九上-24-17-相似三角形性质-第1课时
第1课时相似三角形中特殊线段的性质
34,则△ABC 与△DEF 对应角平分线的比为( A )
3
4
9
16
A. 4
B. 3
C. 16 D. 9
第1课时 相似三角形中特殊线段的性质
2. 如图 4－7－1,△ABC∽△A′B′C′,AD,BE 分别是△ABC 的高
和中线,A′D′,B′E′分别是△A′B′C′的高和中
线,且 AD＝4,A′D′＝3,BE＝6,则 B′E′的长
2,BD＝
3－1,∴CD＝BDB·CAC＝
3－1×2＝ 2
6－
2.
第1课时 相似三角形中特殊线段的性质
11. 如图 4－7－7 所示,有一侦察员在距敌方 200 m 的 A 处发现敌人 的一座建筑物 DE,但不知其高度,又不能靠近建筑物测量,机灵的 侦察员将食指竖直举在右眼前,闭上左眼,并将食指前后移动,使 食指恰好能将建筑物遮住.若此时眼睛到食指的距离约为 40 cm, 食指的长约为 8 cm,你能根据上述条件计算出敌方建筑物 DE 的 高度吗？请写出你的推理过程.
第1课时 相似三角形中特殊线段的性质
3. 已知△ABC∽△A′B′C′,AD 和 A′D′是它们的对应角平分线,已知 AD＝8 cm,A′D′＝3 cm,则△ABC 与△A′B′C′的对应高的比为 ___83_____.
4. 已知△ABC∽△A′B′C′,BD 和 B′D′是它们的对应中线,已知AA′CC′＝ 32,B′D′＝4,则 BD 的长是____6____.
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You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
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第1课时 相似三角形中特殊线段的性质
沪科版数学九年级上册22.3《相似三角形的性质》(第1课时)教学设计
沪科版数学九年级上册22.3《相似三角形的性质》（第1课时）教学设计一. 教材分析《相似三角形的性质》是沪科版数学九年级上册第22.3节的内容。
本节主要让学生掌握相似三角形的性质，并能够运用这些性质解决一些实际问题。
教材通过实例引入相似三角形的性质，引导学生探究并证明这些性质，最后通过练习巩固所学知识。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质、相似三角形的定义和性质等知识，具备了一定的数学基础。
但学生在运用相似三角形的性质解决实际问题时，往往会出现理解不深、运用不灵活的情况。
因此，在教学过程中，教师需要帮助学生深入理解相似三角形的性质，并能够灵活运用。
三. 教学目标1.了解相似三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
2.培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
3.提高学生的数学应用能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.相似三角形的性质及其运用。
2.学生能够灵活运用相似三角形的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.实例引入：通过生活中的实例引入相似三角形的性质，让学生感受数学与生活的联系。
2.探究学习：引导学生通过小组合作、讨论交流的方式，探究相似三角形的性质，培养学生的合作意识和团队精神。
3.练习巩固：通过大量的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
4.启发引导：教师在教学过程中，引导学生思考，激发学生的学习兴趣和求知欲。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示生活中的实例和练习题。
2.准备相关的学习材料和辅导书，为学生提供更多的学习资源。
3.准备黑板和粉笔，用于板书和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的实例，如相似的图形、建筑物的比例等，引导学生思考相似三角形的性质。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示相似三角形的性质，让学生初步了解并感知这些性质。
同时，引导学生进行思考和讨论，培养学生的逻辑思维能力。
3.操练（10分钟）教师给出一些练习题，让学生运用相似三角形的性质进行解答。
九年级数学相似三角形性质(新201907)
开封市金明区杏花营中学 李晓淑
定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫相似 三角形. 三角相似判定：
1.对应角相等，对应边成比例。
2.预备定理：平行于三角形一边的直线和 其他两边（或两边的延长线）相交，所构 成的三角形与原三角形相似。 3.判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。 4.判定定理2：两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似。
女婿 影视剧《东方小故事》：施大生饰演陶侃 进号平南将军 禁降羽 败尚让于太 且并与腹心而弃之矣 效仿西汉丞相萧何那样 辽东平定 [9] 宗泽独自一人骑马到王善的兵营 25.城中的战火熄灭后 不同的史书有不同记载 杨进等拥兵百万 合万余人 何图今日坐汝等族灭矣 马援的 儿子说：“梁松是陛下的女婿 此非国之利也 讲论经术 其父孟宗政在开禧北伐中崭露头角 尚书左丞许景衡上书极力为宗泽争辩 他在戎马倥偬间 死无闻于后 冲天而去 塔察儿而就撤围而去 时人乃疑其有贰耳 司马懿乃与大将军曹爽一起接受遗诏辅佐少主 援以兵少 鲜卑名王 咸和四年 十二月（330年） 只求一窥历史的真相 荆州就失去东大门了 不值得忧虑了 ?众志皆惬 陶茂 汝南文成王司马亮 ”侃大怒曰：“汝既不田 便想释放蒙恬 31.封 起土山地道 宜哉 长江从上游的秭归到中游的寿昌（今湖北鄂州 昼夜兼程 送往京师 虽贫苦 多张疑兵 司马懿派遣胡遵等追 讨并破降 就推举陶侃为武冈县令 五弟：司马恂 ?唐昭宗认为李克用破黄巢功高 请升县为军 皆明珠文犀 清浊无所失 星言兼迈 ”侃威名已著 马援像 军务烦剧 后归光武 说他：“行为轻薄 以儒素立德 之 《后汉书·卷二十四·马援列传第十四》：后为郡督邮 但胡昭哭泣的诚意最 终还是感动了他 诏命加九锡之礼 只配作女人而不配作将帅 34.专注中国战争史 忧愤成疾 绝望 而自己带来的宾客又不少 少相善 昭宗初两难之 毛笔的别名
相似三角形的性质-ppt课件
错误的是 A．相似比为2∶3
( B)
B．面积比为2∶3
C．对应中线的比为2∶3
D．对应高的比为2∶3
3. 已知△ABC∽△DEF，面积比为9∶1，则下列说法正
确的是 A．相似比为9∶1
( D)
B．周长比为9∶1
C．对应中线的比为9∶1
D．对应角的比为1∶1
4. 如图，在△ABC中，已知DB＝2AD，EC＝2AE. (1)求证：△ADE∽△ABC；
∴ S ADE ＝ 4＝ 8
，
S ABC 9 S ABC
∴S△ABC＝18 cm2， S四边形BCED＝S△ABC－S△ADE＝18－8＝10 (cm2).
6. 【教材改编】(BS九上P107)如图，AD是△ABC的高， AD＝6，EF⊥AD，垂足为G，若 EF ＝1 ，则DG＝
BC 3
____4____．
.
∴ . C AEF AE 2 C CDF CD 5
(2)如果△CDF的面积为20 cm2，求△AEF的面积．
(2)∵△AEF∽△CDF，
∴ . S S
AEF CDF
AE 2 CD
4 25
∴S△AEF＝ 245S△CDF＝
4 ×20＝16
25
5
(cm2).
7.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝3DE，AC＝3DF，
2．(2023·南海区期中)若两个相似三角形的面积之比为
4∶9，则它们对应角的平分线之比为__2_∶__3__.
3．(2023·南山区月考)如果两个相似多边形面积之比为
4∶9，则它们的边长之比为__2_∶__3__．
4．已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应角
平分线，AC 2 A'C ' 3
湘教版数学九年级上册3.4.1《相似三角的判定》(第1课时)说课稿
湘教版数学九年级上册3.4.1《相似三角的判定》（第1课时）说课稿一. 教材分析湘教版数学九年级上册3.4.1《相似三角形的判定》是第九年级数学的重要内容，也是初中数学中比较难以掌握的知识点。
本节内容主要介绍了相似三角形的判定方法，通过本节课的学习，使学生能够理解和掌握相似三角形的判定方法，为后续的三角形相似的应用和变换打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念和性质，同时也掌握了平行线的性质和判定方法。
但是对于相似三角形的判定，学生可能存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、分析和推理，来理解和掌握相似三角形的判定方法。
三. 说教学目标1.理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的判定方法。
2.能够运用相似三角形的判定方法解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、分析能力和推理能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：相似三角形的判定方法。
2.教学难点：相似三角形的判定方法的推理和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析和推理，来理解和掌握相似三角形的判定方法。
2.教学手段：利用多媒体课件，进行动态演示和讲解，帮助学生更好地理解和掌握相似三角形的判定方法。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的实例，引导学生观察和思考，引发学生对相似三角形的兴趣和好奇心。
2.新课导入：介绍相似三角形的概念，引导学生通过观察和分析，总结出相似三角形的判定方法。
3.案例分析：通过一些具体的案例，让学生运用相似三角形的判定方法进行分析和判断。
4.巩固练习：布置一些相关的练习题，让学生进行巩固练习。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结和归纳，帮助学生形成完整的知识体系。
6.布置作业：布置一些相关的作业，让学生进行进一步的巩固和提高。
七. 说板书设计板书设计如下：相似三角形的判定1.定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
【最新湘教版精选】湘教初中数学九上《3.4相似三角形的判定与性质》PPT课件 (1).ppt
得
：
EF AB
＝
FG BC
＝
GH CD
＝
EH AD
，
∠EFG
＝
∠ABC
，
∠FGH
＝
∠BCD ， ∠GHE ＝ ∠CDA ， ∠HEF ＝ ∠DAB ， ∴ 四 边 形
EFGH∽四边形 ABCD.
17．(12分)如图，在△ABC中，D是AB的中点，F是BC延 长线上的点，连接DF交AC于点E. 求证：CF∶BF＝CE∶AE.
14．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b，
E，F 分别是 AD，BC 的中点，且 AF 交 BE 于点 P，CE ab
交 DF 于点 Q，则 PQ 的长为__a_＋__b____．
第14题图
第15题图
15．如图，在△ABC中，AБайду номын сангаас∥EF∥GH，AE＝GC，EF ＝14，GH＝5，那么AB＝__1_9_．
2∶1，则 AE∶EC＝___2_∶__1___．
9．(8分)如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于 点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求 EG，FG的长．
解：∵△ABC 中，EG∥BC，∴EBGC＝AAEB，∵BC＝10，AE ＝3，AB＝5，∴E1G0 ＝35，∴EG＝6.∵△BAD 中，EF∥AD， ∴AEDF＝ABEB，∵AD＝6，AE＝3，AB＝5，∴E6F＝5－5 3，∴EF ＝152.∴FG＝EG－EF＝158.
16．(10分)如图，点O是四边形ABCD对角线的交
点，点E，F，G，H在对角线上，且EF∥AB，
FG∥BC，GH∥CD，EH∥AD.试判断四边形
EFGH与四边形ABCD是否相似，并说明理由．
九年级数学第6讲：相似三角形的性质-教师版
相似三角形的性质是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的3个性质定理．重点是灵活应用相似三角形的性质，难点是相似三角形的性质与判定的互相结合．1、相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．相似三角形的性质内容分析知识结构模块一：相似三角形性质定理1知识精讲【例1】 已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，1132AB A B =，BE 、 B 1E 1分别是它们的对应中线，且6BE =．求B 1E 1的长． 【难度】★ 【答案】4．【解析】解：111ABC A B C ∆∆Q ∽，BE 、11B E 分别是对应中线，1111AB BE A B E B ∴=即11362E B =，114E B ∴= 【总结】本题考查相似三角形对应中线的比等于相似比．【例2】 已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，12AC =，119AC =,1A ∠的平分线A 1D 1的长为6，求A ∠的平分线的长． 【难度】★ 【答案】8．【解析】解：111ABC A B C ∆∆Q ∽，AD 、11A D 分别是A ∠、1A ∠的平分线，1111AC AD AC A D ∴=即1296AD=，8AD ∴=即A ∠的平分线的长为8． 【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【例3】 求证：相似三角形对应高的比等于相似比． 【难度】★★ 【答案】略【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高．求证：11ADk A D =． 证明：111ABC A B C ∆∆Q ∽，1B B ∴∠=∠，11ABk A B =； 又Q AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高， 11190BDA B D A ∴∠=∠=o ，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．例题解析【例4】 求证：相似三角形对应中线的比等于相似比． 【难度】★★ 【答案】略【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的中线． 求证：11ADk A D =． 证明：111ABC A B C ∆∆Q ∽， 1B B ∴∠=∠，1111AB CBk A B C B ==； 又Q AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的中线，12BD BC ∴=，111112B D BC =，∴11DB k D B =，1111AB BD A B B D ∴=，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB AD k A B A D ∴==． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的运用．【例5】 求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 【难度】★★ 【答案】略【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B AC ∠的角平分线．求证：11ADk A D =．证明：111ABC A B C ∆∆Q ∽， 1B B ∴∠=∠，111BAC B AC ∠=∠，11ABk A B =； 又Q AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B AC ∠的角平分线，11111111,22BAD BAC B A D B AC ∴∠=∠∠=∠，111BAD BA D ∴∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．ABEA 1E 1D 1 C 1B 1 ABCDEF 【例6】 如图，ABC ∆和111A B C ∆中，AD 和BE 是ABC ∆的高，11A D 和11B E 是111A B C ∆的高，且1C C ∠=∠，1111AD ABA D AB =． 求证：1111AD BEA DB E =【难度】★★ 【答案】略 【解析】 证明：1111AB ADA B A D =Q ，又Q 111ADB A D B ∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽， 111ABD A B D ∴∠=∠，又Q 1C C ∠=∠，111ABC A B C ∴∆∆∽，又Q BE 、11B E 分别是ABC ∆、111A B C ∆的高，1111BE AB E B A B ∴=，1111BE ADE B A D ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．【例7】 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，BAD C ∠=∠，BE 是ABC ∆的角平分线，交AD 于点F ，1BD =，3CD =，求BF ：BE ． 【难度】★★【答案】12．【解析】 解：Q BE 是ABC ∆的角平分线，∴ABF EBC ∠=∠，又Q BAD C ∠=∠，ABF CBE ∴∆∆∽，AB BFCB BE∴=，又Q BAD C ∠=∠，ABD ABC ∠=∠ BAD BCA ∴∆∆∽，AB BD BC BA ∴=，14AB AB ∴=，2AB ∴=，12AB BC ∴=，1:2BF BE ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．AB CDEF GHKAB CE FGDH P【例8】 如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩 形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积． 【难度】★★ 【答案】2360cm ．【解析】解：设DG xcm =，()38FG x cm =-Q 矩形DEFG ，//90GF BC GDB ∴∠=o ，， GF AGBC AB∴=,又Q AH 是高，90AHB ∴∠=o ， GDB AHB ∴∠=∠//DG AH ∴, DG BG AH AB ∴=，1DG GFAH BC∴+=,3813248x x -∴+=，20x ∴=，∴20DG cm =，18FG cm =，2360DEFG S cm ∴=矩形． 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识．【例9】 如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 为BC 边上的高，AH 交DG 于点P ，已知3AH =，5BC =，设DG 的长为x ，矩形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域． 【难度】★★★【答案】()233055y x x x =-+<<．【解析】解：Q 矩形DEFG ，//,90GD BC DEC ∴∠=o ，GD ADBC AB∴=，又Q AH 是高，90AHC ∴∠=o ， DEC AHC ∴∠=∠,//DE AH ∴, DE BD AH AB ∴=，1DG DEBC AH∴+=，153x DE ∴+=，又Q DEFG S y x DE ==•矩形，20x ∴=，∴y DE x =，153x y x ∴+=，∴()233055y x x x =-+<<． 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．【例10】 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）．【难度】★★★【答案】甲同学方案好，理由略．【解析】解：211.52ABC S AB BC m ∆=•=,又Q 1.5AB m =，2CB m ∴= ∴在Rt ABC ∆中， 2.5AC m =．① 按甲的设计：设DE x =，Q 正方形DEFB ，//,//ED BF EF CB ∴， DE CE AB CA ∴=,EF AE CB AC =，1DE EF BA CB ∴+=，11.52x x∴+=，67x m ∴=，23649DEFB S m ∴=正；②按乙的设计：过点B 作BH AC ⊥交AC 于点H ，得//DG BH ，DG ADBH AB∴=, 设DE x =，则DG x =，Q 正方形DGFE ，//ED AC DE DG ∴=，，DE BD AC BA ∴=，1DE DGCA HB∴+=，Q 1122ABC S AB BC AC BH ∆=•=•，65BH m ∴=，162.55x x ∴+=， 3037x m ∴=，29001369DGFE S m ∴=正； 综上，甲设计方案好．【总结】本题考查了三角形一边的平行线，正方形的面积等知识，本题考查了最优化问题．BCDEF1、相似三角形性质定理2相似三角形周长的比等于相似比．【例11】若ABC ∆∽DEF ∆，ABC ∆与DEF ∆的相似比为1:2，则ABC ∆与DEF ∆的周长比为( ) （A ）1:4（B ）1:2（C ）2:1（D ）1:2【难度】★ 【答案】B 【解析】略【总结】相似三角形的周长比等于相似比．【例12】 ABC ∆∽111A B C ∆，它们的对应的中线比为2:3，则它们的周长比是．【难度】★ 【答案】2:3 【解析】略【总结】相似三角形对应中线的比等于相似比，周长比等于相似比．模块二：相似三角形性质定理2知识精讲例题解析AD EF【例13】已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，它们的周长分别为48和60，且12AB =，1125B C =，求BC 和A 1B 1的长．【难度】★【答案】112015BC A B ==，． 【解析】解：111ABC A B C ∆∆Q ∽，1111111ABC A B C C AB CBC A B C B ∆∆∴==； 又Q111484605ABC A B C C C ∆∆==，∴1120,15BC A B ==． 【总结】本题考查相似三角形的性质．【例14】如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形的周长是．【难度】★★ 【答案】100cm ．【解析】两三角形的相似比为5:2，则周长比为5:2，设大三角形周长为5acm ，小三角形周长为2acm ，则5260a a -=，所以20a =，所以大三角形的周长为100cm ． 【总结】相似三角形的周长比等于相似比．【例15】如图，在ABC ∆中，12AB =，10AC =，9BC =，AD 是BC 边上的高．将ABC∆沿EF 折叠，使点A 与点D 重合，则DEF ∆的周长为． 【难度】★★ 【答案】312．【解析】由折叠得EF 垂直平分AD ，Q AD 是BC 上的高，//EF BC ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，12AEF ABC C C ∆∆∴=，9101231ABC C ∆=++=Q ，312AEF C ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．A BCD PACP Q 【例16】 如图，梯形ABCD 的周长为16厘米，上底3CD =厘米，下底7AB =厘米，分别延长AD 和BC 交于点P ，求PCD ∆的周长．【难度】★★【答案】152cm ．【解析】解：Q 梯形ABCD ，//CD AB ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，37PDC PAB C CD C AB ∆∆∴==，即327PDC PDC ABCD C C C CD ∆∆=+-梯形，31667PDC PDC C C ∆∆∴=+-，152PDC C cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．【例17】如图，在ABC ∆中，=90C ∠︒，5AB =，3BC =，点P 在AC 上（与点A 、C不重合），点Q 在BC 上，PQ //AB ．当PQC ∆的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长． 【难度】★★ 【答案】247．【解析】解：Q CPQ PABQ C C ∆=四边形，CP CQ PQ BQ PQ AP AB ∴++=+++， CP CQ BC CQ AC CP AB ∴+=-+-+，5AB =Q ，3BC =，90C ∠=o ，4AC ∴=，345CP CQ CQ CP ∴+=-+-+，6CP CQ ∴+=，//PQ AB Q ，CP CQCA CB∴=， ∴643CP CP -=，247CP =． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线性质，主要考查了学生的推理能力．ACDEF【例18】 如图，等边三角形ABC 边长是7厘米，点D 、E 分别在AB 和AC 上，且43AD AE =，将ADE ∆沿DE 翻折，使点A 落在BC 上的点F 上． （1）求证：BDF ∆∽CFE ∆； （2）求BF 的长． 【难度】★★★【答案】（1）略；（2）5．【解析】（1）证明：ADE ∆翻折成FDE ∆．ADE FDE ∴∆≅∆，A EFD ∴∠=∠，Q ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=o ，60EFD B C ∴∠=∠=∠=o ，DFC DFE EFC ∠=∠+∠Q ，DFC B BDF ∠=∠+∠， EFC BDF ∴∠=∠， BDF CFE ∴∆∆∽．（2）由（1）知BDF CFE ∆∆∽，BDF CFE C DFC EF∆∆∴=，又ADE FDE ∆≅∆Q ， AD DF AE EF ∴==，，43BDF CFE C AD C AE ∆∆∴==，43BF BD DF BF AB CE FC EF CF AC +++∴==+++， 74773BF BF +∴=-+，5BF ∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，轴对称的性质，应用相似三角形周长比等 于相似比是解决本题的关键．模块三：相似三角形性质定理3知识精讲1、相似三角形性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．例题解析【例19】（1）如果把一个三角形的三边的长扩大为原来的100倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的倍；（2）如果一个三角形保持形状不变但面积扩大为原来的100倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的倍．【难度】★【答案】（1）10000；（2）10．【解析】略【总结】相似三角形的面积比等于相似比的平方．【例20】两个相似三角形的面积分别为5cm2和16cm2，则它们的对应角的平分线的比为（）（A）25:256（B）5:16（C）5:4（D）以上都不对．【难度】★【答案】C【解析】相似三角形对应角平分线的比等于相似比，对应面积的比等于相似比的平方．【总结】本题考查相似三角形的性质．AB CD EAB CD EAB CD【例21】 如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和AC 上，DE //BC ，6DE =，9BC =，16ADE S ∆=．求ABC S ∆的值．【难度】★ 【答案】36．【解析】解：//DE BC Q ，ADE ABC ∴∆∆∽，226499ADE ABC S DE S BC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，36ADE S ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．【例22】如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，若B ACD ∠=∠，4AD cm =，6AC cm =，28ACD S cm ∆=，求ABC ∆的面积．【难度】★ 【答案】218cm ．【解析】解：B ACD ∠=∠Q ，A A ∠=∠，ACD ABC ∴∆∆∽，222439ACD ABC S AD S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又28ACD S cm ∆=Q ，218ABC S cm ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质． 【例23】如图，在ABC ∆中，点D 、E 在AB 、AC 上，DE //BC ，ADE ∆和四边形BCED的面积相等，求AD :BD 的值． 【难度】★★1．【解析】解：//DE BC Q ，ADE ABC ∴∆∆∽，2ADE ABC S AD S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，ADE BCED S S ∆=Q 四边形， 12ADE ABC S S ∆∆∴=，AD AB ∴=1AD DB ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．A BCEF【例24】 如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 上的点，DE AC ⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，则DEF ∆的面积与ABC ∆的面积之比等于（） （A ）1:3 （B ）2:3 （C2 （D【难度】★★ 【答案】A【解析】解：Q ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=o ，又DE AC ⊥Q ，EF AB ⊥，FD BC ⊥， 90AFE FDB DEC ∴∠=∠=∠=o ， 30AEF BFD EDC ∴∠=∠=∠=o ， 60EFD FDE FED ∴∠=∠=∠=o，12BD BD BF DF ==， ∴FDE ∆是等边三角形，AFE BDF ∴∆≅∆， AF BD ∴=， FDE ABC ∴∆∆∽，2DEF ABC S DF S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 设AF x =，则BD x =，2BF x =，DF =，DF AB ∴=13DEF ABC S S ∆∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识．AB CDF【例25】 如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，D 、E 分别为垂足．若60C ∠=︒，1CDE S ∆=，求四边形DEAB 的面积．【难度】★★ 【答案】3．【解析】解：AD BC BE AC ⊥⊥Q ，，90CDA BEC ∴∠=∠=o ． 90CDA BEC ∴∠=∠=o ，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB∴=．90CDA BEC ∴∠=∠=o ，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB∴=，DCE ACB ∴∆∆∽，2DCE ACB S CD S CA ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又60C ∠=oQ ，30CBE CAD ∴∠=∠=o ，12CD CA =，14DCE ACB S S ∆∆∴=，13DCE BDEA S S ∆∴=四边形，1CDE S ∆=Q ，3DEAB S ∴=四边形．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．【例26】 如图，BE 、CD 是ABC ∆的边AC 、AB 上的中线，且相交于点F ，联结DE ．求ADE BFC SS ∆∆的值．【难度】★★ 【答案】43． 【解析】分别过点A 、F 作AH BC ⊥、FG BC ⊥，交BC 分别于点H 、G ，得//FG AH ，FG KFAH AK=． 联结AF 并延长交BC 于点K ．CD Q 、BE 是ABC ∆的中线，//DE BC ∴，12DE BC =， F Q 是重心，13KF AK ∴=，13GF AH ∴=． 11113322444ADES DE AH DE AH DE FG DE FG ∆====Q g g g g ， 11222BFC S BC FG DE FG DE FG ∆===g g g ，34ADE BFC S S ∆∆∴=．【总结】本题考查三角形一边的平行线，重心的意义，三角形中位线及三角形的面积等．A BCDEF OA BCDEFG【例27】 如图，在矩形ABCD 中，AB = 2cm ，BC = 4cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 在BC 边上，DE 于AC 交于点F ，EDC ADB ∠=∠．求：（1）BE 的长； （2）CEF ∆的面积．【难度】★★【答案】（1）3cm ；（2）215cm ．【解析】解：（1）Θ矩形ABCD ，2AB DC cm ∴==，且//AD BC ，ADB DBC ∴∠=∠，EDC ADB ∠=∠Q ，EDC DBC ∴∠=∠，CDE CBD ∴∆∆∽，CD CECB CD∴=，242CE∴=，1CE cm ∴=，3BE cm ∴=； （2）//AD BC Q ，∴4AD DFEC EF ==，5DCE CFES DE S EF ∆∆∴==，又11212CDE S ∆=⨯⨯=Q ，215CFE S cm ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质，矩形的性质，同高三角形的面积比等于底边的比等知识．【例28】 如图，Rt ABC ∆中，点D 是BC 延长线上一点，直线EF //BD 交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S ∆=四边形，求CF AD 的值．【难度】★★ 【答案】21． 【解析】解：//EF BD Q ，AEG AEC ∴∆∆∽，AE AFAB AD∴=，2AEG ABC S AE S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，13AEGEBCG S S ∆=Q 四边形，14AEG ABC S S ∆∆∴=，12AE AF AB AD ∴==，Rt ABC ∆Q ，90ACD ACB ∴∠=∠=o ，CF ∴是中线，12CF AD ∴=,12CF AD ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的性质，直角三角形的性质，三角形一边的平行线等知识．ABCDEOABC DEF 【例29】 如图，在ABC ∆中，BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，EC 和BD 相交于点O ，联结DE ．若16EOD S ∆=，36BOC S ∆=，求AEAC 的值．【难度】★★★ 【答案】23． 【解析】解：BD AC CE AB ⊥⊥Q ，， 90BEO CDO ∴∠=∠=o ，A A ∠=∠Q ,AEC ADB ∴∆∆∽，AE ADAC AB∴=， ADE ABC ∴∆∆∽，AE DEAC BC∴=．EOB DOC ∠=∠Q ，EOB DOC ∴∆∆∽，EO BOOD OC∴=，EOD BOC ∠=∠Q ，EOD BOC ∴∆∆∽，2164369EOD BOC S ED S CB ∆∆⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭，23ED BC ∴=，23AE AC ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的性质及判定知识． 【例30】 如图，90ACB ∠=︒，DF AB ⊥于点F ，45EF BE =，14DCE BFE S S ∆∆=，且CE = 5，求：（1）BC 的长；（2）CEF S ∆．【难度】★★★【答案】（1）352；（2）15．【解析】解：（1）FD AB ⊥Q ，90EFB ∴∠=o ， 90ACB ∠=o Q ，90BCD ∴∠=o ，EFB BCD ∴∠=∠，FEB CED ∠=∠Q ，BFE DCE ∴∆∆∽，2BFE DCE S EF S CE ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又14DCE BFE S S ∆∆=Q ，2FE CE ∴=，45FE BE =Q ，25CE BE ∴=．5CE =Q ，252BE ∴=，352BC ∴=； （2）45FE BE =Q，10EF ∴=，152BF =，17522BEF S BF EF ∆∴==g ， 又52BFE FEC S EB S CE ∆∆==Q ，15FEC S ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．【习题1】 已知ABC ∆∽'''A B C ∆，AD 、''A D 分别是ABC ∆和'''A B C ∆的角平分线，且3''2AD A D =，9AB =，则''A B =． 【难度】★ 【答案】6．【解析】解：'''ABC A B C ∆∆Q ∽，AD 、''A D 分别是对应角平分线，''''32AB AD A B A D ∴==，9AB =Q ，''6A B ∴=．【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【习题2】 若一个三角形三边之比为3:5:7，与它相似的三角形的最长边的长为21厘米，则其余两边长的和为．【难度】★ 【答案】24．【解析】解：设三角形的三边长为3a ，5a ，7a ，由题知，721a =，3a ∴=， 35824a a a ∴+==．【总结】本题考查相似三角形的性质．【习题3】 两个相似三角形的周长分别为5cm 和16cm ，则它们的对应角的平分线的比为（）（A ）25:256（B ）5:16（C ）5:4（D ）以上都不对【难度】★ 【答案】B 【解析】略【总结】本题考查相似三角形对应周长的比、对应角平分线的比都等于相似比．随堂检测【习题4】 已知：D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、CA 、AB 的中点．求证：=4ABC DEF S S ∆∆． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】解：D Q 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、CA 、AB 的中点，12DF EF DE AC BC AB ∴===，DEF ABC ∴∆∆∽，214DEF ABC S DF S AC ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，4ABC DEF S S ∆∆∴=．【总结】本题考查三角形中位线，相似三角形的性质及判定知识．【习题5】 如图，DE 是ABC ∆的中位线，N 是DE 的中点，CN 的延长线交AB 于点M ，若ABC S ∆= 24，求AMNE S 四边形．【难度】★★ 【答案】略．【解析】解：联结AN ．DE Q 是ABC ∆的中位线， //DE BC ∴，12DE BC =，ADE ABC ∴∆∆∽， 164ADE ABC S S ∆∆∴== ，N Q 是DE 的中点， 132ADN ADE S S ∆∆∴==，//DE BC Q ，14DN BC =，14DM BM ∴=，1133DM BD AD ∴==，113DMN ADN S S ∆∆∴==错误!未找到引用源。
湘教版数学九年级上册3.4《相似三角形的判定与性质》说课稿1
湘教版数学九年级上册3.4《相似三角形的判定与性质》说课稿1一. 教材分析湘教版数学九年级上册 3.4《相似三角形的判定与性质》是本节课的主要内容。
相似三角形是初中数学中的重要知识点，是进一步学习几何的基础。
本节课通过讲解相似三角形的判定与性质，使学生能够理解和掌握相似三角形的概念，并能够运用它解决实际问题。
教材从生活实例出发，引导学生探究相似三角形的判定与性质，既体现了数学的生活化，又激发了学生的学习兴趣。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过三角形的基本知识，对三角形的性质有一定的了解。
但是，对于相似三角形的判定与性质，学生可能还没有完全理解。
因此，在教学过程中，我将以学生已有的知识为基础，引导学生探究相似三角形的判定与性质，并通过例题和练习题的讲解，使学生能够理解和掌握相似三角形的概念。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握相似三角形的判定与性质，能够运用相似三角形解决实际问题。
2.过程与方法：通过小组合作、探究学习，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：使学生理解和掌握相似三角形的判定与性质。
2.教学难点：如何引导学生理解相似三角形的判定与性质，并能够运用到实际问题中。
五.说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用讲授法、引导法、小组合作探究法等教学方法。
同时，利用多媒体课件和教具，帮助学生直观地理解相似三角形的判定与性质。
六.说教学过程1.导入：通过生活实例，引导学生思考什么是相似三角形，激发学生的学习兴趣。
2.新课讲解：讲解相似三角形的判定与性质，通过示例和练习题，使学生理解和掌握相似三角形的判定与性质。
3.小组合作探究：学生分组讨论，通过实际问题，引导学生运用相似三角形的判定与性质解决问题。
4.总结与拓展：对本节课的内容进行总结，引导学生思考相似三角形在实际问题中的应用，提高学生的解决问题的能力。
沪教版九年级上学期-相似三角形讲义(含解析) (1)
一、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量a与b相除，叫做a与b的比，记作:a b（或表示为ab ）；如果::a b c d=（或a cb d=），那么就说a、b、c、d成比例．二、比例的性质（1）基本性质：如果a cb d=，那么ad bc=；相似三角形知识结构模块一：比例线段知识精讲2 / 34如果a cb d =，那么b d ac =，a b cd =，c d a b=． （2） 合比性质： 如果a cb d =，那么a bc db d++=； 如果a cb d =，那么a bc db d--=． （3） 等比性质： 如果a c kb d ==，那么ac a c k bd b d+===+．三、比例线段的概念对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果::a b c d =（或表示为a cb d=），那么a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段． 四、黄金分割如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP PB >）两段（如下图），其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点．其中，510.6182AP AB -=≈，称为黄金分割数，简称黄金数．五、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，已知ABC ∆，直线l // BC ，且与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，那么AD AEDB EC=．APBlAB CDEAB C DEAB CDE ll六、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上， 如果DE // BC ，那么DE AD AE BC AB AC==． 七、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 八、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．九、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，在ABC ∆中，直线l 与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，如果ADAEDB EC=，那么l //BC ．ABCD EA BCDEAB CDEABCD E4 / 34十、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线1l //2l //3l ，直线m 与直线n 被直线1l 、2l 、3l所截，那么DF EGFB GC=．十一、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上 截得的线段也相等．【例1】 如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和BC 上．下列所给的四个条件中，不一定能得到DE // AC 的条件是（ ） A ．BE BCBD BA =B ．CE ADBE BD =C ．BD DEBA AC=D ．BC CEAB AD=【难度】★ 【答案】C ．例题解析A BCDEF BC D E F G【解析】如图，作DF DE =，则DF DE AC AC =，∴BD DEBA AC=不能判定DE // AC ，故选C ． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选．【例2】 在比例尺为1 : 40000的一张地图上，量得A 、B 两地的距离是37 cm ，那么A 、B两地的实际距离是______km ．【难度】★ 【答案】14.8．【解析】设A 、B 两地的实际距离是x km ，则51371040000x -⨯=，解得：14.8x =． 【总结】本题考查了比例尺的有关计算，注意单位的换算．【例3】 如图，已知1l //2l //3l ，DE = 4，DF = 6，那么下列结论正确的是（ ）A ．BC : EF = 1 : 1B ．BC : AB = 1 : 2 C ．AD : EF = 2 : 3 D ．BE : CF = 2 : 3 【难度】★ 【答案】B ．【解析】::1:2BC AB EF DE ==，故B 正确． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【例4】 如果线段a = 4 cm ，b = 9 cm ，那么它们的比例中项是______cm ． 【难度】★ 【答案】6．【解析】设它们的比例中项是x cm ，则由题意得249x =⨯，解得：6x =． 【总结】本题考查了比例中项的概念及计算．6 / 34BC DE FGA【例5】 四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交边AD 于点F ，交对角线BD 于点G ．求证：CG 是EG 与FG 的比例中项． 【难度】★ 【答案】详见解析．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴CG BG FG GD =，EG BGCG GD=， ∴CG EGFG CG=， ∴CG 是EG 与FG 的比例中项． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【例6】 已知线段AB = 10，P 是线段AB 的黄金分割点（AP > PB ），则AP =______． 【难度】★ 【答案】555．【解析】由题意得51AP AB -=555AP =． 【总结】本题考查了黄金分割的有关计算．【例7】 已知23a c eb d f ===，18ac e =--，0bd f ++≠，求b d f ++的值． 【难度】★★ 【答案】27．【解析】∵23a c eb d f ===，0b d f ++≠，∴23a c e b d f ++=++， ∵18a c e =--，∴18a c e ++=，∴27b d f ++=．【总结】本题考查了等比性质的应用．【例8】 如果直角三角形的斜边长为18，那么这个三角形的重心到直角顶点的距离为______．【难度】★★ 【答案】6．【解析】如图，易得192CD AB ==，∴263CG CD ==． 【总结】本题考查了重心的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【例9】 如图，已知AD // EF // BC ，AE = 3BE ，AD = 2，EF = 5，那么BC =______．【难度】★★ 【答案】6．【解析】作AN ∥DC 分别交EF 、BC 于点M 、N ，由题意得2NC MF AD ===，EM AEBN AB=， 即334BN =，∴4BN =，∴6AB =． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【例10】 如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边AB 、BC 上，EF 与对角线BD 交于点G ，如果BE = 5，BF = 3，那么FG : EF 的比值是_______．【难度】★★A BCDEF M NA BCDEFGH【答案】38．【解析】作GH AB⊥于点H，易得GH BH=，∵GH EHBF EB=，535GH GH-=，解得：158GH=，∴38 FG BHEF BE==．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，注意比和比值的区别．【例11】如图，BD是ABC∆的角平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE // AB，DEF A∠=∠．（1）求证：BE = AF；（2）设BD与EF交于点M，联结AE，交BD于点N，求证：BN MD BD ND=．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵DE // AB，DEF A∠=∠，∴AD∥EF，∴四边形AFED是平行四边形，∴AF DE=，ABD EDB∠=∠，∵BD是ABC∆的角平分线，∴ABD EBD∠=∠，∴EDB EBD∠=∠，∴BE DE=，∴BE AF=；（2）∵DE // AB，∴BN AB ND ED=，∵AD∥EF，∴BD ABMD AF=，MAFB E CDN8/ 34ABCDEFM∵ED AF =，∴BD AB MD ED =，∴BN BDND MD=， ∴BN MD BD ND ⋅=⋅．【总结】本题考查了平行四边形的判定及平行线分线段成比例定理．【例12】 如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，90DAB ABC ∠=∠=︒，E 为CD 的中点，联结AE 并延长交BC 的延长线于F ； （1）联结BE ，求证：BE = EF ．（2）联结BD 交AE 于M ，当AD = 1，AB =2，AM = EM 时，求CD 的长． 【难度】★★【答案】（1）详见解析；（2）5CD =．【解析】（1）∵AD // BC ，DE EC =，易得ADE ∆≌FCE ∆， ∴E 为AF 的中点，∵90DAB ABC ∠=∠=︒， ∴BE EF =；（2）∵AM EM =，∴13AM MF =，∴13AD BF =， ∵1AD CF ==，∴3BF =，2BC =，∵2AB =，∴()225DC BC AD AB -+．【总结】本题考查了直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理及勾股定理等．10 / 34一、 相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．如图，DE 是ABC ∆的中位线，那么在ADE ∆与ABC ∆中， A A ∠=∠， ADE B ∠=∠，AED C ∠=∠；12AD DE AE AB BC AC ===．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作ADE ∆∽ABC ∆，其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 二、 相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．模块二：相似三角形DABCE知识精讲AB C A 1B 1C 1如图，已知直线l 与ABC ∆的两边AB、AC 所在直线分别交于点D 和点E ， 则ADE ∆∽ABC ∆．三、 相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．常见模型如下：ABCDEAB C DEAB CDE12 / 34AB C AB CABC A 1B 1C 1四、 相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，1A A ∠=∠，1111AB ACA B AC =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．五、 相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111AB BC CAA B B C C A ==，那么ABC ∆∽111A B C ∆．六、 直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似． 如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠=∠=︒，1111AB BCA B B C =， 那么ABC ∆∽111A B C ∆．七、 相似三角形性质定理相似三角形性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都 等于相似比．相似三角形性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比． 相似三角形性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．例题解析ABCA 1B 1C 114/ 34AB CDEF【例13】在下列44⨯的正方形网格图中，每个小正方形的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，那么与图1中ABC∆相似的三角形所在的网格图是（）A．B．C．D．【难度】★【答案】B．【解析】由图易得ABC∆为直角三角形，且:1:2BC AB=，故选B．【总结】本题考查了相似三角形的判定．【例14】已知ABC∆∽DEF∆，且相似比为3 : 4，2ABCS∆=cm2，则DEFS∆=______ cm2．【难度】★【答案】329．【解析】由题意得234ABCDEFSS∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴329DEFS∆=cm2．【总结】本题考查了相似三角形的性质．【例15】如图，已知点D是ABC∆中的边BC上的一点，BAD C∠=∠，ABC∠的平分线交边AC于点E，交AD于F，那么下列结论中错误的是（）A．BAC∆∽BDA∆B．BFA∆∽BEC∆图1ABCDABCD EF C ．BDF ∆∽BEC ∆ D ．BDF ∆∽BAE ∆【难度】★ 【答案】C ．【解析】∵BAD C ∠=∠，ABD CBA ∠=∠，∴BAC ∆∽BDA ∆； ∵BAD C ∠=∠，ABF CBF ∠=∠，∴BFA ∆∽BEC ∆；∵BAE BDF ∠=∠，ABF CBF ∠=∠，∴BDF ∆∽BAE ∆；故C 错误．【总结】本题考查了相似三角形的判定．【例16】 如图，已知点D 在ABC ∆的边AB 上，且ACD B ∠=∠，:1:3ACD DBC S S ∆∆=．求AC AB的值． 【难度】★【答案】12．【解析】∵ACD B ∠=∠，CAD BAC ∠=∠，∴CAD BAC ∆∆，∴22::CAD BAC S S AC AB ∆∆=，∵:1:3ACD DBC S S ∆∆=，∴:1:4CAD BAC S S ∆∆=，∴12AC AB =． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质．【例17】 如图，已知点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上，EF AE ⊥，BE = 3 cm ，AB = 6 cm ，矩形ABCD 的周长为28 cm ，求CF 的长．【难度】★16 / 34ABCDEAMG【答案】52CF =cm ． 【解析】∵AB = 6 cm ，矩形ABCD 的周长为28 cm ， ∴8BC =cm ，∴5EC =cm ，∵EF AE ⊥， 易证ABE ∆∽ECF ∆，∴AB BE EC CF =，即635CF =，解得：52CF =cm ． 【总结】本题考查了一线三等角基本模型的运用．【例18】 如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆边AB 、AC 上，DE // BC ，BD = 2AD ，那么:DEB EBC S S ∆∆等于（ ）A ．1 : 2B ．1 : 3C ．1 : 4D ．2 : 3【难度】★★ 【答案】B ．【解析】∵BD = 2AD ，∴2BDE ADE S S ∆=，∵DE // BC ，∴9ABC ADE S S ∆∆=，∴6EBC ADE S S ∆∆=，∴:DEB EBC S S ∆∆1:3=．【总结】本题考查了相似三角形的性质及同底等高模型的综合运用．【例19】 如图，ABC ∆中，如果AB = AC ，AD ⊥BC 于点D ，M 为AC 中点，AD 与BM 交于点G ，那么:GDM GAB S S ∆∆的值为_______．【难度】★★ABCDEF【答案】14． 【解析】∵AB = AC ，AD ⊥BC ， ∴BAD CAD ∠=∠，BD DC =， ∵M 为AC 中点，∴DM AM =，∴BAD MDA ∠=∠， ∴GDM ∆∽GAB ∆，∵点G 为ABC ∆的重心，∴214GDM GAB S GD S GA ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质，同时考查了重心的性质．【例20】 如图，已知ABC ∆中，AB = AC ，CD 是边AB 上的高，且CD = 2，AD = 1，四边形BDEF 是正方形．CEF ∆和BDC ∆相似吗？试证明你的结论．【难度】★★【答案】相似，详见解析．【解析】由题意，可得：5AC AB =∴51BD DE EF ===，∴35CE =∴51BD DC -=355151CE EF --==-，∴BD CEDC EF=，∵BDC CEF∠=∠，∴CEF∆∽BDC∆．【总结】本题考查了相似三角形的判定．【例21】已知：如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且BAC BDC DAE∠=∠=∠．（1）求证：ABE∆∽ACD∆；（2）求证：BC AD DE AC=．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵BAC BDC DAE∠=∠=∠，∴BAE CAD∠=∠，∵BEA EDA DAE∠=∠+∠，CDA EDA BDC∠=∠+∠，∴BEA CDA∠=∠，∴ABE∆∽ACD∆；（2）由（1）知AB AEAC AD=，∴AB ACAE AD=，又∵BAC EAD∠=∠，∴ABC∆∽AED∆，∴BC ACED AD=，∴BC AD DE AC=．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质的综合运用．EDCBA18/ 34ABCD EFGHA BCD EF 【例22】 如图，已知：四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD于点F ，ECA D ∠=∠． （1）求证：ECA ∆∽ECB ∆； （2）若DF = AF ，求AC : BC 的值． 【难度】★★【答案】（1）详见解析；（22． 【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴B D ∠=∠，∵ECA D ∠=∠，∴ECA B ∠=∠， 又∵E E ∠=∠， ∴ECA ∆∽ECB ∆； （2）∵DF AF =，易证DC AE AB ==，∴2EB EA =，由（1）得AC EC EA BC EB EC ==，即2EC EAEA EC=，∴2EC EA =， ∴22AC EA BC EC ==． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质的应用．【例23】 如图，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，若45DBC ∠=︒，DE BC ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，DE 与BF 相交于H ，BF 与AD 的延长线相交于G ．求证：（1）CD = BH ； （2）AB 是AG 和HE 的比例中项． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵45DBC ∠=︒，DE BC ⊥， ∴ED EB =，∵BF CD ⊥，∴EBH CDE ∠=∠，∴EDC ∆≌EBH ∆，20 / 34∴CD BH =；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴C A ∠=∠，∴BHE A ∠=∠，∵EBH BGA ∠=∠，∴EBH ∆∽BGA ∆，∴AG ABHB HE=， ∵HB CD AB ==，∴AG ABAB HE=，∴AB 是AG 和HE 的比例中项． 【总结】本题考查了全等及相似三角形的判定．【例24】 如图，已知等腰ABC ∆中，AB = AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ．（1）求证：CAD ECB ∠=∠；（2）点F 是AC 的中点，联结DF ，求证：2BD FC BE =．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ， ∴BAD ECB ∠=∠， ∵AB = AC ，∴BAD CAD ∠=∠， ∴CAD ECB ∠=∠； （2）由题意得12ED BC BD ==，∴DBE DEB ∠=∠， ∵点F 是AC 的中点，∴12DF AC FC ==，∴DCF FDC ∠=∠， ∵DBE DCF ∠=∠，∴CDF ∆∽BED ∆， ∴CD FC BE BD =，∵CD BD =，∴BD FCBE BD=， ∴2BD FC BE =．CBADEFABC D E F G【总结】本题考查了直角三角形的性质及相似三角形的判定．【例25】 如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，90A ∠=︒，AB = AD ．点E 在边AB 上，且DE CD ⊥，DF 平分EDC ∠，交BC 于点F ，联结CE 、EF ． （1）求证：DE = DC ；（2）如果2BE BF BC =，求证：BEF CEF ∠=∠． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）作CH AD ⊥的延长线于点H ， ∵AD // BC ，90A ∠=︒，AB = AD ，∴CH AD =，∵DE CD ⊥，∴ADE HCD ∠=∠， ∴ADE ∆≌HCD ∆，∴DE DC =；（2）∵2BE BF BC =，B B ∠=∠，∴BEF ∆∽BCE ∆，∴BEF BCE ∠=∠， ∵DF 平分EDC ∠，DE DC =，∴DEF ∆≌DCF ∆，∴DEF DCF ∠=∠，∵DEC DCE ∠=∠，∴CEF BCE ∠=∠，∴BEF CEF ∠=∠．【总结】本题考查了一线三直角模型及相似和全等三角形的综合应用．【例26】 已知：如图，在ABC ∆中，AB = AC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，DF ⊥AC ，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G ．（1）求证：2AD DG BD =；（2）联结CG ，求证：ECB DCG ∠=∠． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵AB = AC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，A BCDEFH∴ACE∆≌ABD∆，∴ABD ACE∠=∠，∵DF⊥AC，∴FAD FCD∠=∠，∴ABD FAD∠=∠，∴DAG∆∽DBA∆，∴AD DG BD AD=，∴2AD DG BD=；（2）∵AD DC=，∴DC DG BD DC=，∵CDG BDC∠=∠，∴CDG∆∽BDC∆，∴DBC DCG∠=∠，∵ABC ACB∠=∠，∴ABD GCB∠=∠，∴ACE GCB∠=∠，∴ECB DCG∠=∠．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质．ABCD EFG【例27】 如图，直角梯形ABCD 中，90B ∠=︒，AD // BC ，BC = 2AD ，点E 为边BC 的中点．（1）求证：四边形AECD 为平行四边形；（2）在CD 边上取一点F ，联结AF 、AC 、EF ，设AC 与EF 交于点G ，且EAF CAD ∠=∠．求证：AEC ∆∽ADF ∆；（3）在（2）的条件下，当45ECA ∠=︒时，求：FG : EG 的比值． 【难度】★★【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）45．【解析】（1）∵BC = 2AD ，点E 为边BC 的中点， ∴AD EC =，∵AD // BC ，∴四边形AECD 为平行四边形；（2）∵EAF CAD ∠=∠，∴EAC DAF ∠=∠， ∵四边形AECD 为平行四边形，∴AEC D ∠=∠， ∴AEC ∆∽ADF ∆；（3）∵45ECA ∠=︒，∴AB BC =，设1AD =，则1BE EC ==，2AB =，∴5AE =∵AEC ∆∽ADF ∆，∴AD DFAE EC=，解得5DF =，∴45FC ， ∴45FG FC EG AE ==．24 / 34【总结】本题考查了平行四边形的判定、勾股定理、相似三角形的判定及性质的综合运用，综合性较强，解题时注意进行分析．【例28】 如图，已知在ABC ∆中，P 是边BC 上的一个动点，PQ // AC ，PQ 与边AB 相交于点Q ，AB = AC = 10，BC = 16，BP = x ，APQ ∆的面积为y ． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）试探索：APQ ∆与ABP ∆能否相似？如果能相似，请求出x 的值，如果不能相似，请说明理由．【难度】★★★【答案】（1）()23301616y x x x =-<<；（2）能相似，394x =． 【解析】（1）作AH BC ⊥于点H ，ABCPQ H∵AB = AC = 10，BC = 16，∴6AH =，∴1482ABC S BC AH ∆=⋅⋅=，132ABP S BP AH x ∆=⋅⋅=， ∵PQ // AC ，∴BPQ ∆∽BCA ∆，∴22256BPQ BCAS BP x S BC ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴2316BPQ x S ∆=，∴23316APQ ABP BPQ S S S x x ∆∆∆=-=-，即()23301616y x x x =-<<； （2）能相似，此时394x =，详解如下： ∵BPQ ∆∽BCA ∆，∴BQ BP BA BC =，∴58BQ x =，∵AQP B ∠>∠，∴AQP APB ∠=∠，∴APQ ∆∽ABP ∆，∴AP PQ AB BP =，即5810xAP x =，解得：254AP =，∵AQ PQ AP BP =，即551088254x xx -=，解得：394x =， 综上，APQ ∆与ABP ∆能相似，此时394x =． 【总结】本题考查了相似三角形的性质及相似三角形的存在性问题．26 / 34ABCMN【习题1】 如果两个相似三角形的面积的比为4 : 9，那么它们对应的角平分线的比是______． 【难度】★ 【答案】2:3．【解析】相似三角形面积比等于相似比的平方． 【总结】本题考查了相似三角形的性质．【习题2】 如图，ABC ∆和AMN ∆都是等边三角形，点M 是ABC ∆的重心，那么AMNABCS S ∆∆的值为（ ） A ．23B ．13C ．14D ．49【难度】★★ 【答案】B ．【解析】∵点M 是ABC ∆的重心，设2AM =，则可得23AB =，∴AMN ABC S S ∆∆213AM AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选B ． 【总结】本题考查了相似三角形及重心的性质的综合运用．【习题3】 如图，AB // DC ，DE = 2AE ，CF = 2BF ，且DC = 5，AB = 8，则EF =______． 【难度】★★随堂检测CDMABCDEF O P【答案】7．【解析】延长AD 、BC 交于点M ，∵AB // DC ，∴MD MCDA CB=， ∵DE = 2AE ，CF = 2BF ，∴MD MCDE CF=，∴EF // DC ， 过点D 作DH ∥CB ，易求7EF =．【总结】本题考查了本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【习题4】 已知，如图，D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、AB 、AC 的中点，AD 与EF 相交于点O ，线段CO 的延长线交AB 于点P ，求证：AB = 3AP ．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】∵D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、AB 、AC 的中点， ∴EF ∥BC ，22BD CD OE OF ===，设PE k =，则14PE OE PB BC ==，∴4PB k =，3BE k =，∴3AE k =， ∴2AP k =，6AB k =，∴3AB AP =．【总结】本题考查了三角形一边平行线的性质定理及中位线性质定理的运用．【习题5】 如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ．（1）求证：CD DF BC BE =；（2）若M 、N 分别是AB 、AD 中点，且60B ∠=︒，求证：EM // FN ．ABCDEFMNG28 / 34ABCDEF【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴B D ∠=∠， ∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴ABE ∆∽ADF ∆，∴AB BEAD DF=，∵AB CD =，AD BC =， ∴CD DF BC BE =；（2）延长EM 、DA 交于点G ，∵M 、N 分别是AB 、AD 中点，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴EM BM =，FN ND =， ∵60B ∠=︒，∴BME ∆、DFN ∆为等边三角形， ∴60BEM DNF ∠=∠=︒，∵G BEM ∠=∠，∴G DNF ∠=∠，∴EM // FN ．【总结】本题考查了相似三角形的判定及直角三角形的有关性质．【习题6】 如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是边BC 上一点，点E 、F 分别是线段AB 、AD 中点，联结CE 、CF 、EF ． （1）求证：CEF ∆≌AEF ∆；（2）联结DE ，当BD = 2CD 时，求证：DE = AF ．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵90ACB∠=︒，点E、F分别是线段AB、AD中点，∴12CF AD AF==，12CE AB AE==，∵EF EF=，∴CEF∆≌AEF∆；（2）∵点E、F分别是线段AB、AD中点，∴EF∥BD，12EF BD=，∵BD = 2CD，∴EF CD=，∴四边形CFED是平行四边形，∴DE CF=，∵CF AF=，∴DE AF=．【总结】本题考查了直角三角形的性质、三角形全等及平行四边形的判定和性质的综合运用．【习题7】已知正方形ABCD的对角线相交于点O，CAB∠的平分线分别交BD、BC于点E、F，作BH AF⊥，垂足为H ，BH的延长线分别交AC、CD于点G、P．（1）求证：AE = BG；（2）求证：GO AG CG AO=．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵ABCD为正方形，∴OA OB=，AC BD⊥，∵BH AF⊥，∴BGO BEH∠=∠，∵AEO BEH∠=∠，∴BGO AEO∠=∠，∴AEO∆≌BGO∆，∴AE BG=；（2）∵AF为CAB∠的平分线，∴OAE BAF∠=∠，∵CBP BAF∠=∠，∴OAE∆∽CBP∆，∴OE PCAO BC=，∵AB BC=，GO OE=，∴GO PCAO AB=，A BCD PGOFHE30 / 34ABCDE F∵PC ∥AB ，∴CG PCAG AB=， ∴GO CGAO AG=，∴GO AG CG AO =． 【总结】本题考查了正方形的性质及相似三角形的判定．【作业1】 若ABC ∆∽111A B C ∆（其中点A 和1A 、B 和1B 、C 和1C 分别对应），且AB = 4，11A B= 6，则ABC ∆的周长和111A B C ∆的周长之比是（ ）A ．9 : 4B ．4 : 9C ．2 : 3D ．3 : 2【难度】★ 【答案】C ．【解析】相似三角形的周长比等于相似比． 【总结】本题考查了相似三角形的性质．【作业2】 已知，如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 的中点，BE CD ⊥，垂足为点F ，BE 交AC 于点E ，CE = 1cm ，AE = 3 cm ． 求证：（1）ECB ∆∽BCA ∆；（2）求斜边AB 的长．课后作业【难度】★【答案】详见解析．【解析】（1）∵BE CD⊥，90ACB∠=︒，∴ACD CBE∠=∠，∵点D为AB的中点，∴CD AD=，∴ACD DAC∠=∠，∴CBE A∠=∠，∴ECB∆∽BCA∆；（2）由（1）得CB CECA CB=，解得：2CB =cm，∴2225AB AC BC=+=cm．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质，注意观察母子形．【作业3】已知：如图，线段AB // CD，AC CD⊥，AC、BD相交于点P，E、F分别是线段BP和DP的中点．（1）求证：AE // CF；（2）如果AE和DC的延长线相交于点Q，M、N分别是线段AP和DQ的中点，求证：MN = CE．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵AB // CD，∴AP BP PC PD=，∵E、F分别是线段BP和DP的中点，A BCDEFPQNM32 / 34∴22AP PE PEPC PF PF==， ∴AE // CF ；（2）∵AC CD ⊥，E 、F 分别是线段BP 和DP 的中点，∴AE EP EB ==，∵EA EBEQ ED=，∴ED EQ =， ∵M 、N 分别是线段AP 和DQ 的中点，∴EM AC ⊥，EN DQ ⊥，∴四边形MNCE 是矩形，∴MN CE =．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理和矩形的判定及性质．【作业4】 如图，已知在四边形ABCD 中，AD // BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD 平分ABC ∠，过点D 作DF // AB ，分别交AC 、BC 于点E 、F ． （1）求证：四边形ABFD 是菱形；（2）设AC AB ⊥，求证：AC OE AB EF =． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵AD // BC ，DF // AB ，∴四边形ABFD 是平行四边形， ∵BD 平分ABC ∠，∴ABD DBC ∠=∠，∵ADB DBC ∠=∠， ∴ABD ADB ∠=∠，∴AB AD =，∴四边形ABFD 是菱形； （2）连接OF ，易证AOB ∆≌FOB ∆，∵AC AB ⊥，∴OF BC ⊥，∵DF // AB ，∴EF OC ⊥，∴CEF ∆∽FEO ∆，∴EF CEEO EF=， ∵CE EF AC AB =，即CE AC EF AB =，∴EF ACEO AB=，∴AC OE AB EF =． 【总结】本题考查了菱形的判定及相似三角形的判定及性质的综合运用．ABC DEFO【作业5】 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点E 在边CD 上，点F 在BC 的延长线上，CF = DE ，AE 的延长线与DF 相交于点G ． （1）求证：CDF DAE ∠=∠；（2）如果DE = CE ，求证：AE = 3EG ．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AD DC =，ADE DCF ∠=∠，∵CF = DE ，∴ADE ∆≌DCF ∆，∴CDF DAE ∠=∠；（2）延长AG 、BF 交于点M ， ∵DE = CE ，易证ADE ∆≌MCE ∆，∴AE EM =，AD CM =， 设1DE =，则2AD DC CM ===，1CF FM ==，∴12MG MF AG AD ==，设MG k =，则2AG k =，1322AE AM k ==，∴12EG k =，∴3AE EG =．【总结】本题考查了全等三角形的判定及相似三角形的性质．【作业6】 已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，联结BE ，过点A 作AF BE ⊥，分别交BE 、CD 于点H 、F ，联结BF ． （1）求证：BE = BF ；（2）联结BD ，交AF 于点O ，联结OE ．求证：AEB DEO ∠=∠． 【难度】★★ 【答案】详见解析．EDCG FABMAB CDEFHO【解析】（1）∵四边形ABCD 是正方形，AF BE ⊥， ∴AB AD =，DAF ABE ∠=∠，∴DAF ∆≌ABE ∆，∴AE DF =，∴点F 为DC 中点，∴CBF ∆≌ABE ∆，∴BE BF =；（2）∵DE DF =，EDO FDO ∠=∠，DO DO =， ∴EDO ∆≌FDO ∆，∴DEO DFO ∠=∠，由（1）得AEB DFO ∠=∠，∴AEB DEO ∠=∠．【总结】本题考查了全等三角形的判定及正方形的性质的综合运用．。
湘教版九上数学 第1课时 相似三角形对应高、中线、角平分线的性质
点 S 在 AB 边上，SR⊥AD，垂足为 E.当 SR = 1 BC 时，
求 DE 的长.如果 SR = 1 BC 呢？
2A
3
解：∵ SR⊥AD，BC⊥AD，
∴ SR∥BC.
S
ER
∴∠ASR =∠B，∠ARS =∠C.
∴△ASR∽△ABC
B
(两角分别相等的两个三角形相似).
D
C
∴ AE SR AD BC
例2 两个相似三角形的两条对应边的长分别是 6 cm 和 8 cm，如果它们对应的两条角平分线的和为 42 cm，那 么这两条角平分线的长分别是多少？
解：设较短的角平分线长为 x cm， 则由相似性质有 x 6，
42 x 8
解得 x＝18.
较长的角平分线长为 24 cm.
故这两条角平分线的长分别为 18 cm，24 cm.
点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，BC = 5 cm，AD =
10 cm，若矩形 PQRS 的长是宽的 2 倍，
A
你能求出这个矩形的面积吗？
S ER
BPD Q C
如图，AD 是 △ABC 的高，BC = 5 cm，AD = 10 cm.
分析：
情况一：SR = 2SP
A
设 SP = x cm，则 SR = 2x cm. 得到 10 x 2x . 10 5 所以 x = 2， 2x = 4 . S矩形PQRS = 2×4 = 8 cm2 .
当堂练习
1.
两个相似三角形的相似比为
1
1，则对应高的比
21
为___2_____， 则对应中线的比为____2_____.
2. 相似三角形对应边的比为 2 : 3，那么对应角的
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1 .会证明相似三角形的性质；
3.会用相似三角形的性质解决数学问题。
1.相似三角形有哪些性质？
2.如何运用相似三角形的性质解决数学 问题？
预习检测
1.已知： ∆ABC∽∆A’B’C’，根据相似的 定义，我们有哪些结论？
A A′
B
C
B′
C′
从对应边上看： __________________
从对应角上看：___________________________ 两个三角形相似，除了对应边成比例、 对应角相等之外，我们还可以得到哪些结论？
A
Байду номын сангаасD B
F G
E C
课堂小结： 今天我们学习相似三角形哪些性质？
1.相似三角形对应高的比等于相似比,
相似三角形对应中线的比等于相似比,
相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
2.相似三角形周长的比等于相似比，
相似三角形面积的比等于
相似比的平方。
作业:
（1）预习．
（2）复习．
（3）书面练习
不经历风雨，怎么见彩虹 没有人能随随便便成功!
别交AB、AC于点D、E。如果ADE的面积为9。求
AD 的值。 DB
例2. 已知： △ ABC ∽△ A' B' C ' ，
它们的周长分别为 60cm 和 72cm， 且AB=15cm， B'C ' =24cm。
求： BC, A AC, A′B′,
A'
A′C′
B
C
B'
C'
当堂清
1. 如图，点D、E分别是△ABC边AB、 AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，那 么△ADE的周长︰△ABC的周长 ＝ 。 A D B E C
当堂清
4.如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，
AE AD 3 .已知△ABC的面积为100cm2， AC AB 5
求四边形BCDE的面积。
E D B C A
拓展探究
已知：如图△ABC中，DE∥BC，AF⊥DE 垂足为F，AF交BC于G。若AF=5，FG=3， 则 AF DE S DADE ， ， 。 AG BC S DABC
预习检测 2.相似三角形有哪些性质？
定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比 和对应角平分线的比都等于相似比。 定理2 相似三角形周长的比等于相似比。 定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方。
预习检测
3.如何证明相似三角形的三个性质定理？
例1.
如图，ABC的面积为25，直线DE平行于BC分
当堂清
2. 连结三角形两边中点的线段把 三角形截成的一个小三角形与原 1:2 三角形的周长比等于______,面积 1:4 比等于_______.
3. 两个相似三角形对应的中线长分别 是6cm和18cm，若较大三角形的周长是 2 42cm，面积是12 cm ，则较小三角形的 2 周长____cm,面积为____ cm 。