数列中的存在性问题 经典(教师)

专题：数列中的存在性问题

一、单存在性变量

解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题），可以先假设存在，列出一个等式，通过化简，整理成关于任意性变量（一般为n ）的方程，然后n 的系数为0，构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。

例1、已知数列{

n

a }的前n 项和为

n S =235n n +，在数列{n b }中，1b =8，164n n

b b +-=0，问是

否存在常数c 使得对任意n ，log n c n

a b +恒为常数M ，若存在求出常数c 和M ,若不存在说明理

由.

解析：假设存在常数c 使得对任意n ，log n c n

a b +恒为常数M ，

∵

n S =235n n

+，

∴当n =1时，则

1a =

1

S =8，

当n ≥2时，n a =1n n S S --=2235[3(1)5(1)]n n n n +--+-=62n +，

当n =1适合， ∴

n a =62n +，

又∵164n n b b +-=0， ∴1n n b b +=164，

∴数列{n b

}是首项为8，公比为1

64的等比数列， ∴n

b =

118(

)64n -=962n -，

则

log n c n a b +=

9662log 2n c n -++=

62(96)log 2a n n ++-=

6(1log 2)29log 2

a a n -++，

又∵对任意n ，log n c n

a b +恒为常数M ，

∴

6(1log 2)

a -=0，解得c =2，

∴M =

29log 2

a +=11，

∴存在常数c =2使得对任意n ，

log n c n

a b +恒为常数M =11.

二、双存在型变量

解题思路：先假设存在，根据题目条件，列出一个含有两个变量（一般至少都为正整数）的等式，即转化为一个数论中的双整数问题，然后分离变量。如果可以分离常数，则利用数论中约数的知识列出所有可能情况，最后进行双检验，即对两个变量均进行条件检验；如果不可以分离常数，

则利用分离出的变量所具有的隐含范围（如大于0）消元，进而构造一个不等式，解出另一个变量的范围，再列出求出的被压缩的范围里的所有整数值，分别求出对应的另一个存在性变量，最后进行检验。

例2、【2010南通一模】

设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，． （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式；

（2）设数列{}n b 的通项公式为n

n n a b a t

=

+，问: 是否存在正整数t ，使得12m b b b ，，

(3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d. 由已知得51323439a a a +=⎧⎨

=⎩，， ………………2分 即118173a d a d +=⎧⎨

+=⎩，，解得112.a d =⎧⎨=⎩，

……………………………………………………………4分.

故2

21n n a n S n =-=，.…………………………………………………………………6分

（2）由（1）知

21

21n n b n t -=

-+.要使12m b b b ，，成等差数列，必须212m b b b =+，即

312123121m t t m t -⨯=+

++-+，………………………………………………………………8分. （3）整理得

4

31m t =+

-，…………………………………………………………… 11分

因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2，3，5.

当2t =时，7m =；当3t =时，5m =；当5t =时，4m =.

故存在正整数t ，使得12m b b b ，，成等差数列. ……………………………… 15分

例3、设数列{}n a 的前n 项和2

n S n =，数列{}n b 满足

*()n

n n a b m N a m

=

∈+.

（Ⅰ）若

128

,,b b b 成等比数列，试求m 的值；

（Ⅱ）是否存在m ，使得数列{}n b 中存在某项t b 满足*14,,(,5)t b b b t N t ∈≥成等差数列？若存在，

请指出符合题意的m 的个数；若不存在，请说明理由.

解：（Ⅰ）因为2

n S n =，所以当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-……………………3分

又当1n =时，

111

a S ==，适合上式，所以

21

n a n =-（*

n N ∈）…………………4分

所以

2121n n b n m -=

-+，则1281315

,,1315b b b m m m ===+++，由2

218b b b =，

得23115

(

)3115m m m =⨯

+++，解得0m =（舍）或9m =，所以9m =………………7分 （Ⅱ）假设存在m ，使得*14,,(,5)t b b b t N t ∈≥成等差数列，即412t b b b =+，则

712127121t m m t m -⨯

=+

++-+，化简得

36

75t m =+-…………………………………12分 所以当51,2,3,4,6,9,12,18,36m -=时，分别存在43,25,19,16,13,11,10,9,8t =适合题意， 即存在这样m ，且符合题意的m 共有9个 ………………………………………14分

例4、【2010徐州三模】

已知数列{}n a 是各项均不为

0的等差数列，

n

S 为其前n 项和，且满足221

n n a S -=，令

1

1

n n n b a a +=

⋅，数列

{}n b 的前n 项和为n T .

（1）求数列

{}n a 的通项公式及数列{}n b 的前n 项和为n T ；

（2）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说明理由.

解：（1）因为{}n a 是等差数列，由

2

12121()(21)

(21)2n n n n

a a n a S n a --+-==

=-，

又因为

0n a ≠，所以

21

n a n =-，………………………………………………………2分

由

111111

()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +=

==--+-+

所以

111111(1)2335212121n n T n n n =-+-++-=

-++L ．……………………………6分 (2)由(1)知，

21n n T n =

+， 所以11,,32121m n m n

T T T m n ===

++，

若1,,m n T T T 成等比数列，则21()()21

321m n

m n =++，即2244163m n m m n =+++．……8分