2019年-1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)-PPT精选文档
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1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)
Байду номын сангаас3.结论：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k
(k Z且k 0) 都是它们的周期，最小正周期是 2
注：不加特别说明，本书所涉及到的周期都指 最小正周期。
例3 求下列函数的周期 (1)y=3cosx, x R;
巩固练习
(2) y sin 2x, x R;
教材Ｐ40 1,2
(3) y 2sin(1 x ), x R.
1
-2
-
o
x
2
3
4
-1
4. 余弦曲线 y cyosx,x R
1
-2
-
o
-1
x
2
3
4
5.正弦函数与余弦函数图象的关系:
y y = sin x, x∈R 1
5-2 3 -
2
2
o
2
-1
2
3 2
2
5 3
2
x
7 4
2
y = cos x, x∈R
巩固练习
1：画出y=2sinx , x∈[0，2π]的简图 2：画出y=cosx , x∈ [ , 3 ] 的简图
小结
1.周期函数的概念;
2.最小正周期的概念;
3.正弦函数,余弦函数的周期;
4.函数y Asin(x ) 及函数 y Acos(x )
的周期. 5.推广:若函数y=f(x)的周期为T,则函数y=f(ωx) 的周期为 T
22
3.求 x2 sin x方程解的个数.
y x2 y y sinx , xR
1
x
-2
-
o
2 3
4
-1
新课
1.定义：对于函数f（x），如果存在一个非零常数 T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f （x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫周期函数， 非零常数T叫做这个函数的周期。
(k Z且k 0) 都是它们的周期，最小正周期是 2
注：不加特别说明，本书所涉及到的周期都指 最小正周期。
例3 求下列函数的周期 (1)y=3cosx, x R;
巩固练习
(2) y sin 2x, x R;
教材Ｐ40 1,2
(3) y 2sin(1 x ), x R.
1
-2
-
o
x
2
3
4
-1
4. 余弦曲线 y cyosx,x R
1
-2
-
o
-1
x
2
3
4
5.正弦函数与余弦函数图象的关系:
y y = sin x, x∈R 1
5-2 3 -
2
2
o
2
-1
2
3 2
2
5 3
2
x
7 4
2
y = cos x, x∈R
巩固练习
1：画出y=2sinx , x∈[0，2π]的简图 2：画出y=cosx , x∈ [ , 3 ] 的简图
小结
1.周期函数的概念;
2.最小正周期的概念;
3.正弦函数,余弦函数的周期;
4.函数y Asin(x ) 及函数 y Acos(x )
的周期. 5.推广:若函数y=f(x)的周期为T,则函数y=f(ωx) 的周期为 T
22
3.求 x2 sin x方程解的个数.
y x2 y y sinx , xR
1
x
-2
-
o
2 3
4
-1
新课
1.定义：对于函数f（x），如果存在一个非零常数 T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f （x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫周期函数， 非零常数T叫做这个函数的周期。
1.4正弦函数_余弦函数的性质(1--4)ppt.ppt
归纳：余弦函数的单调性y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
由余弦函数的周期性知：
在每个闭区间[ k 2 , 2k ](k Z)都是增函数，
其值从－1增大到1 ；
在每个闭区间 [2k , 2k ](k Z) 上都是减函数，
其值从1减小到－1。
探究：正弦函数的最大值和最小值 y
2
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
当x在区间L [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 ,4 ]L上时，
曲线逐渐上升，cosα的值由 增1 大到 。1
当x在区间 L [2 , ]、[0， ]、[2，3 ]L 上时，
曲线逐渐下降， sinα的值由 1减小到 。1
P36 练习1
练习2：求下列函数的周期
(1)y sin 3 x, x R 4
T
2
3
2
4 3
8
3
4
(2)y cos4x, x R
(3)y 1 cosx, x R 2
(4)y sin(1 x ), x R
34
T 2
42
T 2 2
1
T
2
1
2
3
6
3
当堂检测
（1）下列函数中，最小正周期是 的函数是（ D ）
思考：
1。今天是2013年11月25日，星期一，那么7 天后是星期几？30天后呢？为什么？这是 周期现象吗？
正弦函数、余弦函数的性质课件1
2
2
上都是减函数,其值从1减少到-1.
探究:类似地,你能写出余弦函数的单调区间吗
例2.求下列函数的周期:
(1) y 3cosx, x R (2) y sin 2x, x R
(3) y 2sin(1 x ), x R
26
思Байду номын сангаас:你能从例2的解答过程中归纳一下函数 的周期与解析式中哪些量有关?
1．4．2 正弦函数、余弦函数的性质 画出正弦函数和余弦函数的图象
Y=sinX
Y
O
X
Y=cosX
Y
O
X
正弦函数、余弦函数的性质 1.定义域
函数 y sin x 及y cosx定义域都是实数集 R [或 (,)]
分别记作: y sin x, x R. y cos x, x R.
2.值域
sin x 1, cosx 1, 即 1 sin x 1,1 cosx 1.
(2) cos( 23 )与cos( 17 )
5
4
例5.求函数 y 调递增区间.
s in( 1 2
x
3
),
x
[2
,2
]
的单
y取得最小值-1.
4.周期性
周期函数定义:
对于函数 y f (x),如果存在一个非零常数T
x ,使得当 取定义域 内的每一个值时,都有
f (x T ) f (x)， 那么函数 f (x)
就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
最小正周期定义:
如果在周期函数y f (x)的所有周期中
存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f (x) 的最小正周期.
5.奇偶性:
正弦曲线关于原点0对称,余弦曲线关于y
正弦函数、余弦函数的性质-PPT课件
最小值：当 x 2 k 时，有最小值y 1
例2.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最
小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2x, x R.
解： 这两个函数都有最大值、最小值.
（1）使函数 y cos x 1, x R取得最大值的x的集合，就是 使函数y cos x, x R 取得最大值的x的集合：
k
8 ，0)，k Z
4
.
28
(2)求
y
cos(
1 2
x
4
)
函数的对称轴和对称中心:
函数 图形 定义域 值域 最值
单调性 奇偶性
周期 对称性
y=sinx
y
1
2
0
2
-1
3 2 5 x
2
2
xR
y [1,1]
xx2222kk时时，，yymmaxin
1 1
x[-
2
2k
,
2
2k
]
x[2
2k ,
3
2
2k
∴函数 y＝－2sinx－4π的单调增、单调减区间分别由下 面的不等式确定
2kπ＋π2≤x－π4≤2kπ＋32π(k∈Z)① 2kπ－π2≤x－π4≤2kπ＋2π(k∈Z)② 解①得，2kπ＋34π≤x≤2kπ＋74π(k∈Z)， 解②得，2kπ－π4≤x≤2kπ＋34π(k∈Z)．
故函数 y＝2sin4π－x的单调增区间、单调减区间分别为 2kπ＋34π，2kπ＋74π(k∈Z)、2kπ－π4，2kπ＋34π(k∈Z)．
(1)y cos x 1, x R;
(2)y 3sin 2x, x R.
1.4.2正弦、余弦函数的性质1
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
2
…
0
…
2
sinx -1
0
1
… 0
…
3 2
-1
y=sinx (xR)
增区间为
[[
2+22k，,
22
+2]k],kZ
其值从-1增至1
减区间为
[[
2
+22k，, 332
+2]k],kZ
其值从 1减至-1
正弦、余弦函数的性质
五、余弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2、余弦函数图像特征：
y
y cos x
1-
x [0, 2 ]
-
-1
o
6
2
3
2 3
5
7
6
6
4 3
3 5
2
3
11 6
2
x
注意：函数图
-1 -
像的五点！
在函数 y cos x, x [0, 2 ] 的图象上，起关键作用的点有：
最高点： (0,1) (2 ,1)
最低点： ( , 1)
与x轴的交点： ( , 0) (3 , 0)
2
-
o 2
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
-
…
2
…
0… 2
…
cosx -1
0
1
0
-1
y=cosx (xR)
增区间为 [ +2k, 2k],kZ 其值从-1增至1 减区间为 [2k, 2k， + ], kZ 其值从 1减至-1
《正弦余弦函数》PPT课件全文
2.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函 数.一般地，y=Asinωx是奇函数， y=Acosωx（Aω≠0）是偶函数.
3.正、余弦函数有无数个单调区间和无 数个最值点，简单复合函数的性质应转 化为基本函数处理.
作业：P40-41练习：1，2，3，5，6.
1.4.3 正切函数的图象与性质
问题提出
1.正、余弦函数的图象是通过什么方法 作出的？
思切2 值考时如8,：何正当变切x化大值？于又当如2x且何小无变于限化2接？且近由无此限2 接分时近析，正 ， 正切函数的值域是什么?
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
思考7：函数y=sinx，x∈R的图象叫做正 弦曲线，正弦曲线的分布有什么特点？
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
知识探究（二）：余弦函数的图象
思考1：观察函数y=x2与y=(x＋1)2 的图 象，你能发现这两个函数的图象有什么 内在联系吗？
2.正、余弦函数的最小正周期是多少？
函数
y Asin( x和 ) y Acos( x )
(A 0, 0) 的最小正周期是多少？
3.周期性是正、余弦函数所具有的一个 基本性质，此外，正、余弦函数还具有 哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.
探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性
思考1：观察下列正弦曲线和余弦曲线的
2
数，能否认为正弦函数在第一象限是增 函数？
探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性
思考1：观察正弦曲线和余弦曲线，正、 余弦函数是否存在最大值和最小值？若 存在，其最大值和最小值分别为多少？
3.正、余弦函数有无数个单调区间和无 数个最值点，简单复合函数的性质应转 化为基本函数处理.
作业：P40-41练习：1，2，3，5，6.
1.4.3 正切函数的图象与性质
问题提出
1.正、余弦函数的图象是通过什么方法 作出的？
思切2 值考时如8,：何正当变切x化大值？于又当如2x且何小无变于限化2接？且近由无此限2 接分时近析，正 ， 正切函数的值域是什么?
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
思考7：函数y=sinx，x∈R的图象叫做正 弦曲线，正弦曲线的分布有什么特点？
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
知识探究（二）：余弦函数的图象
思考1：观察函数y=x2与y=(x＋1)2 的图 象，你能发现这两个函数的图象有什么 内在联系吗？
2.正、余弦函数的最小正周期是多少？
函数
y Asin( x和 ) y Acos( x )
(A 0, 0) 的最小正周期是多少？
3.周期性是正、余弦函数所具有的一个 基本性质，此外，正、余弦函数还具有 哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.
探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性
思考1：观察下列正弦曲线和余弦曲线的
2
数，能否认为正弦函数在第一象限是增 函数？
探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性
思考1：观察正弦曲线和余弦曲线，正、 余弦函数是否存在最大值和最小值？若 存在，其最大值和最小值分别为多少？
正弦函数、余弦函数的性质 课件
正弦函数、余弦函数的性质
1．周期函数 (1)周期函数
①对于函数f(x)，存在一个___非__零___常数T 条件
②当x取定义域内的每一个值时，都有____f_(_x_＋__T_)＝__f_(_x)________ 结论 函数f(x)叫做__周__期__函__数____，__非__零__常__数__T____叫做这个函数的___周__期___
[解析] (1)函数的定义域为 R． ∵f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)， ∴函数 f(x)是偶函数． (2)f(x)＝sin(34x＋32π)＝－cos34x，x∈R． ∵f(－x)＝－cos(－34x)＝－cos34x＝f(x)， ∴函数 f(x)＝sin(34x＋32π)是偶函数．
[思路分析ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 利用周期性与奇偶性将53π化到[0，π2]内再求值． [解析] ∵f(x)的最小正周期为 π，∴f(53π)＝f(23π＋π)＝f(23π)＝f(π－π3)＝f(－π3)． 又 f(x)是偶函数． ∴f(－π3)＝f(π3)＝sinπ3＝ 23．
不清楚f(x＋T)表达的意义
典例 5 利用定义求 f(x)＝sin(2x－π6)的最小正周期． [错解] ∵f(x＋2π)＝sin2x＋2π－π6 ＝sin2x－π6＋4π＝sin2x－π6＝f(x)， ∴T＝2π 是 f(x)的最小正周期．
(2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x)＝c，任意一个正实数都是它的周 期，因而不存在最小正周期．
3．正弦函数、余弦函数的奇偶性
(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线 关于y轴对称．
(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
1．周期函数 (1)周期函数
①对于函数f(x)，存在一个___非__零___常数T 条件
②当x取定义域内的每一个值时，都有____f_(_x_＋__T_)＝__f_(_x)________ 结论 函数f(x)叫做__周__期__函__数____，__非__零__常__数__T____叫做这个函数的___周__期___
[解析] (1)函数的定义域为 R． ∵f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)， ∴函数 f(x)是偶函数． (2)f(x)＝sin(34x＋32π)＝－cos34x，x∈R． ∵f(－x)＝－cos(－34x)＝－cos34x＝f(x)， ∴函数 f(x)＝sin(34x＋32π)是偶函数．
[思路分析ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 利用周期性与奇偶性将53π化到[0，π2]内再求值． [解析] ∵f(x)的最小正周期为 π，∴f(53π)＝f(23π＋π)＝f(23π)＝f(π－π3)＝f(－π3)． 又 f(x)是偶函数． ∴f(－π3)＝f(π3)＝sinπ3＝ 23．
不清楚f(x＋T)表达的意义
典例 5 利用定义求 f(x)＝sin(2x－π6)的最小正周期． [错解] ∵f(x＋2π)＝sin2x＋2π－π6 ＝sin2x－π6＋4π＝sin2x－π6＝f(x)， ∴T＝2π 是 f(x)的最小正周期．
(2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x)＝c，任意一个正实数都是它的周 期，因而不存在最小正周期．
3．正弦函数、余弦函数的奇偶性
(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线 关于y轴对称．
(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
三角函数图像ppt
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思考4：周期函数的周期是否惟一？正弦 函数的周期有哪些？
思考5：如果在周期函数f(x)的所有周期 中存在一个最小的正数, 则这个最小正 数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函 数的最小正周期是多少？为什么？
思考6：就周期性而言，对正弦函数有 什么结论？对余弦函数呢？
正、余弦函数是周期函数，2kπ （k∈Z, k≠0）都是它的周期，最小 正周期是2π．
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例1 用“五点法”画出下列函数的 简图：
(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]； (2)y=-cosx，x∈[0，2π] .
x0 sinx 0 1+sinx 1
p
3p
2 p 2 2p
1 0 -1 0
21 0 1
y
2
y=1+sinx
1
3p
π
2
2π
O
p
x
-1
2
x0 cosx 1
p 2
3p
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正弦函数是奇函 余数 弦,函数是偶函数
三、最大值与最小值
y
o
x
正弦函数当 x2且 k仅 ,k 当 Z时取得1最 ,当大值
2
且仅x当 2k,kZ时取得最 1; 小值
2
余弦函数 x2k当 ,k 且 Z时仅 取当 得 1,当 最 且 大 仅 当 x2k,kZ时取得 1.最小值
例2 、求下列值 函及 ,数取 的得 最最值时 变量 x的集:合
( 2 )s i n ( 2 x 2 ) s i n 2 ( x ) s i n 2 x
∴自变量x只要并且至少要增加到x+π ，函数 ysin2x,xR的值才能重复出现.
所以，函数 ysin2x,xR的周期是
( 3 )2 s i n ( 1 x 2 ) 2 s i n [ 1 ( x ) ] 2 s i n ( 1 x )
一、周期性 正弦函数是,2周 k(k期 Z函 ,k数 0)都 是它的,最 周小 期正周 2;期是 余弦函数是,2周 k(k期 Z函 ,k数 0)都 是它的,最 周小 期正周 2.期是
举例
例1、求下列函数的周 期:
(1 )y3co x,xs R ; 若不加特别说明, (2)ysi2n x,x R ; 都指最小正周期.
(1 )yco x 1 s,x R ; (2 )y 3 si2 x n ,x R ;
小结
1. 周期函数的定义，周期，最小正周期 2. 三角函数的奇、偶性 3. 三角函数的单调性；
作业
(3)y2sin 1x()x ,R;
2 6
( 4 ) y A sx i n ) x , R ( .A ( 0 , 0 )
解：（1）∵ 3 c o s(x 2 ) 3 c o sx
∴自变量x只要并且至少要增加到x+2π ，函数
y3cosx,xR的值才能重复出现.
所以，函数 y3cosx,xR的周期是 2
26
2 ，函数
y
2sin(1
x
)
的值才能重复出现.
26
所以,函数 y2sin(1x),xR的周期是π
26
思考(4)
yA si n x ( )x , R .A (0, 0) yA co x s( )x , R .A (0, 0)
T 2
二、奇偶性
y
o
x
§ 1.4.2 正弦函数、 余弦函数的性质 (一)
引入
y
o
x
周期函数 :
对于函f数 (x,)若存在一个非零 T,使 常数 得当x取定义域内的每时 一都 ,个有 值
f(xT)f(x) 称之非 , 零常T数叫做这个函数的周期.
新课
若在周期函f(数 x的 ) 所有周期中存 在一个最小的正则数这,个最小正数就 叫做f(x的 ) 最小正周期.