2019年湖南省怀化市高中学业水平考试数学(水平卷三)达标测试题(解析版)

2019年湖南省怀化市高中学业水平考试数学（水平卷三）达

标测试题

一、单选题

1．2sin 22.5cos22.5??的值为（ ）

A ．

2

B ．

4

C ．

12

D 【答案】A

【解析】直接应用正弦的二倍角公式sin 22sin cos ααα=可解. 【详解】

由公式sin 22sin cos ααα=

2sin 22.5cos 22sin 455.??=?=

. 故选：A 【点睛】

本题考查正弦的二倍角公式，属于基础题.

2．已知集合{}1,0,2A =-，}3{B x =，

，若{}2A B ?=，则x 的值为（ ） A ．3 B ．2

C ．0

D ．1-

【答案】B

【解析】由{}2A B ?=得，2B ∈,可解除答案. 【详解】

集合{}1,0,2A =-，}3{B x =，. {}2A B ?=,则2B ∈.

所以2x =. 故选：B 【点睛

本题考查根据两个集合的交集求集合的元素.属于基础题. 3．函数()(1)(2)f x x x =-+的零点个数是（ ） A ．0 B ．1

C ．2

D ．3

【答案】C

【解析】根据函数零点的概念和函数的解析式，可求出函数的零点个数. 【详解】

()(1)(2)f x x x =-+的零点即方程()0f x =的根.

而方程(1)(2)0x x -+=的根为11x =或22x =- 所以函数()(1)(2)f x x x =-+有2个零点. 故选：C 【点睛】

本题考查求具体函数的零点个数.属于基础题. 4．函数(

)

2

2log 4y x =-的定义域为（ ） A ．R B ．(,2)(2,)-∞-+∞U C ．(,2)(2,)-∞?+∞ D ．(2,)+∞

【答案】B

【解析】由函数的定义域满足真数为正，可得240x ->可得函数的定义域. 【详解】

函数(

)

2

2log 4y x =-的定义域满足240x ->. 解得：2x >或2x <-.

所以函数(

)

2

2log 4y x =-的定义域为：(,2)(2,)-∞-+∞U 故选：B 【点睛】

本题考查具体函数的定义域问题，属于基础题. 5．已知两个平面相互垂直，下列命题

①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 ③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题个数是（ ） A ．3 B ．2

C ．1

D ．0

【答案】C

【解析】试题分析：(1) 当两个平面垂直时，一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面的任意直线，（1）错；（2）当一个平面内的已知直线垂直于交线时，它必垂直

于另一个平面内的任意一条直线；当一个平面内的已知直线不垂直于交线时，它必然垂直于另一个平面内的和交线垂直的无数条直线，（2）正确；（3）一个平面内的垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，（3）错；（4）过一个平面内任意一点在已知平面内作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面，（4）错. 【考点】线面垂直的性质定理.

6．已知直线l 1:y=2x+1,l 2:y=2x+5,则直线l 1与l 2的位置关系是( ) A ．重合 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．平行

【答案】D

【解析】∵直线l 1:y=2x+1,l 2:y=2x+5,斜率k 1=k 2=2,∴l 1∥l 2.

7．袋内装的红?白?黑球分别有3，2，1个，从中任取两个球，则互斥而不对立的事件是（ ）

A ．至少一个白球；都是白球

B ．至少一个白球；至少一个黑球

C ．至少一个白球；一个白球一个黑球

D ．至少一个白球；红球?黑球各一个 【答案】D

【解析】由互斥事件与对立事件得定义，对4个选项逐个验证即可． 【详解】

选项A ，“至少一个白球”是指有1个白球或都是白球，故和“都是白球”不是互斥事件； 选项B ，“至少一个白球”是指有1个白球或都是白球，“至少一个黑球”是指恰有1个黑球或都是黑球，故也不是互斥事件；

选项C ，“至少一个白球”是指有1个白球或都是白球，“一个白球一个黑球”含在前面，故也不是互斥事件；

选项，“至少一个白球”是指有1个白球或都是白球，“红球、黑球各一个”则没有白球，故互斥，而没有白球也不一定是红球、黑球各一个，故不对立． 故选：D ． 【点睛】

本题考查互斥事件与对立事件，属基础题．

8．下列坐标对应的点中，落在不等式10x y +-<表示的平面区域内是（ ） A ．()0,0 B ．

()2,4 C ．()1,4- D ．()1,8

【答案】A

【解析】试题分析：由题意得，把点()0,0代入不等式10x y +-<，可得10-<，所

以点()0,0落在不等式10x y +-<表示的平面区域内，而把B 、C 、D 各点代入不等式时，不等式不成立，故选A ．

【考点】二元一次不等式表示的平面区域．

9．在等差数列{}n a 中，21a =，33a =，则其前10项和为（ ） A ．60 B ．80

C ．100

D ．120

【答案】B

【解析】根据等差数列的通项公式求出1,a d ，再用等差数列前n 项和求解答案. 【详解】

设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . 由21a =，33a =，则23312a a =-=-. 所以12121a a d =-=-=-. 所以()101109109

1010128022

S a d ??=+=?-+?= 故选：B 【点睛】

本题考查等差数列的通项公式的应用和前n 项和求，属于基础题.

10．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据(见下表)：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )

A ．y ＝2x －2

B ．y ＝

12

(x 2

－1) C ．y ＝log 2x D ．y ＝12x

?? ???

【答案】B

【解析】由题意得，表中数据y 随x 的变化趋势，函数在(0,+∞)上是增函数， 且y 的变化随x 的增大越来越快；

∵A 中函数是线性增加的函数，C 中函数是比线性增加还缓慢的函数，D 中函数是减函

数；

∴排除A，C.D答案；

∴B中函数y＝1

2

(x2－1)符合题意。

故选：B.

二、填空题

11．以下程序输入2，3，4运行后，输出的结果是_______________.

INPUT a，b，c

a b

=

b c

=

c a

=

PRINT a，b，c

【答案】3，4，3

【解析】由图，由于输入2，3，4，故在程序运行中，可以逐步按规律计算出,,

a b c的值．

【详解】

由题设程序，可知

第一步输入2，3，4，

第二步a=3，

第三步b=4，

第四步c=3，

第五步输出结果3 ,4 ,3.

故答案为：3 ,4 ,3．

【点睛】

本题考查循环结构，解决此题关键是理解其中的算法结构与执行的步数，然后依次计算得出结果．属于基础题.

12．直线3x+y+1=0的倾斜角为_______．

【答案】

【解析】试题分析：由直线方程可知直线的斜率为，根据直线

斜率与倾斜角的关系可知，所以

，因为

，

所以

．

【考点】直线的斜率与倾斜角．

13．已知3a =r ，4b =r ，()(2)23a b a b +?+=r r r r

，那么a r 与b r 的夹角为____________.

【答案】120?

【解析】由条件结合向量数量积的运算法则可得6a b ?=-r r

，再由向量的夹角公式可求解答案. 【详解】

由3a =r

，4b =r .

则()(2)23a b a b +?+=r r r r

，即223323a a b b +?+=r r r r .

所以9321623a b +?+?=r r ，即6a b ?=-r r

所以

61cos ,34

2a b a b a b ?-===-??r r

r r r r . 又a r 与b r

的夹角在[]0,π内.所以,120a b =?r r

故答案为：120? 【点睛】

本题考查向量的数量积的运算法则和向量的夹角，属于基础题. 14．已知0x >，则1

x x

+取最小值是___． 【答案】2

【解析】根据题意，由基本不等式的性质可得1x x +≥1

x x

?=2，即可得答案． 【详解】

根据题意，x ＞0，则1x x +

≥1

x x

?=2， 当且仅当x ＝1时等号成立， 即1

x x

+

的最小值是2； 故答案为2．

【点睛】

本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式的形式．

15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形，

PA AD =，则异面直线PD 与BC 所成角的大小是_______________.

【答案】45?

【解析】由条件可得//BC AD ，所以角ADP D为异面直线PD 与BC 所成角. 【详解】

由四边形ABCD 是平行四边形，得//BC AD 所以角ADP D为异面直线PD 与BC 所成角.

PA ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD

PA AD ⊥，又PA AD =.

所以PAD △为等腰直角三角形，则45ADP ?∠= 所以异面直线PD 与BC 所成角的大小为45? 故答案为：45? 【点睛】

本题考查异面直线成角的问题，属于基础题.

三、解答题

16．已知函数()4sin 23f x x π?

?

=+ ??

?

. （1）求()f x 的最小正周期.

（2）x 等于多少时，()f x 有最大值?并求最大值. 【答案】（1）T π=（2）12

x k π

π=+

()k ∈Z 时，()f x 有最大值，4

【解析】（1）直接根据函数()sin y A ωx φ=+的周期公式可得答案. (2)将23

x π

+看成一个整体，当22,3

2

x k k Z π

π

π+

=+

∈时，函数取得最大值，答案可

得. 【详解】

(1) ()4sin 23f x x π??

=+

??

?

的最小正周期为：22T π

π==. (2)当22,3

2x k k Z π

π

π+

=+

∈时，sin 23x π?

?+ ??

?有最大值1.

即,12

x k k Z π

π=+∈时，函数()f x 有最大值4.

【点睛】

本题考查正弦型函数的周期和最值，属于中档题.

17．已知甲?乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录用如下茎叶图表示:

（1）按从小到大的顺序写出甲运动员的得分； （2）分别求甲?乙运动员得分的中位数；

（3）估计乙运动员在一场比赛中得分落在[]

10,40内的概率.

【答案】（1） 8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51.（2）26， 36（3）

5

7

【解析】（1）利用茎叶图能按从小到大的顺序写出甲运动员的得分． （2）是茎叶图和中位数定义能求出甲、乙运动员得分的中位数．

（3）由茎叶图统计数字得到乙运动员有14次得分记录中有10次分落在[10，40]内，由此能求出乙运动员在一场比赛中得分落在[10，40]内的概率． 【详解】

（1）按从小到大的顺序写出甲运动员的得分为： 8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51． （2）甲运动员11次得分记录的中位数是26．

乙运动员14次得分记录按从小到大排在7、8两位的数字都为36， ∴乙运动员得分的中位数是36．

（3）由茎叶图统计数字得到乙运动员有14次得分记录中有10次分落在[10，40]内，

∴乙运动员在一场比赛中得分落在[10，40]内的概率105147

P == 【点睛】

本题考查中位数和概率的求法，是基础题，解题时要注意茎叶图的合理运用．属于基础题.

18．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1DD 的中点，2AB =．

（1）求证：1BD ∥平面ACM ；

（2）求三棱锥M ADC -的表面积和体积． 【答案】（１）证明见解析；（２）

2

3

，46+． 【解析】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OM ，由OM 为中位线，利用中位线定理得到BD 1与OM 平行，即可得证；

（2）由M 为DD 1的中点，求出MD 的长，进而确定出三棱锥M ﹣ADC 的表面积和体积即可． 【详解】

（1）证明：连接BD 交AC 于O ，连接OM ， ∵OM 为△BDD 1的中位线， ∴BD 1∥OM ， 则BD 1∥平面ACM ；

（2）解：∵在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，AB ＝2， ∴MD ＝1，AD ＝DC ＝2，且MD ⊥AD ，MD ⊥DC ，AD ⊥DC ， ∴三棱锥M ﹣ADC 的表面积为1

2?2×1×21

2

+

?23=46；体积为1132??2×2×123

=．

【考点】直线与平面平行的判定定理；几何体的体积和表面积．

19．某种汽车购买时费用为14．4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，……，依等差数列逐年递增．

（Ⅰ）设使用n 年该车的总费用（包括购车费用）为f(n)，试写出f(n)的表达式； （Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）． 【答案】（1）(

)2

*

()0.114.4f n n n n N

=++∈;（2）12年.

【解析】（I ）由已知中某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增，根据等差数列前n 项和公式，即可得到f （n ）的表达式； （II ）由（I ）中使用n 年该车的总费用，我们可以得到n 年平均费用表达式，根据基本不等式，我们易计算出平均费用最小时的n 值，进而得到结论． 【详解】

（I ()14.4(0.20.40.60.2)0.9f n n n =++++?++

=0.2(1)

14.40.92

n n n ++

+ =20.114.4n n ++

(Ⅱ)设该车的年平均费用为S 万元,

1S=

()f n n ()

21

0.114.4n n n

=++ 14.4110n n

=

++2 1.441≥2 1.21=?+ 3.4= 则有仅当n =12时,等号成立. 汽车使用12年报废为宜. 【点睛】

本题主要考查等差数列的应用，读懂题意，转化为等差数列求和，利用基本不等式求最值是解题的关键，属于中点题.

20．已知圆C 经过(3,2)A 、(1,6)B 两点，且圆心在直线2y x =上． （1）求圆C 的方程；

（2）若直线l 经过点(1,3)P -且与圆C 相切，求直线l 的方程．

【答案】（１）2

2

(2)(4)5x y -+-=；（２）250250x y x y -+=+-=或 【解析】试题分析：（1）根据圆心在弦的垂直平分线上，先求出弦AB 的垂直平分线的方程与2y x =联立可求得圆心坐标，再用两点间的距离公式求得半径，进而求得圆的方程；（2）当直线l 斜率不存在时，与圆相切，方程为1x =-；当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，写出其点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解出k 的值.

试题解析：（1）依题意知线段AB 的中点M 坐标是()2,4，直线AB 的斜率为

62

213

-=--， 故线段AB 的中垂线方程是()1

422

y x -=-即260x y -+=， 解方程组260{

2x y y x -+==得2

{4

x y ==，即圆心C 的坐标为()2,4，

圆C

的半径r AC ==，故圆C 的方程是()()2

2

245x y -+-=

（2）若直线l 斜率不存在，则直线l 方程是1x =-，与圆C 相离，不合题意；若直线l 斜率存在，可设直线l 方程是()31y k x -=+，即30kx y k -++=，因为直线l 与圆C

=

解得2k =或1

2

k =-

． 所以直线l 的方程是250x y -+=或250x y +-=.