数列中的存在性问题 经典(教师)

专题：数列中的存在性问题一、单存在性变量解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题），可以先假设存在，列出一个等式，通过化简，整理成关于任意性变量（一般为n ）的方程，然后n 的系数为0，构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。

例1、已知数列{na }的前n 项和为n S =235n n +，在数列{n b }中，1b =8，164n nb b +-=0，问是否存在常数c 使得对任意n ，log n c na b +恒为常数M ，若存在求出常数c 和M ,若不存在说明理由.解析：假设存在常数c 使得对任意n ，log n c na b +恒为常数M ，∵n S =235n n+，∴当n =1时，则1a =1S =8，当n ≥2时，n a =1n n S S --=2235[3(1)5(1)]n n n n +--+-=62n +，当n =1适合， ∴n a =62n +，又∵164n n b b +-=0， ∴1n n b b +=164，∴数列{n b}是首项为8，公比为164的等比数列， ∴nb =118()64n -=962n -，则log n c n a b +=9662log 2n c n -++=62(96)log 2a n n ++-=6(1log 2)29log 2a a n -++，又∵对任意n ，log n c na b +恒为常数M ，∴6(1log 2)a -=0，解得c =2，∴M =29log 2a +=11，∴存在常数c =2使得对任意n ，log n c na b +恒为常数M =11.二、双存在型变量解题思路：先假设存在，根据题目条件，列出一个含有两个变量（一般至少都为正整数）的等式，即转化为一个数论中的双整数问题，然后分离变量。

如果可以分离常数，则利用数论中约数的知识列出所有可能情况，最后进行双检验，即对两个变量均进行条件检验；如果不可以分离常数，则利用分离出的变量所具有的隐含范围（如大于0）消元，进而构造一个不等式，解出另一个变量的范围，再列出求出的被压缩的范围里的所有整数值，分别求出对应的另一个存在性变量，最后进行检验。

例2、【2010南通一模】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，． （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式；（2）设数列{}n b 的通项公式为nn n a b a t=+，问: 是否存在正整数t ，使得12m b b b ，，(3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d. 由已知得51323439a a a +=⎧⎨=⎩，， ………………2分 即118173a d a d +=⎧⎨+=⎩，，解得112.a d =⎧⎨=⎩，……………………………………………………………4分.故221n n a n S n =-=，.…………………………………………………………………6分（2）由（1）知2121n n b n t -=-+.要使12m b b b ，，成等差数列，必须212m b b b =+，即312123121m t t m t -⨯=+++-+，………………………………………………………………8分. （3）整理得431m t =+-，…………………………………………………………… 11分因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2，3，5.当2t =时，7m =；当3t =时，5m =；当5t =时，4m =.故存在正整数t ，使得12m b b b ，，成等差数列. ……………………………… 15分例3、设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 满足*()nn n a b m N a m=∈+.（Ⅰ）若128,,b b b 成等比数列，试求m 的值；（Ⅱ）是否存在m ，使得数列{}n b 中存在某项t b 满足*14,,(,5)t b b b t N t ∈≥成等差数列？若存在，请指出符合题意的m 的个数；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）因为2n S n =，所以当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-……………………3分又当1n =时，111a S ==，适合上式，所以21n a n =-（*n N ∈）…………………4分所以2121n n b n m -=-+，则1281315,,1315b b b m m m ===+++，由2218b b b =，得23115()3115m m m =⨯+++，解得0m =（舍）或9m =，所以9m =………………7分 （Ⅱ）假设存在m ，使得*14,,(,5)t b b b t N t ∈≥成等差数列，即412t b b b =+，则712127121t m m t m -⨯=+++-+，化简得3675t m =+-…………………………………12分 所以当51,2,3,4,6,9,12,18,36m -=时，分别存在43,25,19,16,13,11,10,9,8t =适合题意， 即存在这样m ，且符合题意的m 共有9个 ………………………………………14分例4、【2010徐州三模】已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，nS 为其前n 项和，且满足221n n a S -=，令11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T .（1）求数列{}n a 的通项公式及数列{}n b 的前n 项和为n T ；（2）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说明理由.解：（1）因为{}n a 是等差数列，由212121()(21)(21)2n n n na a n a S n a --+-===-，又因为0n a ≠，所以21n a n =-，………………………………………………………2分由111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+所以111111(1)2335212121n n T n n n =-+-++-=-++L ．……………………………6分 (2)由(1)知，21n n T n =+， 所以11,,32121m n m nT T T m n ===++，若1,,m n T T T 成等比数列，则21()()21321m nm n =++，即2244163m n m m n =+++．……8分解法一：由2244163m n m m n =+++，可得223241m m n m -++=，所以22410m m -++>， ……………………………………………………………12分从而：11m <<+，又m ∈N ，且1m >，所以2m =，此时12n =．故可知：当且仅当2m =， 12n =使数列{}n T 中的1,,m n T T T 成等比数列。

…………16分解法二：因为1136366n n n =<++，故2214416m m m <++，即22410m m --<，………12分从而：1122m -<<+，（以下同上）．三、三个存在型变量------连续的解题思路：这类问题的形式一般是，“是否存在连续的三项，恰好成等差数列（或等比数列）”。

可以先假设存在，然后构造一个关于单存在性变量的方程，即转化为一个方程有正整数根的问题，我们可以按照处理零点问题的方法（“解方程”或者“画图像”）求解。

例5、【扬州2010一模】已知数列{}n a ，(0,0,,,0,*)n n n a p q p q p q R n N λλλ=+>>≠∈≠∈.⑴求证：数列1{}n n a pa +-为等比数列；⑵数列{}n a 中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；⑶设{(,)|3,*}n n n n A n b b k n N ==+∈，其中k 为常数，且k N *∈，{(,)|5,*}n n n B n c c n N ==∈，求A ∩B.解：⑴∵n a =n n p q λ+，∴111()()n n n n n n n a pa p q p p q q q p λλλ+++-=+-+=-，∵0,0,q p q λ≠>≠∴211n n n na pa qa pa +++-=-为常数∴数列1{}n n a pa +-为等比数列------------------------------------------------------------4分⑵取数列{}n a 的连续三项12,,(1,)n n n a a a n n N *++≥∈，∵211222212()()()()n n n n n n n n n n n a a a pq p q p q p q p q λλλλ++++++-=+-++=--，0,0,,0p q p q λ>>≠≠Q ，∴2()0n n p q p q λ--≠，即212n n n a a a ++≠，∴数列{}n a 中不存在连续三项构成等比数列；------------------------------------------9分⑶当1k =时，3315n n n nk +=+<，此时B C =∅I ；当3k =时，33323n n n n nk +=+=⋅为偶数；而5n 为奇数，此时B C =∅I ；当5k ≥时，35n n nk +>，此时B C =∅I ；----------------------------------------------12分当2k =时，325nnn+=，发现1n =符合要求， 下面证明唯一性（即只有1n =符合要求）。

由325n n n+=得32()()155n n+=，设32()()()55x x f x =+，则32()()()55x xf x =+是R 上的减函数， ∴ ()1f x =的解只有一个从而当且仅当1n =时32()()155n n +=，即325n n n+=，此时{(1,5)}B C =I ；当4k =时，345nnn+=，发现2n =符合要求， 下面同理可证明唯一性（即只有2n =符合要求）。

从而当且仅当2n =时34()()155n n +=，即345n n n+=，此时{(2,25)}B C =I ；综上，当1k =，3k =或5k ≥时，B C =∅I ； 当2k =时，{(1,5)}B C =I ，当4k =时，{(2,25)}B C =I 。