(完整word版)现代控制理论(东大)第二章习题0922

第二章知识点

◆ 状态空间表达式的建立：

物理机理直接建立；高阶微分方程转化；传递函数建立 ◆ 组合系统的状态空间表达式： 并联；串联；反馈 ◆ 线性变换： 变换矩阵的计算

◆ 离散时间系统的状态空间表达式

2.0 建立下图所示系统的状态空间表达式，其中12,m m 为小车质量，

12,k k 为相应的弹簧系数，12,s s 为相应小车的位移，u 为外力。（这

里忽略摩擦阻尼）

1） 确定输入变量和输出变量。

输入变量：u 输出变量：位移12,s s

2） 将小车弹簧系统分为2个子系统，根据牛顿第二定律（u f

ma -=）

分别写出微分方程。

首先对小车1m 进行分析，得到如下微分方程

21

11212()d s u k s s m dt

--= (1)

同理，对小车2m 进行分析，可有

22

1122222()d s k s s k s m dt

--= (2)

3） 根据上述2个子系统微分方程的阶次选择状态变量。

选取系统的状态变量为

11213242,,,x s x s x s x s ====&&

将子系统的微分方程写成一阶微分方程组的形式，得系统的状态方程为

12x x =&

112112131111

11

[()]k k x u k s s x x u m m m m =

--=-++& 34x x =&

1124

1122213222

1[()]k k k x k s s k s x x m m m +=--=-& 系统的输出方程为

111y s x ==

223y s x ==

最后写成矩阵形式，状态空间表达式可写为：

1111

112213

344112

2

2

010*******

10000x x k k m m x x m u x x x x k k k m m ??

????????????-????????????=+????????????????????+??????

????-

????????

&&

&&

123

410000010x x y x x ????

????=????????????

2.1有电路图如图 2.1P 所示，设输入为1u ，输出为2u ，试自选状态变量并列写出其状态变量表达式。 解： 系统如图

R 2

图 2.1P

确定了输入输出变量，根据电路定律列写微分方程

设1C 两端电压为1c u ，2C 两端的电压为2c u ，则

2

12221c c c du u C R u u dt

++= (1) 1121

21c c c du u du

C C dt R dt

+= (2) 根据微分方程的阶次选择状态变量

设状态变量为11c x u =，22c x u =，由式(1)和(2)得：

121121*********

c c c du R R u u u dt R R C R C R C +=--+ 2121222222

111

c c c du u u u dt R C R C R C =--+ 状态空间表达式为：

211

1211212121

212

122222*********R R x x x u R R C R C R C x x x u R C R C R C y u u x +?=--+??

?

=--+??

?==-??

&& 即:

12121121

211112222222211111R R C R C R R C R C x x u x x R C R C R C +????

-????

????????=+????????????--???????

?

&& []11210x y u x ??

=-+????

□

2.2 建立图 2.2P 所示系统的状态空间表达式,其中，1M ，2M 为重物质量，K 为弹簧系数，12,B B 为阻尼，()f t 为外力，设1y ，2y 分别为1M ，

2M 的位移量。

1

图 2.2P

解：确定输入量和输出量

令输入()f t 为输入量，1M ，2M 的位移量1y ，2y 为输出量，

根据牛顿定律列写微分方程

分别对重物1M ，2M 进行受力分析后，得到如下微分方程

21211112()d y d y y M Ky B dt dt

-=--

22212

212

2()()d y d y y dy M f t B B dt dt dt

-=-- 根据上述2个子系统微分方程的阶次选择状态变量

选取状态变量11x y =，22x y =，1

3dy x dt

=

，2

4dy x dt

=

。连同u f =代入上面两个式子，经整理得状态方程为：

1324113134111112434

22221()x x x x B B K x x x x

M M M B B B x x x u M M M M =??=??=+-???=--++???

&&&&

输出方程为：

1

122

y x y x =???

=?? 写成矩阵形式为：

112211

111

334411222221122340010

0000100010

()1000010

0x x

x x B B K u

M M M x x x x B B B M M M M x y x y x x ??

?? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?--=+ ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ????? ?-+ ??? ??

??? ????? ?= ?

? ????? ? ???

&&&&

2.4 如图 2.3P 所示的水槽系统。设水槽1的横截面积为1c ，水位为1x ；水槽2的横截面积为2c ，水位为2x ；设1R 、2R 、3R 为各水管的阻抗时，推导以水位1x 、2x 作为状态变量的系统微分方程式。但是，输入u 是单位时间的流入量，1y 、2y 为输出，是单位时间由水槽的流出量。

1c 2

2

图 2.3P 水槽系统

解：确定了单位时间的流入量u 为输入，单位时间由水槽的流出量1y 、

2y 为输出量，

在水槽1，考虑时间增量t ?内水量的进出。单位时间的流入量是输入u 和有两个水槽的水位差决定的水量213()/x x R -，流出量是

111/y x R =。（类似电压，电阻，电流的意义）

设水位的增量为1x ?，则水量的增量是11c x ?，则单位时间内的水量增量为

1112113

11

()c x x x x u t R R ?=-+-+? 同样，得到水槽2单位时间内的水位增量有如下关系。

2221223

11

()c x x x x t R R ?=-+-?， 设0t ?→，则11(/)x t x ??→&，22(/)x t x ??→&，因此可有下列微分方

程

1121113131

21

2232223

1111

(

)111()x x x u c R c R c R c x x x c R c R c R =-+++=-+&&

输出方程为

1111

y x R = 222

1y x R =

设[]12T

x x x =，[]12T

y y y =，将上述微分方程组写成矩阵形式如下

1113131232223111()1111()0c R c R c R c x

x u c R c R c R ??

-+?? ? ? ?=+

? ? ?-+ ????

?&

1

21010R y x R ?? ? ?= ? ??

?

□

化对角(约当)标准型的步骤

? 求取系统矩阵A 的n 个特征根1,,n λλL 和对应的特征向量

1,,n P P L

? 令1(,,)n P P P =L

? 做变换1

1n A P AP λλ-??

??===Λ?????

?

O 2.14 试将下列状态方程化为对角标准形。

1) 11

22010561x x u x x ????????

=+ ? ? ? ?--????

????&& 解 ：

① 求特征值

1(6)5(5)(1)056

I A λ

λλλλλλ--=

=++=++=+

121,5λλ?=-=-

② 求特征向量

a 、对于11λ=-：(对应11λ=-的特征向量满足11()0I A v λ-=)，故有

1111121211015501v v v v --??????????

=?= ? ? ? ? ?-??????

???? b 、对于25λ=-：同理有

2121222251015

105v v v v --??????????

=?= ? ?

? ? ?-??????

???? ③ 构造P ，（令12(,)P P P =）求1P -

1

5

11144151

14

4P P -?? ???=?=

? ?--?? ?-- ???

11005A P AP --??

?== ?-??

, 1

5

11044411114

44B P B -???? ? ???===

? ? ? ??? ?--- ? ?????

得到对角形的状态方程为

11040514x x u ?? ?-??=+

? ?-?? ?

- ???

& 2) 111222330102330215127671x x u x x u x x ?????????? ? ??? ?=+ ? ? ??? ??? ? ??? ?---????????

&&&

① 求特征值

1

3

2(1)(2)(3)012

7

6

I A λ

λλ

λλλλ--=--=+++=+

1231,2,3λλλ?=-=-=-

② 求特征向量

a 、对于11λ=-有：(11()0I A v λ-=，求解3阶方程组易得)

1111121213131100131201127501v v v v v v --?????????? ??? ? ? ?---=?=- ??? ? ? ? ??? ? ? ?-??????????

b 、对于22λ=-有：

1111121213132100232204127401v v v v v v --?????????? ??? ? ? ?---=?=- ??? ? ? ? ??? ? ? ???????????

c 、对于23λ=-有：

1111121213133100133203127303v v v v v v --?????????? ??? ? ? ?---=?=- ??? ? ? ? ??? ? ? ???????????

③ 构造P ，（令123(,,)P P P P =）求1

P -。

1

9511212214332111353122P P -??

???

? ?=---?=--- ? ? ? ?-??

???

④ 求A ，B

1110

002

0,00395371272322232

115152053712711622

2A P AP B P B ---??

?==- ? ?-?

?

????- ? ???

?

? ?==---=-- ? ? ? ? ? ???

? ?????

故

37271002020152000327162x x u

??

- ?-?? ? ?=-+-- ? ? ? ?-??

???

&

为所求。

□

2.15 试将下列状态方程化为约当标准形。

11122233314122710253113x x u x x u x x -?????????? ? ? ? ?

=+ ? ? ? ? ??? ? ? ? ?-????????

&&& 解：

① 求特征值：

2412

12(1)(3)01

1

3

I A λλλ

λλλ---=--=--=--

1231,3λλλ?===

② 求特征向量

a 、对于1λ=有：11()0I A v λ-=

111112121313312001120211201v v v v v v --?????????? ??? ? ? ?--=?= ??? ? ? ? ??? ? ? ?--??????????

b 、对于3λ=有：

由12()0I A v λ-=，有

212122222323112011320111001v v v v v v --?????????? ??? ? ? ?--=?= ??? ? ? ? ??? ? ? ?-??????????

由132()I A v v λ-=-，有

313132323333112111321011010v v v v v v ---?????????? ??? ? ? ?--=-?= ??? ? ? ? ??? ? ? ?--??????????

③ 构造P ，（令123(,,)P P P P =）求1

P -。

1011011210012110112P P --????

? ?=?=- ? ? ? ?-????

④ 求A ，B 。

1110

003

1,003011313401

227811125352A P AP B P B --??

?== ? ???

--??????

??? ?==-=- ??? ?

??? ?--?

?????

所求的约当标准形为

100340318100352x x u -????

? ?=+- ? ? ? ?-????

&& 2.16 已知系统的状态空间表达式为

()512315124x x u y x u

--????=+ ? ?-????=+& 求其对应的传递函数。

解

5131A --??= ?-??，25B ??

= ???

，[]12C =，4D =

1()()G s C sI A B D -=-+

15131111

()3

5(5)(1)3s sI A s s sI A s s s -+??

-= ?

-+??+-??-=

?

++++??

（线性代数知识，设A=

?????

??

?????nn n n n n a a a a a a a a a ΛM M M ΛΛ

212222111211 所对应的行列式detA

则A -1 ()122

()()1121

1243

55(2)(4)4369168G s C sI A B D

s s s s s s s s -=-++-????=

+ ???+++????++=++ □

2.8 已知系统的微分方程

1) u y y y y 354=+++&&&&&&； 2) u u y y -=+&&&&&&32； 3) u u y y y y 75532+=+++&&&&&&&&&

。 试列写出它们的状态空间表达式。 解

1) 此题微分方程右边不含有输入函数导数，利用有高阶微分方程转化状态空间

表达式的公式直接写出，

110

10000101n n x

x u a a a -????????????=+?????

???---??

??M O &L

[1,,0,0,0]y x =L L

令1y x =，2y

x =&，3y x =&&，则有

12

23

31231

543x x x x x x x x u y x =??=??

=---+??=?&&& 状态空间表达式为：

()112233123010000105413100x x x x u x x x y x x ??

?????? ? ??? ?=+ ? ??? ? ? ??? ?---????????

?? ?

= ?

???

&&&

2) 已知系统的微分方程（u u y y -=+&&&&&&32）

，利用由传递函数建立状态空间表达式的方法。

首先对微分方程取零初始条件下的拉氏变换，得到系统的传递函数后，再由传递函数求取状态空间表达式。本题利用直接法。

对微分方程取拉氏变换得

3222332()3()()()

11()1223()232

s y s sy s s u s u s s y s s u s s s s s

+=---==

++ 见教材中的公式(2.3.47a) 和(2.3.47b)

11221

1010000101n n n n x x x x u x a a a x -????????????????????????=+????????????????---????????&L

&O M M M O M

&L

[]1211n

n n x x y b b b x -??????=??????

L

M 从而

1122330100001031002x x x x u x x ??

???

????

? ? ? ?=+ ? ? ? ? ? ? ? ???????-

???

&&& 1231

1022x y x x ??

?? ?=- ? ??? ?

??

3) 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程取零初试条件下的拉氏变换得：

323()2()3()5()5()7()s y s s y s sy s y s s u s u s +++=+

323232

()57101518

5()235235

y s s s s u s s s s s s s +---==+++++++ 于是可知对应状态空间表达式为

112233010000105321x x x x u x x ??

?????? ? ??? ?=+ ? ??? ? ? ??? ?---????????

&&& ()1231005x y x u

x ??

?

=+ ? ?

??