浙教版九年级上册 相似三角形综合测试题
浙教九年级数学《相似三角形》综合训练题(难度0.4,含答案)
浙教九年级数学《相似三角形》综合训练题(难度系数0．4左右)一、选择题（每小题3分，共30分）1．若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AB =2（AC ＞BC ），则AC 等于（ ） A ．15- B ．53- C ．15+ D ．15-或15+ 2．如图，∠ACB=∠ADC=90°，BC=a ，AC=b ，AB=c ，要使△ABC ∽△CAD ，只要CD 等于( )A ．c a 2B ． a b 2C ．cab D ．c b 23．如图，在☐ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ∶FC 等于（ ）A ．3∶2B ．3∶1C ．1∶D ．1∶24．如图，P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（ ） A ．∠ABP ＝∠C B ．∠APB ＝∠ABC C ．AC AB AB AP = D ．CBACBP AB =5．如图，△ABC 中，D 为 AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，AC ＝3，则 CD 长为（ ）A ．1B ．23 C ．2 D ．256．如图，在☐ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB ，且CG =2BG ，S △BPG =1，则S ▱AEPH =（ ）第2题图 第3题图 第4题图 第5题图A．3 B．4 C．5 D．67．如图，△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点．若∠B=90°，AB=8，BC=6，EF=2，则BN的长度为（）A．38B．516C．724D．278．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点C，连接DG，BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②EG=10；③BG=2AG；④△EBF∽△DEG，其中所有正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD交CB延长线于E，则图中一定相似的三角形是（）A．△AED与△ACB B．△AEB与△ACD C．△BAE与△ACE D．△AEC与△DAC 10．如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC，延长BP，CP分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF相较于点H，给出下列结论：①AE=21CF；②ED2=EP•EB；③△PFD∽△PDB；④∠BPD=135°，其中正确的是（）A．①②③④B．②③B．C．①②④D．①③④第6题图第7题图第8题图第9题图二、填空题（每小题3分，共18分）11．如图，DE是△ABC的中位线，CD、BE交于点F，若△DEF面积是1，则△BCF的面积是．12．如图，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，AC与DE相交于点F，若CE=2EB，S△AFD=9，则S△EFC等于．13．如图1，△ABC是一张等腰直角三角形彩色纸，AC=BC，将斜边上的高CD五等分，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条．若用这4张纸条刚好可以为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如图2，则正方形美术作品与镶边后的作品的面积之比为．14．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2，0），直线434+=xy与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为．15.如图，正方形ABCD的边长为12，其内部有一个小正方形EFGH，其中E、F、H分别在BC，CD，AE上．若BE=9，则小正方形EFGH的边长．16．如图，点B1在直线l：xy21=上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥1，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3延长第11题图第11题图第13题图第14题图第15题图第16题图B 4C 3交x 轴于点A 4；…；按照这个规律进行下去，点C n 的横坐标为 （结果用含正整数n 的代数式表示）．三、解答题：（7小题，共52分）17．（6分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 上的一点，且BE ：CE =1：2，AE 交BD 于点F ，求： （1)求DFBD的值；（2）△BEF 与△DAF 的周长比、面积的比．18．（6分）如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB =6cm ，CD =4cm ，BD =14cm ，点P 在BD 上由点B 向点D 方向移动，当点P 移到离点B 多远时，△APB 和△CPD 相似？19．（6分）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边 AB ，AC 上的点，连接 DE ，且∠ADE ＝∠ACB ． （1） 求证：△ADE ∽△ACB ；（2） 如果 E 是 AC 的中点，AD ＝8，AB ＝10，求 AE 的长．20．（8分）如图，在等边△ABC 中，边长为 6，D 是 BC 边上的动点，∠EDF ＝60°． （1） 求证：△BDE ∽△CFD ；（2） 当 BD ＝1，CF ＝3 时，求 BE 的长．21．（8分）如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点，（1）求证：AC 2＝AB •AD ； （2）求证：CE ∥AD ；（3）若AD ＝4，AB ＝6，求AFAC的值．22．（8分）如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交弦BC 于点E ，在BC 的延长线上取一点F ，使得EF =DE ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）连接AF 交DE 于点M ，若AD =4，DE =5，求DM 的长．23．（8分）请完成以下问题：（1）如图1，=，弦AC与半径OD平行，求证：AB是⊙O的直径；（2）如图2，AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行．已知圆的半径为r，AC=y，CD=x，求y与x的函数关系式．17．（1）在平行四边形ABCD 中 AD =BC ，AD ∥BC ∴△BEF ∽△ADF ， ∴DF BFAD BE =， 又∵BE ：CE =1：2 ∴34=DF BD ． （2）∵△BEF ∽△DAF∴周长之比为31， ∴面积之比为119．（1）∵∠ADE ＝∠ACB ，∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ACB ；（2）由（1）可知：△ADE ∽△ACB ， ∵点 E 是 AC 的中点，设 AE ＝x ， ∴AC ＝2AE ＝2x ，22．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．∵DE∥AB，∴∠ABD=∠BDE．∴∠CBD=∠BDE．∵ED=EF，∴∠EDF=∠EFD．∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD=180°，∴∠BDF=∠BDE+∠EDF=90°．∴OD⊥DF．∵OD是半径，∴DF是⊙O的切线．（2）解：连接DC，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=∠BCD=90°．∵∠ABD=∠CBD，BD=BD，∴△ABD≌△CBD．∴CD=AD=4，AB=BC．∵DE=5，∴CE=3，EF=DE=5．∵∠CBD=∠BDE，∴BE=DE=5．∴BF=BE+EF=10，BC=BE+EC=8．∴AB=8．∵DE∥AB，∴△ABF∽△MEF．∴ME=4．∴DM=DE﹣EM=1．23．解：（1）证明：连结BC，交OD于点H，（如图1）∵，∴OD⊥BC，即∠OHB=90°，∵弦AC与半径OD平行，∴∠ACB=∠OHB=90°，∴弦AB是圆的直径（90°的圆周角所对的弦是直径）；（2）如图2，连结AD，BD，连结BC交OD于点H，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =∠ADB =90°， ∵弦AC 与半径OD 平行， ∴∠ACB =∠OHB =90°， ∴OD ⊥BC ， ∴，∴CD =BD =x ，∴∠DBC =∠DAB ， ∴△DBH ∽△DAB ， ∵O 是AB 的中点，∴OH 是△ABC 的中位线， ∴OH =21AC =21y ， ∴DH =OD ﹣OH =r ﹣21y ， 即rx x y r 221=-， 化简得：rx r y 22-=．。
浙教新版九年级上册《4.5 相似三角形的性质及其应用》2024年同步练习卷(3)+答案解析
浙教新版九年级上册《4.5相似三角形的性质及其应用》2024年同步练习卷（3）一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G均在小正方形的顶点上，则的重心是()A.点GB.点DC.点ED.点F2.如图，在中，E，G分别是AB，AC上的点，，的平分线AD交EG于点F，若，则()A.B.C.D.3.如图，的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作交AD于点F，则FG：AG是()A.1：4B.1：3C.1：2D.2：34.如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，，交BC于点F，则与的大小关系为()A.B.C.D.无法确定二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
5.如图，在中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点若，则EF的长是______.6.如图，AD是的高，AE是的外接圆的直径，且，，，则的直径______.7.点G是的重心，，如果，那么AB的长是______.8.如图，E，F分别为AC，BC的中点，D是EC上一点，且若，，则BE的长为______.9.如图，在等腰中，，，点E在边CB上，，点D在边AB上，，垂足为F，则AD的长为______.10.如图，点D在的边BC上，已知点E、点F分别为和的重心，如果，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于______.三、解答题：本题共3小题，共24分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.本小题8分已知，如图，在中，CD是斜边上的中线，交BC于点F，交AC的延长线于点∽吗？为什么？你能推出结论吗？请试一试．12.本小题8分已知：如图，在中，点D、E分别在边BC、AB上，，AD与CE相交于点F，求证：；求证：13.本小题8分如图，在中，，，动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒，连接若与相似，求t的值；连接AN，CM，若，求t的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：取BC的中点N，取AC的中点M，连接AN，BM，如图所示，则AN与BM的交点为D，故点D是的重心，故选：取BC的中点N，取AC的中点M，连接AN，BM，然后根据图形可知AN与BM的交点为D，即可得到点D 为的重心．本题考查三角形的重心，解答本题的关键是明确三角形的重心是三角形中线的交点．2.【答案】C【解析】解：，，，，∽，故选：根据两组对应角相等可判断∽，可得，则可得出结论．本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用定理是关键．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、平行线分线段成比例定理的应用，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，根据重心的性质得到，，根据平行线分线段成比例定理计算即可．【解答】解：的两条中线AD和BE相交于点G，点G是的重心，，，，，：：4，故选：4.【答案】C【解析】解：，，，，∽，且相似比为2，，，又，∽，易证∽，求得CF的长，可得根据勾股定理即可求得AE、EF的长，即可判定∽，即可解题．本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边比值相等的性质，相似三角形对应角相等的性质，本题中求证∽是解题的关键．5.【答案】3【解析】解：点D，E分别是BC，AC的中点，，且，，，，故答案为：由题意可知，DE是的中线，则，且，可得，代入BF的长，可求出EF的长，进而求出BE的长．本题主要考查三角形中位线，平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．6.【答案】【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出∽首先根据两个对应角相等可以证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出关于AE的比例式，计算即可．【解答】解：由圆周角定理可知，，，，∽：：AC，，，，：：5，，故答案为：7.【答案】6【解析】解：如图，AD为AB边上的中线，点G是的重心，，，，故答案为先根据三角形重心的性质得到，则，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到AB的长．本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：也考查了直角三角形斜边上的中线性质．8.【答案】【解析】解：，，，∽，，，，E，F分别为AC，BC的中点，，，解得：故答案为：由可得：，结合公共角，可证得∽，从而利用相似三角形的对应中线之比等于相似比即可求BE的长．本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答的关键是明确相似三角形的对应中线的之等于相似比．9.【答案】【解析】解：过D作于H，在等腰中，，，，，，，，，，∽，，，，，，，故答案为：过D作于H，根据等腰三角形的性质得到，，求得，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．10.【答案】【解析】解：如图，连接AE并延长交BD于G，连接AF并延长交CD于H，点E、F分别是和的重心，，，，，，，，，，∽，，，故答案为：连接AE并延长交BD于G，连接AF并延长交CD于H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答．本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．11.【答案】证明：，，，，，∽；为的中线，，，又，，又是公共角，∽，，即【解析】根据题意，得，，则，易证∽；由中，CD是斜边上的中线，得，则，又，所以，又是公共角，所以∽，即可得出；本题主要考查了直角三角形和相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解答本题的关键．12.【答案】证明：，，，，，，∽，，；∽，，即，，，∽，，，，【解析】根据等腰三角形的性质得到，，推出∽，根据相似三角形的性质得到，于是得到；根据相似三角形的性质得到，即，推出∽，根据相似三角形的性质得到，于是得到，等量代换即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，证得∽是解题的关键．13.【答案】解：，，，，由题意得，，当∽时，，即，解得：；当∽时，，即，解得：，综上所述，与相似时，t的值为或；如图，过点M作于点D，，，∽，，，，，，，，，，，，，，，∽，，即，解得：【解析】根据勾股定理求出AB，分∽、∽两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；过点M作于点D，分别证明∽，∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．。
浙教版九年级上册数学第4章 相似三角形含答案(配有卷)
浙教版九年级上册数学第4章相似三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在矩形ABCD中，，，将其折叠使AB落在对角线AC 上，得到折痕AE，那么BE的长度为（）A. B. C. D.2、如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交 CE于点G，连结BE. 下列结论中：① CE=BD；② △ADC是等腰直角三角形；③ ∠ADB=∠AEB；④ CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3、如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法：① ；②连接，，则为直角三角形；③ ；④若，，则的长为，其中正确结论的个数是（）A.4B.3C.2D.14、如图，在中，，则DF的长为（）A.4B.C.D.35、如图的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG 分别交DE、BC于M、N两点．若∠B=90°，AB=4，BC=3，EF=1，则BN的长度为何？（）A. B. C. D.6、如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1， l2， l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若，DE=4，则DF的长是（）A. B. C.10 D.67、如图，已知l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A，B，C，直线DF分别交l1、l2、l3于D，E，F，DE=4，EF=6，AB=5，则BC的长为（）A. B. C. D.8、如图，直线l1∥l2∥l3 ，直线AC分别交l1 ， l2 ， l3于点A，B，C；直线DF分别交l1 ， l2 ， l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（）A. B.2 C. D.9、如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，DE⊥AB，垂足为E，DE与AC交于点F，则sin∠DFC的值为（）A. B. C. D.10、两相似三角形的周长之比为1：4，那么他们的对应边上的高的比为（）A.1∶4B.1∶2C.2∶1D. ∶211、如图，在△ABC中，∠C=90°，过重心G作AC、BC的垂线，垂足分别为D、E，则四边形GDCE的面积与△ABC的面积之比为( )A. B. C. D.12、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，BE、CE分别交AD于G、H，设△CDH、△GHE的面积分别为S1、S2，则（）A.3S1=2S2B.2S1=3S2C.2S1= S2D. S1=2S213、如图，一组互相平行的直线a，b，c分别与直线l1， 12交于点A，B，C，D，E，F，直线11， l2交于点O，则下列各式不正确的是（）A. B. C. D.14、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，B在反比例函数的图像上，纵坐标分别为1和3，则k的值为（）A. B. C.2 D.315、如图，⊙O的直径为6，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P．已知BC：CA=4：3，P在半圆上运动，CP⊥CD交PB的延长线于D点．当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大为（）A.36B.24C.18D.12二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，连接AE，作EF⊥AE交正方形的外角平分线于点F，连接AF，交CD于点H，连接EH.若AB＝4，则EH的长为________.17、如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为2，则平行四边形ABCD的面积是________.18、如图，a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F.若AB＝2，CB＝4，DE＝3，则EF＝________.19、如图所示，已知点E，F分别是△ABC的边AC，AB的中点，BE，CF相交于点G，FG＝1，则CF的长为________．20、若a：b：c=3：2：5，则=________．21、如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，已知点A的坐标为（1，2），则点C的坐标是________．22、如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C 的坐标为________ ．23、我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为________步。
浙教版数学九年级上册 第四章 相似三角形 单元练习(含答案)
浙教版数学九年级上册第四章相似三角形一、选择题1．如果2a =5b ，那么下列比例式中正确的是（ ）A ．a b =25B ．a 5=2b C ．a 2=b 5D ．a 5=b 22．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，AC =6，DE =3，EF =2，则AB 的长为（ ）A ．3B ．125C ．165D ．1853．如图，点P 是线段AB 的黄金分割点，且PA >PB ，若AB =2，则PA 的长度是（ ）A ．5−1B ．3−5C ．25−4D ．14．如图， 在▱ABCD 中， E 是边AB 上一点， 连结AC ，DE 相交于点F ． 若AE EB =23，则 AF CF 等于（ ）A ．13B ．23C ．25D ．355．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C．D．6．△ABC和△DEF是两个等边三角形，AB=2,DE=4，则△ABC与△DEF的面积比是( ) A．1：2B．1：4C．1：8D．1:27．如图，在△ABC中，BC=6,AC=8,∠C=90°，以B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以点A，D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于点E，F，则AE的长度为( )A．52B．103C．3D．228．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段O A1上，若OA:A A1=1:2，则△ABC和△A1B1C1的周长之比为（ ）A．1:2B．2:1C．1:3D．3:19．如图，在△ABC中，D为线段AC上一点，点E在AC的延长线上，过点D作DF∥AB交BC于点F，连结BE,EF，若A C2+D E2=A E2，则△BEF与△DCF的面积比为（ ）A．1:2B．1:3C．2:3D．2:510．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（ ）A ．4B ．154C ．3D ．114二、填空题11．如图，AC 、BD 交于点O ，连接AB 、CD ，若要使△AOB ∽△COD ，可以添加条件 ．(只需写出一个条件即可)12．已知△ABC ∽△DEF ，且AB:DE =1:3，△ABC 与△DEF 的周长比是 ．13．如图，在这架小提琴中，点C 是线段AB 的黄金分割点（BC >AC ）．若AB =60cm ，则BC = cm ．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =4，AC =5，AE 平分∠BAC ，点D 是AC 的中点，AE 与BD交于点O ，则的值AOOE ．15．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3 6 ，BC ＝12，E 为AD 中点，F 为AB 上一点，将△AEF 沿EF 折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是 ．16．如图，正方形ABCD 中，BF =FG =CG ，BE =2AE ，CE 交DF 、DG 于M 、N 两点，有下列结论：①DF ⊥EC ；②S △MFC =59S 四边形MFBE ；③DM ：MF =2：1；④MN NC =913．其中，正确的有 ．三、解答题17．（1）已知线段a =2，b =6，求线段a ，b 的比例中项线段c 的长．（2）已知x ：y =3：2，求2x−yx的值．18．如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，AD BD =32，求DE BC 的值．19．如图，AD 、BC 相交于点P ，连接AC 、BD ，且∠1=∠2，AC =6，CP =4，DP =2，求BD 的长．20． 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边上一点，∠EAB =∠EBC ．（1）求证：△ABE∽△BEC ；（2）若AB=4，DE=3，求BE的长．21．如图，在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AB=BC，AC=12，BD=16．（1）求证：四边形ABCD时菱形；（2）延长BC至点M，连接OM交CD于点N，若∠M=12∠BAC，求MNOM．22．如图，AB∥CD，且AB=2CD，E是AB的中点，F是边BC上的动点（F不与B，C重合），EF与BD相交于点M．（1）求证：△FDM∽△FBM；（2）若F是BC的中点，BD=18，求BM的长；（3）若AD=BC，BD平分∠ABC，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使DP⋅BP=BF⋅CD，若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且OB=OC=4．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点M，使∠ABC=∠BCM，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由；（3）若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A、B、D的圆与DF交于E点，求△ABE的面积．答案解析部分1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】∠A=∠C(答案不唯一)12．【答案】1:313．【答案】(305−30)14．【答案】9415．【答案】21516．【答案】①④17．【答案】（1）解：∵线段a=2，b=6，线段c是线段a、b的比例中项，∴c2=ab=12，∴c=23（负值舍去）；（2）解：∵x：y=3：2，∴可设x=3k，y=2k(k≠0)，∴2x−yx=6k−2k3k=43．18．【答案】3519．【答案】BD=320．【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，∴AB//CD，∴∠EBA=∠BEC，又∵∠EAB=∠EBC，∴△ABE∽△BEC．（2）解：∵四边形ABCD 平行四边形，∴AB =DC =4，∵DE =3，∴CE =1，∵△ABE∽△BEC ，∴AB EB =EBEC，∴AB ⋅CE =B E 2=4×1=4，∴BE =2．21．【答案】（1）证明：∵ 在四边形ABCD 中，OA=OC ，OB=OD∴ 四边形ABCD 是平行四边形 ∵ AB=BC∴ 平行四边形ABCD 是菱形。
浙教版九年级数学上册第四章相似三角形综合训练题B卷附详细解析
第四章 相似三角形单元测试 B一、选择题1﹒若 y ＝ 3 ，则xy的值为（）x4xA.1B.45 77C.D.442﹒已知 a ＝ b ＝ c ＝ k ，则抛物线 y ＝ kx 2 +2kx 的极点坐标为（）bca ca bA.（－1，－ 1）B.（1，－ 1）C.（－ 1， 1）D.（1， 1）22223﹒以下各组图形不必定相似的是（）A. 两个等腰直角三角形B.各有一个角是 100 °的两个等腰三角形C.两个矩形D.各有一个角是 50°的两个直角三角形4﹒如图，每个小正方形的边长均为1，则以下图中的三角形（暗影）与左图中△ABC 相似的是（ ）A. B. C. D.5﹒如图， △ ABC 中， P 为 AB 上一点，在以下四个条件中：①∠ACP ＝∠ B ；②∠ APC ＝∠ ACB ；③ AC 2＝ APAB ；④ AB CP ＝ AP CB ，能满足 △ ACP 与 △ ACB 相似的条件是 （ ）A. ①②③B. ①③④C.②③④D.①②④第5题图 第6题图 第7题图 第 8 题图6﹒如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ A ＝ 36°，BD 均分∠ ABC 交 AC 于点 D ，若 AC ＝ 2，则AD 的长是（）51 51C.51D.5 1A.B.227﹒如图，在△ ABC 中，点D 、E 、F 分别在边 AB 、 AC 、 BC 上，且 DE ∥ BC ，EF ∥ AB.若AD＝ 2BD，则CF的值为（）BF1112A. B. C. D.23438﹒如图，点 F 是平行四边形ABCD 的边 CD 上一点，直线 BF 交 AD 的延长线与点E，则下列结论错误的选项是（）A.ED＝DFB.DE＝EFC.BC＝BFD.BF＝BCEA AB BC FB DEBE BE AE9﹒如图， AB∥ CD∥EF ，AC 与 BD 订交于点 E，若 CE＝ 5，CF ＝ 4， AE＝BC，则CD的值AB是（）2111A. B. C. D.3234第9题图第10题图第11题图第12题图10.如图， D、E 分别是△ ABC的边 AB、BC 上的点， DE ∥ AC，若 S△BDE：S△CDE＝1： 3，则S△DOE： S△AOC的值为（）A. 1B.1C.1D.1 3491611﹒如图， AB 是半圆 O 的直径， D 、E 是半圆上任意两点，连接AD， DE ，AE 与 BD 订交于点 C，要使△ ADC 与△ ABD 相似，可以增添一个条件.以下增添的条件中错误的选项是（）A. ∠ACD ＝∠ DABB.AD ＝ DEC.AD 2＝ BD CDD.CD AB＝ AC BD12.在平行四边形ABCD 中，点 E 为 AD 的中点，连接 BE，交 AC 于点 F，则AF的值为（）CFA. 1B.1C.2D.2 233513.如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 CD 上一点，连接 AE、 BD，且 AE、 BD 交于点 F，S△DEF： S△ABF＝ 4： 25，则 DE ： EC 等于（）A.2： 5B.2：3C.3：5D.3：2第 13题图第14题图第 15题图14.小明在丈量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA 为 15 米，以以下图，而后在 A 处建立一根高 2 米的标杆，测得标杆的影长AC 为 3 米，则楼高为（）A.10 米B.12 米C.15 米D.22.5 米15.如图，以点O为位似中心，将△ABC 放大获得△ DEF .若 AD＝ OA，则△ ABC 与△ DEF的面积之比为（）A.1： 2B.1： 4C.1：5D.1：616.如图，在边长为12 的正方形 ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，此中 E、F、 G 分别在AB、 BC、 FD 上 .若 BF＝3，则 BE 的长为（）A.1第 16题图第 17题图第 18题图第 19题图17.如图，正方形 ABCD 的面积为 1，M 是 AB 的中点，则图中暗影部分的面积是（）3124A. B. C. D.1035918.如图，在四边形ABCD 中， DE ∥ EF∥ AB， EC∥ AF，四个三角形的面积分别为S1， S2，S3， S4，若 S2＝ 1， S4＝ 4，则 S1+S3等于（）A.2 C.319.如图，⊙ O 是△ ABC 的外接圆，已知AD 均分∠ BAC 交⊙ O 于点 D，AD＝ 5，BD＝ 2，则DE 的长为（）342D.4A. B. C.55252520.如图， AB 是⊙ O 的直径， AB＝ 4 3，点 C 是 OA 的中点，过点C作 CD⊥AB交⊙O于D 点，点E 是⊙ O 上一点，连接DE ，AE 交 DC的延长线于点F，则 AF AE 的值为（）A.83B.12C.63D.93二、填空题第 20题图21.比率尺为1： 1000 的图纸上某地域面积为400cm2，则实质面积为 ________.22.若a＝2，则b＝ _________.2a b3a23.如图， AD ∥BE∥ CF ，直线 l 1， l 2与这三条平行线分别交于点A，B，C 和点 D，E， F，若AB＝2， DE ＝6，则 EF ＝ ________.BC 3第 23题图第24题图第25题图第26题图24.如图，已知点O 是△ ABC 中 BC 边上的中点，且AB＝2，则AE＝_________. AD3AC25.如图，已知在Rt△OAC 中， O 为坐标原点，直角极点 C 在 x 轴的正半轴上，反比率函数y＝k（ k≠0）在第象限的图象经过OA 的中点 B ，交AC 于点 D ，连接OD . 若x△OCD ∽△ ACO，则直线 OA 的表达式为 ___________.26.如图，在△ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，点 E 在 AD 上，且 AE＝ 3ED ，连接 BE 并延长交 AC 于 F ，则 CF ：AC＝ ______________.27.如图，△ ABC 与△ DEF 位似，位似中心为点 O，且△ ABC 的面积等于△DEF 的面积的 4 ，9则 AB： DE＝ ___________.第27题图第28题图第29题图第30题图28.如图，⊙ O 的直径AB＝8， AC＝ 3CB，过点 C 作 AB 的垂线交⊙ O 于 M， N 两点，连接MB，则 BM 的长为 ___________.29.如图，梯形ABCD 中， AD ∥ BC，∠ B＝ 90°，AD ＝ 2， BC＝ 3，AB＝ 7，点 P 是 AB 边上一动点，当AP＝ _____________ 时，△ ADP与△PBC 相似 .30.如图，在△ ABC中， AB＝ AC，以AC为直径的⊙O 交AB 于点 D ，交BC于点 E.若BD＝ 2， BE＝ 3，则AC＝ __________.三、解答题（此题共8 小题，第19、 20 每题各8 分；第21、 22 每题各 6 分；第23、24 每题各8 分；第25 题10 分，第26 小题12 分，共66 分）31.如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形构成的网格中，按以下要求画出△ A1B1C1和△ A2B2C2.（ 1）以 O 为位似中心，在点O 的同侧作△ A1B1C1，使得它与原三角形的位似比为1： 2；（ 2）将△ABC 绕点 O 顺时针旋转 90°获得△ A2 B2 C2，并求出点 A 旋转的路径的长 .32.如图，在平行四边形ABCD 中， AE： EB＝ 2： 3， DE 交 AC 于点 F.（1）求证：△ AEF ∽△ CDF ；（2）求△AEF 与△ CDF 周长之比；（3）假如△ CDF 的面积为 20cm2，求△ AEF 的面积 .33.如图，在正方形ABCD 中， E 为边 BC 的中点， GH 均分 AE ，GH 分别交AB、AE 、 CD于点 G、F、H.求GF的值 . FH34.如图，在平行四边形ABCD 中，延长CD 到 E，使 DE ＝CD，连接 BE，交 AD 于点 F，交AC于点G.（1）求证： AF＝ DF ；（2）若 BC＝2AB，且 DE＝ 1，∠ E＝ 30°，求 BE 的长 .35.如图，点P 是菱形 ABCD 的对角线 BD 上一点，连接 CP 并延长交 AD 于 E，交 BA 的延长线于点 F.（1）图中△ APD 与哪个三角形全等？并说明原由；（2）求证：△ APE∽△ FPA；（3）猜想：线段 PC，PE， PF 之间存在什么关系？并说明原由 .36.如图，四边形ABCD 内接于⊙ O， AD ∥ BC， P 为 BD 上一点，∠ APB＝∠ BAD.（1）求证： AB＝ CD ；（2）求证： DP BD ＝AD BC；（3）求证： BD 2＝ AB 2+AD BC.37.如图，△ ABC 中， BC＝ 2AB，点 D、 E 分别是 BC、 AC 的中点，过点 A 作 AF ∥BC 交线段 DE 的延长线于点 F ，取 AF 的中点 G，连接 DG ， GD 与 AE 交于点 H.（1）求证：四边形 ABDF 是菱形；（2）求证： DH 2＝ HE HC.38.如图 1，在四边形ABCD 中，点 E、F 分别是 AB、 CD 的中点，过点 E 作 AB 的垂线，过点 F 作CD 的垂线，两垂线交于点 G，连接 GA、GB、GC、GD 、EF ，若∠ AGD＝∠ BGC.第 23题图 1第23题图2（1）求证： AD ＝ BC；（2）求证：△ AGD∽△ EGF；（ 3）如图 2，若 AD、BC 所在直线相互垂直，求AD的值. EF答案与分析一、选择题1﹒ 【知识点】 比率的性质、【分析】 掌握比率的性质：①a ＝ c ab ＝ cd ；② a ＝ca b ＝ cd 或b db dbda b ＝ cd ；③ a ＝ c ＝ e＝ k a ce＝ a＝ k ，依据比任性质②求解即可；b d b d f b dfb也可用设参数法求解、【解答】 ∵ y ＝3，x4 ∴ x y ＝ 43＝7、 x44应选： D 、2﹒ 【知识点】 比率的性质；抛物线的极点坐标求法.【分析】 依据比率的等比的性质即可得出k ＝ 1，将 k 值代入二次函数的表达式中，然2后将表达式化为极点式（也可直接用求极点公式）即可得出结论 .【解答】 由a ＝b ＝c ＝ k ，得 k ＝ a b c ＝ 1， b ca c a b2a 2b 2c 2 ∴抛物线的表达式为：y ＝1 2 1 2 1，2x +x ＝ (x+1) －22∴此抛物线的极点坐标为（－1，－ 1），2应选： A.3﹒ 【知识点】 相似三角形的判断；相似多边形.【分析】 此题观察的是相似图形。
浙教版九年级数学上第四章 相似三角形单元测试(含解析)
第四章相似三角形单元测试一、单选题（共10题；共30分）1、已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则△ABC与△DEF的周长比等于（）A、1：2B、1：4C、2：1D、4：12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则的值为( )A、B、C、D、3、如图，Rt△ABC∽Rt△DEF，∠A=35°，则∠E的度数为（）.A、35°B、45°C、55°D、65°4、如图，菱形ABCD中，对角线A C、BD相交于点O，M、N分别是边A B、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（）A、△AOM和△AON都是等边三角形B、四边形MBON和四边形MODN都是菱形5、若=，则的值为（）A、1B、C、D、6、如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，满足AD=3，AE=2，EC=1，DE∥BC，则AB=（）A、6B、4.5C、2D、1.57、已知△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′的面积为6，周长为△ABC周长的一半，则△ABC的面积等于（）A、1.5B、3C、12D、248、如图，如果AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A、B、C、D、9、在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，下列结论错误的是（）A、B、C、D、10、两个相似三角形的面积比为1：4，则它们的相似比为（）A、1：4B、1：2C、1：16D、无法确定二、填空题（共8题；共24分）11、若两个三角形的相似比为2：3，则这两个三角形对应角平分线的比为________ 、12、如图，直线AA1∥BB1∥CC1，如果，AA1=2，CC1=6，那么线段BB1的长是________ 、13、已知，则=________14、如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长为________15、已知线段AB的长为10厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长的线段AP的长等于________厘米、16、如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD=________、17、若= ，则=________、18、如图，添加一个条件：________，使△ADE∽△AC B、三、解答题（共5题；共36分）19、如图，△ABC中，AB=AC，F为BC的中点，D为CA延长线上一点，∠DFE=∠B、（1）求证：△CDF∽△BFE；（2）若EF∥CD，求证：2CF2=AC•C D、20、两个相似五边形，一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和是78cm2，则这两个五边形面积各是多少cm2？21、如图，一个矩形广场的长为60m，宽为40m，广场内两条纵向小路的宽均为1.5m，如果设两条横向小路的宽都为x m，那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似？22、在△ABC中，点D是AB边上一点（不与AB重合），AD=kBD，过点D作∠EDF+∠C=180°，与C A、CB分别交于E、F、（1）如图1，当DE=DF时，求的值、（2）如图2，若∠ACB=90°，∠B=30°，DE=m，求DF的长（用含k，m的式子表示）23、如图，四边形中ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF 交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K、求证：K是线段MN的中点、四、综合题（共1题；共10分）24、将一副三角尺如图①摆放（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）、点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C、(1)求∠ADE的度数；(2)如图②，在图①的基础上将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，求证：、答案解析一、单选题1、【答案】A【考点】相似三角形的性质【解析】直接根据相似三角形周长的比等于相似比即可得出结论、【解答】∵△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，∴△ABC与△DEF的周长比为1：2、故选A、本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比、2、【答案】B【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【分析】由在梯形ABCD中，AD∥BC，可得△AOD∽△COB，然后由相似三角形的对应边成比例求得答案、【解答】∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴，∵AD=1，BC=3，∴、故答案为：B3、【答案】C【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】∵Rt△ABC∽Rt△DEF，∠A=35°，∴∠D=∠A=35°、∵∠F=90°，∴∠E=55°、故选C、【分析】由Rt△ABC∽Rt△DEF，∠A=35°，根据相似三角形的对应角相等，即可求得∠D的度数，又由∠F=90°，即可求得∠E的度数、【考点】位似变换【解析】【解答】根据位似图形的定义可知A.O与OM和AM的大小却无法判断，所以无法判断△AMO和△AON是等边三角形，故错误；B.无法判断BM是否等于OB和BM是否等于OC，所以也无法判断平行四边形MBON和MODN是菱形，故错误；C.四边形MBCO和四边形NDCO是位似图形，故此选项正确；D.无法判断四边形MBCO和NDCO是等腰梯形，故此选项错误；故选C.【分析】在Rt△ABO中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，OM=AM=BM，但AO与OM和AM的大小却无法判断，所以无法判断△AMO和△AON是等边三角形.同样，我们也无法判断BM 是否等于OB和BM是否等于OC，所以也无法判断平行四边形MBON和MODN是菱形，也无法判断四边形MBCO和NDCO是等腰梯形.根据位似图形的定义可知四边形MBCO和四边形NDCO是位似图形，故本题选C.5、【答案】D【考点】比例的性质【解析】【解答】解：∵=，∴==、故选D、【分析】根据合分比性质求解、6、【答案】B【考点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵AD=3，AE=2，EC=1，∴，∴DB= =1.5，∴AB=AD+DB=3+1.5=4.5，【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，再把A D、AE、EC代入求出DB，最后根据AB=AD+DB代入计算即可、7、【答案】D【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′的周长比为2：1，△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为4：1，又△A′B′C′的面积为6，∴△ABC的面积=24，故选：D、【分析】根据题意求出两个三角形的周长比，根据相似三角形的性质解答即可、8、【答案】B【考点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：A、∵AB∥CD∥EF，∴，故错误；B、∵AB∥CD∥EF，∴，故正确；C、∵AB∥CD∥EF，∴，故错误；D、∵AB∥CD∥EF，∴，∴AC•DF=BD•CE，故错误、故选B、【分析】由AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理求解即可求得答案、注意排除法在解选择题中的应用、9、【答案】C【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，，∴= ，选项A、B、D正确；选项C错误、【分析】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形对应边对应成比例作答、10、【答案】B【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，∴它们的相似比为1：2，故选：B、【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可、二、填空题11、【答案】2：3【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴这两个三角形对应角平分线的比为2：3、故答案为2：3、【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比的性质解答、12、【答案】3【考点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：如图：过A1作AE∥AC，交BB1于D，交CC1于E，∵直线AA1∥BB1∥CC1，∴四边形ABDA1和四边形BCED是平行四边形，∴AA1=2，CC1=6，∴AA1=BD=CE=2，EC1=6﹣2=4，，∴∵BB1∥CC1，∴，∴，∴DB1=1，∴BB1=2+1=3，故答案为：3、【分析】过A1作AE∥AC，交BB1于D，交CC1于E，得出四边形ABDA1和四边形BCED是平行四边形，求出AA1=BD=CE=2，EC1=6﹣2=4，，根据BB1∥CC1得出，代入求出DB1=1即可、13、【答案】【考点】比例的性质【解析】【解答】解：∵∴设x=2k，y=3k，∴原式=故答案为、【分析】由，则可设x=2k，y=3k，然后把x=2k，y=3k代入原式进行分式的运算即可、14、【答案】6【考点】位似变换【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，∴AB：DE=2：3，∴DE=6、故答案为：6、【分析】位似图形就是特殊的相似图形，位似比等于相似比、利用相似三角形的性质即可求解、15、【答案】5 ﹣5【考点】黄金分割【解析】【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP= AB=（5 ﹣5）厘米，故答案为：5 ﹣5、【分析】根据黄金比值是计算即可、16、【答案】【考点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：∵AC=2，AE=5.5，∴CE=3.5，AB∥CD∥EF，∴，∴BD= ，故答案为：、【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论、17、【答案】【考点】比例的性质【解析】【解答】解：∵= ，∴设a=2k，b=5k，∴= = ，故答案为：、【分析】根据已知设a=2k，b=5k，代入求出即可、18、【答案】∠ADE=∠C（答案不唯一）【考点】相似三角形的判定【解析】【解答】解：添加∠ADE=∠C、理由如下：∵∠ADE=∠C，∠A=∠A，∴△ADE∽△AC B、故答案为：∠ADE=∠C（答案不唯一）、【分析】△ADE和△ACB有一个公共角，再有一组角对应相等，那么这两个三角形就相似、三、解答题19、【答案】（1）证明：∵∠DFB=∠DFE+∠EFB=∠C+∠FDC，∴∠EFB=∠FDC，∵AB=AC，∴∠C=∠B，∴△CDF∽△BFE；（2）解：∵EF∥CD，∴∠EFD=∠FDC，∵∠B=∠C，∠DEG=∠B，∴∠FDC=∠C=∠B，∴△CDF∽△BCA，∴，∵BC=2CF，DF=CF，∴，∴CF2=AC•C D、【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）根据外角的性质得到∠EFB=∠FDC，由等腰三角形的性质得到∠C=∠B，证得△CDF∽△BFE；（2）根据平行线的性质得到∠EFD=∠FDC，∠C=∠EFB，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，等量代换得到∠FDC=∠C，推出△CDF∽△BCA，根据相似三角形的性质得到结论、20、【答案】解：设较小五边形与较大五边形的面积分别是xcm2，ycm2、则=（）2=，因而x=y、根据面积之和是78cm2，得到y+y=78，解得：y=54，则x=×54=24、即较小五边形与较大五边形的面积分别是24cm2，54cm2、【考点】相似多边形的性质【解析】【分析】根据相似多边形相似比即对应边的比，面积的比等于相似比的平方，即可解决、21、【答案】解：∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似，∴解得，x=1m，答：当x为1m时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似、【考点】相似多边形的性质【解析】【分析】根据相似多边形的性质：对应边的比相等列出比例式，解出x的值即可、22、【答案】解：（1）如图1，连接CD，∵∠EDF+∠C=180°，∴D，E，C，F四点共圆，∵DE=DF，∴∠DCE=∠DCF，根据正弦定理得①，，∴，②，∵∠ADC=180°﹣∠BDC，∴sin∠ADC=sin∠BDC，①÷②d得，，∵AD=kBD，∴=k；（2）∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，根据正弦定理得：③，，④，由（1）知D，E，C，F四点共圆，∴∠DEA+∠DFB=180°，∴sin∠DEA=sin∠DFB，④÷③得：，∴DF=，∵AD=kBD，DE=m，∴DF=、【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）连接CD，由∠EDF+∠C=180°，推出D，E，C，F四点共圆，根据正弦定理得①，，②，①÷②得，，根据AD=kBD，根据得到结论；（2）根据三角形的内角和得到∠A=60°，根据正弦定理得：③，，④，④÷③得：，求得DF=，即可得到结论、23、【答案】证明：∵EF截△PMN，则(1)∵BC截△PAE，则(2)，∴即有，所以(3)，∵CD截△PMA，则，即，∴(4)因AP=AC+CP，得2CP+AC=2AP﹣AC，由（3），（4）得，，即，所以由（1）得NK=KM，即K是线段MN的中点、【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【分析】根据题意，EF截△PMN，则(1)；BC截△PAE，则(2)；所以(3)、而CD截△PMA，则，即，∴(4)，因AP=AC+CP，得2CP+AC=2AP﹣AC，由（3），（4）得，，即，所以由（1）得NK=KM，即K是线段AM的中点、四、综合题24、【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD=AD=BD= AB，∴∠ACD=∠A=30°，∴∠ADC=180°﹣30°×2=120°，∴∠ADE=∠ADC﹣∠EDF=120°﹣90°=30°（2）解：∵∠EDF=90°，∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°，∴∠PDM=∠CDN，∵∠B=60°，BD=CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，∴∠CPD=∠BCD，在△DPM和△DCN中，，∴△DPM∽△DCN，∴、【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）首先证明∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根据∠ADE=∠ADC﹣∠EDF计算即可得解；（2）只要证明△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例即可证明、。
初中数学 浙教版九年级上册 相似三角形综合测试题
1相似三角形综合测试题一、选择题（3´×8）1．下列命题中，正确的是（ ）A ．任意两个等腰三角形相似B ．任意两个菱形相似C ．任意两个矩形相似D ．任意两个等边三角形相似2．如图，小正方形的边长均为1，则图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ）3．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ） A ． 11.5米 B ． 11.75米 C ． 11.8米 D ． 12.25米 4．如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ） A ． 2 cm ² B ． 4 cm ² C ． 8 cm ² D ． 16 cm ²5．将三角形高分为四等分，过每个分点作底边的平行线，将三角形分四个部分，则四个部分面积之比是（ ） A ．1∶3∶5∶7 B ．1∶2∶3∶4 C ．1∶2∶4∶5 D ．1∶2∶3∶56．如图D 是锐角ΔABC 边上一点，过D 的直线交于另一边，截得的三角形与原三角形相似，则这样的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条7．如图□ABCD 中,Q 是CD 上的点，AQ 交BD 于点P ，交BC 的延长线于点R ，若DQ:CQ=4:3，则AP:PR=（ ） A ．4:3B ．4:7C ．3:4D ．3:78．如图，梯形ABCD 的对角线相交于点O ，有如下结论：①ΔAOB ∽ΔCOD ，②ΔAOD ∽ΔBOC ，③S ΔAOD =S ΔBOC ，④S ΔCOD :S ΔAOD =DC:AB ；其中一定正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（3´×4）9.a=4，b=9，则a 、b 的比例中项是 .10.如图，将三个全等的正方形拼成一个矩形ADHE ，则：ADE ACE ABE ∠+∠+∠等于 度.11．一张等腰三角形纸片，底边长l5cm ，底边上的高长22．5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第_______张．12．如图ABC ∆中，AB CD ⊥，垂足是D ，下列条件中能证明ABC ∆是直角三角形的有 （只填序号）。
浙教版数学九年级上册第四章相似三角形 单元测试(含答案)
浙教版数学九年级上册第四章相似三角形一、选择题1．已知c 是a 和b 的比例中项，a =2，b =18，则c =（ ）A ．±6B ．6C ．4D ．±32．如图，DE ∥BC ，在下列比例式中，不能成立的是（）A ．AD DB =AEECB ．DE BC =AEEC C ．AB AD =AC AED ．DB EC =ABAC3．如果两个相似三角形的周长之比为5：7，那么这两个三角形的面积之比为（ ）A ．5：7B ．7：5C ．25：49D ．49：254．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AE =9，AC =6，BD =4，则BF 的长是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA 为15米（如图），然后在A 处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC 为3米，则楼高为（ ）A ．10米B ．12米C ．15米D ．22.5米6．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C．D．7．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD=1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）．A．1：2B．1：3C．1：4D．1：58．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为5，则下列结论中正确的是（ ）A．m=5B．m=45C．m=35D．m=109．如图，已知AB=AC，∠B＜30°，BC上一点D满足∠BAD=120°，BDCD =73，则ADAC的值为（ ）A．12B．33C．13D．3210．如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P是BD上的一个动点，过点P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F，连接OE，OF，设BP=x，△OEF的面积为y，则能大致反映y与x之间的函数关系的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．如图，线段AC 、BD 交于点O ，请你添加一个条件： ，使△AOB ∽△COD ．12．如图，点G 为△ABC 的重心，GE ∥AC ，若DE ＝2，则DC ＝ ．13．在某市建设规划图上，城区南北长为120cm ，该市城区南北实际长为36km ，则该规划图的比例尺是 ．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =4，AC =5，AE 平分∠BAC ，点D 是AC 的中点，AE 与BD交于点O ，则的值AOOE ．15．如图， EB 为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点 P 处与地面 BE 的距离为1.6米，车头 FACD 近似看成一个矩形，且满足 3FD =2FA ，若盲区 EB 的长度是6米，则车宽 FA 的长度为 米．16．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD，BE与AC交于点F，设AF=x，EF=y．（1）当BE⊥AC，x=9，y=3时，AD的长是 ；（2）当BD=BF，2x=7y时，△DEF与△ABD的面积之比是 ．三、解答题17．如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，ADBD =32，求DEBC的值．18．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C.（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．19．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部设计为多高？（结果保留小数点后两位）参考数据：2=1.414，3=1.732，5=2.23620．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E是边BC上的一点（不与B、C重合），DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DFA；S△ABE，求BE的长．（2）若S△DFA=1321．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，且BC=3，AD=2，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB、AC上．（1）设EF=x(0<x<2)，矩形EFGH的周长为y，求y关于x的函数解析式；（2）当EFGH为正方形时，求正方形EFGH的面积．22．如图，矩形ABCD中，点M在对角线BD上，过点A、B、M的圆与BC交于点E．（1）若AM=4，EB=EM=3，求BM．（2）若AB=6，BC=8，①求AM:ME．②若BM=7，求BE．23．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O.点P从点A出发，沿AD方向匀速运动速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.连接PO并延长交BC于点E，过点Q作QF//AC，交BD于点F，设运动时间为t(s)(0<t<6)，解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形；（2）设五边形OECQF的面积为S(c m2)，试确定S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，当S五边形OECQF：S△ACD=9：16时.直接写出t的值．答案解析部分1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】A7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】AB∥CD（答案不唯一）12．【答案】6．13．【答案】1:3000014．【答案】9415．【答案】12716．【答案】5；1417．【答案】3518．【答案】（1）证明：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA（2）解：设DC＝x，∵△ABD∽△CBA，∴ABBD=BCAB，∴63=2+x6，解得，x＝9；即CD＝719．【答案】1.24米．20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=4，∴∠B=90°，AD∥BC，AD=BC=4，∴∠AEB=∠DAF，∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∴∠B=∠DFA，∴△ABE∽△DFA；（2）解：∵△ABE∽△DFA，S△DFA=13S△ABE，∴(AEAD )2=S△ABES△DFA=3，∴AEAD=3或AEAD=−3（负数不符合题意，舍去），∴AE=3AD=43，∴BE=AE2−AB2=(43)2−62=12=23，∴BE的长为23．21．【答案】（1）解：设AD，EH交于点M，∵矩形EFGH，∴EH∥BC，AM⊥EH，∴△ABC∼△AEH，∴EHBC=AMAD∵EF=DM=x，AD=2∴AM=2−x∴EH3=2−x2∴EH=32(2−x)∴y=2(EH+EF)=2(3−32x+x)=−x+6(0<x<2)∴y关于x的函数解析式为∴y=−x+6(0<x<2)（2）解：当EFGH为正方形时，∴EF=EH，由（1）得：EF =x ，EH =32(2−x)，∵EF =EH ，∴x =3(2−x)2，∴x =65，即EF =65．正方形EFGH 的面积=65×65=3625.22．【答案】（1）245（2）①43，②17423．【答案】（1）解：在矩形ABCD 中，AB =6cm ，BC =8cm ，∴AC =10，①当AP =PO =t ，如图1，过P 作PM ⊥AO 于点M ，∴AM =12AO =52，∵∠PMA =∠ADC =90°，∠PAM =∠CAD ，∴△APM∽△ACD ，∴AP AC =AM AD，∴AP =t =258，②当AP =AO =t =5，∴当t 为258或5时，△AOP 是等腰三角形；（2）解：如图2，过点O 作OH ⊥BC 交BC 于点H ，则OH =12CD =12AB =3cm ，由矩形的性质可知∠PDO =∠EBO ，DO =BO ，又得∠DOP =∠BOE ，∴△DOP≌BOE(ASA)，∴BE =PD =8−t ，则S △BOE =12BE ⋅OH =12×3(8−t)=12−32t.∵FQ//AC ，∴△DFQ∽△DOC ，相似比为DQ DC =t6，∴S △DFQ S △DOC =t 236，∵S △DOC =14S 矩形ABCD =14×6×8=12c m 2，∴S △DFQ =12×t 236=t 23，∴S 五边形OECQF =S △DBC −S △BOE −S △DFQ =12×6×8−(12−32t)−t 23=−13t 2+32t +12；∴S 与t 的函数关系式为S =−13t 2+32t +12；（3）t =3或32。
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相似三角形综合测试题
一、选择题（3´×8）
1．下列命题中，正确的是（ ）
A ．任意两个等腰三角形相似
B ．任意两个菱形相似
C ．任意两个矩形相似
D ．任意两个等边三角形相似
2．如图，小正方形的边长均为1，则图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ）
3．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同
学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ） A ． 11.5米 B ． 11.75米 C ． 11.8米 D ． 12.25米 4．如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ） A ． 2 cm ² B ． 4 cm ² C ． 8 cm ² D ． 16 cm ²
5．将三角形高分为四等分，过每个分点作底边的平行线，将三角形分四个部分，则四个部分面积之比是（ ） A ．1∶3∶5∶7 B ．1∶2∶3∶4 C ．1∶2∶4∶5 D ．1∶2∶3∶5
6．如图D 是锐角ΔABC 边上一点，过D 的直线交于另一边，截得的三角形与原三角形相似，则这样的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条
D ．4条
7．如图□ABCD 中,Q 是CD 上的点，AQ 交BD 于点P ，交BC 的延长线于点R ，若DQ:CQ=4:3，则AP:PR=（ ） A ．4:3
B ．4:7
C ．3:4
D ．3:7
8．如图，梯形ABCD 的对角线相交于点O ，有如下结论：①ΔAOB ∽ΔCOD ，②ΔAOD ∽ΔBOC ，③S ΔAOD =S ΔBOC ，④S ΔCOD :S ΔAOD =DC:AB ；其中一定正确的有
（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题（3´×4）
9.a=4，b=9，则a 、b 的比例中项是 .
10.如图，将三个全等的正方形拼成一个矩形ADHE ，则：
ADE ACE ABE ∠+∠+∠等于 度.
11．一张等腰三角形纸片，底边长l5cm ，底边上的高长22．5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第_______张．
12．如图ABC ∆中，AB CD ⊥，垂足是D ，下列条件中能证明ABC ∆是直角三角形的有 （只填序号）。
①
90=∠+∠B A ②2
2
2
BC AC AB += ③
BD
CD AB AC =
④BD AD CD ⋅=2
三、解答题（64´）
13．（6´）已知：15
1110a
c c b b a +=
+=+，求 c b a ::的值
14．（6´）如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，试说明△ADE ∽△EFC.
15.（6´）直角梯形ABCD 中，
90=∠=∠B A ，7=AB ，2=AD ，3=BC ，在AB
上取一点P ，使APD ∆与BPC ∆相似，求AP 的长。
R
Q
P
D
C
B
A
O
C
D H
G
F
E D
C
B
A
D C
B
A P
D
A
16．（8´）已知ABC △，延长BC 到D ，使CD BC =．取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ． （1
）求
AE
AC
的值； （2）若AB a FB EC ==，，求AC 的长．
17.（8´）如图，已知：DE
BC
AE AC AD AB =
=，求证：BD AC CE AB ⋅=⋅
18．（10´）如图ABC ∆中，边BC=60，高AD=40，EFGH 是内接矩形，HG 交AD 于P ，设HE=x, （1）求矩形EFGH 的周长y 与x 的函数关系式；
（2）求矩形EFGH 的面积S 与x 的函数关系式。
19．（10´）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，
（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；
（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；
（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求此时x 的值．
20．（10´）如图，二次函数()()1
248
y x ax b =
++的图像经过点A （-4，3）
、B （4，4）． （1）求二次函数的解析式； （2）求证：△ACB 是直角三角形；
（3）若点P 在第二象限，且是抛物线上的一动点，过P 作PH ⊥x 轴于点H ，是否存在以P 、H 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点P 坐标，若不存在，说明理由．
P H
G
A
E
D
C
A
参考答案
一、选择题（本题共8 小题，每小题3 分，满分24分）
二、填空题（本题共 4 小题，每小题3 分，满分 12 分）
9.±6； 10.90； 11. 6； 12. ①、②、④；。