矢量场和梯度算子
矢量场和梯度算子ppt课件
2023/10/21
什么是场？
11
场在空间某个方向上的变化率
φ在 方向上的变化率 方向导数
在每一点处的数值都满足矢量分量的变换规律
2023/10/21
梯度算子
12
场在空间某个方向上的变化率(续)
是一个矢量场的三个分量
梯度算子
φ在 方向上的方向导数
2023/10/21
梯度算子
13
梯度算子
梯度算子▽是一个矢量算子 梯度算子是一个矢量微分算符：
(3) 代回原式并舍去矢量算符的下标得
证毕
2023/10/21
梯度算子
20
场随空间的二阶变化
矢量场散度
是标量场：
①
矢量场旋度
是矢量场：
②
③
标量场梯度
是矢量场：
④
⑤
④
Laplace(标量)算符
是一个矢量场，其分量为
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梯度算子
21
场随空间的二阶变化
矢量场散度
是标量场：
①
矢量场旋度
是矢量场：
➢ 作为矢量，满足通常矢量点乘和叉乘运算法则 ➢ 作为算符，需作用于表达式中的所有对象
标量场梯度是一个矢量场：
矢量场散度是一个标量场：
矢量场旋度是一个矢量场：
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梯度算子
14
与位置有关的矢量微分公式
证明：
2023/10/21
梯度算子
15
与梯度算子有关的一些矢量恒等式
2023/10/21
(2) 视 ∇A 矢和 ∇B 为“矢量”，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：
(3) 代回原式并舍去矢量算符的下标得
哈密顿算子与梯度、散度、旋度
哈密顿算子的定义与性质
• 定义向量微分算子
∂ ∂ ∇ = ∂x i + ∂∂y j + ∂z k
• 称为▽( Nabla ，奈 称为▽ 布拉)算子, 布拉)算子, 或哈密 顿( Hamilton ) 算子
• • •
矢量性 微分算子 只对于算子▽ 只对于算子▽ 右边的量发生 右边的量发生 微分作用
∂Dx ∂Dy ∂Dz + + =ρ ∂x ∂y ∂z ∂Bx ∂By ∂BZ + + =0 ∂x ∂y ∂z
哈密顿算子与梯度、散度、 哈密顿算子与梯度、散度、旋度
• 英汉对对碰 • • • • Operator▽ Operator▽ Gradient Divergence Curl • • • • 哈密顿算子 梯度(grad) 梯度(grad) 散度(div) 散度(div) 旋度(rot) 旋度(rot)
∂u ∂u ∇u = ∂x i + ∂ y ∂u j + ∂z k
= gradu
(2) A = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k, 则
∇⋅ A
∂P ∂Q ∂R = ∂x + ∂ y + ∂z = div A
i
∂ = ∂x ∇× A P
j
∂ ∂y
k
∂ ∂z
对速度矢量场， 对速度矢量场 ， 流体微团运动分析证明 速度散度的物理意义是标定流体微团运 动过程中相对体积的时间变化率。 动过程中相对体积的时间变化率。
矢量场的旋度(curl) 矢量场的旋度(curl)
对矢量场， 对矢量场 ， 在笛卡尔坐标系下其旋度定 义为： 义为： ir rj kr
矢量场和梯度算子
单位基矢的变换：
and xˆ yˆ zˆ,
xˆ xˆ cos yˆ sin y
y
yˆ
xˆ sin
yˆ
cos
yˆ yˆ
x
zˆ zˆ
xˆ
“完整”的矢量
A Ax xˆ Ay yˆ Az zˆ
O
xˆ x
指定了坐标系并且给出了矢量分量的含义 Ax A xˆ,
A B A A BB A B
(2) 视 A 矢和 B 为“矢量”，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：
A A B A A B
B A B A B B A B B A B B
Ax Bx Ay By Az Bz A B 推论：动能 T 1 mv2 、功 F dr 是标量
2
如果对于任意矢量 A, Ax Bx Ay By Az Bz 是一个标量，则
Bx , By , Bz 必是某个矢量 B 的分量。
8/26/2019
矢量运算
5
标量与矢量运算(续)
场在空间某个方向上的变化率(续)
x
,
,
y
z
是一个矢量场的三个分量
x
cos sin
x
y
x
cos sin
x
y
y
sin
x
cos
y
y
A A A A
(2) 视 φ 矢和 A 为“矢量”，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：
第1章 - 1 矢量坐标系梯度
12
第一章 矢 量 分 析
1 .2 .1 正交坐标系
任意矢量A：
A A
Au21 Au22 Au23
任意矢量B：
（1-22） （1-23） （1-24）
（1-25） （1-26）
13
第一章 矢 量 分 析
e e e u1
u2
u3
A B Au1 Au2 Au3
B B B u1
u2
u3
（1-27）
d , d, dz
拉梅系数：
r
h1 1, h2 , h3 1 （1-58）
位置矢量为： r = e + ez z
线元微分元为： dr = d (e + ez z)
e d de ezdz zdez e d e de ezdz
（1-59） （1-60）
26
第一章 矢 量 分 析
第一章 矢 量 分 析
1 .2 .3 圆柱坐标系
ez
e
e
(u1，u2，u3 ) (,, z)
（1-48）
ez P(ρ0 ,φ0 , z0 )
e e
0 0 2
z
e e ez
e ez e
（1-49）
图 1 -6 柱坐标系
ez e e
21
第一章 矢 量 分 析
ez ez
ex e cos e sin ， ey e sin e cos ， ez ez
（1-51-2）
22
第一章 矢 量 分 析
园柱坐标系中矢量：
A e A e A ez Az
直角坐标系中：
A ex Ax ey Ay ez Az
坐标变换矩阵为：
Ax cos
梯度、发散和旋度——定义及公式
梯度、发散和旋度——定义及公式梯度、发散和旋度是矢量场分析中常用的概念，它们用于描述矢量场的特性和变化。
以下是它们的定义及相关公式：1. 梯度（Gradient）梯度表示矢量场在给定点上最大变化的方向和速率。
我们可以将一个标量场（Scalar field）与一个矢量场（Vector field）的梯度进行计算。
梯度的定义：$$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partialf}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}$$其中，$\nabla$ 表示梯度算子，$f$ 表示标量场，$\mathbf{i}$，$\mathbf{j}$，$\mathbf{k}$ 表示坐标轴的单位向量。
2. 发散（Divergence）发散用于描述矢量场的流出和流入情况，它表示在给定点的矢量场流量的变化率。
发散的定义：$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$$其中，$\nabla$ 表示梯度算子，$\cdot$ 表示点乘，$\mathbf{F}$ 表示矢量场。
3. 旋度（Curl）旋度用于描述矢量场的旋转和循环性质，它表示在给定点的矢量场环量的变化率。
旋度的定义：$$\nabla \times \mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\mathbf{i} + \left(\frac{\partialF_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\mathbf{j} +\left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partialy}\right)\mathbf{k}$$其中，$\nabla$ 表示梯度算子，$\times$ 表示叉乘，$\mathbf{F}$ 表示矢量场。
梯度、散度和旋度——定义及公式
梯度、散度和旋度——定义及公式1 哈密顿算子（Hamiltion Operator ）哈密顿算子本身没有含义，只有作用于后面的量才有实际意义；它是一个微分算子，符号为∇。
三维坐标系下，有=i j k x y z∂∂∂∇++∂∂∂ 或者 (,,)x y z ∂∂∂∇=∂∂∂ 其中,,i j k 分别为xyz 方向上的单位矢量。
2 梯度（Gradient ） 2.1 梯度的定义梯度是哈密顿算子直接作用于函数f 的结果（f 可以是标量和向量）。
(,,)f f f f f f grad f f i j k x y z x y z ∂∂∂∂∂∂=∇=++=∂∂∂∂∂∂ 标量场的梯度是向量，标量场中某一点的梯度指向标量场增长最快的地方，梯度的长度是最大变化率。
2.2 梯度的性质∇c=0∇(RS)= ∇R+∇S21()(),0R S R R S S S S∇=∇-∇≠ [()]()f S f S S '∇=∇其中，C 为常数，R 、S 为两个标量场，f 为一连续可微函数。
3 散度（Divergence ）散度是哈密顿算子与矢量函数f 点积的结果，是一个标量。
设矢量函数=(,,)x y z x y z f f i f j f k f f f =++则散度表示为： (,,)(,,)y x z x y z f f f div f f f f f x y z x y z∂∂∂∂∂∂=∇==++∂∂∂∂∂∂ 散度是描述空气从周围汇合到某一处或从某一处散开来程度的量。
它可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。
当0div f >，该点有散发通量的正源（发散源）；当0div f <，该点有吸收通量的负源（洞或汇）； 当=0div f ，该点无源。
4 旋度（Curl, Rotation ）旋度是哈密顿算子与矢量函数f 叉积的结果，是一个矢量，设矢量函数=(,,)x y z x y z f f i f j f k f f f =++则旋度：=rot ()()()y y x x z z x y zij k f f f f f f curl f f f i j k xy z y zz x x y f f f ∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∇⨯==-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 旋度是矢量分析中的一个矢量算子，可以表示三维矢量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。
矢量场和梯度算子
Bv
v C
v A
Cv
v B
v B
Cv
v A
v C
v A
Bv
Cv
Bv
v A
Cv
Av
v B
2020/5/14
矢量运算
9
标量场及其几何表示
标量场：标量在空间的分布，对于空间任一点都指定或者赋
予某个唯一的标量（数）
代数表示：函数 rv
+q
几何表示：等值面、等值线+q
rv
const
.
-q--q-qq
+3+-qqq -q
Cx Cy
Ay Bz Az Bx
Az By Ax Bz
0 0
0
0
O
v A
x
A, 0,
0
Cz Ax By Ay Bx Ax By ABy
v vv
C A B, 大小为 ABsin ，即两个矢量张成的平行四
边形的面积，方向满足右手法则。
θ为两个矢量之间的夹角：0
E
A
C
x
x x cos y sin x cos
y cos 2
y
x
sin
y cos
x cos
2 y cos
z z
坐标变换
2020/5/14
什么是矢量？
2
标量与矢量的定义
定义：如果某个量在任一坐标系中仅需一个数（分量）描述， 并且在坐标变换下其分量是不变的，则称其为标量
例子：质量m、电荷q、温度、 Newton时间t， etc.
矢量的长度：A A A A Ax2 Ay2 Az2
证v明：v / A B AxBx Ay By AzBz
矢量运算(梯度、散度、旋度)与拉普拉斯算符公式整理
向量算子 （nabla ）表示向量微分算子。
】拉普拉斯算符梯度（标量化为矢量）散度（矢量化为标量）旋度（矢量化为矢量）数学解释在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。
标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。
同时也可以求出变化不是最快的那个方向上的倒数，梯度点积该方向上的向量即可。
散度是向量分析中的一个向量算子，将向量空间上的一个向量场（矢量场）对应到一个标量场上。
散度描述的是向量场里一个点是汇聚点还是发源 点，形象地说，就是这包含这一点的一个微小体元中 的向量是“向外”居多还是“向内”居多。
旋度是向量分析中的一个向量算子，可以表示三维向量场对 某一点附近的微元造成的旋转程度。
这个向量提供了向量场在 这一点的旋转性质。
旋度向量的方向表示向量场在这一点附近旋转度最大的环量的旋转轴，它和向量旋转的方向满足右手定则。
拉普拉斯算子有许多用途，此外也是椭圆型算子中的 一个重要例子。
在物理中，常用于波方程的数学模型、热传导方程以 及亥姆霍兹方程。
在静电学中，拉普拉斯方程和泊松方程的应用随处可见。
在量子力学中，其代表薛定谔方程式中的动能项。
在数学中，经拉普拉斯算子运算为零的函数称为调和函 数；拉普拉斯算子是霍奇理论的核心，并且是德拉姆 上同调的结果。
物理解释考虑一座高度 点 的ft 。
这一 点的梯度是在该点坡度（或者说斜度）最陡的方向。
梯度的大小告诉我们坡度到底有多陡。
散度是通量的体密度物理上，散度的意义是场的有源性。
某一点或某个区域的散度大于零，表示向量场在这一点或这一区域有新的通量产生，小于零则表示向量场在这一点或区域有通量湮灭。
散度等于零的区域称为无源场或管形场。
就 的环量面密度（或称为环量强度）。
旋度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一 样，它对应的广延性质是向量场沿一个闭合曲线的环量。
如果一个向量场中处处的旋度都是零，则称这个场为无旋场或保守场相关概念通环量记法=或三维直角坐标系柱坐标球坐标线性法则乘积法则商法则高斯散度定理：对某一个体积内的散度进行积分， 就应该得到这个体积内的总通量。
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(ψ ) = ( )ψ ,
ψ (ψ ) = ( ψψ )
(3) 代回原式并舍去矢量算符的下标得
(ψ ) = ( )ψ + ( ψ )
证毕
2010-9-21
梯度算子
17
梯度算子
v v v 补例: 补例:用符号法证明 × ( A ) = ( ) × A + ( × A ) v 算符” 加上下标以示区别），得两项： ），得两项 证 (1) 视为“算符”，分别作用 φ 和 A（加上下标以示区别），得两项： v v v × ( A ) = × ( A ) + A × ( A )
2010-9-21
六面体的体积，正负取决于这三 v A 个矢量是否满足右手法则确定。
矢量运算
9
标量场及其几何表示
标量场：标量在空间的分布，对于空间任一点都指定或者赋 予某个唯一的标量（数）
v 代数表示：函数 ( r )
+q v +q ( r ) = const. 几何表示：等值面、等值线 -q -q -q -q +q +q +q +3q -q -q
单位基矢：x, y , z
x′
z′ = z
“完整”的矢量
x′
v A = Ax x + Ay y + Az z
O
指定了坐标系并且给出了矢量分量的含义 Ax = A x, L 突出了矢量是坐标变换下得不变量
v ′ ′ A = Ax x′ + A′ y ′ + Az z ′ = Ax x + Ay y + Az z y
2010-9-21
什么是矢量？
2
标量与矢量的定义
定义：如果某个量在任一坐标系中仅需一个数（分量）描述， 并且在坐标变换下其分量是不变的，则称其为标量 标量 例子：质量m、电荷q、温度、 Newton时间t， etc. 推论：如果 a 和 b 是两个标量，则 a+b 和 ab 也都是标量。 定义：如果某个量在任一坐标系中需三个数（分量）描述， 并且在坐标变换下其分量与坐标的变换规律一样， 则称其为矢量 矢量。即 矢量
OD = OF DF = OB cosθ BP sin θ
y′ = OE
C
+ y cos (π 2 θ ) x′ = x cosθ + y sin θ = x cosθ y′ = x sin θ + y cosθ = x cos (π 2 + θ ) + y cosθ z′ = z 坐标变换
边形的面积，方向满足右手法则。
θ为两个矢量之间的夹角： ≤ θ ≤ π 0
2010-9-21
矢量运算
7
单位基矢
satisfying x x = 1 , x y = 0, L and x × y = z , L y 单位基矢的变换： y′ x ′ = x cos θ + y sin θ y ′ = x sin θ + y cos θ y′ y
, , 在每一点处的数值都满足矢量分量的变换规律 x y z
2010-9-21
梯度算子
12
场在空间某个方向上的变化率(续)
, , 是一个矢量场的三个分量 x y z = cos θ + ห้องสมุดไป่ตู้in θ = cos θ + sin θ
x ′ x y = sin θ + cos θ x y y ′ = z ′ z
如何由给定的标量和矢量得到新的标量和矢量。 v v 设 a、b为标量， 、B 为矢量。 A
v 1. 数乘： aA 其分量定义为 ( aAx , aAy , aAz ) v v 2. 矢量和： + B 其分量定义为 ( Ax + Bx , Ay + By , Az + Bz ) A v v 矢量的线性组合仍然是矢量 aA + bB
2010-9-21
什么是场？
10
矢量及其几何表示
矢量场：矢量在空间的分布，对于空间任一点都指定或者赋 予某个唯一的矢量
v v 代数表示：函数 A ( r )
v v dr 几何表示：箭头、场线 A = dt
v v v xy v A ( x, y ) = A x, y = yx xy yx B ( x, y ) = xx + yy = r ( ) x = c sin ( t + δ ) dx dt = y d 2 x dy 2 = = x x2 + y 2 = c2 2010-9-21 11 什么是场？ ( t + δ ) dt dt dy dt = x y = c cos
证明：
v v / ( A B ) = Ax′ Bx′ + Ay′ B′y + Az′ Bz′
+ ( Ax sin θ + Ay cosθ )( Bx sin θ + By cosθ ) + Az Bz v v = Ax Bx + Ay By + Az Bz = A B v v 1 2 推论：动能 T = mv 、功 F dr 是标量 2v
2010-9-21
梯度算子
15
与梯度算子有关的一些矢量恒等式
d ( r ) = r dr (ψ ) = ( )ψ + ( ψ ) v v v ( A ) = ( ) A + ( A ) v v v × ( A ) = ( ) × A + ( × A )
v v v v v v ( A × B ) = ( × A) B ( × B ) A v v v v v v v v v v × ( A × B ) = ( B ) A ( A) B + ( B ) A ( A ) B
2010-9-21
梯度算子
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关于梯度算子恒等式的符号法证明
例:用符号法证明(ψ ) = ( )ψ + ( ψ ) 算符” 加上下标以示区别），得两项： ），得两项 证 (1) 视为“算符”，分别作用 φ 和 ψ（加上下标以示区别），得两项：
(ψ ) = (ψ ) +ψ (ψ )
(2) 视 φ矢和 ψ 为“矢量”，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方： 矢量” 遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：
梯度算子
梯度算子▽是一个矢量算子
grad = = x +y +z 标量场梯度是一个矢量场： x y z v Ax Ay Az + + 矢量场散度是一个标量场： div = A = x y z v 矢量场旋度是一个矢量场： curl = × A v ( × A) x = y Az z Ay , L 2010-9-21 14 梯度算子
矢量积的几何意义：
证明：
y
v B = ( Bx , By ,0 )
θ C x Ay Bz Az By 0 0 x v O A = ( A,0,0 ) C y ≡ Az Bx Ax Bz = 0 = 0 C A B A B Ax By ABy y x z x y v v v C = A × B, 大小为 AB sin θ ，即两个矢量张成的平行四
v r r r x y z r r = x + y + z = x + y + z = x y z r r r r r v x y z = x2 + y 2 + z 2 r = + + =3 x x x y z 2x x v = = , L ( × r ) x = z y = 0, L 2 2 2 r 2 x +y +z y z
矢量、矢量场和梯度算子
2010-9-21
1
坐标变换
坐标系 Oxyz 任一点 P 的坐标：
y′
B D
y
P
E
x = OA = BP,
x′ = OD,
y = OB = AP
x′
x
坐标系 Ox’y’z’ 任一点 P 的坐标：
θ O A OC = OE + EC = OA cosθ + AP sin θ θ
推论:位移、速度、加速度、动量等物理量是矢量
v v v v v v dr v v && v v & = , a ≡ v = r , p ≡ mv & v dr ≡ r2 r1 , v ≡ r dt
力为矢量是一个物理的假设，而不是数学的推论
2010-9-21
矢量运算
4
标量与矢量运算(续)
v v v v 3. 标量积： B ≡ Ax Bx + Ay By + Az Bz = B A A v v v 2 2 矢量的长度：A = A ≡ A A = Ax + Ay + Az2
证明：
C x Ay Bz Az By v v v v C y ≡ Az Bx Ax Bz A × B = B × A C A B A B y x z x y
′ ′ ′ y C x = A′ Bz Az B′ y
= ( Ax sin θ + Ay cos θ ) Bz Az ( Bx sin θ + By cos θ ) = Ax Bz sin θ + Ay Bz cos θ + Az Bx sin θ Az By cos θ
, 梯度算子 = , or = x + y + z x y z x y z = n ( ) x = x φ在 n 方向上的方向导数 n 2010-9-21 13 梯度算子
x ′ x y = sin θ + cos θ x y y ′ = z ′ z
Ax ′ Ax = Ax cos θ + Ay sin θ v 矢量的表示: A = Ay A′ = Ax sin θ + Ay cosθ y A ′ z x Az = Az v r = y 推论：位矢是一个矢量 z 2010-9-21 3 什么是矢量？