讨论例1 当x?解：x≥2.例2当x11x+在实数范围内有意义？解：x≥-32且x≠-1.有二次根式的要考虑二次根式的被开方数大于等于零，有分母的要考虑分母不为零.例3已知，求xy的值.解：2 5 .当被开方数互为相反数时被开方数只能为零.活动2 跟踪训练1.要画一个面积为18的长方形，使它的长宽之比为3∶2，它的长宽应取多长？解：长：2.用代数式表示：(1)面积为S的圆的半径.(2)面积为S且两条邻边的比为2∶3的长方形的长和宽.解：(2)3.教材第3页上框练习.活动3 课堂小结1.二次根式的概念.2.二次根式的判断方法.3.怎样求二次根式的被开方数中字母的取值范围.第2课时 二次根式的性质1.≥0)是一个非负数.2.理解二次根式的两个性质)2=a(a ≥0)≥0).3.会运用上述两个性质进行有关计算和化简.自学指导：阅读教材第3页至4页，完成下列的问题.知识探究(—)当a>0a ；当a=00概括:≥0)是一个非负数.知识探究(二)根据算术平方根的意义填空：)2=4；)2=2；2=13；)2=0.概括:一般地：2=a (a ≥0)知识探究(三)=2；=0.01；23=0.=a (a ≥0)二次根式的三个性质：≥0)是一个非负数；)2=a(a ≥0)；≥0).自学反馈1.计算：2 )2 2 )2 解：(1)32；(2)45；(3)56；(4)74. 2.化简：解：(1)3；(2)4；(3)5；(4)3.3.代数式的概念：用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、开方等)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.活动1 小组讨论例1 计算：（1） 2 （2）2解：(1)1.5；(2)20.例2 化简：（ 2 （2解：(1)16；(2)5.一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.一个负数的平方的算术平方根等于这个负数的相反数.例3 =0，求a2013+b2013的值.解：≥00，∴a=-1，b=1.∴a2013+b2013=0.二次根式本身具有非负性.活动2 跟踪训练1.计算：2)2解：(1)3；(2)18.2.说出下列各式的值：解：(1)0.3；(2)17；(3)-π；(4)-10.3.计算：22解：(1)5；(2)0.2；(3)0.6；(4)2 3 .4.教材第4页下框练习.活动3 课堂小结二次根式的性质：≥0)是一个非负数.2=a(a≥0)=a(a≥0)16.2 二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法1.≥0，b≥0)并运用它进行计算.2.(a≥0，b≥0)并运用它进行解题和化简.自学指导：阅读教材第6页至7页，并完成预习内容.知识探究请同学们完成填空：=6，=6；=20，=20；=60，=60.参考上面的结果，用“>、<或＝”填空.归纳:(a≥0，b≥0)反过来(a≥0，b≥0)自学反馈1.计算：解：.2.化简：解：(1)12；；(3)3|xy|；.活动1 小组讨论例1计算：×解：例2 化简：解：(2)36；；.(1)开方后可以移到根号外的因数或因式叫开得尽方的因数或因式.例3 计算：解：；；14写成7×2，同样(2)中写成10=5×2，方便开方.例4判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：=4.解：（1）不正确.(2)不正确..带分数的整数部分和分数部分是相加的关系，而不是相乘的关系.活动2 跟踪训练1.计算：解：(2)6；2.化简：解：(1)77；(2)15；3.和cm，则这个长方形的面积为4.教材第7页下框练习.活动3 课堂小结掌握二次根式的乘法规定和积的算术平方根的性质：≥0，b≥0)(a≥0，b≥0)及应用.第2课时 二次根式的除法1.≥0，b>0)(a ≥0，b>0)及利用它们进行计算和化简. 2.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.自学指导：阅读教材第8页至10页，并完成预习内容.知识探究请同学们完成填空：对二次根式的除法规定：两个二次根式相除，根指数不变，被开放数相除.自学反馈1.计算：解：(1)2；(2)2.下面利用这个规律来计算和化简一些题目.2.化简：解：(1)8；(2)83b a ；.活动1 小组讨论例1 计算：解：；(1)除了用除法公式外，还可进行分母有理化.例2 化简：解：. 例3 计算：(可以用两种方法计算)解：(1)5；(2)3(3)a.观察上面各小题的最后结果，比如等，这些二次根式有哪些特点： (1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.满足以上两点的二次根式，就叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简，且结果的分母中不含二次根式.活动2 跟踪训练1.化简：解：(1)2；. 2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2.5cm ，BC=6cm ，求AB 的长.解：6.5cm.3.教材第10页的中框练习.活动3 课堂小结1.二次根式的除法规定.2.逆用法则.3.最简二次根式的概念.16.3 二次根式的加减第1课时二次根式的加减1.使学生知道怎样将根式化为最简二次根式.2.使学生通过合并被开方数相同的二次根式，会进行二次根式的加法与减法运算.自学指导：阅读教材第12页至13页的部分，完成以下问题.知识探究1.合并同类项：(1)2x+3x (2)2x2-3x2+5x2解：（1）5x；(2)4x2.这几道题你是运用什么知识做的？加减法则2.化简：（1（2（3解：（1；（2）（3）3.如何进行二次根式的加减计算？先化简，再合并.自学反馈计算：解：；；；活动1 小组讨论例1 计算：解：；.比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？例2计算：解：进行二次根式的加减运算时，必须先将其化简，是被开方数相同的二次根式才可合并. 活动2 跟踪训练1.下列计算是否正确？为什么？解：（1）不正确.此式结果为.（2）不正确.此式结果为5.（3）正确.2.计算:(6)a解：；；；(6)17a(7)0；. 3.教材第13页下框练习.计算结果中的二次根式必须是最简二次根式.活动3 课堂小结怎样进行二次根式的加减计算.第2课时 二次根式的混合运算1.含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.2.复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算.自学指导：阅读教材第14页的部分，完成以下问题.知识探究1.计算：(1)(2x+y)·zx (2)(2x 2y+3xy 2)÷xy解：(1)2x 2z+xyz ；(2)2x+3y.2.计算：(1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(2x+1)2+(2x-1)2解：(1)4x 2-9y 2；(2)8x 2+2.思考：如果把上面的x 、y 、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立.整式运算中的x 、y 、z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以整式中的运算规律也适用于二次根式.3.计算：))·) 2解：(1)43；(3)-6；在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.活动1 小组讨论例1 计算:)÷解：；(2)2-32例2 计算：-5) )解：；(2)2.活动2 跟踪训练1.计算：)2)2解：+；；(4)a-b；(5)9；(6)4；在进行二次根式加减混合运算时能用乘法公式的，运用公式会使计算简便.2.已知+1，，求下列各式的值：(1)x2+2xy+y2(2)x2-y2解：(1)12；这类计算的简便方法是先变形，再代入求值.3.教材第14页下框练习.活动3 课堂小结1.如何计算二次根式加减混合运算.2.计算结果中的二次根式必须是最简二次根式.。
人教版初中数学八年级下册第十六章：二次根式(全章教案)
第十六章二次根式教材简析本章的内容主要包括：二次根式的概念和性质、二次根式的乘除、二次根式的加减．在中考中，本章重在考查二次根式的概念和性质以及运用二次根式的运算法则进行化简、求值．教学指导【本章重点】二次根式的性质和运算．【本章难点】灵活运用二次根式的性质及运算法则进行相关的化简与实数的简单运算．【本章思想方法】1．掌握类比思想．如：类比算术平方根的概念理解二次根式的性质，类比整式的运算法则理解二次根式的运算法则．2．掌握分类讨论思想．如：在进行二次根式的化简时，当被开方数中有字母且没有给出字母的取值范围时，应考虑对字母的取值进行分类讨论．3．体会整体思想．如：在求含有二次根式的代数式的值时，有时从整体角度考虑，将已知条件和待求值的式子进行变形后整体代入求值．课时计划16.1二次根式2课时16.2二次根式的乘除2课时16.3二次根式的加减2课时16.1二次根式第1课时二次根式的概念教学目标一、基本目标【知识与技能】理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围．【过程与方法】经历观察、比较、总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程，发展学生的归纳概括能力．【情感态度与价值观】经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识．二、重难点目标【教学重点】二次根式的概念，二次根式有意义的条件．【教学难点】求二次根式中字母的取值范围．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.2．一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．3．下列式子中，不是二次根式的是(B)A．45B．－3C．a2＋3D．2 3环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？11，－5，(－7)2，313，15－16，3－x(x≤3)，－x(x≥0)，(a－1)2，－x2－5，(a－b)2(ab≥0)．【互动探索】(引发学生思考)要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．【解答】因为11，(－7)2，15－16＝130，3－x(x≤3)，(a－1)2，(a－b)2(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数均为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x(x≥0)，－x2－5的被开方数都小于0，所以不是二次根式．【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号；(2)被开方数是非负数．【例2】当x________，x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义．【互动探索】(引发学生思考)二次根式有意义要满足什么条件？本题是否还要考虑其他条件？【分析】要使x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1.【答案】≥－3且x≠－1【互动总结】(学生总结，老师点评)使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数为非负数，三是零次幂的底数不为零．活动2巩固练习(学生独学)1．下列式子中，是二次根式的是(A)A．－7B．3 7C．x D．x 2．使式子－(x－5)2有意义的未知数x有(B) A．0 个B．1 个C．2 个D．无数个3．当x是多少时，2x＋3x＋x2在实数范围内有意义？解：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，x ≠0.∴当x ≥－32且x ≠0时，2x ＋33＋x 2在实数范围内没有意义．活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】若实数x 、y 满足y ＞x －2＋6－3x ＋3，求|y －3|－(x －y )2的值．【互动探索】要求|y －3|－(x －y )2的值，需确定出x 、y 的取值范围．根据式子y ＞x －2＋6－3x ＋3，可以确定出x 、y 的取值范围．【解答】由题意，得x －2≥0且6－3x ≥0， 解得x ＝2，则y ＞3.故|y －3|－(x －y )2＝y －3－y ＋2＝2－3＝－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式有意义的条件求出x 的值，从而确定y 的取值范围，然后利用二次根式的性质化简代数式．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)二次根式⎩⎪⎨⎪⎧概念有意义的条件——被开方数是非负数练习设计请完成本课时对应训练！第2课时 二次根式的性质教学目标一、基本目标 【知识与技能】理解a (a ≥0)是一个非负数、(a )2＝a (a ≥0)和a 2＝a (a ≥0)，并利用它们进行计算和化简；了解代数式的概念．【过程与方法】在明确(a )2＝a (a ≥0)和a 2＝a (a ≥0)的算理的过程中，感受数学的实用性；通过小组合作交流，培养学生的合作意识．【情感态度与价值观】通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题，培养学生解决问题的能力． 二、重难点目标 【教学重点】 二次根式的性质． 【教学难点】运用二次根式的性质进行有关计算．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P3～P4的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．(1)当a >0时，a 表示a ；(2)当a ＝0时，a 表示0概括：一般地，a (a ≥0)是一个非负数．2．教材P3“探究”，根据算术平方根的意义填空： (1)(4)2＝4； (2)2＝2；⎝⎛⎭⎫132＝13； (0)2＝0. (2)一般地，(a )2＝a (a ≥0)． 3．教材P4“探究”，填空： (1)22＝2；0.012＝0.01； ⎝⎛⎭⎫232＝23； 02＝0.(2)一般地，a 2＝a (a ≥0)．教师点拨：二次根式的三个性质：(1)a (a ≥0)是一个非负数；(2)(a )2＝a (a ≥0)；(3)a 2＝a (a ≥0)．4．用基本运算符号把数或表示数的字母连结起来的式子，我们称这样的式子为代数式． 5．计算：0.019 6×22 500＝21；549＝73. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)( 1.5)2； (2)(25)2； (3)16； (4)(－5)2.【互动探索】(引发学生思考)一个非负数的算术平方根的平方等于什么？当二次根式的被开方数是一个完全平方数，开方时有什么规则？【解答】(1)()1.52 ＝1.5. (2)(25)2＝22×(5)2＝4×5＝20. (3)16＝(42)＝4. (4)()－52＝52＝5.【互动总结】(学生总结，老师点评)一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数．当二次根式的被开方数是一个完全平方数时，a 2＝||a ＝⎩⎨⎧a ()a ≥0；－a()a <0.【例2】化简下列二次根式． (1)8a 3b (a ≥0，b ≥0)； (2)(－36)×169×(－9).【互动探索】(引发学生思考)根据开方的定义化简．注意：二次根式的结果是最简二次根式．【解答】(1)8a 3b ＝22·a 2·2ab ＝(2a )2·2ab ＝2a 2ab . (2)(－36)×169×(－9)＝36×169×9＝6×13×3＝234.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数；(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(式)，即化为最简二次根式．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列各式正确的是( D ) A ．(－4)×(－9)＝－4×－9 B ．16＋94＝16×94C ．449＝4×49D ．4×9＝4×92．计算：(1)(9)2； (2)－(3)2； (3)64； (4)a 2＋2a ＋1. 解：(1)9. (2)－3. (3)8. (4)a 2＋2a ＋1＝()a ＋12＝||a ＋1.当a ≥－1时，原式＝a ＋1；当a <－1时，原式＝－a－1.3．已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：(a ＋1)2＋2(b －1)2－|a －b |.解：从数轴上a 、b 的位置关系，可知－2＜a ＜－1,1＜b ＜2，且b ＞a ，故a ＋1＜0，b －1＞0，a －b ＜0，原式＝|a ＋1|＋2|b －1|－|a －b |＝－(a ＋1)＋2(b －1)＋(a －b )＝b －3.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简(a ＋b ＋c )2－(b ＋c －a )2＋(c －b －a )2. 【互动探索】根据三角形的三边关系，得出b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c .根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，然后去绝对值符号合并即可．【解答】∵a 、b 、c 是△ABC 的三边长，∴b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c ，∴原式＝|a ＋b ＋c |－|b ＋c －a |＋|c －b －a |＝a ＋b ＋c －(b ＋c －a )＋(b ＋a －c )＝a ＋b ＋c －b －c ＋a ＋b ＋a －c ＝3a ＋b －c .【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，进行变换后，结合二次根式的性质进行化简．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)二次根式的性质⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0(a ≥0)(a )2＝a (a ≥0)a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)a (a <0)练习设计请完成本课时对应训练！16.2二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法教学目标一、基本目标【知识与技能】理解a·b＝ab(a≥0，b≥0)，ab＝a·b(a≥0，b≥0)，并利用它们进行计算和化简．【过程与方法】经历“探索——发现——猜想——验证”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖、相互补充的关系；培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．【情感态度与价值观】鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学活动中的探索和创新，感受数学的严谨性．二、重难点目标【教学重点】二次根式的乘法运算法则．【教学难点】运用二次根式的乘法运算法则进行简单的运算．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P6～P7的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．教材P6“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)4×9＝6，4×9＝6；(2)16×25＝20，16×25＝20；(3)25×36＝30，25×36＝30.a≥0，b≥0.规律：一般地，二次根式的乘法法则是a·b＝ab()2．把a·b＝ab反过来，就得到ab＝a·b，利用它可以进行二次根式的化简．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)3×5； (2)13×27； (3)9×27； (4)12× 6. 【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的乘法运算法则进行计算． 【解答】(1)3×5＝15. (2)13×27＝13×27＝9＝3. (3)9×27＝9×27＝92×3＝9 3. (4)12×6＝12×6＝ 3. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的乘法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数．【例2】化简：(1)9×16； (2)16×81； (3)81×100； (4)4a 2b 3； (5)54.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式积的算术平方根的性质进行化简时，需要注意什么？【解答】(1)9×16＝9×16＝3×4＝12. (2)16×81＝16×81＝4×9＝36. (3)81×100＝81×100＝9×10＝90. (4)4a 2b 3＝4·a 2·b 3＝2·a ·b 2·b ＝2ab b . (5)54＝9×6＝32×6＝3 6.【互动总结】(学生总结，老师点评)积的算术平方根是二次根式乘法法则的逆用，注意被开方数必须是非负数．活动2 巩固练习(学生独学)1．等式x ＋1·x －1＝x 2－1成立的条件是( A ) A ．x ≥1 B ．x ≥－1 C ．－1≤x ≤1 D ．x ≥1或x ≤－12．计算： (1)12×3； (2)23×315； (3)23×3512×5936. 解：(1)6. (2)310. (3)18.3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： (1)(－4)×(－9)＝－4×－9； (2)41225×25＝4×1225×25＝4×1225×25＝412＝8 3. 解：(1)不正确．改正：(－4)×(－9)＝4×9＝36＝6. (2)不正确． 改正：41225×25＝11225×25＝11225×25＝112＝47. 活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】比较大小：(1)35与53； (2)－413与－511.【互动探索】由于根号外的因数不为1，可以将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小．【解答】(1)35＝9×5＝45， 53＝25×3＝75. 因为45<75，所以35<5 3. (2)－413＝－16×13＝－208， －511＝－25×11＝－275.因为208<275，所以－208>－275，所以－413>－511.【互动总结】(学生总结，老师点评)要比较两个二次根式的大小，可以先运用二次根式的乘法运算法则，将根号外的数移到根号内，再比较被开方数的大小．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应训练！第2课时二次根式的除法教学目标一、基本目标【知识与技能】1．理解ab＝ab(a≥0，b>0)和ab＝ab(a≥0，b>0)及利用它们进行运算；2．理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．【过程与方法】通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．【情感态度与价值观】在经历二次根式除法运算法则的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和兴趣．二、重难点目标【教学重点】最简二次根式的概念，二次根式的除法运算法则．【教学难点】二次根式商的算术平方根的运用．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P8～P10的内容，完成下面练习．【3 min反馈】(一)二次根式的除法1．教材P8“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)49＝23，49＝23；(2)1625＝45，1625＝45；(3)3649＝67，3649＝67.规律：一般地，二次根式的除法法则是ab＝ab()a≥0，b>0.2．把ab＝ab反过来，就得到ab＝ab()a≥0，b>0，利用它可以进行二次根式的化简．(二)最简二次根式1．观察教材P8～P9例4、例5、例6中各小题的最后结果，比如22，310，2aa等，可以发现这些式子有如下两个特点：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．2．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)123；(2)32÷18；(3)14÷116；(4)648.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则进行计算．【解答】(1)原式＝123＝4＝2 .(2)原式＝32÷18＝32×8＝3×4＝2 3.(3)原式＝14÷116＝14×16＝4＝2.(4)原式＝648＝8＝2 2.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数，结果必须是最简二次根式．【例2】化简：(1)364；(2)64b29a2；(3)35；(4)22－1.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简．【解答】(1)原式＝364＝38.(2)原式＝64b29a2＝8b3a.(3)原式＝35＝3×55×5＝155.(4)原式＝2×()2＋1()2－1()2＋1＝2＋22－1＝2＋ 2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简时，注意将结果化为最简二次根式．活动2 巩固练习(学生独学) 1．计算113÷213÷125的结果是( A ) A ．27 5B ．27C ． 2D ．272．如果xy(y >0)是二次根式，那么化为最简二次根式是( C ) A ．xy(y >0) B ．xy (y >0) C ．xyy(y >0) D ．以上都不对3．化简： (1)483； (2)0.7； (3)23－1； (4)6－56＋5. 解：(1)4. (2)7010. (3)3＋1. (4)11－230. 活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】已知9－x x －6＝9－xx －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值．【互动探索】等式形式符合商的算术平方根公式→确定x 的取值范围→化简所求式子【解答】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤9，x >6，∴6<x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8， ∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1)＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )x －4(x ＋1)＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式＝4×9＝6.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据商的算术平方根的性质化简时，分子中被开方数是非负数，分母中被开方数是正数．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应训练！16.3二次根式的加减第1课时二次根式的加减教学目标一、基本目标【知识与技能】通过合并被开方数相同的二次根式，会进行二次根式的加法与减法运算．【过程与方法】在分析问题的过程中，渗透对二次根式加减法的理解，再总结经验，用它来指导二次根式的计算和化简．【情感态度与价值观】鼓励学生积极参与数学活动，体会合作学习的先进性．二、重难点目标【教学重点】会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算．【教学难点】运用二次根式的加减运算解决问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P12～P13的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2．计算下列各式．(1)22＋32；(2)28－38＋58；(3)7＋27＋9×7；(4)33－23＋ 2.解：(1)原式＝(2＋3)2＝5 2.(2)原式＝(2－3＋5)8＝48＝8 2.(3)原式＝7＋27＋37＝(1＋2＋3)7＝67.(4) 原式＝(3－2)3＋2＝3＋ 2.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算： (1)27＋13＋12； (2)32＋48－8＋3； (3)3⎝⎛⎭⎫22－63＋ 1.5－223；(4)()6－222＋()23－1()23＋1.【互动探索】(引发学生思考)运用二次根式的加减法法则及乘法公式进行计算，在计算时要注意哪些问题？【解答】(1)27＋13＋12＝33＋33＋23＝1633. (2)32＋48－8＋3＝32＋43－22＋3＝2＋5 3. (3)3⎝⎛⎭⎫22－63＋ 1.5－223＝26－2＋62－223＝326－53 2.(4)()6－222＋()23－1()23＋1＝6－412＋8＋()12－1＝25－8 3.【互动总结】(学生总结，老师点评)计算二次根式的加减法时，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．计算二次根式的混合运算时，注意运算顺序．【例2】已知a －5－2＋b －5＋2＝0，求a 2＋b 2＋7的值．【互动探索】(引发学生思考)根据算术平方根的非负性，可得a ＝5＋2，b ＝ 5－2，然后再代入求值即可．【解答】由题意，得a －5－2＝0，b －5＋2＝0，解得a ＝5＋2，b ＝5－2，a 2＋b 2＋7＝5＋4＋45＋5＋4－45＋7＝5.【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握算术平方根具有非负性．活动2 巩固练习(学生独学) 1．计算32－2的值是( D ) A ．2 B ．3 C ． 2D ．2 22．若最简二次根式3a －8与17－2a 可以合并，则a ＝5. 3．计算： (1)348－913＋312； (2)(48＋20)＋(12－5)． 解：(1)＝15 3. (2)63＋ 5. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知4x 2＋y 2－4x －6y ＋10＝0，求23x 9x ＋y 2x y 3－x 21x －5x yx的值． 【互动探索】先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x －1)2＋(y －3)2＝0，即可求出x 、y 的值．再根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值．【解答】∵4x 2＋y 2－4x －6y ＋10＝4x 2－4x ＋1＋y 2－6y ＋9＝(2x －1)2＋(y －3)2＝0，∴x ＝12，y ＝3. 原式＝23x 9x ＋y 2x y3－x 21x＋5x y x＝2x x ＋xy －x x ＋5xy ＝x x ＋6xy . 当x ＝12，y ＝3时，原式＝12×12＋632＝24＋3 6. 【互动总结】(学生总结，老师点评)化简求值时一般是先化简为最简二次根式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．练习设计请完成本课时对应训练！第2课时 二次根式的混合运算教学目标一、基本目标 【知识与技能】掌握含有二次根式的混合运算和含有二次根式的乘法公式的应用． 【过程与方法】复习整式运算知识并将该知识应用于含有二次根式的混合运算． 【情感态度与价值观】理解知识间的类比，进一步体会数学学习方法的重要性． 二、重难点目标 【教学重点】熟练地进行二次根式的混合运算，进一步提高运算能力． 【教学难点】正确地运用二次根式混合运算法则及运算律进行运算，并把结果化简．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P14的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，即先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．2．在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用． 3．计算： (1)13×27； (2)35； (3)80－45； (4)(25－2)2. 解：(1)3. (2)155. (3) 5. (4)22－410. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算： (1)12223×9145÷35； (2)⎝⎛⎭⎫312－213＋48÷23＋⎝⎛⎭⎫132；(3)2－(3＋2)÷3.【互动探索】(引发学生思考)如何进行二次根式的混合运算？ 【解答】(1)原式＝12×9×83×145×53＝12×9×229＝ 2. (2)原式＝⎝⎛⎭⎫63－233＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13＝5. (3)原式＝2－3＋23＝2－1－233.【互动总结】(学生总结，老师点评)二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，即先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．【例2】计算：(1)(2＋3－6)(2－3＋6)； (2)(2－1)2＋22(3－2)(3＋2)； (3)⎝⎛⎭⎫6－1332－3424×(－26)．【互动探索】(引发学生思考)(1)利用平方差公式进行计算即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．【解答】(1)原式＝[2＋(3－6)][2－(3－6)]＝(2)2－(3－6)2＝2－(9－218)＝2－9＋62＝－7＋6 2.(2)原式＝2－22＋1＋22×(3－2)＝2－22＋1＋22＝3. (3)原式＝⎝⎛⎭⎫6－66－326×(－26)＝－236×(－26)＝8. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列计算：①(2)2＝2；② (－2)2＝2；③(－23)2＝12；④(2＋3)( 2－3)＝－1.其中正确的有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如果(2＋2)2＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＝ 6，b ＝ 4. 3．计算： (1)(6＋8)×3； (2)(46－32)÷22； (3)(5＋6)(3－5)； (4)(10＋7)(10－7)．解：(1)32＋2 6.(2)23－32.(3)13－3 5.(4)3.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】先化简，再求值：1x＋y＋1y＋yx x＋y，其中x＝5＋12，y＝5－12.【互动探索】化简式子→代入x、y的值进行计算【解答】1x＋y＋1y＋yx(x＋y)＝xyxy(x＋y)＋x(x＋y)xy(x＋y)＋y2xy(x＋y)＝xy＋x(x＋y)＋y2xy(x＋y)＝(x＋y)2xy(x＋y)＝x＋y xy.当x＝5＋12，y＝5－12时，x＋y＝5，xy＝1，所以原式＝ 5.【互动总结】(学生总结，老师点评)求代数式的值，如果直接代入计算比较繁琐，可以根据式子特点，整体代入进行计算．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)二次根式的混合运算同整式的混合运算顺序相同，乘法公式和乘法法则同样适用．练习设计请完成本课时对应训练！。
16.1二次根式-教学设计
16.1 二次根式 教学设计【教学目标】1.结合具体情境，了解二次根式的概念，理解a （a ≥0）的意义，会确定二次根式有意义的条件.2.能利用等式2=a （a ≥0）计算二次根式的平方.3.a （a ≥0），理解积与商的算术平方根的性质的推导过程.4.了解最简二次根式的概念，会识别最简二次根式，会把二次根式化成最简二次根式.5.在学习中进一步养成独立自主、合作分享、倾听质疑等学习品质和人格素养.【教学重难点】 重点：二次根式的概念，a （a ≥0）的意义，二次根式有意义的条件.难点：最简二次根式的概念及化简.【课时安排】3课时第一课时【教学目标】1.了解二次根式的概念，理解a （a ≥0）的意义，会确定二次根式有意义的条件.2.能利用等式2=a （a ≥0）计算二次根式的平方.3.在学习中进一步养成独立自主、合作分享、倾听质疑等学习品质和人格素养. 【教学重难点】 重点：二次根式的概念，a （a ≥0）的意义，二次根式有意义的条件. 难点：二次根式有意义的条件.【教学过程】一、导入环节（一）导入新课，板书课题导入语：同学们，前面我们学习了算术平方根，接下来的一周，我们要学习与算术平方根关系比较密切的第九章：二次根式.一共3大节.这节课我们学习第一节：二次根式和它的性质的第一课时，请看学习目标.（二）出示学习目标课件展示学习目标，同学们读学习目标.过渡语：让我们带着目标、带着问题先进行自主学习.二、先学环节（一）出示自学指导学生看书，进行自学，教师观察课堂，保证课堂安静有序，学生坐姿端正. 时间：7分钟.1.阅读“交流与发现”.(1)通过观察、比较概括出（4）中的6个式子都带有什么符号？根号下的数和式的值都是怎样的？(2)总结二次根式a 有意义的条件是什么？2.阅读例1到例2，思考：（1）a （a ≥0）的意义是什么？（2）二次根式的2个性质： ①二次根式a 中有哪两个非负数？_________、_________.②等式2=a （a ≥0）中，有哪三个非负数？_________、_________、_________.利用这个等式，可以计算二次根式的平方.过渡语：通过自学，你有什么收获与大家一起分享？（二）自学检测过渡语：看来同学们的收获都很多，是不是真的学会了呢？来，合上课本，检查一下.请同学们完成自学检测题目.请同学结合自学情况，完成以下题目，书写认真、规范，不能乱勾乱画.要求：书写认真、步骤规范，不乱勾乱画. 时间：7分钟.1.2a 中，二次根式有 .2.要使二次根式63-x 有意义，则列式为______________,结果是___________.3.计算：（1）2)10( （2）2)25.0(-（3）2)32(- （4）2)24(-三、后教环节过渡语：针对自学中存在的问题，将你的疑惑提出来,小组同学一起解决吧！同学们交流疑惑.2题，同学们有错的吗？（没有.）看来同学们学得非常好，那老师把它稍作同学们还能做得那么顺利吗？下面请同学们完成合作探究内容.第一，生生合作，互相纠错.组内交流环节一中的问题（时间：3分钟），组长掌握组内的情况，记录没能解决的问题.第二，展示交流统一答案.重点讨论探究题的方法，用到的知识点等.展示要求：根据小组交流情况，教师确定人员展示.第三，教师点拨，解疑答难，拓展延伸.时间：12分钟.探究:二次根式有意义的条件.要求：先独立思考3分钟，然后组内讨论.重点讨论解题方法和知识点.x 取什么实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1（2（3）（4）点拨语：探究题中,求使代数式有意义的字母的取值范围，分为三类：（1）对于单个的二次根式，只需满足被开方式为非负数，即a ≥0；4x -（2）对于还含有分式的，还要满足分母不等于零.（3）对于已经隐藏着被开方式为非负数的，则字母取任意实数.随着我们的学习内容难度的加大，还会遇到含有多个二次根式的，则必须满足多个被开方式同时为非负数.四、训练环节过渡语：现在请同学们完成当堂训练题目.认真规范完成训练题目，书写认真，步骤规范，成绩计入小组量化.时间：15分钟.1.下列是二次根式的是（ ）a 1-（a ﹤0）2. 计算：（1）2 （2）2)41(-（3）2)53( （4）2(- 3.当x 分别取什么实数时，下列各式有意义？ （1）（2）（3）12+x （4【板书设计】 16.1二次根式和它的性质1.概念：形如a （a ≥0）的式子.2.a 有意义的条件：3.性质：（1）a ≥0（a ≥0）（2）2=a （a ≥0） 【教学反思】。
人教版数学八年级下册16章《二次根式》单元整体教学设计
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我将引导学生回顾本节课所学内容，总结二次根式的性质、化简方法和运算规则。
1.回顾总结：请学生回顾本节课所学的内容，总结二次根式的性质、化简方法和运算规则。
2.归纳提升：引导学生发现数学规律，提高数学思维能力。
3.反馈评价：教师对学生的学习情况进行反馈，给予鼓励和指导，激发学生的学习动力。
-学会化简二次根式，包括分解质因数、提取平方因子等方法，使二次根式达到最简形式。
2.学会解决实际问题中涉及二次根式的计算，如长度、面积和体积的计算等。
-能够将实际问题转化为数学问题，建立二次根式相关的数学模型。
-运用二次根式的运算方法解决实际问题，培养将数学知识应用于实际生活的能力。
3.了解二次根式在几何图形中的应用，如勾股定理等。
4.运算讲解：详细讲解二次根式的乘除法运算规则，通过例题使学生熟练掌握运算方法。
（三）学生小组讨论
在小组讨论环节，我将组织学生进行合作学习，共同探讨二次根式的性质、化简和运算规则。
1.分组讨论：将学生分成若干小组，每组选一个组长，负责组织讨论。
2.讨论主题：每组针对二次根式的性质、化简方法和运算规则进行讨论，探讨解决实际问题的方法。
3.拓展应用：
-探究题：让学生自主探索二次根式在几何图形中的其他应用，如圆的面积、体积计算等，并撰写探究报告。
-研究性学习：小组合作，选择一个与二次根式相关的研究主题，如二次根式在建筑、工程中的应用，进行深入研究，并制作PPT进行课堂分享。
-数学阅读：推荐阅读相关数学历史资料，了解二次根式的历史背景和发展过程，拓宽学生的数学视野。
五、作业布置
为了巩固学生对二次根式的理解和应用，作业布置将包括基础巩固、能力提升和拓展应用三个层次，确保学生在课后能够自主复习、巩固所学知识，并提高解决问题的能力。
人教版数学八年级下册16.1第2课时《 二次根式的性质》教学设计
人教版数学八年级下册16.1第2课时《二次根式的性质》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1第2课时《二次根式的性质》是初中数学的重要内容，主要让学生了解和掌握二次根式的性质。
教材通过引入实际问题，引导学生探究二次根式的性质，从而培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
本节课的内容为后续学习二次根式的运算和应用打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数和无理数的基本概念，具备了一定的代数基础。
同时，学生已经学习了二次根式的概念和简单的运算。
但学生在理解和运用二次根式的性质方面还存在一定的困难，因此，教师在教学过程中要注重引导学生理解和运用二次根式的性质。
三. 教学目标1.理解二次根式的性质，并能熟练运用。
2.培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
3.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的性质及其运用。
2.引导学生理解和运用二次根式的性质。
五. 教学方法1.情境导入：通过实际问题引入二次根式的性质，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：引导学生独立思考，探究二次根式的性质。
3.合作交流：分组讨论，让学生在讨论中理解和掌握二次根式的性质。
4.巩固练习：设计有针对性的练习，让学生在实践中运用二次根式的性质。
5.总结提升：引导学生总结二次根式的性质，并展望后续学习。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于导入新课。
2.准备PPT，展示二次根式的性质及相关例题。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过呈现一个实际问题，引导学生思考二次根式的性质。
例如：一个正方形的对角线长度为8，求正方形的边长。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次根式的性质，引导学生理解和掌握。
例如：二次根式√a的性质有：（1）√a2=a（a≥0）；（2）√a⋅√b=√ab（a≥0,b≥0）；（3）√a√b =√ab（a≥0,b>0）。