上海复旦附中2017年自招真题数学试卷(含答案)
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2017年复旦附中自招题
1.已知a 、b 、c 是一个三角形的三边，则 a 4 ? b 4 ? c 4-2a 2b 2-2b 2c 2-2c 2a 2的值是（
）
A 恒正
B 垣负
C ?可正可负
D ?非负
解：选B
2 2
2.2
2 2
二(a -b -c) -4b c
2 2 2 2 2 2
-(a -b -c 2bc)(a b c - 2bc)
2 2 2 2 二
[a -(b-c) ][a -(b c)]
=(a b -c)(a - b c)(a b c)(a - b - c)
??? a 、b 、c 是一个三角形的三边，
ab-c0 , a-bc0 , a b c 0, a-b-c 0 ,
二(a b 「c)(a 「b c)(a b c)(a 「b -c) 0
2. 设m , n 是正整数，满足 m n mn ，给出以下四个结论：①
m , n 都不等于1 ；② m , n 都
不等于2 :③ m , n 都大于1 ；④m , n 至少有一个等于1，其中正确的结论是（
）
A .①
B .②
C .③
D .④
解：选D
由 m n mn 得 m -1 n -1 1
若 m , n 均大于 1，则 m-1_1, n-1_1, m-1 n-1 - 1，矛盾， .m , n 至少有一个等于1。 3.
已知关于x 的方程 2x x a 有一个根为1，则实数
a 的值为（
）
-1
5 A.- 2
解：选A
将x = 1代入，得 a a 1,
…1 - ■- 5
当时，“1不是原方程的根，舍
-1
5
4.4
4
a b c
-2a 2b 2 _2b 2c 2 _2c 2a
D .以上答案都不正确
两边平方，得 a 2 a 1=0,
解：选B
若x ， y ， z 均小于0，则x y 0，矛盾; 故至少有一个大于0。
5.
已知a ，b ，c 不全为无理数，则关于三个数 A ?可能均为有理数
C ?可能恰有一个为有理数 解：选D
a b ， b c ， c a ，下列说法错误的是（
）
B ?可能均为无理数
D ?可能恰有两个为有理数
若a,b,c 均为有理数， A 正确;
若 a = .. 2， b=.. 3， c = 0， B 正确; 若 a = 2， b = - 2， c=0， C 正确;
A . 1组
B . 2组
C . 3组
D . 4组
解：选A
由①得x-y =0或x-2y =0 , 由②得 x y -2=0且 2x — y -1=0,
”x = 1
???只有丿 一组解。
』=1
2 2
7.为了得到函数 y =3x 的图像，可以将函数 y - -3x -6x ? 1的图像（
）
A .先关于x 轴对称，再向右平移
B .先关于x 轴对称，再向右平移
C .先关于y 轴对称，再向右平移
D .先关于y 轴对称，再向右平移 1个单位，最后向上平移 4个单位
1个单位，最后向下平移 4个单位 1个单位，最后向上平移 4个单位 1个单位，最后向下平移 4个单位
解：选A
由于两个函数二次项系数为相反数，故先关于
x 轴对称，得到y = 3x 2 ? 6x - 1 ,
即y=3（x+1f —4，再向右平移1个单位，最后向上平移 4个单位，得到y = 3x 2。
4. 已知a , b , c 是不完全相等的任意实数，若
则关于x , y , z 的值，下列说法正确的是（
A ?都大于0
B ?至少有一个大于0
x = a_2b c ， y = a b_2c ， z - -2a b c ，
)
C ?都小于0
D ?至多有一个大于0
6. 关于x ，
y 的方程组
y)(x-2y)=0 [(x+y_2)2
+(2x_y_1)2
的实数解有（ 二 0
i, a+ba-b Wb “，丄 g 口
8.若关于x
的方程卜-2亠3有四个实数解，则化简乔耳+芦+中冋的结果是（）
解：选C
画出y = |x—2—b和y = a的函数图像，
?.?有四个交点，0 a b，
a+b a-b a b
???_ + _- + 一+ 上=4_4+4+4=2
a+b a 归
方法二：
?「| x - 2 - b = a ,
x — 2 — b — a 或x — 2 — b ——a ,
x—2 =a +b或x—2 = b—a ,
?原方程有四个实数解，
?a 0 , a b 0 , b-a 0,
?b 0,
?原式=1「1 ? 1 ? 1 = 2
2
9.如果方程（x -1）（x -2x m^0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范
围是（）
A. 0乞m乞1
解：选C
2
设x _2x?m=0的两根为x1, x2,
x1+ x2 >1
A ?一2
贝y * X — x2< 1
3
解得3
：：：m乞1 。4
10.用同样大小的一种正多边形平铺整个平面(没有重叠) ，有几种正多边形可以铺满整个平面而不留缝
隙？()
A. 2种
B.3种
C.4种
D.5种
解：选B
关键是看正多边形的内角和，如果围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角之和恰是一个周角，则可
以铺满整个平面而不留缝隙，只有正三角形、正四边形和正六边形可以。
11.已知对于满足：a—be 3，b — cc4的实数a,b,c，均有2a — b — cck恒成立，则实数k的最
小值为 ()
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
解：选D
a_C=|a_b + b_c|c|a_b|+|b_c|<7
2a-b-c|<|a-b +|a-c c10，所以k 最小是10
4 3 2
12.设f(x)=x -x x -x 1，则关于f (x)的性质，正确的一项为()
A.对任意实数x，f (x)总是大于0
B.对任意实数x，f (x)总是小于0
C.当x 0时，f(x)_0
D.以上均不对
解：选A
4 3 2 2 2 2
f(x)=x 一x x -x1=(x-1)(x x 1) x 恒大于0
13.已知实数a,b,c满足a b 0，且a，b，c=0，抛物线y = ax2 bx 0在x轴上截得线段长
度为I，则I的取值范围为()
A. 0 l 1
B.0 I 2
C. 2 I 3
D. 3 I 4
解：选C
X1 —X2 =J(X1 +X2)2—4X1X2 = Y b a：ac
??? a 0, b = -(a c)
b -4a
c b -4ac a-c c
---- 2 1 _ 一
a a a a
c = -(a b)
f (1) f ( -1) 0 ,
??? (1 一 2a —2)(1 2a — 2) 0 ,
--a
1
经检验当a
时，不符合题意。
2
三个方程①x 2 ax b = 0 ；②x 2
bx c = 0 ；
14.已知实数
X 、 y 满足:
= 0,2y 3
y 一6 =0。贝U
x
y 2的值为 y
A.0
1
B.— 2
C.1
解：选D
3
x 2 x — y y y
y 3八
6
3 i y
15.已知二次函数
2
y = x ? 2ax - 2 ?当自变量x 的取值范围为
y 的取值既有正值又有负
值。则实数a 的取值范围为（
）?
A.a 一1
2
D.以上答案都不正确
解：选D
显然，二次函数与 X 轴有两个交点，令交点横坐标为
X 1,x 2 , X t V x 2。
由韦达定理得 X j X 2 - -2
若-1 - x 1 ：：： x 2 _ 1 ，贝U X 1X 2 <1 与 X j X 2 = —2矛盾,
16.已知a 、b 、c 是互不相等的实数， ③x 2 cx 0 ,①②有公共根p ,
②③有公共根q ,③①有公共根r ，则abc 二（
A.1
B. -3
C. 1
D.2
c - b a -b
解：将
pqr
带入三个方程得心圧，又由韦达定理得
a —
b r 七 -----
a —c
2
???abc = ( pqr) 1，选 A
17. 甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖。在比赛结果揭晓之前，四个人做了如下猜测 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中 ? 乙：我没有获奖，丙获奖了 ? 丙：甲、乙两个人中有且只有一个人获奖
? 丁：乙说得对?
已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，则两名获奖者为（
）?
A.甲丁
B.乙丙
C.乙丁
D.以上都不正确
解：选D
显然乙、丁同对错
① 当甲丙对，乙丁错时，乙丙或乙丁获奖 ② 当甲丙错，乙丁对时，无符合情况
18. 如图梯形ABCD 中，AB // CD ,对角线AC 与BD 交于点K ，点L 为BD 的中点。已知 A AKB 、
△ALD 的面积分别为18、21，则△ ALC 的面积为（
）?
A.7
B.9
C.11
D.13
解：由 L 为 BD 中点可得 S △ ALB = S △ ALD
- 21
, — S
△ ALK
= 3
S
△ALK AK _ S A ABK
S A CLK KC
S ^CBK
24
4
??S A ALC - 7，选 A
19.甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给已，获利
10%，而后乙又将这手股
票反卖给甲，但乙损失了 10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖给了乙，甲在上述股 票交易中
（ ）
A.甲刚好盈亏平衡
B.甲盈利1元
C.甲盈利9元
D.甲亏本1.1元 解：选B
甲第一次卖给乙赚了 1000 10% =100元，乙用1100元买入股票，
乙卖给甲乙亏了 1100 10% =110元，甲用990元买入股票，
甲第二次卖给乙亏了 990 10% =99元，故甲总共盈利100-99 =1元。
2 2
qr = a
J
D
C
?S ABI =24，由蝴蝶定理得
S
△ KAD 二
S
△KBC
= 24