有耗色散光子晶体带隙结构的本征值分析新方法
光子晶体与光子带隙结构研究
光子晶体与光子带隙结构研究过去几十年里，光子晶体与光子带隙结构的研究一直备受关注。
这些研究不仅对于理解光的传播和控制，还具有广泛的应用前景，例如在光子学器件和光通信领域。
光子晶体是一种具有周期性折射率变化的光学介质，其导致了特殊的光学性质。
而光子带隙则是光子晶体中禁止光的一定频率范围，类似于半导体物质中的电子带隙。
下面将探讨光子晶体的基本原理以及光子带隙结构的研究进展。
光子晶体的基本原理是通过周期性的介质折射率变化来控制光的传播。
在一维光子晶体中，介质的折射率具有周期性的变化。
当光传播的波长与光子晶体的周期相匹配时，光会被光子晶体中的周期性结构所衍射。
这种衍射效应导致了光子晶体中的光子带隙。
光子带隙可以理解为光在空间中的一种传播受限。
在光子晶体中，光传播的波长必须满足特定的条件才能通过光子晶体。
波长较短的光无法通过较大的周期性结构，而只能在晶格中传播。
这样，光子晶体在特定的频率范围内形成光子带隙，其中不允许光的传播。
这种性质使得光子晶体成为强大的光学控制工具。
光子带隙结构的研究在过去几十年里取得了巨大的进展。
最初，光子带隙的发现和研究主要集中在二维光子晶体中。
通过纳米加工技术，科学家们成功地制造出了具有微米尺寸的周期性结构，从而实现了光子带隙的控制。
这些二维光子晶体具有独特的光学性质，例如低折射率、高透明度和光子带隙的存在。
随着技术的发展，人们开始研究更加复杂的三维光子晶体。
三维光子晶体不仅具有二维光子晶体的性质，还能在更大的波长范围内控制光的传播。
这种控制不仅可以实现光子带隙，还可以在光子晶体中形成多种复杂的光学模式。
这为光学材料的设计和应用提供了新的可能性。
光子带隙结构的研究还涉及到材料的选择和制备技术的发展。
目前，人们正在研究各种材料，例如半导体、金属和聚合物，以实现特定波长范围内的光子带隙。
同时，纳米加工技术的进步也为制造具有复杂结构的光子晶体提供了可能。
除了基础研究，光子带隙结构在实际应用中也具有广阔的前景。
光子晶体中的能带结构分析
光子晶体中的能带结构分析光子晶体是一种具有周期性结构的介质，能够控制光的传播和调控其频率。
在光子晶体中，存在着光子带隙，这是光子在不同频率下被禁止传播的范围。
光子晶体的能带结构与电子在晶体中的能带结构有一定的相似之处。
光子晶体的能带结构由它的周期性结构所决定。
光子晶体的周期性可以是一维、二维或三维的。
一维光子晶体的周期性结构是由一串具有不同折射率的材料组成，而二维或三维光子晶体的周期性结构则是由一组具有周期性排列的微球组成。
在光子晶体中，光的传播受到Brillouin区的限制，类似于电子在倒格子中受到布里渊区限制。
布里渊区是一种用于描述周期性结构中波矢的表示方式，它类似于电子在晶体中的倒格矢。
光子晶体中的布里渊区与晶体的周期性结构紧密相关，所以布里渊区的大小和形状对光子晶体的能带结构起着至关重要的作用。
光子晶体中的能带结构可以通过数值模拟或实验测量进行分析。
数值模拟通常使用计算机程序来解决Maxwell方程，模拟光在光子晶体中的传播。
通过调整光子晶体的周期性结构和材料的折射率，可以得到光子晶体不同频率下的能带结构。
这种数值模拟的方法可以提供详细的信息，包括光子晶体的色散关系、带隙的大小和形状等。
实验测量光子晶体的能带结构通常使用光谱学方法。
光谱学是一种通过测量光的频率和强度来研究物质结构和性质的方法。
在光子晶体中，可以使用光散射光谱、透射光谱、反射光谱等方法来观察和测量能带结构。
这些方法可以通过改变光的入射角度、入射频率等参数来得到不同的能带结构信息。
光子晶体的能带结构在光子学中有着重要的应用。
光子晶体可以通过调整能带结构来实现光的控制和调节。
例如，在光通信中，可以利用光子晶体的光随频率变化的能带结构来设计光滤波器、光传感器等光学元件。
此外，光子晶体还可以用于实现光子晶体光纤、光子晶体激光器等设备，从而在光通信和激光技术领域具有重要的应用前景。
总之，光子晶体中的能带结构是光子在周期性结构中传播的结果，其与电子在晶体中的能带结构有着一定的相似之处。
光子晶体材料的能带结构与光学性质分析
光子晶体材料的能带结构与光学性质分析引言：光子晶体材料近年来备受关注，它能够控制光的传播和频率，具有广泛应用前景。
光子晶体材料的独特属性与其能带结构和光学性质密切相关。
本文将从能带结构和光学性质两个方面分析光子晶体材料的特点与应用。
一、能带结构分析1. 布拉格反射与光子带隙光子晶体材料具有周期性的结构，其中的周期性结构可以与入射光波的波长形成布拉格反射。
当入射光波长等于布拉格反射条件时，出射光波被禁阻，形成光子带隙。
通过调整光子晶体材料的周期性结构，可以有效控制光的传播和频率。
2. 光子带隙的特性光子带隙是光子晶体材料独特的能带结构特点之一，其宽度和位置对于光的传播和频率起到决定性作用。
光子带隙的宽度与材料中原子的折射率和周期性结构的参数有关。
通过调节这些参数，可以实现对光子带隙的调控，拓宽带隙宽度和改变带隙位置，进而实现对光传播和频率的精确控制。
二、光学性质分析1. 光子晶体材料的色散性质光子晶体材料中的能带结构对于光的传播速度和频率有显著影响，其中色散性质是光子晶体材料的重要特征之一。
色散性质可以通过能带结构中的斜率来描述，斜率越大，色散性质越好。
利用光子晶体材料的色散性质，可以实现对不同波长光的分离和调制，有助于提高光通信和光信息处理的效率。
2. 光子晶体材料的非线性光学性质由于光子晶体材料具有较高的折射率和强烈的光场调制效应，其非线性光学性质较强。
光子晶体材料可以通过选择合适的光子带隙来增强或抑制非线性效应，用于实现光信号的调制、光开关和光学限幅等应用。
此外，利用光子晶体材料的非线性光学性质还可以实现光学泵浦放大器、激光器和功能光纤等器件的发展。
结论：光子晶体材料的能带结构和光学性质是其独特功能的基础。
通过对能带结构和光学性质的深入分析，可以更好地理解光子晶体材料的特点与应用，并为其在光通信、光信息处理、光探测等领域的进一步研究和应用提供指导和依据。
随着光子晶体材料研究的深入，相信它将在未来的光学领域发挥越来越重要的作用。
光子晶体光纤色散特性的研究的开题报告
光子晶体光纤色散特性的研究的开题报告1. 研究背景随着现代通信技术的发展，对高速，低损耗，小型化，高容量的光纤通信系统的需求日益增长。
光子晶体光纤作为一种新兴的纳米级光传输波导，具有优异的性能特点：高光束质量，高光传输效率，高光信号光学控制性能。
在光通信领域，光子晶体光纤已引起广泛的关注。
光子晶体光纤 (PCF) 的色散是其重要的性能特征之一，可以影响光的传输性能和光学信号的特性。
因此，光子晶体光纤的色散特性研究是光通信研究的重要课题之一。
光子晶体光纤的设计、优化和应用需要对其色散特性有深入的认识，包括光纤色散量、色散系数、色散曲线等。
因此，本文将在此基础上展开光子晶体光纤色散特性研究，对光子晶体光纤材料的结构特征和光学性质进行深入分析，旨在为光纤通信系统的开发和应用提供理论支撑和技术指导。
2. 研究内容（1）研究光子晶体光纤的结构特征和光学性质，包括材料的物理、化学结构和光学性质等方面。
（2）研究光子晶体光纤的色散特性，包括色散量、色散系数、色散曲线等方面。
（3）对光子晶体光纤色散特性进行建模和仿真，分析光子晶体光纤在不同波长和频率下的传输性能，以探索其在光通信和其它领域中的应用前景。
（4）对实验结果进行测定和分析，验证理论模型的正确性，并对光子晶体光纤的性能进行深入评估和探索其最佳应用场景。
3. 研究方法（1）文献调研法：通过查阅国内外相关文献，了解光子晶体光纤结构特征、光学性质和色散特性的研究进展。
（2）数学模型设计法：基于理论与实验并重的思想，运用数学模型对光子晶体光纤的色散特性进行建模与仿真。
（3）实验方法：搭建光纤通信系统，获取实验数据，对理论分析结果进行验证。
4. 研究意义通过对光子晶体光纤色散特性的研究，可以深入了解其物理、化学和光学性质，为光传输在波导中的应用提供更可靠、更高效的解决方案。
本研究可以探索新型传输媒介在光通信领域的应用，推进光子晶体光纤技术的发展，为光学仪器工程、通信设备等领域提供重要的技术支持。
光子带隙结构
光子带隙结构
光子带隙(photonic Bandgap-PBG)结构，又称为光子晶体(photonic Crystal)，它是一种介质材料在另一种介质材料中周期分布所组成的周期结构。
尽管光子带隙最初应用于光学领域，然而由于其禁带特性，近年来在微波和毫米波领域也获得极大关注。
在光子带隙结构中,电磁波经周期性介质散射后,某些波段电磁波强度会因干涉而呈指数衰减,无法在该结构中传播,于是在频谱上形成带隙。
PBG结构的这种特性，在天线领域和微波电路中都有着巨大的应用价值。
时域有限差分(FDTD方法是分析PBG结构一种非常有效的数值计算方法。
然而，由于微波光子晶体结构的精细，网格量必须很大，内存容量就成为计算中的瓶颈。
此外当PBG结构为圆环形时，一般的阶梯近似不足以满足计算精度。
针对以上两个问题，本文采用本课题组带有共形网格建模的MPI并行FDTD程序对圆环形PBG 结构进行了分析。
讨论了单元数目，单元间距，圆孔内径和导带宽度对S参数的影响，最后设计了一种宽禁带圆环形PBG结构。
利用平面波展开法在matlab中计算一维光子晶体的带隙结构
利用平面波展开法在matlab中计算一维光子晶体的带隙结构1. 引言1.1 研究背景光子晶体是近年来新型功能性材料的研究热点之一，其具有周期性结构对光子的传播性质具有重要影响，表现出许多独特的光学性质。
光子晶体的带隙结构是其中一个最基本的性质，也是许多光子晶体应用的关键。
通过调控光子晶体的结构参数，可以实现对光子带隙的调控，从而实现光子晶体的光学性能优化和设计。
利用平面波展开法在Matlab中计算一维光子晶体的带隙结构具有重要意义，可以为光子晶体的设计和性能优化提供有力支持。
本文将从理论基础出发，详细介绍平面波展开法的原理，光子晶体的带隙结构计算方法，以及在Matlab中实现算法的过程。
希望通过本研究对光子晶体的带隙结构有更深入的理解，为未来的光子晶体研究和应用提供新的思路和方法。
1.2 研究目的研究目的是利用平面波展开法在Matlab中计算一维光子晶体的带隙结构，通过研究光子晶体的带隙结构，可以深入了解光子晶体的光学特性和传输特性。
这对于设计和制造新型光子晶体材料具有重要意义。
目的在于探究光子晶体的带隙结构与其微结构之间的关系，为调控光子晶体的光学性质提供理论指导。
通过计算一维光子晶体的带隙结构，可以更好地理解光子晶体在光学通信、光子器件和传感器等领域的应用潜力，并为实际应用提供技术支持。
研究光子晶体的带隙结构还有助于拓展光学材料的设计思路，推动光子晶体材料在光电子领域的发展。
通过本研究，可以为光子晶体的应用研究和材料设计提供重要的理论基础和技术支持。
1.3 研究意义光子晶体的带隙结构计算是光子学研究的重要内容之一，能够揭示光子在晶格周期性结构中的行为规律。
利用平面波展开法在Matlab 中计算一维光子晶体的带隙结构，可以快速准确地获得光子晶体的能带结构，为进一步研究光子传输、光谱性质等提供重要依据。
通过本研究，可以深入了解光子晶体的光学性质，为光子学领域的发展和光子晶体材料的应用提供理论支持。
光子晶体是指具有
光子晶体光子晶体是指具有光子带隙（PhotonicBand-Gap,简称为PBG）特性的人造周期性电介质结构，即频率落在光子带隙内的电磁波是禁止传播的，这种结构有时也称为PBG光子晶体结构，这种新型人工材料即为光子晶体材料。
光子晶体（Photonic Crystal）是在1987年由S.John 和E.Yablonovitch分别独立提出，是由不同折射率的介质周期性排列而成的人工微结构。
光子晶体即光子禁带材料，从材料结构上看，光子晶体是一类在光学尺度上具有周期性介电结构的人工设计和制造的晶体。
在半导体材料中，电子在晶体的周期势场中传播时，由于电子波会受到周期势场的布拉格散射而形成能带结构，带与带之间可能存在带隙。
电子波的能量如果落在带隙中，传播是禁止的。
与半导体类似，光子晶体中光的折射率的周期性交化产生了光的带隙结构，从而有光带隙结构控制光在光子晶体中的运动。
同样，光波的色散曲线形成带状结构，带与带之间可能会出现类似于半导体禁带的“光子禁带”(PhotoIlic Band Gap)。
频率落在禁带中的光波是严格禁止传播的。
其实不管任何波，只要受到周期性的调制．都有能带结构，也都有可能出现带隙。
能量落在带隙中的波是不能传播的，电磁波或者光波也不例外．如果只在一个方向上具有周期结构，光子带隙就只可能出现在这个方向上，如果存在三维的周期结构，就有可能出现全方位的光子带隙，落在带隙中的光在任何方向上都被禁止传播。
我们将具有光子禁带的周期性介质结构称为光子晶体面(Phoooc crystal)，或叫做光子带隙材料(Photonic Bandgap Materials)。
由于电磁场的矢量特性，使得光子晶体的理论模拟变的较为困难。
不过，经过许多理论物理学家的努力，目前几种理论上的模拟和实验结果已经取得较好的一致性。
这些理论方法比电子能带理论计算方法更为完善，因为光子之间不存在库仑相互作用，是真正的单粒子问题，而在电子系统中库仑作用不可忽略，固体物理只能采取一定的近似条件来计算。
光子晶体的能带结构研究及大带隙设计[1]
![光子晶体的能带结构研究及大带隙设计[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/75d132c30c22590102029dd7.png)
山东大学硕士学位论文光子晶体的能带结构研究及大带隙设计姓名：葛祥友申请学位级别：硕士专业：光学工程指导教师：李平20060406利用光子带隙对原子自发辐射的抑制作用，可以大大降低自发跃迁而导致复合的几率。
从而降低激光器的截止电流和阈值，可制成低阈值的光子晶体激光器和高性能的光子晶体激光二极管。
图１．５是一种典型的光子晶体激光器。
它把一个中心带有缺陷的二维光子晶体放在镜面上，使光线只能沿缺陷从光子晶体上表面传出。
图１．５光子晶体激光器基于Ｊｏｈｎ在１９８７年提出的光子晶体的另一主要特征～光予局域“’，在～种经过精心设计的无序介电材料组成的超晶格中，光子呈现出很强的Ａｎｄｅｒｓｏｎ局域，通过在光子晶体中引入缺陷¨’，使得在光子带隙中产生频率极窄的缺陷，电磁波一旦偏离缺陷处就将迅速衰减，这样可以制造高性能的光子晶体光过滤器，低损耗光子晶体光滤导；如果引入的缺陷是点缺陷，利用点缺陷可把光“俘获”在某一个特定的位置，光就无法从任何一个方向向外传播，就可制成高品质因子的光子晶体谐振腔：利用光子带隙与偏振方向有关，可设计出二维光子晶体偏振片，从而制成大频率范围的光子晶体偏振器．此外，强分光能力的光子晶体超棱镜、光延迟、光开关、光放大器、光子晶体光纤、光聚焦器等也被提出。
因此，光子晶体器件极有可能取代大多数传统的光学器件，这些产品将在许多高科技领域中有着十分重要的应用．１．６．２光子晶体光纤及光通信光子晶体光纤（ｐｈｏｔｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌｆｉｂｅｒ），又称为微结构光纤（ｍｉｃｒｏ·ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄｆｉｂｅｒ）或多孔光纤（ｈｏｌｅｙｔ！ｉｂｅｒ），这一概念ｄａＲｕｓｓｅｌｌ等于１９９２年提出“”。
这种光纤的包层是有序排列的二维光子晶体，其纤芯是一个破坏了包层结构周期性的缺陷。
这个缺陷可以是固体硅，也可以是空气孔。
根据光子晶体光纤的传输原理，我们一般把光子晶体光纤分成两大类ｎ“：全反射导光型（ＴＩＲ）“““１和光子带隙导光型（ＰＢＧ）ｍ““．山东大学硕士学位论文＿＿－＿＿ｌ●－－＿＿＿ｌ●－●ｌｌＥ＿ｌ＿－●●－＿＿－Ｉ————ｍｌ＿－●ｌｌ！ｇ＿－ｔ＿＿＿－－ｌ＿＿ｌ●－●＿（ａ）（ｂ）图ｉ．６（ａ）ＴＩＲ－ＰＣＦ（ｂ）ＰＢ６－ＰＣＦ截面示意圈光子晶体光纤与普通单模光纤相比有许多突出的优点：（１）光子晶体光纤可以在很大的频率范围内支持光的单模传输：（２）光子晶体光纤允许改变纤芯面积，以削弱或加强光纤的非线性效应：（３）光子晶体光纤可灵活地设计色散和色散斜率，提供宽带色散补偿。
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关键词: 有耗色散光子晶体, 带隙结构, 线性本征值方程 PACS: 42.70.Qs, 73.20.At, 78.20.Bh DOI: 10.7498/aps.63.184210
1 引
言
光子晶体是具有不同介电常数的材料按照周 期性排列而形成的复合介质结构, 且其周期可与光 波长相比拟, 某些波段的电磁波因周期性结构的强 散射而在某个方向上不允许传播, 称这个频率范围 为光子带隙或者光子禁带 [1−4] . 光子带隙是光子晶 体的最根本的特征, 也是制备和应用光子晶体的最 重要的依据. 利用光子晶体所具有的独特光学特 性, 可以制作各种光学器件实现对光的控制 [5,6] , 比 如光子晶体激光器 [7] 、 光波导 [8] 、 滤波器 [9] 等. 随着光子晶体研究的发展, 由有耗色散材料制 备的光子晶体逐渐成为研究的热点问题之一. 贵金 属可以激发表面等离子体激元, 这一特性在光探测 方面有广泛的应用, 而大多数贵金属在光波段都具 有色散性. 另外一些新型人工材料的电磁参数通常
∗ 国家自然科学基金 (批准号: 51277001, 61101064, 61301062)、 教育部新世纪优秀人才支持计划 (批准号: NCET-12-0596)、 教育 部博士学科点专项基金 (批准号: 20123401110009)、 安徽省杰出青年基金 (批准号: 1108085J01) 和安徽省高校重点项目 (批准号: KJ2012A103) 资助的课题. † 通讯作者. E-mail: wsha@eee.hku.hk ‡ 通讯作者. E-mail: zxhuang@
(7)
3 数值计算与结果分析
3.1 算法验证
为了将 kx 从方程 (5) 中的矩阵中分离出来, 引入矩 阵 H, P 0 0 M13 H = M21 M22 M23 , (8) 0 M32 M33 M11 M12 0 (9) P = − 0 0 0 . M31 0 0 那么 (5) 式变为 Hψ = exp(jkx Px )Pψ . (10)
( 2014 年 4 月 18 日收到; 2014 年 5 月 16 日收到修改稿 )
为计算有耗色散光子晶体的带隙结构, 提出了新的本征值分析方法. 该方法借助于量子输运问题中的思 想, 在本征值方程的推导过程中进行了巧妙的变换, 将复杂的非线性本征值问题转化为线性本征值问题; 并利 用频域有限差分 (FDFD) 方法直接求解线性本征值方程, 最终得到有耗色散光子晶体结构的相关物理参数. 与其他方法相比, 该方法的最大特点为概念清晰、 计算简便, 最终节省了计算时间及所需内存量. 利用该方法, 对介质光子晶体结构进行模拟, 结果与传统 FDFD 方法符合较好, 从而验证了方法的有效性. 此外, 利用所提 方法计算了有耗色散光子晶体结构的色散曲线, 得到了表面等离子波激发的区域, 进一步讨论了损耗对其色 散曲线及本征模场的影响. 相关结果对色散有耗光子晶体的研究具有一定的理论指导意义.
图1
二维光子晶体 (a) 横截面与 (b)Yee 网格剖分示意图
184210-2
物 理 学 报 Acta Phys. Sin.
Vol. 63, No. 18 (2014) 184210
图 1 (b) 中最外层虚线网格的引入目的为应用周期 边界条件 (4) 式并不参与计算. 对方程 (2) 在每个网格点上应用五点差分法 (3) 和周期边界条件 (4), 得到矩阵形式的差分方程: M11 M12 M13 exp(−jkx Px ) M21 M22 M23 M31 exp(jkx Px ) M32 M33 × ψ = 0, 其中 ψ = (φ11 φ21 φ31 φ12 φ22 φ32 φ13 φ23 φ33 )T , Mii 和 Mij (i ̸= j ) 定义如下: Mii = (5)
D1i −T2i −T3i exp(−jky Py ) , −T1i D2i −T3i −T1i exp(jky Py ) −T2i D3i (6)
其中 Dmi = 2 2 2 + − k0 , εmi · ∆x2 εmi · ∆y 2 1 , m = 1, 2, 3. Tmi = εmi · ∆y 2 1 0 0 ε 1j 1 0 1 0 Mij = − . ε 2j ∆ x2 1 0 0 ε 3j
情况下也是频率的函数, 所以对有耗色散光子晶体 进行研究有很重要的意义. 本征值方法是求解光子 带隙的重要方法. 当材料介电常数是与频率无关 的常数时, 光子带隙的求解是一个标准的线性本征 值问题 [10,11] . 如果材料为色散材料而且有损耗, 光 子带隙的计算就是一个复杂的非线性本征值方程 求解问题 [12−15] , 计算耗时 [16,17] 而且增加了计算 所需内存量. 传统光子带隙计算方法 [10−12,18] 在计 算色散关系时, 给定布洛赫波矢 k , 频率 ω 作为本征 值 (ω = ω (k )). 如果光子晶体材料是色散的, 布洛 赫波矢 k 则为复数, 传统的光子带隙计算方法遇到 困难, 此时产生了一些将布洛赫波矢 k 作为本征值 的光子带隙计算方法 (k = k (ω )), 这些方法一般最 后将问题转化为一个二次本征值方程求解问题, 比 如 D-N (Dirichlet-to-Neumonn) 变换法 [13] , 有限元 (FEM) 方法 [14,15] . 另外, Ramma 和 Fan[19] 通过 引入辅助中间变量处理色散, 将问题转化为标准矩
(b) ϕ Py ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
2 基本理论
一般情况下, 通过求解矢量波动方程 (1) 可以 得到光子晶体的光子带隙图 (ω = ω (k ) 色散关系), 1 2 ∇ × ∇ × H = k0 H, ε
(a)
(1)
(4)
r Px Ћᑊ Py ϕ ϕห้องสมุดไป่ตู้ϕ
y x O↼֒↽ Px
© 2014 中国物理学会 Chinese Physical Society 184210-1
物 理 学 报 Acta Phys. Sin.
Vol. 63, No. 18 (2014) 184210
阵本征值方程的求解, 而且当材料无耗时为哈密尔 顿本征值方程; 当材料有耗时为非哈密尔顿本征值 方程. 由于引入了中间变量, 该方法增加了计算所 需内存量, 而且辅助中间变量的数量随着 Lorentz 模型项的增加而增加. 时域有限差分 (FDTD) 方 法 [20,21] , 作为电磁场计算中应用比较广泛的方法 之一, 可以计算色散光子晶体带隙结构 [22] , 但是其 计算精度和离散网格及迭代步数有关, 因而比较耗 时, 而且为了得到其本征模分布而进行的傅里叶变 换也会引入噪声影响其精度. 在求解有耗色散光子晶体带隙结构时, 为了 避免上述问题, 本文借助于量子输运问题中的思 想 [23] , 在本征值方程的推导过程中经过巧妙变换, 得到一个标准的线性本征值方程, 并利用 FDFD 方 法直接求解该方程. 该方法较其他方法的最大特点 为概念清晰、 计算简便, 避免了复杂的非线性本征 值方程求解, 节省了计算时间和计算所需内存量. 损耗对光子晶体的群速度、 品质因数以及本征模的 对称性和简并产生影响, 而光子晶体的这些参数 直接影响着光子晶体的工程应用. 比如, 群速度决 定了器件的功耗和在每单位传输距离上的传输时 间; 微腔量子电动力学中原子、 分子的自发衰变率 [24] 正比于品质因数 ; 本征模的对称性和简并与时 间可逆性 [25] 、 光子狄拉克锥 [26] 等物理概念紧密相 关. 因此本文还将讨论损耗对光子晶体色散曲线以 及本征模场的影响.
素都是零, 同时根据矩阵 H 的元素可以证明 H 是 奇异矩阵. 为了克服这个缺陷, 对 (10) 式进行等价 变换, 整理得: (H − P)ψ = [exp(jkx Px ) − 1]Pψ , 1 ( H − P) − 1 Pψ = ψ. exp(jkx Px ) − 1 (11) (12)
(12) 式中矩阵 (H − P) 总是可逆的, 因为它的元素 是 (2) 式的差分系数, (12) 式是一个标准的本征值 问题. 求解 (12) 式, 得到本征值 λ = 1/(exp(jkx Px ) − 1), 然后根据关系式 kx = log (1 λ ) + 1 /(jPx )
以 Yee 网格剖分元胞 (为了书写简洁, x, y 方向仅 剖 分 成 3 个 网 格), 如 图 1 (b), 网 格 点 上 场 值 φi,j (i, j = 1, 2, 3) 代表磁场 Hz . 对 (2) 式利用五点差分 法 [27] , 得 ) ( 1 φi,j − φi−1,j φi+1,j − φi,j − ( ( 1 ) 1 ) ∆ x2 ε i + ,j ε i − ,j 2 2 ( ) 1 φi,j +1 − φi,j φi,j − φi,j −1 + − ( ( 1) 1) ∆y 2 ε i, j + ε i, j − 2 2 2 + k0 φi,j = 0, (3) 其中 ∆x, ∆y 分别是 x, y 方向网格剖分步长. 由 (3) 式以及图 1 (b) 可以看出, 非边界区域网格点上 磁场的计算需要利用其周围的四个网格点上的磁 场值. 边界网格点上磁场值的计算需要用到边界 区域外网格点上的磁场值, 此时需要用到周期边界 条件 φ(x ± Px , y ± Py ) = φ(x, y ) exp(∓jkx Px ∓ jky Py ),
计算 kx 的值, 可以看出 kx 是一个复数. 由对称性 可知, 通过对 ω 扫频, 以及遍取 ky (或 kx ) 在不可约 布里渊区边界上的值, 求得 kx (或 ky ) 就可以得到光 子晶体的带隙图. 从以上对本征值方程的推导过程可以看出, 本 文本征值算法的核心思想就是从 (5) 式中的矩阵中 分离出待求量 kx (或者 ky ), 通过运算, 将其转化成 线性本征值方程 (12) 中的本征值项, 将问题转化成 标准的线性本征值问题, 概念清晰. 存在两个重要 的且巧妙的变换, 一是通过引入矩阵 H, P, 将待求 量 kx (或者 ky ) 从矩阵中分离出来; 二是通过等价变 换使得方程 (10) 转化为标准的线性本征值方程.