北师大版九年级数学下册 3.1 圆 导学案
3.1 圆
学习目标:
经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程；理解圆的概念，理解点与圆的位置关系．
学习重点:
圆及其有关概念，点与圆的位置关系．
学习难点:
用集合的观念描述圆．
学习过程:
一、例题讲解：
【例1】如图，Rt△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，分别以r1=2cm，r2=2．4cm，r3=3cm为半径作圆，试判断D点与这三个圆的位置关系．
【例2】如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法．
【例3】已知：如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N分别为OA、OB的中点．求证：MC=NC．
【例4】设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP=m，且m使关于x的方程2x2－22x ＋m－1=0有实数根，试确定点P的位置．
【例5】城市规划建设中，某超市需要拆迁．爆破时，导火索的燃烧速度与每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域，这个导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全？
【例6】由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动（如图3-1-5），距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？
二、随堂练习
1．已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：（1）4cm；（2）5cm；（3）6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由．
2．点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是．
三、课后练习
1．P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（）
A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径
B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径
C．⊙O上有两点到点P的距离最小
D．⊙O上有两点到点P的距离最大
2．若⊙A的半径为5，点A的坐标为（3，4），点P的坐标为（5，8），则点P的位置为（）
A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不确定
3．两个圆心为O的甲、乙两圆，半径分别为r1和r2，且r1＜OA＜r2，那么点A在（）A．甲圆内B．乙圆外C．甲圆外，乙圆内D．甲圆内，乙圆外4．以已知点O为圆心作圆，可以作（）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
5．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
6．已知⊙O的半径为3．6cm，线段OA=25/7cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．A点在圆外B．A点在⊙O上C．A点在⊙O内D．不能确定
7．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O 上或⊙O外
8．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，D是AB边的中点，以C为圆心，4cm长为半径作圆，则A、B、C、D四点中在圆内的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM为中线，以C为圆心，5cm 为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有，在圆上的有，在圆内的有．
10．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是 cm．11．圆上各点到圆心的距离都等于，到圆心的距离等于半径的点都在．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15cm，BC=10cm，以A为圆心，12cm为半径作圆，则点C与⊙A的位置关系是．
13．⊙O的半径是3cm，P是⊙O内一点，PO=1cm，则点P到⊙O上各点的最小距离是．
14．作图说明：到已知点A的距离大于或等于1cm，且小于或等于2cm的所有点组成的图形．
15．菱形的四边中点是否在同一个圆上？如果在同一圆上，请找出它的圆心和半径．16．在Rt△ABC中，BC=3cm，AC=4cm，AB=5cm，D、E分别是AB和AC的中点．以B为圆心，以BC为半径作⊙B，点A、C、D、E分别与⊙B有怎样的位置关系？
17．已知：如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm．若以A为圆心作圆，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
18．如图，公路MN和公路PQ在P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/时，那么学样受影响的时间为多少秒？
19．在等腰三角形ABC中，B、C为定点，且AC=AB，D为BC的中点，以BC为直径作⊙D，问：（1）顶角A等于多少度时，点A在⊙D上？（2）顶角A等于多少度时，点A在⊙D 内部？（3）顶角A等于多少度时，点A在⊙D外部？
20．如图，点C在以AB为直径的半圆上，∠BAC=20°，∠BOC等于（）
A．20°B．30°C．40° D．50°
21．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=4，BC=9，AB=12，M为AB的中点，以CD为直径画圆P，判断点M与⊙P的位置关系．
22．生活中许多物品的形状都是圆柱形的．如水桶、热水瓶、罐头、茶杯、工厂里用的油桶、贮气罐以及地下各种管道等等．你知道这是为什么吗？尽你所知，请说出一些道理．。
北师大数学九年级下册第三章圆导学案
3.1圆１、从圆的形成过程，我们可以得出：定义1：平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周, 另一个端点所形成的_____叫做圆．定义2：平面上到______的距离等于______的所有点组成的图形叫做圆.定点叫做_____，______叫做半径．以点O 为圆心的圆，记作“_____”，读作“______”．外延：①的线段叫做弦;②的弦叫做直径；③部分叫做圆弧，简称，叫做优弧， 小于半圆的弧叫做弧．④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做.能够重合的两个圆叫做______；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做______．２、确定圆有两个要素：①_______（确定圆的______）；②_________（确定圆的______）.二、小组学习：1.以O 为圆心的圆可以画_________个圆，这些圆叫_______________.以2cm 为半径的圆可以画________个圆，这些圆是________________.2.平面内，设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，则有d >r ⇔点P 在⊙O ______；d =r ⇔点P 在⊙O ______；d <r ⇔点P 在⊙O ______．3.下列说法正确的是①直径是弦②弦是直径③半径是弦④半圆是弧，但弧不一定是半圆⑤半径相等的两个半圆是等弧⑥长度相等的两条弧是等弧⑦等弧的长度相等4.如图，圆中有条直径，条弦，以A 为一个端点的劣弧有条．5.在矩形ABCD 中，AB =6cm ,AD =8cm ，（1）若以A 为圆心，6cm 长为半径作⊙A ，则点B 在⊙A ______，点C 在⊙A _______，点D 在⊙A ________，AC 与BD 的交点O 在⊙A _________；D3.2圆的对称性1.如图所示的⊙O 中，将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？结论1：在同一个圆中，相等的圆心角所对的____相等，所对的相等．2.在⊙O 和⊙O′中， 分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A′O′B′得到如图2，滚动一个圆，使O 与O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O′A′重合．在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等吗？结论2：我们可以得到下面的定理：______________________________________.同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角____， 所对的弦也．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角____， 所对的弧也.3.如右图，在⊙O 中，AB、CD 是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．(1)如果CD AB =，则有，.(2)如果，则有，.(3)如果COD AOB ∠=∠，则有，.(4)如果∠AOB=∠COD，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？(5)如果OE=OF，那么弧AB 与弧CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？∠AOB 与∠COD 呢？ 为什么？(6)如果CD AB =，则OE 与OF 相等吗？为什么？B 'B ''A*3.3垂径定理【结构梳理】1.圆是_________图形，其对称轴是__________________的直线.2.垂径定理是由被称为"几何之父"的古希腊数学家欧几里得（Ευκλειδης）提出的．它是圆的重要性质之一，是证明圆内线段相等，角相等，垂直关系的重要依据，也为圆中的计算，证明和作图提供了依据，思路和方法．垂径定理本身的内涵也非常丰富．对于以上①②③④⑤，已知任意两条，可推出其余三条，称为知二推三．请大家以小组为单位探究以上定理的证明过程．(垂径定理：垂直于弦的直径平分，并且平分．)已知：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径EF，使EF⊥AB，垂足为D.求证：AD=BD，EF平分AFB，EF平分AEB(垂径定理的一个推论：平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分．)已知：如图，AB是⊙O的一条弦（不是直径），直径EF平分AB，交AB于点D.求证：EF⊥AB，EF平分AFB，EF平分AEB①垂直于弦：EF⊥AB于点D②过圆心：EF过圆心O③平分弦：AD=BD④平分弦所对的优弧：EF平分AFB⑤平分弦所对的劣弧：EF平分AEB 垂径定理一、预习导学1.叫圆心角.2.在同圆或等圆中，圆心角的度数等于它所对的度数.二、自主学习1.如图，点B、D、E在⊙O上，∠B、∠D、∠E有什么共同的特征？①顶点在_______，②并且两边_______________________的角叫做圆周角.2.度量∠B、∠D、∠E的大小，它们的数量关系是_______________.3.如图，AB为⊙O的直径，∠BOC、∠BAC分别是BC所对的圆心角、圆周角，①∠BA1C＝＿＿，∠BA2C＝＿＿，∠BA3C＝＿＿；②通过计算发现：∠BAC＝＿＿∠BOC．4、从一般情况来看，如图，BC所对的圆心角有多少个？BC所对的圆周角有多少个（位置有什么不同）？请在图中画出BC所对的圆心角和圆周角，并与同学们交流.思考与讨论①观察上图，在画出的无数个圆周角，这些圆周角与圆心O有几种位置关系？②设BC所对的圆周角为∠BAC，除了圆心O在∠BAC的一边上外，圆心O与∠BAC还有哪几种位置关系？对于这几种位置关系，结论∠BAC＝12∠BOC还成立吗？试证明之．通过上述讨论发现：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.CB【结构梳理】2.如图，在△ABC 中，OA=OB=OC,则∠ACB=°.请证明：二、自主学习1.如图，BC 是⊙O 的直径,它所对的圆周角是锐角、钝角，还是直角？为什么？2.如图，在⊙O 中，圆周角∠BAC=90°，弦BC 经过圆心吗？为什么？3.归纳自己总结的结论：（1）（2）注意：（1）这里所对的角、90°的角必须是圆周角；（2）直径所对的圆周角是直角在圆的有关问题中经常遇到，也是圆中常见辅助线.4.小明在分析几何问题时发现，如果题目中给出条件却没有给出相应的图形，那么就会出现因为图形的位置不确定而需要考虑多种情况的可能．请你与小明通过作图解决以下问题．在直径为4的⊙O 中，弦AB ＝，点C 是圆上不同于A ，B 的点，求∠ACB 的度数．第1题OCBA第2题番外篇圆内接四边形学习目标：1.识记圆的内接四边形的概念 2.掌握圆内接四边形的性质一、预习导学1.如图1，△ABC叫⊙O的_________三角形，⊙O叫△ABC的_________圆.2.如图1,若的度数为1000,则∠BOC=,∠A=______3.如图2四边形ABCD中,∠B与∠1互补,AD的延长线与DC所夹∠2=600,则∠1=_________,∠B=_________.4.判断:圆上任意两点之间分圆周为两条弧,这两条弧的度数和为3600()二、自主学习1.如图3,四边形ABCD的各顶点都在⊙O上,所以四边形ABCD是⊙O的_________四边形,⊙O叫四边形ABCD的_________圆.2.你能解决下列问题吗?如上图:(1)∵所对圆心角为∠1，所对圆心角为∠2,∴∠1+∠2=的度数+的度数=______度.∵∠BAD=21∠2（___________________________），∠BCD=21∠1（同上）∴∠BAD+∠BCD=21∠2+21∠1=_______(2)为什么∠DCE=∠A?3.如图4，5，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上.⑴如图4，当圆心O在四边形内部时，猜想四边形ABCD的对角的关系，并说明理由.⑵如图5，当圆心O在四边形外部时，⑴中的结论是否成立？并说明理由.归纳：圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角，任意一个外角都等于.三、达标练习1.如图6四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=____，∠B+∠ADC=_____;若∠B=800，则∠ADC=______∠CDE=______2.圆内接平行四边形必为()A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形3.如图7在⊙O中，∠CBD=30°,∠BDC=20°,求∠A的度数.EDCBA21AB CODC EBAo21图2图3图1图6EDBAC80图73.5确定圆的条件探究1：经过不同的点作圆（请你在下面空白处作图探究）(1)作经过已知点A 的圆，这样的圆你能作出多少个？(2)做经过已知点A ，B 的圆，这样的圆有多少个？它们的圆心分布有什么特点？(3)作经过A ，B ，C ，三点的圆，这样的圆有多少个？如何确定它的圆心？由以上作圆可知过已知点作圆实质是确定和，因此(1)过一点的圆有个；(2)过两点的圆有个，圆心在上；(3)过不在同一条直线上的三点作个圆，圆心是.探究2：三角形的外接圆：过三角形ABC 三顶点作一个圆，这个圆叫做三角形的_________，这个圆的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做圆的.锐角三角形的外心在；直角三角形的外心在；钝角三角形的外心在．二、合作学习1.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A ，B ，C ，其中B 点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为．2.学校花园里有一块矩形的空地，空地上有三棵树A ，B ，C ，学校想修建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．（1）请你把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若△ABC 中，BC ＝4米，AC ＝3米，∠C ＝90°，试求圆形花坛的面积．3.6.1直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系相离相切相交图形公共点个数及名称d 与R 的大小关系直线名称探究1：切线的性质定理1.圆的切线的半径．如图：已知直线l 是⊙O 的切线，切点为A ，连接0A,用符号语言来表示定理：∵∴2.常用的辅助线：连接与.探究2：切线的性质定理的推论若一条直线满足：①过圆心，②过切点，③垂直于切线,这三个条件中的任意个，就必然满足第个，即：①②O A3.6.2直线和圆的位置关系--切线的判定与三角形内切圆【结构梳理】1.探究：如图，点A 在⊙O 上，请过点A 画一条直线l ，使得 l OA ，判断直线l 与⊙O 的位置关系.由此得切线的判定定理(文字语言）：的直线是圆的切线.符号语言：2.分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明与它们内心的位置情况?二、合作学习判断（1）过半径的外端的直线是圆的切线（）（2）与半径垂直的的直线是圆的切线（）（3）过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）这说明我们要牢记一条直线是圆的切线必须满足1：2三、总结提升1.判定切线的方法有哪些？2.常用的添辅助线方法？⑴直线与圆的公共点已知时，则⑵直线与圆的公共点不确定时，则*3.7切线长定理如图，点P 在⊙O 外，过点P 作⊙O 的切线，能作出条，它们的数量关系是.证明：二、合作学习问题提出：如图1，一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西120km 处（即点O 的位置），受影响的范围是半径长为40km 的圆形区域．已知港口位于台风中心正北50km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响?探究思路：为了解决这个实际问题，先将其转化成数学问题，如图2，⊙O 表示台风影响的范围，O 是台风中心，圆的半径长为40km ，AB 表示这艘轮船的航线.请结合以下解题思路，尝试解决本题．（1）本题主要研究哪些图形之间的关系？（2）应比较哪些量之间的关系?（3）最终你是如何判断轮船受不受影响?图13.8圆内接正多边形正多边形边数内角中心角边长边心距周长面积3456n lr 21小明同学在学习了课本P 98提供的利用尺规作正五边形的方法之后，想借助这个图形得到一个正三角形，以下是他设计的尺规作图过程．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，第1步．作直径AF ．第2步．以F 为圆心，FO 为半径作圆弧，与⊙O 交于点M ，N ．第3步．连接AM ，MN ，NA ．（1）请根据小明设计的作法补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；（2）请你帮小明求出∠ABC 的度数．（3）小明想说明△AMN 是正三角形，他的部分推理过程如下，请你帮他补全推理过程．理由：连接ON ，NF ，…3.9弧长及扇形的面积【结构梳理】一、温故知新：圆的周长公式是,圆的面积公式是.二、自主探究：1.圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．1°的圆心角所对的弧长是_______.2°的圆心角所对的弧长是_______.4°的圆心角所对的弧长是_______.……n°的圆心角所对的弧长是_______.2.什么叫扇形？.3.圆的面积可以看作度圆心角所对的扇形的面积，设圆的半径为R，=_______.1°的圆心角所对的扇形面积S扇形2°的圆心角所对的扇形面积S=_______.扇形=_______.5°的圆心角所对的扇形面积S扇形……n°的圆心角所对的扇形面积S=_______.扇形4.比较扇形面积公式和弧长公式，如何用弧长表示扇形的面积？(写出推导过程)。
九年级数学下册 第三章 圆说课稿北师大版
九年级数学下册第三章圆说课稿北师大版年级：姓名：圆一、教材分析1．教材的地位和作用圆是在学习了直线图形的有关性质的基础上来研究的一种特殊的曲线图形。
它是常见的几何图形之一，在初中数学中占有重要地位，中考中分值占有一定比例，与其它知识的综合性较强。
本节课的内容是对已学过的旋转及轴对称等知识的巩固，也为本章即将要探究的圆的性质、圆与其它图形的位置关系、数量关系等知识打下坚实的基础。
2．教学目标课程标准对圆这一章的要求是：“……在教学中，应注重所学内容与现实生活的联系，注重使学生经历观察，操作，推理，想像等探索过程……”。
根据这一要求和本课时内容的地位和作用以及九年级学生的认知结构，我确定了以下教学目标：【知识与技能】通过观察、操作、归纳等理解圆的定义，理解弦、弧、直径、等圆、等弧等相关概念；并通过对“草坪问题”的讨论等活动提高学生运用圆的相关知识解决生活中实际问题的能力。
【过程与方法】采取课件与导学案相结合，学生自主学习与小组合作相结合的教学方法，让学生体会圆的不同定义，感受圆和实际生活的联系，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
【情感态度与价值观】在解决问题的过程中体会圆的知识在生活中的普遍性，以及圆在生活和生产中的地位和作用，增强学生学习数学的兴趣。
3．教材重、难点的处理根据教学内容和学生实际，遵循课程标准，在认真钻研教材的基础上，本节课我确定了以下教学重点和难点：重点：1．圆的两种定义和圆的有关概念的学习。
2．能够解释和解决一些生活中关于圆的问题。
难点：圆的第二种定义。
为了突破难点，将抽象的文字叙述转化为图形，我设计了学生自己动手画圆及观看老师演示等方法，最后辅之以相关练习题，使学生得以巩固。
二、学情分析九年级学生在过去的生活和学习中对圆的知识已经有了一些认识，初步体会到圆在生活、工农业生产、交通运输、土木建筑等方面均广泛存在，这对进一步探究圆的定义及相关性质奠定了一定的基础。
但对圆的相关性质掌握较少，对知识的转化能力较差，所以重在要学生参与，主动探究，增加解决实际问题的能力。
北师大九年级下册数学《圆周角和圆心角的关系》导学案
课题3．4 圆周角和圆心角的关系（1）一、问题引入：1._________在圆上，并且角的两边都_________的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同一圆中，一条弧所对的圆周角等于_________圆心角的_________．3.圆周角定理的推论：在同圆或等圆中，____________所对的圆周角____________．二、基础训练：1.(2014 湖南省长沙市) 如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=度；2.(2014 湖南省郴州市) 如图，已知A、B、C三点都在⊙O上，∠AOB=60°则∠ACB=_______.3.(2014 湖北省宜昌市) 如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于点E，则∠ABD=（）A.∠ACDB. ∠ADBC. ∠AEDD.ACB三、课堂检测：1.(2013 湖南省常德市) 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，若∠BOC=100°，则∠BAC=__ _.2.(2014 广西来宾市) 如图，点A、B、C均在⊙O上，∠C=50°，则∠OAB=．3.如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于（）．A．64°B．48°C．32°D．76°4.如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于（）．第3题图第2题图A BOC第1题图第3题图第4题图第1题图第2题图A．37°B．74°C．54°D．64°5.如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC,∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？OCAB第5题图6.如图，A,B,C,D是⊙O上的四点，且∠C=100°,求∠BOD和∠A的度数．AODBC。
北师大版九年级下册数学第三章 圆第1节《圆》导学案
【圆】（P65-67页）【学习目标】1、知道并领会圆、弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧的概念；2、能根据点到圆心的距离d和圆的半径r的关系判定点与圆的位置关系。
一、新知学习1、自学课本65页到67页，写下疑惑摘要：2、请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。
如下图，在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做_____。
固定的端点O叫做_____，线段OA 叫做_____，用r(或R)表示。
这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记作“o”，圆的位置由______决定，圆的大小由__________决定。
如图经过圆上一点可以画无数弦，其中一条弦AB经过圆心OA,则AB就是o直径，显然，直径是半径的2倍。
A(1) 弦：什么是弦呢？什么样的弦是直径呢？(2) 弧：什么是弧呢？什么是半圆呢？(3) 什么是等弧呢？什么是等圆呢？(4) 点与圆的位置关系有几种呢？都是哪几种？2、你知道车轮为什么做成圆的吗？阐述一下你的观点。
二、知识梳理三、学习评价【当堂检测】1、已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：（1）4cm；（2）5cm；（3）6cm，判定点P与圆的位置关系，说明理由．2、点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是．3、如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法．参考答案：1、（1）点P在圆内（2）点P在圆上（3）点P在圆外2、0≤d<33、略【自我评价】1、本节课有困惑的题目是：2、本节课的学习收获是：。
北师大版九年级数学下册3.1 圆1教案
3.1 圆1．理解确定圆的条件及圆的表示方法；(重点)2．掌握圆的基本元素的概念；(重点)3．掌握点和圆的三种位置关系．(难点)一、情境导入古希腊的数学家认为：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”它的完美来自于中心对称，无论处于哪个位置，都具有同一形状，它最谐调、最匀称．观察图形，从中找到共同特点．二、合作探究探究点一：圆的有关概念【类型一】圆的有关概念下列说法中，错误的是()A．直径相等的两个圆是等圆B．长度相等的两条弧是等弧C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧解析：直径相等的两个圆是等圆，A选项正确；长度相等的两条弧的圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，B选项错误；圆中最长的弦是直径，C选项正确；一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，D选项正确．故选B.方法总结：掌握与圆有关的概念是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】圆的概念的应用如图，CD是⊙O的直径，点A为DC延长线上一点，AE交⊙O于点B，连接OE，∠A＝20°，AB＝OC，求∠DOE的度数．解析：由AB＝OC得到AB＝BO，则∠A＝∠1，而∠2＝∠E，因此∠EOD＝3∠A，即可求出∠EOD.解：连接OB，如图，∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB＝BO，∴∠A＝∠1.又∵∠2＝∠A＋∠1，∴∠2＝2∠A.∵OB＝OE，∴∠2＝∠E，∴∠E＝2∠A，∴∠DOE＝∠A＋∠E＝3∠A＝60°.方法总结：解决此类问题要深刻理解圆的概念，在圆中半径是处处相等的，这一点在解题的过程中非常关键，不容忽视．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题探究点二：点与圆的位置关系【类型一】判定几何图形中的点与圆的位置关系在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，点D、E分别为BC、AB的中点，以点A 为圆心，AC 长为半径作圆，请说明点B 、D 、C 、E 与⊙A 的位置关系．解析：先根据勾股定理求出AC 的长，再由点D 、E 分别为BC 、AB 的中点求出AD 、AE 的长，进而可得出结论．解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝8，∴AC ＝ AB 2－BC 2＝102－82＝6.∵AB ＝10＞6，∴点B 在⊙A 外；∵在Rt △ACD 中，∠C ＝90°，∴AD ＞AC ，∴点D 在⊙A 外；∵AC ＝AC ，∴点C 在⊙A 上；∵E 为AB 的中点，∴AE ＝12AB＝5＜6，∴点E 在⊙A 内．方法总结：解决本题关键是掌握点与圆的三种位置关系．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型二】 根据点与圆的位置关系确定圆的半径的取值范围有一长、宽分别为4cm 、3cm 的矩形ABCD ，以A 为圆心作⊙A ，若B 、C 、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是__________．解析：∵矩形ABCD 的长、宽分别为4cm 、3cm ，∴矩形的对角线为5cm.∵B 、C 、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，∴⊙A 的半径r 的取值范围是3＜r ＜5.故答案为3<r <5.方法总结：解决本题要熟练掌握点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题【类型三】 在平面直角坐标系中判断点与圆的位置关系如图，⊙O ′过坐标原点，点O ′的坐标为(1，1)，试判断点P (－1，1)，点Q (1，0)，点R (2，2)与⊙O ′的位置关系．解析：首先求得圆的半径长，然后求得P 、Q 、R 到Q ′的距离，即可作出判断．解：⊙O ′的半径是r ＝12＋12＝2，PO ′＝2＞2，则点P 在⊙O ′的外部；QO ′＝1＜2，则点Q 在⊙O ′的内部；RO ′＝（2－1）2＋（2－1）2＝2＝圆的半径，故点R 在圆上．方法总结：注意运用平面内两点之间的距离公式，设平面内任意两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.【类型四】 点与圆的位置关系的实际应用如图，城市A 的正北方向50千米的B 处，有一无线电信号发射塔．已知，该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100千米，AC 是一条直达C 城的公路，从A 城发往C 城的客车车速为60千米/时．(1)当客车从A 城出发开往C 城时，某人立即打开无线电收音机，客车行驶了0.5小时的时候，接收信号最强．此时，客车到发射塔的距离是多少千米(离发射塔越近，信号越强)?(2)客车从A 城到C 城共行驶2小时，请你判断到C 城后还能接收到信号吗？请说明理由．解析：(1)根据路程＝速度×时间求得客车行驶了0.5小时的路程，再根据勾股定理就可得到客车到发射塔的距离；(2)根据勾股定理求得BC 的长，再根据有效半径进行分析．解：(1)过点B 作BM ⊥AC 于点M ，则此时接收信号最强．∵AM ＝60×0.5＝30(千米)，AB ＝50千米，∴BM ＝40千米．所以，客车到发射塔的距离是40千米；(2)到C 城后还能接收到信号．理由如下：连接BC ，∵AC ＝60×2＝120(千米)，AM ＝30千米，∴CM ＝AC －AM ＝90千米，∴BC ＝CM 2＋BM 2＝1097千米＜100千米．所以，到C 城后还能接收到信号．方法总结：解决本题的关键是能够正确理解题意，熟练运用勾股定理进行计算．三、板书设计圆1．圆的有关概念 2．点和圆的位置关系设☉O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP ＝d ，则有：点P 在圆外⇔d ＞r ； 点P 在圆上⇔d ＝r ； 点P 在圆内⇔d ＜r .本节课的设计总体思路清晰，对于圆及相关知识的概念理解较为深刻，对于圆的概念的形成过程主要通过让学生找出圆的两种不同画法的共同点得到，抓住了本质．通过教材中圆的概念的阅读，让学生找出关键词，从而让学生进一步理解圆的概念．例题的分析，是本节课的一个难点，为分散难点，本节课采用了小问题的形式进行，关注数学建模过程，抓住问题的本质：判断每一个点与圆的位置关系.。
2023年北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》导学案
新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》导学案一、温故知新——请同学们根据题意写出下列各题的函数关系式。
1.正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数表达式。
2.已知正方形的周长为20，若其边长增加x，面积增加y，求y与x之间的表达式。
3.已知正方形的周长是x，面积为y，求y与x之间的函数表达式。
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?第二段：【白天长课导学】一、学习目标与要求：1. 能根据题意列出函数关系式，并能通过配方求出最值。
二、定向导学、合作交流、教师精讲定向导学、合作交流、教师精讲摘记【合作探究一】一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间1.长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？【合作探究二】某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?课题：第二章§2-6-1 二次函数的应用课型：新授总第9课时－18模块五：当堂训练班级：九（）班姓名：一、解答题。
请根据本节课所学知识解答。
1．如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？2、如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形DEGF的面积最大是多少？3、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积。
4、如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏。
最新北师大版九年级上册数学导学案(全册共)
最新北师大版九年级上册数学导学案（全册共119页）目录第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质第2课时菱形的判定1.2矩形的性质与判定第1课时矩形的性质第2课时矩形的判定1.3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质第2课时正方形的判定第二章一元二次方程2.1 认识一元二次方程第1课时一元二次方程第2课时一元二次方程的解及其估算2.2 用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法求解简单的一元二次方程第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程2.3 用公式法求解一元二次方程第1课时用公式法求解一元二次方程第2课时利用一元二次方程解决面积问题2.4 用因式分解法求解一元二次方程2.5一元二次方程的根与系数的关系2.6 应用一元二次方程第1课时几何问题及数字问题与一元二次方程第2课时第三章概率的进一步认识3.1 用树状图或表格求概率第1课时用树状图或表格求概率第2课时概率与游戏的综合运用3.2 用频率估计概率第四章图形的相似4.1 成比例线段第1课时线段的比和成比例线段第2课时比例的性质4.2 平行线分线段成比例4.3 相似多边形4.4 探索三角形相似的条件第1课时利用两角判定三角形相似第2课时利用两边及夹角判定三角形相似第3课时利用三边判定三角形相似第4课时黄金分割4.5 相似三角形判定定理的证明4.6 利用相似三角形测高4.7 相似三角形的性质第1课时相似三角形中的对应线段之比第2课时相似三角形的周长和面积之比4.8 图形的位似第1课时位似多边形及其性质第2课时平面直角坐标系中的位似变换第五章投影与视图5.1 投影第1课时投影的概念与中心投影第2课时平行投影与正投影5.2 视图第1课时简单图形的三视图第2课时复杂图形的三视图第六章反比例函数6.1 反比例函数6.2 反比例函数的图象与性质第1课时反比例函数的图象第2课时反比例函数的性质第一章 特殊平行四边形1.1 菱形的性质与判定第1课时 菱形的性质学习目标：①通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质。
学年九年级上下册数学导学案北师大版(供参考)
第一章特殊平行四边形E F D C B A F ED C BA 第一章 特殊平行四边形课题1.1菱形的性质与判定（第二课时）教师二备一、问题引入1、 叫做菱形.2、菱形的四条边 ，对角线 .3、除了菱形的定义可以判断一个平行四边形是菱形外,还有什么条件可以判断? 二、基础训练1、要使□ABCD 为菱形，下列添加条件中正确的是（ ）A.AB ⊥BCB.AC ⊥BDC.AC=BDD.∠ABC=∠CDA 2、如图所示,在□ABCD 中,AE,CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，若添加一个条件，仍无法判断四边形AECF 为菱形的是（ ）A.AE=AFB.EF ⊥ACC.∠B=60°D.AC 是∠EAF 的平分线三、例题展示 例1：如图所示，ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ．求证：四边形AFCE 是菱形．例2：如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于点E,DF ∥AB 交AC 于F,试判断四边形AEDF 的形状，并证明你的结论.第一章特殊平行四边形HEF GCBAD 例2：如图，已知：两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，求证：重叠部分为菱形.四、课堂检测1、下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是（ ）A.对角线互相平分的四边形B.对角线互相垂直且平分的四边形C.对角线相等的四边形D.对角线相等且互相垂直的四边形2、菱形的边长是2 cm ，一条对角线的长是23 cm ，则另一条对角线的长是（ ） A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．23cm3、 菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（ ） A. 43B. 83C. 103D. 1234、如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且AC ＝16cm ，BD ＝12cm ，求菱形ABCD 的高DH.5、如图,已知在四边形ABCD 中，AD=BC,点E,F,G ,H 分别是AB,CD,AC,BD 的中点，求证：四边形EGFH 是菱形.教学反思C DA B 第4题第一章特殊平行四边形Q P D C B A例2:如图所示,四边形ABCD 是矩形,△PBC 和△QCD 都是等边三角形,且点P 在矩形上方,点Q 在矩形内. (1) 求证:∠PBA=∠PCQ=30°；（2）求证:PA=PQ 四．课堂检测 1 1、矩形ABCD 的边AD=3cm ，对角线AC 、BD 的夹角∠AOB=120°，则AC= ． 2 2、 Rt △ABC 的两直角边长分别为3和4，则斜边上的中线是 ，斜边上的高是 ． 3 3、矩形的面积为12cm 2，一条边长为3cm ，则矩形的对角线长为_______ 4 4、已知点E 是矩形ABCD 的边BC 的中点，那么S △AED =（_）ABCD S 矩形A.21B.41C.51D.615 5、矩形ABCD 沿AC 折叠，使点B 落在点E 处， 求证：EF=DF. 66、已知：在矩形ABCD 中，E 为DC 边上一点，BF ⊥AE 于点F ，且BF ＝BC ．求证：AE ＝AB.7、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O,过顶点C 作BD 的平行线与AB 的延长线相交于点E,求证：△ACE 是等腰三角形教学反思 第5题 第6题F B D C A E 第7题O ED CBA第一章特殊平行四边形第一章 特殊平行四边形课题 1.2矩形的性质与判定(第三课时)教师二备一、问题引入1、矩形的性质定理：除了具有与平行四边形一样的性质之外，矩形所具有的特殊性质是：①矩形的____________________都是直角； ②矩形的对角线___________.2、矩形的判定定理：①有一个角是直角的________________是矩形(定义)； ②有_____________________ 是直角的四边形．．．是矩形； ③对角线_________ ___的平行四边形是矩形. 二、基础训练1、在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，若∠AOB=60°，AB=4㎝，则AC=_______㎝.2、如图所示，已知ABCD ，下列条件：①AC=BD ，②AB=AD ，③∠1=∠2，④AB ⊥BC 中，能说明ABCD 是矩形的有（填写序号）.3、如图，矩形的对角线交于点O ，过点O 的直线交AD 、BC 于点E 、F ，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为___ _______.三、例题展示例1：在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O,AE ⊥BD 于点E,ED=3BE,求AE 的长.第2题 ２１ＤＣＢAO ED CBA四、课堂检测1、如上图1，在矩形ABCD 中,AB=3,AD=4,P 是AD 上一动点,PF ⊥AC 于F,PE ⊥BD 于E,则PE+PF 的值为（ ）A ．125B ．135C ．52 D ．22、已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 的中点，四边形ABDE 是平行四边形， 求证：四边形ADCE 是矩形.3、如图，以△ABC 的三边为边，在BC 的同侧分别作3个等边三角形，即△ABD 、△BCE 、△ACF ．请回答问题并说明理由： （1）四边形ADEF 是什么四边形?（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形?教学反思E D C B A 第2题图 BA CED F 第3题图第1题图第一章特殊平行四边形第一章特殊平行四边形第一章 特殊平行四边形单元检测一、选择题1、如图,四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形， 需要添加的条件是（ ） A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD2、在菱形ABCD 中,对角线AC=4,∠BAD=120°,则菱形ABCD 的周长为( ) A.20 B.18 C.16 D.153、（2014•广西玉林市）下列命题是假命题的是（ ）A.四个角相等的四边形是矩形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.对角线垂直的四边形是菱形D.对角线垂直的平行四边形是菱形 4、如图，两张宽度相等的纸条交叉重叠，重合部分是（ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 5、下列条件 中,不能判定四边形ABCD 为矩形的是( ) A .AB ∥CD ,AB=CD,AC=BD B.∠A=∠B=∠D=90° C.AB=BC,AD=CD,∠C=90° D.AB=CD,AD=BC,∠A=906、如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BC 相交于点O ，H 为AD 边中点， 菱形ABCD 的周长为28，则OH 的长等于（ ） A3.5 B. 4 C. 7 D. 147、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A ．四个角都是直角 B ．对角线互相平分 C ．对角相等 D ．对角线互相垂直8、（2014•孝感）如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上， 点D （5，3）在边AB 上，以C 为中心，把△CDB 旋转90°， 则旋转后，点D 的对应点D′的坐标是（ ） A ．(2,10) B.(-2,0) C.(2,10)或（-2，0） D.(10,2)或（-2，0）二、填空题 9、（2014•江苏苏州）已知正方形ABCD 的对角线AC=，则正方形ABCD 的周长为 ． 10、（2014•山东淄博）已知□ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，请你添加一个适当的条件，使□ABCD 成为一个菱形，你添加的条件是 ．11、已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°，AB=4㎝,则矩形的对角线长为 .12、（ 2014•福建泉州）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 为斜边AB 的中点，AB =10cm ，则CD 的长为 cm ．第1题图ODC BA第6题图第8题图 第12题图第4题图13、（2014•四川宜宾）菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1：2，则较长的对角线长度是 cm ．14、(2014年四川资阳)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 是AB 边上的一点，且AE =3，点Q 为对角线AC 上的动点， 则△BEQ 周长的最小值为 ． 三．解答题15、（ 2014•福建泉州）已知：如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 边上，BE =DF ，连接CE ，AF ．求证：AF =CE ．16、（2014•四川巴中）如图，在四边形ABCD 中，点H 是BC 的中点，作射线AH ，在线段AH 及其延长线上分别取点E ，F ，连结BE ，CF ．（1）请添加一个条件，使得△BEH ≌△CFH ，你添加的条件是 ，并证明． （2）在问题（1）中，当BH 与EH 满足什么关系时，四边形BFCE 是矩形，请说明理由．第14题图第15题图第16题第二章一元二次方程第二章一元二次方程第二章一元二次方程第二章一元二次方程第二章一元二次方程第二章一元二次方程5、（2014德州）方程01222=+++k k kx x 的两个实数根足42221=+x x ，则的值为第二章 一元二次方程课题 2.6 应用一元二次方程（一）教师二备一、问题引入：1、列方程解应用题的一般步骤： （1）“审”，即审题，分清题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系； （2）“设”，即设 ，设未知数的方法有直接设未知数和间接设未知数两种； （3）“列”，即根据题中的 关系列方程；（4）“解”，即求出所列方程的 ； （5）“检验”，即验证是否符合题意；（6）“答”，即回答题目中要解决的问题. 重点：找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出 是列方程(组)解应用题的关键． 二、基础检测：1、(2014年天津市)要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为（ ） A ．()28121=+x x B ． ()28121=-x xC ．()281=+x xD ．()281=-x x2、（2014丽水）如图，某小区规划在一个长m 30、宽m 20的长方形ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为278cm ，那么通道的宽应设计成多少m ？设通道的宽为xm ，由题意列得方程第2题图三、例题展示：例：如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头．小岛F位于BC中点．一艘军舰从A 出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）分析：（1）图形中线段长表示的量：已知AB= = 海里，DE表示的路程，表示军舰的路程.（2）找出题目中的等量关系即：速度等量：V军舰= 时间等量：t军舰=t补给船根据分析正确设出未知数,写出解题过程.四、课堂检测：1、（2014年山东泰安）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15 C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=152、一个矩形的面积是48平方厘米，它的长比宽多8厘米，则矩形的宽x（厘米），应满足方程______ ___ _.3、如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为566米2，问小路应为多宽？4、（2014新疆，）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？教学反思第二章一元二次方程课题 2.6 应用一元二次方程（二）教师二备一、问题引入：常见应用题类型1、增长率问题：增长率问题分正增长率问题与负增长率问题．台元 元 降价前 降价后根据分析正确设出未知数,在练习本上写出解题过程.四、课堂检测：1、（2014•湖南衡阳）学校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底增加到7200平方米，求这两年的年平均增长率．2、2、（2013山东泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x 元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问：第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？教学反思第二章 一元二次方程单元检测题(总分100分)一、选择题：(每小题4分，共32分)1、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．2±=mB ．2=mC ．2-=mD ．2±≠m2、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式m m -2的值等于（ ）A.-1B.0C.1D.2 3、方程x x 22=的解为（ ）A.2=xB.21-=x ，02=xC. 21=x ，02=xD. 0=x 4、解方程)15(3)15(2-=-x x 的适当方法是（ ）A.开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法 5、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A.09922=--x x 化为()10012=-x B.0982=++x x 化为()2542=+xC.04722=--t t 化为1681)47(2=-t D.02432=--y y 化为910)32(2=-y6、如果关于x 的一元二次方程02=++q px x 的两根分别为31=x ，12=x ，那么这个一元二次方程是（ ）A.0432=++x xB.0342=-+x xC.0342=+-x xD. 0432=-+x x7、一元二次方程0624)2(2=-+--m mx x m 有两个相等的实数根，则m 等于 （ ）A. 6- B. 1 C. 2 D. 6-或18、某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1225元降到了625元，设平均每次降价的百分率为x ，列出方程正确的是（ ） A ．()122516252=+x B. ()625112252=+xC. ()122516252=-x D.()625112252=-x二、填空题：(每小题4分，共20分)9、一元二次方程x x 71322=-的二次项系数为： ，一次项系数为： ____ ，常数项为： ___.10、请写出一个一元二次方程使它有一个根为-3， . 11、关于x 的一元二次方程022=+-m mx x 的一个根为1，则方程的另一根为 .12、关于x 的一元二次方程0322=-+k x x 有实数根，则k 的取值范围是 . 13、实数范围内定义一种运算“*”，其规则为22b a b a -=*,根据这个规则， 方程()031=*+x 的解为 . 三、解答题：14、解下列方程：(每小题6分，共12分)(1) 01862=--x x (2) 752652x x x15、已知关于的方程（的两根之和为，两根之差为1，其中是△的三边长（1）求方程的根；（2）试判断△的形状．(每小题12分)16、团委准备举办学生绘画展览，在长30cm、宽为20cm的矩形画面的四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，求彩纸的宽度．(每小题12分)17、果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利15元，每天可售出500kg，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，每涨价1元，日销售量将减少30kg，现该商场要保证每天盈利8250元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？(每小题12分)第三章概率的进一步认识课题 3.1用树状图或表格求概率（一）教师二备一、问题引入：A.61B.31C.21D.652、一次抽奖活动中，印发奖券1000张，其中一等奖20张，二等奖80张，三等奖200张，那么第一位抽奖者（仅买一张奖券）中奖的概率是( ).A.501B.252C.51D.1033、三个人站成一排，通过试验可得，甲站在中间的概率为（）.A.61B.31C.21D.414、甲、乙两人赛跑，则开始起跑时都迈出左腿的概率是（）A.1B.21C.31D.415、某校决定从两名男生和两名女生中选出两名同学作为2014年元旦联欢晚会的主持人，则恰好选出一男一女的概率是．6、如图是某地的灌溉系统，一个漂浮物A流到B处的概率为．7、小明说：“我投均匀的一枚硬币2次，会出现两次都为反、一正一反和两次都为正三种情况，所以出现一正一反这种情况的概率是31”，你觉得他的说法有道理吗？说明你的理由．8、有两组卡片，第一组两张卡片上都写着A、B，第二组三张卡片上都写着A、B、C.试用树状图和列表法求出从每组卡片中各抽取一张，两张都是B的概率.教学反思第三章概率的进一步认识课题 3.1用树状图或表格求概率（二）教师二备一、问题引入：有1到6的点数，掷得面朝上的点数之和是3的倍数的概率是．3、一个盒子内装有大小、形状相同的三个球，其中红球、绿球、白球各1个，小明摸出一个球再放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）A.21B.41C.61D.914、学校团委在“五四青年节”举行“感动校园十大人物”颁奖活动，九（4）班决定从甲、乙、丙、丁四人中随机派两名代表参加此活动，则甲乙两人恰有一人参加此活动的概率是（）A.32B.65C.61D.215、在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出一个小球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是（）A.83B.21C.85D.436、从分别标有﹣1，1，2的三张卡片中一次抽取2张，卡片上的两个数的乘积为负数的概率是.7、如图，有A、B、C、D 四张卡片，其正面分别写有“寸、又、日”四个偏旁部首，有的能独立成字，有的能组合成字．现四张卡片背面朝上．（1）任意翻过一张卡片，能独立成字的概率为；（2）先任意翻过一张卡片作为左部偏旁，再任意翻过一张与其组合，请用列表或画树状图的方法求翻过的两张卡片恰好能组合成字的概率．教学反思第三章概率的进一步认识课题 3.1用树状图或表格求概率（三）教师二备一、问题引入：1、同时抛掷硬币三次，一共有 种可能出现的结果？求三枚硬币全部正面朝上的概率 .2、用树状图和列表的方法求概率应注意各种结果出现的可能性 . 二、基础训练：1、（1）一个口袋中有4粒糖，1粒红色，1粒黄色，2粒白色，今从中任取一粒，再放回，又取一粒，两粒都是白色的概率为_________.（2）一个口袋中有4粒糖，1粒红色，1粒黄色，2粒白色，今从中任取一粒，不放回，又取一粒，两粒都是白色的概率为_________.2、有6张写有数字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上 （如右图），从中任意一张是数字3的概率是（ ） A.61 B.31 C.21 D.323、有长度分别为2cm 、5cm 、7cm 、10cm 的四条线段，从中任取三条线段能够组成三角形的概率是（ ）A.14 B.12 C.23 D.34三、例题展示：例1、小英和小丽用两个转盘做“配紫色”游戏，配成紫色小英胜，否则小丽胜，用树状图或表格说明这个游戏对双方公平吗？例2:小明准备今年五一到上海参观世博会，但只需要一名家长陪同前往，爸爸、妈妈都很愿意陪同，于是决定用抛掷硬币的方法决定由谁陪同．每次掷一枚硬币，连掷三次．（1）用树状图列举三次抛掷硬币的所有结果；（2）若规定：有两次或两次以上正面向上，由爸爸陪同前往上海；有两次或两次以上反面向上，则由妈妈陪同前往上海．分别求由爸爸陪同小明前往上海和由妈妈陪同小明前往上海的概率． 四、课堂检测：1、一个家庭有3个小孩．这个家庭有3个男孩的概率是 ；2、如图是两个可以自由转动的转盘，转盘均被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3和6，7，8这6个数字．如果同时转动两个转盘各一次（指针落在等分线上重转），红 黄蓝蓝红 红 黄则转盘停止后指针指向的数字之和为偶数的概率是．3、一布袋中有红、黄、白三种颜色的球各一个，它们除颜色外其它都一样．小亮从布袋中摸出一个球后放回去摇匀，再摸出一个球．请你利用（列表或画树状图）分析并求出小亮两次都能摸到白球的概率．4、有四张不透明的卡片（如图），除正面的数字不同外，其余都相同，现将它们背面向上洗匀，从中任意抽取两张，上面的数字之和恰好为零的概率为（）.A.15B.14C.13D.125、随机掷一枚均匀的硬币三次，三次正面都朝上的概率是.6、利用下面的转盘做“配紫色”的游戏，用树状图求出“配紫色”的概率.7、在一个不透明的盒子中，放入2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．（1）搅匀后从中任意摸出2个球，请通过列表或树状图求摸出2个球都是白球的概率；（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋中，再次搅匀后从中任意摸出1个球，则2次摸出的球都是白色的概率为；（3）现有一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成60个相等的扇形，这些扇形除颜色外完全相同，其中40个扇形涂上白色，20个扇形涂上红色，转动转盘2次，指针2次都指向白色区域的概率为．教学反思第三章概率的进一步认识课题 3.2用频率估计概率教师二备一、问题引入：能有（）A．16个B．15个C．13个D．12个2、随机抛掷一枚图钉10000次，其中针尖朝上的次数为2500次，则抛掷这枚图钉1次，针尖朝上的概率是．3、从一本书中随机抽取若干页，其中“的”出现的频率为0.03，由此可估计这本书中“的”字出现的频率为．4、一水塘里有鲤鱼、鲢鱼共10000尾，一渔民通过多次捕捞实验后发现，鲤鱼出现的频率为31%，则水塘大约有鲢鱼尾．5、一箱灯泡的合格率是87.5%，小刚由箱中任意买一个，则他买到次品的概率是（）A.124B.87.5%C.14D.186、小鸡孵化场孵化出1000只小鸡，在60只上做记号，再放入鸡群中让其充分跑散，再任意抓出50只，其中做有记号的大约是（）A．40只B．25只C．15只D．3只7、一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有3、4、5、x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个小球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验，实验数据如表：摸球总次数10 20 30 60 90 120 180 240 330 450“和为8”出现的频数 2 10 13 24 30 37 58 82 110 150“和为8”出现的频率0.20 0.50 0.43 0.40 0.33 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33解答下列问题：（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率将稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是_________．（2）如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是，那么x的值可以取7吗？请用列表法或画树状图说明理由；如果x的值不可以取7，请写出一个符合要求的x值．教学反思课题第三章概率的进一步认识单元测试教师二备10、在一个不透明的袋子中有10个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球实验后，发教学反思现摸到白球的频率约为40%，估计袋中白球有_________个．11、一个口袋里放有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是红色的．从中随机摸出一枚记下颜色，放回口袋搅匀，再从中随机摸出一枚记下颜色，两次摸出棋子颜色不同的概率是．12、抛一枚均匀的硬币100次，若出现正面的次数为45次，那么出现正面的频率是_________．13、小亮与小明一起玩“石头、剪刀、布”的游戏，两同学同时出“剪刀”的概率是．14、纸箱里有两双拖鞋，除颜色不同外，其它都相同，从中随机取一只（不放回），再取一只，则两次取出的鞋颜色恰好相同的概率为．三、解答题15、如图所示，有一张“太阳”和两张“月亮”共三张精美卡片，它们除花形外，其余都一样．（1）从三张卡片中一次抽出两张卡片，请通过列表或画树状图的方法，求出两张卡片都是“月亮”的概率；（2）若再添加几张“太阳”卡片后，任意抽出一张卡片，使得抽出“太阳”卡片的概率为2，那么应添加多少张“太阳”卡片？请说明理由．316、小伟和小欣玩一种抽卡片游戏：将背面完全相同，正面分别写有1，2，3，4的四张卡片混合后，小伟从中随机抽取一张．记下数字后放回，混合后小欣再随机抽取一张，记下数字．如果所记的两数字之和大于4，则小伟胜；如果所记的两数字之和不大于4，则小欣胜．（1）请用列表或画树形图的方法．分别求出小伟，小欣获胜的概率；（2）请修改两人获胜的规则，使两人获胜的可能性一样大．第四章图形的相似课题 4.1成比例线段（第1课时）教师二备一、问题引入：（1）如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m，n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n,或写成nmCDAB=其中, ________ 叫做这个线段比的前项；________ 叫做这个线段比的后项.如果把nm表示成比值k,那么kCDAB=,或AB=k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比.(2)如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上，那么AB，CD，EH，EF的长度分别是多少？分别计算.你发现了什么？上图中________________ 是成比例线段，_______________ 也是成比例线段.四条线段a，b，c，d中，如果_______________，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.如果a：b=b：c，则b2=ac，线段b叫做线段a、c的比例中项；归纳比例的基本性质___________________________________________.二、基础训练：1、一条线段的长度是另一条线段长度的5倍，则这两条线段之比是___ ___.2、线段AB=10cm,CD=15cm,则AB:CD＝；a＝2m,b＝10cm,则a:b＝.3、已知a、b、c、d是成比线段,a=4cm,b=6cm,d=9cm,则c=____ .4、如果2x＝5y，那么yx= .EFEHADABEFADEHAB,,,5、下面四条线段中，不能成比例的是（ ）A . a ＝3, b ＝6, c ＝2, d ＝4B . a ＝4, b ＝8, c ＝5, d ＝10C . a ＝2, b =22,c= 32 , d=3D . a=2, b=52 , c= 15 ,d=32三、例题展示： 例题1： 如图，一块矩形绸布的长AB=am,AD=1m ，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸布的长与宽的比相同，即AB AD AD AE = ,那么a 的值应当是多少？四、课堂检测：1、若四条线段中a ＝2，b ＝6，c ＝6，且满足dcb a =，那么d ＝_ ____. 2、线段x 、y 满足5x ＝3y ，那么x ：y ＝ . 3、等腰Rt ΔABC 的直角边与斜边之比是 . 4、若917=+y y x ，则y x =__ ___.5、如图，已知d c b a =＝3，则b b a +＝ ， dd c +＝ . 6、若41=b a ，则b b a 23+的值为 .7、若532zy x ==，x ＋y ＋z ＝5，那么x ＝ ，y ＝ ，z ＝ ． 8、如果754z y x ==，那么zz y x ++＝ ．教学反思a cbd。
北师大版九年级下第三章圆导学案
3.1车轮为什么做成圆形学习目标、重点、难点【学习目标】1.经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程.2.理解圆的概念，理解点与圆的位置关系. 【重点难点】1.圆及其有关概念，点与圆的位置关系.2.用集合的观念描述圆.知识概览图新课导引【生活链接】 在现实生活中，通过观察你会发现，像车轮、齿轮等都做成圆形，家用餐具中，锅、碗、盆等多数也是圆形．【问题探究】 在现实生活中，还有许多物品都是做成圆形的．那么，你能描述出什么样的图形叫做圆吗?【点拨】 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆． 教材精华知识点1 圆的定义平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．其中，定点称为圆心，定长称为半径的长(通常也称为半径)．如图3－1所示，OA 为半径，以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ”．拓展 确定一个圆需要两个要素：一是圆心；二是半径．圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径，虽然圆的位置固定，但大小不确定，因而圆不确定；只有半径没有圆心，虽然圆的大小固定，但圆心的位置不确定，因而圆也不确定．只有圆心和半径都固定了，圆才被唯一确定．探究交流 (1)以已知点O 为圆心，可以画 个圆； (2)以已知线段AB 的长为半径，可以画 个圆．点拨 由于确定一个圆要有两个条件，即圆心和半径，而两个问题中都只有一个条件，这样的圆不能确定．故都应填“无数”．同时要注意到(1)中的圆都有相同的圆心，称为同心圆；(2)中的圆都有相同的半径，称为等圆．知识点2 点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内，如图3－2所示．点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径(OA ＞r )； 点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径(OB ＝r )； 点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径(OC ＜r )．拓展 点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的数量关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．即：如果圆的半径是r ，点到圆 圆的定义点与圆的位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外＜r．探究交流设AB＝3 cm，作图说明满足下列要求的图形．(1)到点A和点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形；(2)到点A和点B的距离都小于2 cm的所有点组成的图形．点拨(1)到点A的距离都等于2 cm的所有点组成的图形是⊙A，到点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形是⊙B，同时满足这两个条件的点为既在⊙A上，又在⊙B上的点，即为点P、点Q(如图3－3所示)．(2)满足条件的点为既在⊙A内，又在⊙B内的点，即如图3－4所示的阴影部分，但要注意不包括阴影的边界．规律方法小结1．本节运用的思想方法有分类讨论思想和转化思想．如：在分析点与圆的位置关系时，运用了分类讨论思想，而在判断点与圆的位置关系时，把问题转化为用点到圆心的距离与半径之间的数量关系来判断，运用了转化思想．2．(1)确定一个圆需要圆心和半径两个要素．(2)点与圆的位置关系可由点到圆心的距离与半径之间的数量关系来确定．课堂检测基本概念题1、求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．基础知识应用题2、两个圆的圆心都是O，半径分别为r和R(R＞r)，点A满足r＜OM＜R，那么点A在 ( )A．小圆内 B．大圆内 C．小圆外大圆内 D．小圆内大圆外综合应用题3、如图3－6所示，已知矩形ABCD的边AB＝3 cm，AD＝4 cm．(1)以点A为圆心，4 cm长为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何?(2)若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么?4、如图3－7所示，⊙O′过坐标原点O，点O′的坐标为(1，1)，判断点P(－1，1)，Q(1，0)，R(2，2)和⊙O′的位置关系．探索与创新题5、爆破时，导火索燃烧时的速度是每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域．如果这根导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全?6、已知线段AB＝4 cm，试用阴影表示到点A的距离不小于3 cm，而到点B的距离小于2 cm的点的集合．体验中考1、在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心O的距离为3 cm．则点P与⊙O的位置关系是．2、如图3－11所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB的度数为．学后反思附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、已知：如图3－5所示，四边形ABCD 为矩形，O 是对角线AC 和BD 的交点．求证：A ，B ，C ，D 各点在以O 为圆心的同一个圆上．分析 欲证A ，B ，C ，D 各点在以O 为圆心的同一个圆上，需证明OA ＝OB ＝OC ＝OD ．证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以AC ＝BD ，OA ＝OC ＝21AC ，OB ＝OD ＝21BD ，所以OA ＝OB ＝OC ＝OD ．所以A ，B ，C ，D 各点在以O 为圆心的同一个圆上．【解题策略】 解此类题要把文字语言转化为数学语言，根据题意画出图形，写出已知、求证，再进行证明，这是解此类问题的一般步骤．2、分析 由于r ＜OA ，所以点A 在小圆外，而OA ＜R ，所以点A 在大圆内．故选C ． 【解题策略】 要判断平面上一点与圆的位置关系，只需比较该点到圆心的距离与半径的大小即可．3、分析 要判断B ，C ，D 与⊙A 的位置关系，只需比较AB ，AC ，AD 的长与半径4 cm 的大小．解：(1)连接AC ．∵AB ＝3 cm ＜4 cm ，∴点B 在⊙A 内． ∵AD ＝4 cm ，∴点D 在⊙A 上．在Rt △ABC 中，∵AC ＝222243+=+BC AB ＝5 cm ＞4 cm ，∴点C 在⊙A 外．(2)∵AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm ，AC ＝5 cm ，∴点B 到圆心A 的距离3 cm 是最短的距离，点C 到圆心A 的距离5 cm 是最长的距离．要使B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是3 cm ＜r ＜5 cm ．【解题策略】 要确定⊙A 的半径r 的取值范围，需要知道B ，C ，D 三点到点A 的距离，即确定出最短距离和最长距离，才能确定半径r 的取值范围．4、分析 解此题的关键是先求出⊙O ′的半径，即OO ′的长，其次要分别求出点P 、点Q 、点R 到圆心O ′的距离PO ′，QO ′和RO ′的长，再用OO ′的长与PO ′，QO ′和RO ′的长比较，即可得结论．解：⊙O ′的半径r ＝OO ′＝21122=+，2)11()11(22=-+--='O P ， 22(11)(01)1QO '=-+-=， 2)12()12(22=-+-='O R .∵QO ′＜r ．∴点Q 在⊙O ′内； ∵RO ′＝r ．∴点R 在⊙O ′上．【解题策略】 本题在解题中应用了平面内任意两点间的距离公式．设平面内任意两点的坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221221)()(y y x x AB -+-=．5、分析 爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，120米为半径的圆的圆外部分．解：导火索燃烧的时间为9.018＝20(秒)，人跑的路程为20×6．5＝130(米)．∵130米＞120米，∴点导火索的人是安全的．【解题策略】 解此题的关键是求人跑的路程，再与120米相比较．6、分析 到点A 的距离不小于3 cm ．即所求点应在以A 为圆心、3 cm 长为半径的⊙A 的圆上及其外部；而到点B 的距离小于2 cm 的点应在以B 为圆心、2 cm 长为半径的⊙B 的内部．解：根据题意画出图形如图3－8所示，其中阴影部分即为所求． 体验中考1、分析 因为点P 到圆心O 的距离为3 cm ＜5 cm ，所以点P 在⊙O 内．故填点P 在⊙O 内．2、分析 本题比较容易，考查圆的相关性质，根据∠ACO ＝32°可知∠CAO ＝32°，从而∠COB ＝∠ACO ＋∠CAO ＝32°＋32°＝64°．故填3.2圆的对称性学习目标、重点、难点【学习目标】1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程． 2．理解圆的对称性及相关知识．3．理解并掌握垂径定理及其逆定理．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．【重点难点】1.垂径定理及其逆定理．2.垂径定理及其逆定理的证明.知识概览图新课导引圆的有关概念：弧、弦、直径 垂径定理及其逆定理圆的旋转不变性圆心角、弦心距等概念 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆的对称性教材精华知识点1 圆的轴对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．拓展 圆的对称轴有无数条．不能说每条直径都是圆的对称轴，因为图形的对称轴是一条直线，应该说每条直径所在的直线都是圆的对称轴． 知识点2 与圆有关的概念(1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示，如图3－13所示，以A ，B 为端点的弧记作“AB ”．读作“圆弧AB ”或“弧AB ”．(2)圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做优弧(用三个字母表示，如图3－14所示的BAC )；小于半圆的弧叫做劣弧(如图3－14所示的BDC )．(3)连接圆上任意两点的线段叫做弦(如图3－14所示的线段CD )．(4)经过圆心的弦叫做直径(如图3－14所示的AB)．直径等于半径的2倍．拓展 (1)直径是弦，但弦不一定是直径．(2)半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧． 知识点3 垂径定理及其逆定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．如图3－15所示，垂径定理的题设和结论可用符号语言表示为：,,,,.AE BE CD O AD BD CD AB AC BC =⎧⎪⎫⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎩经过圆心垂足为E拓展 (1)这里的“垂径”可以是直径、半径、过圆心的直线或线段．(2)条件中的“弦”可以是直径，结论中的“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧．垂径定理的逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．如图3－15所示，垂径定理的逆定理的题设和结论可用符号语言表示为：,,(,()(.CD AB CD O CD ACB AC BC CD AB AB CD ADB AD BD ⎧⎪⎫⎪⇒=⎬⎨⎭⎪=⎪⎩垂直于弦经过圆心平分即平分弦不是直径平分即拓展 一定不能忽略“弦不是直径”这个条件，因为圆中任意两条直径总是互相平分的，但它们未必垂直．由垂径定理及其逆定理可得的其他结论．对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么就可推出其他三个：①垂直于弦；②平分弦；③平分弦所对的优弧；④平分弦所对的劣弧；知识点4 圆的旋转不变性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．实际上，一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这种性质是圆的旋转不变性．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例． 如图3－16所示，⊙O 绕圆心O 旋转任意一个角度α，⊙O 上的任意点A 与A ′重合，即⊙O 上的所有点旋转α角后，都与⊙O 上的点重合．知识点5 圆心角、弦心距的概念 顶点在圆心的角叫做圆心角． 圆心到弦的距离叫做弦心距． 如图3－17所示，∠AOB 是⊙O 的一个圆心角，垂线段OC 的长为弦AB 的弦心距．知识点6 圆心角、弧、弦之间的关系圆的一个特性：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．如图3－18所示，若下列三个等式：①∠AOB ＝∠COD ，②AB ＝CD ，③AB CD =中有一个等式成立，则其他两个等式也成立．拓展 (1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若丢掉这个前提条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(2)要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦这三个概念和“所对”一词的含义，否则易错用此关系．(3)上述关系中的“弧”一般指劣弧．(4)在具体运用上述关系解决问题时，可根据需要选择其有关部分．如：在同圆中，相等的弦所对的弧相等；在等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．(5)上面的定理可以扩充为“圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系的定理”——在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．如图3－19所示，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，若下列四个等式：①∠AOB ＝∠COD ，②AB ＝CD ，③AB CD =，④OE ＝OF 中有一个等式成立，则其他三个等式也成立．探究交流 长度相等的弧是等弧．点拨 因为在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧，所以等弧必须是在同圆或等圆中的弧，也只有在同圆或等圆中，两条弧才可能互相重合．因此长度相等的弧不一定是等弧．规律方法小结 1．本节解决问题的主要思想方法是数形结合思想，通过图形把垂径定理及其逆定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系展现出来，将几何问题代数化．如垂径定理的应用，解题过程中使用列方程的方法，用代数方法解决几何问题．2．(1)与圆有关的一些概念的比较．概念 区别与联系弦 半圆和弧半圆是弧，但弧不一定是半圆同心圆、等圆同心圆是指圆心相同、半径不等的圆；等圆是指半径相等、圆心不同的圆(2)垂径定理及其逆定理和几个相关的结论是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据．在理解定理的前提下，要把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径、弦心距、弦长及弓形的高之间的关系式．如图3－20所示，对于一个圆中的弦长a 、弦心距d 、半径r 及弓形的高h ，我们利用垂径定理和勾股定理，由a ，d ，r ，h 中的任意两个可求其他两个． ①若已知r ，d ，则a ＝2 22r d -；h =r －d ． ②若已知r ，h ，则a ＝2 (2)h r h -；d ＝r －h ．③若已知r ，a ，则222a d r ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；222a h r r ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．④若已知d ，h ，则r ＝h ＋d ；a =2(2)h h d +．⑤若已知a ，d ，则222a r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；222a h d d ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．⑥若已知a ，h ，则2222a h d h ⎛⎫- ⎪⎝⎭=；2222a h r h⎛⎫+ ⎪⎝⎭=． 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．如图3－21所示，弦AB 与AB 及ACB 组成两个不同的弓形．弧的中点到弦的距离叫做弓形的高．如图3－22所示，C 为ACB 的中点，CD ⊥AB于D，则CD为弓形ACB的高．(3)在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦和两条弦的弦心距四组量之间的相等关系可以概括为：圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等．课堂检测基本概念题1、下列语句中，不正确的有 ( )①直径是弦；②弧是半圆；③经过圆内一定点可以作无数条弦；④长度相等的弧是等弧．A．①③④B．②③ C．② D．②④基础知识应用题2、如图3－23所示，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，直径MN⊥AB于E，MN 交CD于F，根据垂径定理，请你至少写出五个结论．3、如图3－25所示，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到AB 的距离为3 cm，则⊙O的半径长为 cm．4、如图3－26所示，在⊙O中，过圆周上一点A作弦AB和AC，且AB＝AC，M和N 分别为弦AB及AC的中点，连接MN并向两方延长，交圆于P和Q两点，求证PM＝NQ．综合应用题5、如图3－27所示⊙O1和⊙O2相交于A和B两点，过点A作O1O2的平行线交两圆于C，D两点，已知O1O2＝20 cm，求CD的长．6、如图3－28所示，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径画圆，分别交AD，BC 于E，F，延长BA交⊙A于G，求证GE EF．探索与创新题7、如图3－29所示，在半圆O中，半径OF⊥AB于O，OF交CD于点E，CD∥AB，则弦AC与BD是否相等?8、如图3－30所示，∠APC＝∠BPC，PC过圆心O，请判断PA与PB之间的大小关系．体验中考1、如图3－33所示，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为E，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为 ( )A．2 B．32、如图3－34所示，⊙O 的直径CD ＝10，弦AB ＝8，AB ⊥CD ，垂足为M ，则DM 的长为 ．3、如图3－35所示，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6 cm ，则直径AB 的长是 ( )A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm学后反思附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、分析 ①是正确的；②不正确，因为弧不一定是半圆，如优弧是弧，但不是半圆；③是正确的；④不正确，因为等弧是在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧．所以不正确的有②④．故选D ．【解题策略】准确理解弦、直径、弧、半圆、等弧等与圆有关的概念．2、分析 由MN ⊥AB ．MN 为直径，可得AE ＝BE ，AM BM =，AN BN =．由MN ⊥AB ，AB ∥CD ，可得MN ⊥CD ，CF ＝DF ，CM DM =，CN DN =．又由CM DM =，AM BM =，可得CM AM DM BM -=-，即AC BD =．解：答案不唯一，如由MN ⊥AB ，MN 为直径，可得AE ＝BE ，AM BM =，NA BN =．由MN ⊥AB ，AB ∥CD ，可得MN ⊥CD ，CM DM =，CN DN =，AC BD =．【解题策略】 由本例我们得出垂径定理的一个重要推论，即圆的两条平行弦所夹的弧相等．如图3－24所示，若AB ∥CD ，则AC BD = ．3、分析 欲求半径长，可连接OB ．由垂径定理．可得BC ＝AC ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．在Rt △OCB 中，OB ＝222234OC BC +=+＝5(cm)．即⊙O 的半径长为5 cm ．故填5．【解题策略】 (1)垂径定理的应用常与勾股定理相联系．(2)连接半径是圆中常见的一种辅助线的作法．通过连接半径可构造出直角三角形，再利用勾股定理求相关线段的长度．4、分析 欲证PM ＝NQ ，由PQ 为弦，容易联想到作弦心距OH ，则PH ＝HQ 连接OM ，ON ．现只需证MH ＝HN 即可．又M ，N 分别为弦AB ，AC 的中点，易知OM ＝ON ，所以可证MH ＝NH ．证明：作OH ⊥PQ 于H ，则PH ＝HQ 连接OM ，ON ． ∵M ，N 分别是弦AB ，AC 的中点，∴OM ⊥AB ，ON ⊥AC ．∵AB ＝AC ，∴OM ＝ON ．∵OH ⊥MN ，∴MH ＝HN ．∴PH －MH ＝HQ －HN ，∴PM ＝NQ ．【解题策略】本例反复运用垂径定理及其逆定理和推论来达到证题的目的，要仔细体会遇弦作弦心距这种辅助线作法的应用．5、分析 可过O 1作O 1E ⊥CD 于E ，过O 2作O 2F ⊥CD 于F ，这样就可构造出矩形O 1O 2FE ，再利用矩形及垂径定理的相关知识求解．解：过O 1作O 1E ⊥AC 于E ，过O 2作O 2F ⊥AD 于F ， 由垂径定理，可得AE ＝EC ，AF ＝DF ，∴EF ＝AE ＋AF ＝12CD ．∵EF ∥O 1O 2，O 1E ∥O 2F ，O 1E ⊥AC ，O 2F ⊥AD ， ∴四边形O 1O 2FE 是矩形．∴EF ＝O 1O 2＝20 cm ，∴CD ＝2EF ＝40 cm ．【解题策略】 本题在解题过程中综合运用了垂径定理及矩形的判定和性质．6、分析 可连接AF ，欲证GE EF =，可证它们所对的圆心角∠GAE 与∠EAF 相等． 证明：连接AF ，则AB ＝AF ，∴∠ABF ＝∠AFB ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， ∴∠DAF ＝∠AFB ，∠GAE ＝∠ABF ，∴∠GAE ＝∠EAF ，∴GE EF =．【解题策略】 在同圆中，圆心角、弧、弦之间的关系是证弧相等、角相等、线段相等的依据，一般在分析时，哪一组量与所证问题联系最紧，就应构造这一组量，再证明相等．7、分析 由图形和已知条件不难发现，半径OF 是弦CD 的中垂线，要探求弦AC 与BD 是否相等，只需判断圆心角∠AOC 与∠BOD 是否相等即可，可连接OC ，OD ． 解：连接OC ，OD ，则OC ＝OD ．因为OE ⊥AB ，所以∠AOE ＝∠BOE ＝90°． 又因为AB ∥CD ，所以OE ⊥CD ，CE ＝DE ，所以∠COE ＝∠DOE ，所以∠COA ＝∠BOD ，所以AC ＝BD ．【解题策略】 本题的解题关键是利用垂径定理和半径的性质求得∠COE ＝∠DOE ，而不需要由△COE ≌△DOE 来得到∠COE ＝∠DOE ．8、分析 PA ，PB 既不是弦也不是弧，而是弦上的线段，所以可以过O 作两弦的垂线．解：作OE ⊥PA ，OF ⊥PB ，垂足分别为E ，F ，则AE ＝12GA ，BF ＝12HB ．因为∠APC ＝∠BPC ，所以OE ＝OF ，所以GA ＝HB ，所以12GA ＝12HB ，所以AE ＝BF ．因为OE ＝OF ，OP ＝OP ，所以Rt △OPE ≌Rt △OPF ， 所以PE ＝PF ，所以PE ＋EA ＝PF ＋BF ，所以PA ＝PB ．【解题策略】 (1)圆心到弦的距离叫做弦心距；(2)在同圆或等圆中，若两条弧、两个圆心角、两条弦、两条弦的弦心距有一组量相等，则其余各组量都相等． 体验中考1、分析 在⊙O 中，AB 为直径，AB ⊥CD 于E ，所以∠DEB ＝90°，所以CE ＝DE ＝12CD＝2，所以BE ＝22(3)(2)-＝1．连接OD ，则O E ＝OD －BE ＝OD －1，所以在Rt △OED 中，OD 2＝(OD －1)2＋2(2)，解得OD ＝1．5．所以AB ＝2OD ＝3．故选B ．2、分析 在⊙O 中，CD 为直径，弦AB ＝8．AB ⊥CD ，所以AM ＝BM ＝4，连接OB ，则OB ＝5，在Rt △OBM 中，OM ＝2254-＝3，所以DM ＝5＋3＝8．故填8．3、分析 在⊙O 中，直径AB 垂直弦CD 于P ，CD ＝6 cm ，所以CP ＝DP ＝3 cm ，连接OD ，因为P 为OB 的中点，所以OP ＝12OD ，所以在Rt △ODP 中，(2OP )2＝OP 2＋32，解得OP ＝3±，因为OP ＞0，所以OP ＝3cm ，故AB ＝43cm ．故选D ．3.3圆周角和圆心角的关系学习目标、重点、难点【学习目标】1.了解圆周角的概念．2.理解圆周角定理的证明． 【重点难点】1.圆周角概念及圆周角定理．2.认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性．知识概览图新课导引【问题链接】 如下图所示，通过观察发现，每一个图形都是由∠BAC 和⊙O 组成的．【问题探究】 通过观察可知第三个图中的∠BAC 是⊙O 的圆周角．那么什么叫做圆周角呢?【点拨】 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 教材精华知识点1 圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．拓展 圆周角有两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．二者缺一不可． 知识点2 圆周角定理定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．拓展 (1)定理的要求是同一条弧所对的圆周角和圆心角，从数值上来看，圆周角是圆心角的一半．(2)不能忽略“同一条弧”这个前提条件，不能简单表述成“圆周角等于圆心角的一半”．关于这个定理的证明，教材上采用的是分类讨论的证明方法，这种方法应认真理解．其证明要点是：(1)将已知图形之间的各种可能位置关系进行分类；(2)先证明特殊位置的情形；(3)利用特殊情形的结论证明其他情形，即把其他情形转化为已证的特殊情形进行证明；(4)归纳、总结出一般性结论．这种方法可应用于解题之中．本定理的证明可以通过画图观察，如图3－44所示，以圆上任意一点为顶点的圆周角，虽然有无数多个，但它们与圆心的位置关系归纳起来却只有三种情况：(1)圆心在角的一边上(如图3－44(1)所示)；(2)圆心在角的内部(如图3－44(2)所示)；(3)圆心在角的外部(如图3－44(3)所示)．在这三种情况下证明定理成立，进而证明在一般情况下也成立．圆周角和圆心角的关系 圆周角的概念 圆周角定理 圆周角定理的推论知识点3 圆周角定理的推论推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．如图3－45所示，AB所对的圆周角有∠ACB，∠ADB，∠AEB，因此∠ACB＝∠ADB＝∠AEB．拓展(1)若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论不成立．如图3－46所示，∠ACB，∠ADB，∠AEB所时的弦是同一条弦AB，∠ADB＝∠AEB，但∠ADB与∠ACB，∠AEB与∠ACB却不相等．(2)此推论的逆命题是一个真命题，可以作为圆周角定理的一个推论，其表述为：在同圆或等圆中．相等的圆周角所对的弧也相等．如图3－47所示．如果∠ACB＝∠DFE，那么AB DE．推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．如图3－48所示，若AB为直径，则∠ACB＝90°；若∠ACB＝90°，则AB为直径．由此得到：如果三角形的一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．规律方法小结1．(1)分类讨论思想：如本节中的圆周角定理，是分三种情况进行证明的，但对于各类所要证明的命题，应不应该分情况讨论，主要是看各种情况的证明方法是否相同．如果相同，那么不需要分情况证明；如果不同，那么必须分情况证明，而且情况要分得正确，不能重复或遗漏．(2)转化思想：在圆周角定理的证明过程所分的三种情况中，后两种情况是通过转化为第一种情况来证明的．2．圆心角与圆周角的比较．定义图形圆心角与圆周角的关系圆心角顶点在圆心的角一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如圆 周 角(1)顶点在圆上 (2)角的两边都与圆相交下图所示，∠ACB＝12∠AOB课堂检测基本概念题1、如图3－49所示，判断哪些角是圆周角．基础知识应用题2、如图3－50所示，在⊙O 中，∠AOC ＝150°，求∠ABC ，∠ADC ，∠EBC 的度数，并判断∠ABC 和∠ADC ，∠EBC 和∠ADC 的度数关系．3、如图3－51所示，已知AB 为⊙O 的直径，C ，D 两点在⊙O 上，且AD ＝CD ，∠B ＝50°，求∠BAD ，∠DCB ，∠ADC 的度数．综合应用题4、如图3－52所示，AB ，CD 是半径为5的圆内互相垂直的两条直径，E 为AO 的中点，连接CE并延长，交⊙O于另一点F，求弦CF的长．5、如图3－53所示，已知⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD和BD的长．探索与创新题6、在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图3－54所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)体验中考1、如图3－59所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为 ( ) A．30° B．45°C．60° D．90°2、如图3－60所示，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°，为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台．3、如图3－61所示，在⊙O中，∠ABC＝40°，则∠AOC＝度．4、如图3－62所示，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为BC上一点，若∠CEA＝28°，则∠ABD＝度．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析只有(2)具备圆周角的两个特征．(1)(3)的顶点不在圆上，(4)(5)虽然顶点在圆上．但角的两边不与圆相交，因此(1)(3)(4)(5)都不是圆周角．解：(2)中的角是圆周角．【解题策略】正确理解圆周角的概念．2、分析解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如ADC所对的圆心角是∠AOC，所对的圆周角是∠ABC，ABC所对的圆心角是大于平角的∠α，所对的圆周角是∠ADC．解：∵∠AOC＝150°，∴∠ABC＝12∠AOC＝75°(圆周角定理)，∵∠α＝360°－∠AOC＝360°－150°＝210°．∴∠ADC＝12∠α＝105°(圆周角定理)．∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°．∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，∠EBC＝∠ADC＝105°，∴∠ABC和∠ADC互补，∠EBC和∠ADC相等．【解题策略】理解圆周角的概念，分清同弧所对的圆心角和圆周角是熟练运用圆周角定理解题的前提．3、分析由AB是直径，连接AC，可得∠ACB＝90°．由AD＝CD．可得AD CD=，连接OD，可得OD⊥AC，OD∥BC，∠AOD＝∠B＝50°．由圆周角定理，可得∠DCA＝12∠DOA＝25°．只要求出∠DCA的度数，其余的角可以很容易求得．解：连接AC，OD．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵AD＝CD，∴AD CD=，∴OD⊥AC．∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴OD∥BC，。
新北师大版3.1字母表示数导学案
3.1 字母表示数【学习目标】1.理解字母可以表示任何数，在不同的问题中，根据具体情况字母限定为一些特殊的数。
2.用字母表示以前学过的运算律和计算公式。
3.探索规律并用字母表示规律。
【学习过程】 一．学习准备1．字母可以表示任何数如字母a 可以代表0或－3或2，只要是学习过的数， 都可以表示. 2．字母可表示公式和法则 如：（1）在行程问题中，路程=时间×速度.如果用s 表示路程，v 表示速度，t 表示时间，那么这个路程公式就可写成： （2）如果用a 表示长方形的长，b 表示长方形的宽，S 表示长方形的面积，l 表示长方形的周长，那么 ，它的周长 .（3）如果用r 表示圆的半径，S 表示圆的面积，l 表示圆的周长，那么 ， （4）如果用S 表示面积，用a 表示三角形的底，用h 表示三角形的高，那么三角形的面积公式可以表示为 3、用字母表示运算律如果用a 、b 、c 分别表示有理数，那么加法交换律可以表示成： ； 加法结合律可以表示成： ； 乘法交换律可以表示成： ； 乘法结合律可以表示成： ； 乘法分配律可以表示成： . 联想发散：用字母还可以简明地表示一些数学规律,如“互为相反数的两数之和等于0”可表示为a+（-a ）=0；用字母还可简明地表达未知数以及问题中的数量关系.二、教材精读如图，搭一个正方形需要4根火柴棒，按图中方式，动手做一做，完成下表：…………？4火柴棒根数…100…10321正方形个数想一想：如果用x 来表示所搭正方形的个数，那么搭x 个这样的正方形需要多少根火柴棒？与同伴交流你的做法。
归纳：字母可以表示任何数．用字母表示数可以简明地表达问题中的数量关系，也可以表达数字规律和公式.这样给我们研究问题带来很大方便. 实践练习：（1）明明步行上学，速度为vm/s;亮亮骑自行车上学，速度是明明的 3倍，则亮亮的速度可以表示为（ ）m/s.（2）今年李华m 岁，去年李华（ ）岁，5年后李华（ ）岁。