江苏省江阴市山观高级中学高考数学一轮复习 不等式 第2课时 算术平均数与几何平均数教学案
2019-2020学年高考数学一轮复习-不等式-第2课时-算术平均数与几何平均数教学案
第2课时 算术平均数与几何平均数1．a>0，b>0时，称 为a ，b 的算术平均数；称 为a ，b 的几何平均数．2．定理1 如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 22ab （当且仅当 时 取“＝”号） 3．定理2 如果a 、b ∈+R ，那么2ba +≥ （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．已知x 、y ∈+R ，x ＋y ＝P ，xy ＝S. 有下列命题：(1) 如果S 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值 ． (2) 如果P 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值 ． 例1．设a 、b ∈R +，试比较2b a +， ab ，222b a +，ba 112+的大小．即ba 112+≤ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立．又42)2(222ab b a b a ++=+≤42222b a b a +++ ＝222b a + ∴2b a +≤222b a +当且仅当a ＝b 时等号成立． 而ab ≤2ba + 于是ba 112+≤ab ≤2b a +≤222b a +(当且仅当a ＝b 时取“＝”号)． 说明：题中的ba 112+、ab 、2b a +、222b a +分别叫做正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数．也可取特殊值，得出它们的大小关系，然后再证明．变式训练1：（1）设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题222:22a b a bq ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则p 是q 成 立的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：B.解析： a b =是22222a b a b++⎛⎫≤⎪⎝⎭等号成立的条件. （2）若,,a b c 为△ABC 的三条边，且222,S a b c p ab bc ac =++=++，则（ ）A ．2S p ≥B ． 2p S p <<C ．S p >D ．2p S p ≤<解：D ．解析：2222221()[()()()]0,2S p a b c ab bc ac a b b c a c S p -=++-++=-+-+-≥∴≥， 又∵222222222||,||,||,2,2,2a b c b c a a c b a ab b c b bc c a a ac c b -<-<-<∴-+<-+<-+< ∴2222(),2a b c ab bc ac S p ++<++∴<。
高考数学一轮复习第五章算术平均数与几何平均数-教学课件
【互动探究】 3．一份印刷品，其排版面积为 432 cm2(矩形)，要求左右留有
4 cm 的空白，上下留有 3 cm 的空白，则矩形的长为___2_4_ cm，宽 为_1_8__ cm 时，用纸最省．
解析：设矩形的长为 x cm，则宽为43x2 cm，
则总面积 y 为：y＝(x＋8)·43x2＋6＝432＋48＋6x＋432x×8
2 10
2x＋y 的最大值是____5______．
解析：∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1. 即(2x＋y)2－32·2x·y＝1.∴(2x＋y)2－322x＋ 2 y2≤1. 解得：(2x＋y)2≤85.即－2 510≤2x＋y≤2 510.
②(2010 年重庆)已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的
当且仅当120x000＝6x 时，即 x2＝20 000，x＝100 2时等号成立．
当 x＝100 2米时，y＝110000002＝50 2米． Smin＝1 200 2＋20 036. 答：每个池塘的长为 100 2米、宽为 50 2米时占地总面积 最小．
形如函数 y＝x＋px(p＞0)的形式求最值时可考虑 用基本不等式，但要注意条件的限制，可借助函数图象解题，必 要时借助于导数．
【互动探究】ห้องสมุดไป่ตู้2．(2010 年浙江)若正实数 x，y 满足2x＋y＋6＝xy，则 xy 的
最小值是__1_8__.
解析：运用基本不等式 xy＝2x＋y＋6≥2 2xy＋6，令 xy＝t2， 可得 t2－2 2t－6≥0，注意到 t＞0，解得 t≥3 2，故 xy 的最小 值为 18.
考点3 利用基本不等式处理实际问题 例3：如图 5－3－1，某公园要在一块绿地的中央修建两个相 同的矩形的池塘，每个面积为 10 000 米2，池塘前方要留 4 米宽的 走道，其余各方为 2 米宽的走道，问每个池塘的长、宽各为多少 米时占地总面积最少？
高三数学一轮复习 6.2 算术平均数与几何平均数课件 文 大纲人教版
的最小值；
(2)求函数y＝
(x>－1)的最小值．
思维点拨：(1)由lg x＋lg y＝1知xy为定值，直接利用基本不等式求解； (2)分离变量后，把x＋1看成一个整体，利用基本不等式求解．
解：(1)∵lg x＋lg y＝1，∴xy＝10.
∴ 当且仅当 故 ，即x＝2，y＝5时，等号成立． 的最小值为2.
(1)当x>2时,
2．常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接． (1)a＋ (2) ≥2(a>0，且a∈R)，当且仅当a＝1时“＝”成立． ≥2(a>0，b>0，a，b∈R)，当且仅当a＝b时“＝”成立.
【高考真题】
(2009· 天津卷)设a>0，b>0.若 是3a与3b的等比中项，则 的
最小值为(
1．对等比中项的概念理解不清，误以为 2．使用均值不等式时遗忘了系数2.
＝3a· 3b，指数运算错误．
基本不等式是指
(a ， b 是正实数 )，这个不等式中当且仅当 a ＝ b
时等号成立．等比中项是指如果 a， G， b成等比数列，则 G是 a， b的等比中
项，此时G2＝ab.
本题可以两次使用基本不等式解决，即由a＋b＝1≥
证法二：
，因为a，b为正
数，a＋b＝1，所以
，于是
，
因此
(当且仅当a＝b＝
时等号成立)
拓展3：若将本例题条件改为“a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1”．
求证：
证明：∵a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1， ∴
且仅当a＝b＝c＝ 时取等号．
【方法规律】
1．恒等变形：为了利用均值不等式，有时对给定的代数式要进行适当变 形．比如：
江苏省江阴市山观高级中学高三数学复习专题课件：基本不等式
练习：求证
(1)a2 b2 2ab (2)ab ( a b)2
2
基本不等式的推导及其证明
如果 a, b是正数，那么 ab a b （当且仅当a b时取“=”） 2
我们把 a b 称为a, b 的算术平均数，
2
把 ab 称为 a, b 的几何平均数。
正数 a, b的几何平均数不大于它们的
算术平均数。 我们把不等式 ab a b (a 0,b 0) 称为基本不等式。
2
本节课我们要到达的目标：
1、正确说出两个正数的几何平均数和算术平均 数之间具有的大小关系，并能证明。 2、理解基本不等式成立的前提条件及什么时候取 等号。 3、运用基本不等式知识，深刻理解对勾函数取 最值时成立的条件，及函数定义域产生改变时值 域的变化。
一正,二定,三相等
基本不等式的推广：
基本不等式的推广：n个（n是大于1的整数）非负
数的几何平均数不大于它们的算术平均数。即：
若 ai
0(i
1, 2,, n) ，则 n
a1a2 an
a1 a2
an n
n
a1a2
an
a1
a2
an n
思考1：求函数 y x 2 5 的最小值.
x2 4
(1)求ab的取值范围；(2)求
的最小值.
小结
1.和为常数，积有最大值;积为常数，和有最小值
2. 在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数， 和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、 二定、三相等”
3.利用基本不等式求函数最值的步骤: ①各项必须为正; ②含变数的各项和或积必须为定值; ③必须有自变量值能使函数取到等号.
x 变2：y x 1 (x 0)的值域是什么？
江苏省江阴市山观高级中学高考数学一轮复习 不等式 章节测试题
不等式章节测试题一、选择题1. 关于x 的不等式|x －1|>m 的解集为R 的充要条件是（ ） A ．m ＜0 B ．m ≤－1 C ．m ≤0 D ．m ≤12. 若a 、b 是任意实数，且b a >，则 （ ） A ．22b a >B ．1<ab C ．0)lg(>-b aD ．b a )21()21(<3． 若,,h a y h a x <-<-则下列不等式一定成立的是（ ） A ．h y x <- B ．h y x 2<- C ．h y x >-D ．h y x 2>-4． 欲证7632-<-，只需证（ ）A ．22)76()32(-<-B ．22)73()62(-<-C ．22)63()72(+<+D ．22)7()632(-<--5. 设x 1，x 2是方程x 2＋px ＋4＝0的两个不相等的实根，则 （ ）A ．| x 1 |＞2且| x 1 |＝2B ．| x 1＋x 2|＞4C ．| x 1＋x 2|＜4D ．| x 1 |＝４且| x 2 |＝1 6. 对一切正整数n ，不等式211++<-n n b b 恒成立，则b 的范围是 （ ）A ．(0, 32) B ．(32,0] C ．(52,∞-)),1(∞+⋃ D ．(52, 1) 7. 已知函数f (x)＝ ⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-)0()0(22x x x x x x ，则不等式f(x)＋2>0的解区间是 （ ）A ．(－2，2)B ．(－∞, －2)∪(2, ＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞, －1)∪(1, ＋∞)8. 在R 上定义运算⊗．(1)x y x y ⊗=-若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 恒成立，则（ ） A ．11a -<< B ．02a << C ．3122a -<< D ．1322a -<<9． 某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）（ ） A ．5 B ．10 C ．14 D ．1510.集合1{|0}1x A x x -=<+、{}a x x B <-=1，则"1"a =是""Φ≠⋂B A 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 二、填空题11．若y x y x 2,2416,4230-<<<<则的取值范围是 .12．若不等式02<--b ax x 的解集为{32<<x x }，则=+b a . 13．实数x 满足θsin 1log 3+=x ，则91-+-x x 的值为 .14．已知a 、b 、c 为某一直角三角形的三条边长，c 为斜边，若点(m ，n)在直线ax ＋by ＋2c＝0上，则m 2＋n 2的最小值是 ． 15．对a ，b∈R，记max| a ，b |＝ ⎩⎨⎧<≥ba bb a a，函数f(x)＝max| | x ＋1 |，| x －2 | | (x∈R)的最小值是 ．三、解答题16. 若a 、b 、c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc．17．已知函数f(x)＝xax x ++22，x∈[)∞+,1．(1) 当a ＝21时，求函数f(x)的最小值；(2) 若对任意x∈[)∞+,1，f(x)＞0恒成立，求实数a 的取值范围．18．（理）解关于x 的不等式222(1)21x a x x ax+--≥+（文）解关于x 的不等式：2(1)10,(0)ax a x a -++<>19．设函数y ＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对任意x 、y∈R ＋，f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立，已知f(8)＝3，且当x ＞1时，f(x)＞0．(1)证明：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2)对一个各项均正的数列{a n }满足f(S n )＝f(a n )＋f(a n ＋1)－1 (n∈N *)，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，求数列{a n }的通项公式；(3)在(Ⅱ)的条件下，是否存在正整数p 、q ，使不等式)1(211121-+>+++q pn a a a nΛ对n∈N*恒成立，求p 、q 的值．20．对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为： 1－)(含污物物体质量污物质量）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a(1≤a≤3)．设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是18.0++x x (x ＞a －1)，用y 质量的水第二次清洗后的清洁度是ay acy ++，其中c (0.8＜c ＜0.99)是该物体初次清洗后的清洁度． (1) 分别求出方案甲以及c ＝0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少； (2) 若采用方案乙，当a 为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a 取不同数值对最少总用水量多少的影响．21. 已知条件p ：|5x －1|>a 和条件01321:2>+-x x q ，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A 、B 构造命题：“若A 则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.不等式章节测试题参考答案1.A2.D3.B4.C5.B6.C7.A8.D9.C 10. A 11. )10,18(- 12. －1 13. 8 14.4 15. 2316. 证明：因为a 、b 、c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以))()(()1)(1)(1(b a c a c b c b a +++=---abc ab ac bc 8222=⋅⋅≥．17. 解：(1)当a ＝21时，221)(++=xx x f ，易证f(x)在[1，＋∞)上单调递增． ∴当x ＝1时，[f(x)]min ＝f(1)＝27 (2)由f(x)＞0得022>++xax x∵x ∈[1，＋∞) ∴x 2＋2x ＋a ＞0∴a ＞－(x 2＋2x)，令t ＝－(x 2＋2x)，x ∈[1，＋∞)则t ＝－(x 2＋2x)＝1－(x ＋1)2∴当x ＝1时，t max ＝1－(1＋1)2＝－3 ∴a ＞－318.(理)原不等式可化为：(1)(2)0()x x x x a +-≥+ ① 当a>1时，原不等式的解集为{}102x x a x x <--≤<≥或或② 当01a <<时，原不等式的解集为{}102x x a x x ≤--<<≥或或③ 当a ＝1时，原不等式的解集为{}02x x x <≥或 ④ 当20a -<<时，原不等式的解集为{}12x x x a x ≤-<-≥或0<或⑤ 当a ＝0时，原不等式的解集为{}12x x x ≤-≥或 ⑥ 当2a ≤-时，原不等式的解集为{}12x x x x a ≤-≤>-或0<或(文)原不等式可化为：(1)(1)0,(0)ax x a --<>① 当01a <<时，原不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭② 当1a >时，原不等式的解集为11x x a⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭③ 当1a =时，原不等式的解集为φ. 19. (Ⅰ)设0＜x 1＜x 2，则011212>⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒>x x f x x ，从而有)()()(11211212x f x x f x f xx x f x f >⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(Ⅱ)因为f(8)＝3f(2)＝3⇒f(2)＝1，所以有=)(n S f )1()()2()(1)1()(++=+⇔-++n n n n n a f a f f S f a f a f)()2(2n n n a a f S f +=⇔，由此及函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增得n n n a a S +=22．当n ＝1时，122112111=⇒+==a a a S a ；当n ≥2时，12121)(22-----+=-=n n n n n n n a a a a S S a11=-⇒-n n a a ，即数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝1的等并非数列，故a n ＝n ；(Ⅲ)设存在满足条件的正整数p 、q ，则当n ＝1时，有149)1(211==⇒<+⇒-+>q p q p q p a ．下面证明不等式)11(211121-+>+++n a a a nΛ对n ∈N *恒成立．事实上，因为1211++>=n n na n=)1(2n n -+ (n ∈N *)，所以na a a 11121+++K)]1()23()12[(2n n -+++-+->K )11(2-+=n .20. (1)设方案甲与方案乙的用水量分别为x 与z ，由题设有99.018.0=++x x ，解得x ＝19． 由c ＝0.95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y 满足方程：99.095.0=++ay ay ，解得y ＝4a ，故z ＝4a ＋3．即两种方案的用水量分别为19与4a ＋3．因为当1≤a ≤3时，x －z ＝4(4－a)＞0，即x ＞z ，故方案乙的用水量较少．(2)设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y ，类似(Ⅰ)得)*()10099(,)1(545c a y c c x -=--= 于是x ＋y ＝)10099()1(545c a c c -+-- +-=)1(51c 1)1(100---a c a 当a 为定值时， x ＋y ≥1)1(100)1(512---⨯-a c a c a -=154-+a当且仅当)1(100)1(51c a c -=-时等号成立．此时 )99.0,8.0(51011),(51011∈-=+=ac ac 或舍去不合题意将ac 51011+=代入（*）式得,1152->-=a a x a a y -=52．故ac 51011-=时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为152-a 与a a -52，最少总用水量是．T(a)＝－a ＋154-a ．。
江苏省江阴市山观高级中学高考数学一轮复习集合第2课
第2课时 集合的运算1．交集：由 的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的交集，记作A∩B，即A∩B ＝ ．2．并集：由 的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的并集，记作A∪B，即A∪B ＝ ．3．补集：集合A 是集合S 的子集，由 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集，记作S C A ，即S C A ＝ ．二、集合的常用运算性质1．A ∩A ＝ ，A ∩∅＝ ，A ∩B= ，B ∩A ，A ∪A ＝ ， A ∪∅＝ ，A ∪B ＝B ∪A2．U A C A ⋂＝ ，U A C A ⋃＝ ，()U C C A = ． 3．()U C A B ⋃= ，()U C A B ⋂= ，4．A∪B＝A ⇔A ∩B ＝A ⇔例1. 设全集U R =，{|M m =方程210mx x --=有实数根}，{|N n =方程20x x n -+=有实数根}，求()U C M N ⋂.解：当0m =时，1x =-，即0M ∈；当0m ≠时，140,m ∆=+≥即14m ≥-，且0m ≠ ∴14m ≥-， ∴1|4U C M m m ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭而对于N ，140,n ∆=-≥即14n ≤，∴1|4N n n ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭. ∴1()|4U C M N x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭ 变式训练1.已知集合A=6|1,R ,1x x x ⎧⎫≥∈⎨⎬+⎩⎭B={}2|20,x x x m --< （1）当m=3时，求()R A C B ⋂；（2）若A B {}|14x x =-<<，求实数m 的值.解： 由61,1x ≥+得50.1x x -≤+∴-1＜x ≤5,∴A={}|15x x -<≤.（1）当m=3时，B={}|13x x -<<，则R C B ={}|13x x x ≤-≥或，∴()R A C B ⋂={}|35x x ≤≤.(2)∵A={}{}|15,|14,x x A B x x -<≤=-<<∴有42-2×4-m=0,解得m=8. 此时B={}|24x x -<<,符合题意，故实数m 的值为8.例2. 已知{|3}A x a x a =≤≤+,{|1B x x =<-或5}x >.(1)若A B =∅,求a 的取值范围;(2) 若A B B =,求a 的取值范围.解:(1)A B =∅, ∴135a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解之得12a -≤≤.(2) A B B =, ∴A B ⊆. ∴31a +<-或5a >， 4a <-或5a >∴若A B =∅,则a 的取值范围是[1,2]-；若A B B ⋃=,则a 的取值范围是(,4)(5,)-∞-⋃+∞.变式训练2：设集合A={}2|320,x x x -+=B {}22|2(1)(5)0.x x a x a =+++-=（1）若A B {}2,=求实数a 的值；（2）若A B=A ，求实数a 的取值范围；（3）若U=R ，A （U C B ）=A.求实数a 的取值范围.解:由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A={}1,2.（1）∵A B {}2,=∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2+4a+3=0,∴a=-1或a=-3;当a=-1时，B={}{}2|402,2,x x -==-满足条件；当a=-3时，B={}{}2|4402,x x x -+==满足条件；综上，a 的值为-1或-3.（2）对于集合B ，∆=4（a+1）2-4(a 2-5)=8(a+3).∵A B=A ，∴B ⊆A,①当∆＜0,即a ＜-3时，B=∅，满足条件；②当∆=0，即a=-3时，B {}2,=，满足条件；③当∆＞0，即a ＞-3时，B=A={}1,2.才能满足条件，则由根与系数的关系得2122(1)125a a +=-+⎧⎨⨯=-⎩即25,27a a ⎧=-⎪⎨⎪=⎩矛盾； 综上，a 的取值范围是a ≤-3.（3）∵A （U C B ）=A ，∴A ⊆U C B ，∴A ;B =∅①若B=∅，则∆＜03-<⇒a 适合；②若B ≠∅，则a=-3时，B={}2，A B={}2，不合题意；a ＞-3，此时需1∉B 且2∉B ，将2代入B 的方程得a=-1或a=-3（舍去）；将1代入B 的方程得a 2+2a-2=01a ⇒=-∴a ≠-1且a ≠-3且a ≠-1综上，a 的取值范围是a ＜-3或-3＜a ＜a ＜-1或-1＜a ＜a ＞例3. 已知集合A={}2|(2)10,R ,x x a x x +++=∈B {}R |0x x =∈>，试问是否存在实数a ，使得A B ？∅= 若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.解:方法一 假设存在实数a 满足条件A B=∅则有（1）当A ≠∅时，由A B=∅，B {}R |0x x =∈>，知集合A 中的元素为非正数， 设方程x 2+(2+a)x+1=0的两根为x 1,x 2,则由根与系数的关系，得 ⎪⎩⎪⎨⎧>=≥<+-=+≥-+=∆01;0,0)2(04)2(21212x x a a x x a 解得（2）当A=∅时，则有∆=(2+a)2-4＜0，解得-4＜a ＜0.综上（1）、（2），知存在满足条件A B=∅的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.方法二 假设存在实数a 满足条件A B ≠∅，则方程x 2+(2+a)x+1=0的两实数根x 1，x 2至少有一个为正，因为x 1·x 2=1＞0，所以两根x 1,x 2均为正数. 则由根与系数的关系，得212(2)40,(2)0a x x a ⎧∆=+-≥⎨+=-+>⎩解得04, 4.2a a a a ≥≤-⎧≤-⎨<-⎩或即 又∵集合{}|4a a ≤-的补集为{}|4,a a >-∴存在满足条件A B=∅的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.变式训练3.设集合A={（x,y ）|y=2x-1,x ∈N*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,x ∈N*}，问是否存在非零整数a,使A ∩B ≠∅？若存在，请求出a 的值；若不存在，说明理由.解：假设A ∩B ≠∅221y x y ax ax a=-⎧⎨=-+⎩有正整数解，消去y,得ax2-(a+2)x+a+1=0. 由Δ≥0，有（a+2）2-4a(a+1)≥0,解得a ≤因a 为非零整数，∴a=±1当a=-1时，代入（*x=0或x=-1,而x ∈N*.故a ≠-1.当a=1时，代入（*）,解得x=1或x=2，符合题意.故存在a=1,使得A ∩B ≠∅,此时A ∩B={（1，1），（2，3）}.例4. 已知A ＝{x ｜x2－2ax ＋(4a －3)＝0，x ∈R}，又B ＝{x ｜x2－＋a2＋a ＋2＝0，x ∈R}，是否存在实数a ，使得A B ＝∅?若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由． 解：1<a<2即实数∈a (1，2)时，B A ＝∅．变式训练4.设集合A 为函数2ln(28)y x x =--+的定义域,集合B 为函数11y x x =++的值域,集合C 为不等式1()(4)0ax x a -+≤的解集.（1）求A B ；（2）若R C C A ⊆,求a 的取值范围．解：（1）解得A=（-4，2）， B=(][),31,-∞-+∞ 。
高考数学理一轮复习 62算术平均数和几何平均数 课件
[分析] (1)观察条件和结论可知，将 2a＋1＋ 2b＋1平 方后，可以用条件和均值不等式求出最值；
(2)观察条件和结论知，将条件和结论相乘可出现积为定 值的和式，然后用均值不等式可求出最值；
(3)把所求式展开，利用 xy≤(x＋2 y)2 或 f(x)＝x＋kx的单调 性求出最值．
[解] (1)( 2a＋1＋ 2b＋1)2 ＝2a＋1＋2b＋1＋2 (2a＋1)(2b＋1) ＝2(a＋b)＋2＋2 4ab＋2(a＋b)＋1 ＝4＋2 4ab＋3. 因为 a，b 是正数，且 a＋b＝1， 所以 ab≤(a＋2 b)2＝14， ∴( 2a＋1＋ 2b＋1)2≤8， ∴0＜ 2a＋1＋ 2b＋1≤2 2， 当且仅当 a＝b＝12时，( 2a＋1＋ 2b＋1)max＝2 2.
[错因分析] 由于技能不熟，解决不当，容易多次变形， 等号不能同时成立．
例 3 已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4， P 是 AB 上的点，求点 P 到 AC、BC 的距离乘积的最大值．
设 P(a，b)则a4＋b3＝1(a＞0，b＞0) ab＝12·a4·b3≤12(a4＋2 b3)2＝3. 当且仅当a4＝b3＝12，即 a＝2，b＝23时，等号成立． ∴(ab)max＝3.
不难证明 f(t)＝2t ＋t 在(0，14]上单调递减， ∴当 t＝14时，f(t)＝2t ＋t 取最小值343， ∴当 a＝b＝21时，(a＋a1)(b＋1b)取最小值245.
[规律总结] 用基本不等式求函数的最值时，关键在于 将函数变形为两项的和或积，使这两项的和或积或平方和为 定值，然后用基本不等式求出最值；在求条件最值时，一种 方法是消元，转化为函数的最值，另一种方法是将要求最值 的表达式变形，然后用基本不等式使要求最值的表达式放缩 为一个定值．不管哪种题，哪种方法，在用基本不等式求最 值时都必须要验证等号成立的条件.
高考数学第一轮复习 各个知识点攻破6-2 算术平均数与几何平均数课件 新人教B版
[拓展提升] 证明不等式时，可依据求证式两端的式子 结构，合理选择重要不等式及其变形不等式来证．
如 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)可变形为 ab≤a2＋2 b2；a＋2 b≥ ab (a，b∈{正实数})可变形为 ab≤(a＋2 b)2 等．同时要从整体 上 把 握 重 要 不 等 式 ， 如 ： a4 ＋ b4≥2a2b2 ， a2b2 ＋ b2c2≥2(ab)(bc)，都是对“a2＋b2≥2ab，a，b∈R”的灵活 运用．本题先局部运用重要不等式，然后用不等式的性质， 通过不等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式，这种 证明方法在证明这类轮换对称不等式时具有一定的普遍 性．
(2)∵a>0，b>0，∴a＋b＋1≤ab≤(a＋2 b)2， 令 t＝a＋b(t>0)，得 t＋1≤t42， 即 t2－4t－4≥0，得 t≥2＋2 2(∵t>0)，
即 a＋b≥2＋2 2，
当且仅当 a＝b＝1＋ 2时，取“＝”，
故(a＋b)min＝2＋2 2.
•
利用均值不等式解决恒成立问题
• [例3] 对于任意的正实数x，y，不等式 a的最小值是
• 当且仅当a＝b时，各式中等号成立．
≤
≥
• 4．利用均值不等式求最大、最小值问题
• (1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝p(定值)， 那么当x＝y时，x＋y有最小值 .
• (2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝s(定 值)，那么当x＝y时，xy有最大值 .
• 1．若实数a、b满足0<a<b，且a＋b＝1， 则下列四个数中最大的是
• 2．均值不等式
• 设a，b∈(0，＋∞)，则≥，当且仅当 a＝时b，不等式取等 号．它的证明要能从基本不等式中得出，既是对基本不等式 中a，b的灵活变式，又具有自身特点，a，b∈(0，＋∞)．
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第2课时 算术平均数与几何平均数
1．a>0，b>0时，称 为a ，b 的算术平均数；称 为a ，b 的几何平均数．
2．定理1 如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2
2ab （当且仅当 时 取“＝”号） 3．定理2 如果a 、b ∈+R ，那么
2
b
a +≥ （当且仅当a ＝
b 时取“＝”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．已知x 、y ∈+R ，x ＋y ＝P ，xy ＝S. 有下列命题：
(1) 如果S 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值 ． (2) 如果P 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值 ． 例1．设a 、b ∈R +
，试比较2b a +， ab ，2
2
2b a +，b
a 112+的大小．
解：∵a、b ∈R +
，∴b a 11+≥2ab
1 即
b
a 112+≤a
b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．
又42)2(222ab b a b a ++=
+≤4
2
222b a b a +++ ＝
2
2
2b a + ∴2b a +≤222b a +
当且仅当a ＝b 时等号成立． 而ab ≤
2
b
a + 于是b
a 112
+≤ab ≤2b a +≤22
2b a +(当且仅当a ＝b 时取“＝”号)．
说明：题中的
b
a 112+、a
b 、
2b a +、2
2
2b a +分别叫做正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数．也可取特殊值，得出它们的大小关系，然后再证明．
变式训练1：（1）设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题2
22
:22a b a b
q ++⎛⎫≤
⎪⎝⎭
，则p 是q 成 立的 （ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解：B.解析： a b =是2
22
22a b a b
++⎛⎫≤
⎪⎝⎭
等号成立的条件.
（2）若,,a b c 为△ABC 的三条边，且222
,S a b c p ab bc ac =++=++，则（ ） A ．2S p ≥ B ． 2p S p << C ．S p > D ．2p S p ≤<
解：D ．解析：2222221()[()()()]0,2
S p a b c ab bc ac a b b c a c S p -=++-++=-+-+-≥∴≥， 又∵222222222||,||,||,2,2,2a b c b c a a c b a ab b c b bc c a a ac c b -<-<-<∴-+<-+<-+< ∴2
2
2
2(),2a b c ab bc ac S p ++<++∴<。
（3）设x > 0, y > 0,y x y x a +++=
1, y
y
x x b +++=11， a 与b 的大小关系（ ）
A ．a >b
B ．a <b
C ．a ≤b
D ．a ≥b
解：B 。
解析：11111x y x y x y
a x y x y x y x y
+==+<+
++++++++。
（4）b 克盐水中，有a 克盐（0>>a b ），若再添加m 克盐（m>0）则盐水就变咸了， 试根据这一事实提炼一个不等式 . 解：
m
b m
a b a ++<
．解析:由盐的浓度变大得． 例2. 已知a ，b ，x ，y∈R +
（a ，b 为常数），1=+y
b
x a ，求x ＋y 的最小值. 解： a ＋b ＋2ab
变式训练2：已知a ，b ，x ，y∈R +
（a ，b 为常数），a ＋b ＝10， 1=+y
b
x a
，若 x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值． 解：⎩⎨⎧==，，82b a 或⎩
⎨⎧==.28b a ，．
例3. 已知a, b 都是正数，并且a b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2
解：证：(a 5 + b 5 ) (a 2b 3 + a 3b 2) = ( a 5 a 3b 2) + (b 5 a 2b 3
) = a 3 (a 2 b 2 ) b 3 (a 2 b 2) = (a 2 b 2 ) (a 3 b 3)
= (a + b)(a b)2(a 2 + ab + b 2
)
∵a, b 都是正数，∴a + b, a 2 + ab + b 2
> 0
又∵a b ，∴(a b)2 > 0 ∴(a + b)(a b)2(a 2 + ab + b 2
) > 0
即：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2
变式训练3：比较下列两个数的大小： （1）；与3212-- （2）5632--与；
（3）从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明 解：（1）3212->-,（2）5632->
-
（3）一般结论：若231+-+>-+∈*
n n n n N n 则成立
证明 欲证231+-+>-+n n n n 成立
只需证
2
3111+++>
++n n n
n
也就是231+++<++n n n n （*）
*∈N n Θ
从而（*）成立，故231+-+>
-+n n n n )(*∈N n
例4. 甲、乙两地相距S （千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过c （千米/小时）．已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成．可变部分与速度v （千米/小时）的平方成正比，且比例系数为正常数b ；固定部分为a 元． (1) 试将全程运输成本Y(元)表示成速度V(千米/小时)的函数. (2) 为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？
解: (1) 依题意得，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为v s ,全程运输成本为y ＝a·v
s ＋bv 2
·v s ＝s(
v a ＋bv)，故所求函数及其定义域为y ＝s(v
a
＋bv )v∈(0,c) (2) ∵s、a 、b 、v∈R +
，故s(v a ＋bv)≥2s ab 当且仅当v a ＝bv 时取等号，此时v ＝b
a
若b a ≤c 即v ＝b a
时，全程运输成本最小． 若
b
a
>c ，则当v∈(0，c)时， y ＝s(
v a ＋bv)－s(c a ＋bc)＝vc
s
(c －v)(a －bcv) ∵c－v≥0，且a>bc 2
，故有a －bcv≥a－bc 2
>0 ∴ s(
v
a ＋bv)≥s(c a
＋bc)，且仅当v ＝c 时取等号，即v ＝c 时全程运输成本最小．
变式训练4：为了通过计算机进行较大规模的计算，人们目前普遍采用下列两种方法：
第一种传统方法是建造一台超级计算机．此种方法在过去曾被普遍采用．但是人们逐渐发现建造单独的超级计算机并不合算，因为它的运算能力和成本的平方根成正比．
另一种比较新的技术是建造分布式计算机系统．它是通过大量使用低性能计算机(也叫工作站)组成一个计算网络．这样的网络具有惊人的计算能力，因为整个网络的计算能力是各个工作站的效能之和．
假设计算机的计算能力的单位是MIPS(即每秒执行百万条指令的次数)，一台运算能力为6000MIPS 的传统巨型机的成本为100万元；而在分布式系统中，每个工作站的运算能力为300MIPS ，其价格仅为5万元．需要说明的是，建造分布式计算系统需要较高的技术水平，初期的科技研发及网络建设费用约为600万元．
请问：在投入费用为多少的时候，建造新型的分布式计算系统更合算？ 解：设投入的资金为x 万元，两种方法所能达到的计算能力为21,y y MIPS ， 则x k y 11=．
把100=x ，60001=y 代入上式得6001=k ，又)600(22-=x k y ， 当5600=-x 时，3002=y 代入上式得602=k ，
由2y ≥1y 得)600(60-x ≥x 600，即60010--x x ≥0，
解得x ≥900(万元)．
答：在投入费用为900万元以上时，建造新型的分布式计算系统更合算。
1．在应用两个定理时，必须熟悉它们的常用变形，同时注意它们成立的条件．
2．在使用“和为常数、积有最大值”和“积为常数、和有最小值”这两个结论时，必须注意三点：“一正”——变量为正数，“二定”——和或积为定值，“三相等”——等号应能取到，简记为“一正二定三相等”．。