三角函数的图像与性质ppt

y
1
y sin x, x[0, 2
3
π
2
2π
O
x
2
-1
思考4：观察函数y=sinx在[0，2π]内的 图象，其形状、位置、凸向等有何变化 规律？
思考5：在函数y=sinx，x∈[0，2π]的 图象上，起关键作用的点有哪几个？
y 1
O
-1
2
3
π
2
2π x
思 考 6 ： 当 x∈[2π ， 4π], [-2π ， 0],…时，y=sinx的图象如何？
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
思考7：函数y=sinx，x∈R的图象叫做正 弦曲线，正弦曲线的分布有什么特点？
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
思考8：你能画出函数y=|sinx|， x∈[0，2π]的图象吗？
3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研 究函数性质的基础，也是解决有关三角 函数问题的工具，这是一种数形结合的 数学思想.
作业：P34练习：2 P46习题1.4 A组: 1
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第一课时
问题提出
t
p
1 2
5730
1.正弦函数和余弦函数的图象分别是什
么？二者有何相互联系？
思考3：设想由正弦函数的图象作出余弦 函数的图象，那么先要将余弦函数 y=cosx转化为正弦函数，你可以根据哪 个公式完成这个转化？
思考4：由诱导公式可知，y=cosx与
y
sin( 2
x) 是同一个函数，如何作函
数 y sin( 2 x)在[0，2π]内的图象？
y
1
y=sinx
2
O -1
2
π
2π x
2.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函 数 . 一 般 地 ， y=Asinωx 是 奇 函 数 ， y=Acosωx（Aω≠0）是偶函数.
3.正、余弦函数有无数个单调区间和无 数个最值点，简单复合函数的性质应转 化为基本函数处理.
作业：P40-41练习：1，2，3，5，6.
1.4.3 正切函数的图象与性质
作业：P36练习：1，2，3.
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第二课时
问题提出
1.周期函数是怎样定义的？
对 于 函 数 f(x) ， 如 果 存 在 一 个 非 零常数T，使得当x取定义域内的每一 个值时，都有f(x +T)=f(x), 那么函 数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就 叫做这个函数的周期.
思考4：类似地，余弦函数在哪些区间上
是增函数？在哪些区间上是减函数？
y y=cosx
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2-1
2
2
2
余弦函数在每一个闭区间 [ 2k2k
上都是增函数；在每一个闭区间
[2k 2k 上都是减函数.
思考5：正弦函数在每一个开区间 （2kπ，＋2kπ） (k∈Z)上都是增函
思考5：函数y=cosx，x∈[0，2π]的图 象如何？其中起关键作用的点有哪几个？
y 1
O
π
2π x
-1
2
2
思考6：函数y=cosx，x∈R的图象叫做余 弦曲线，怎样画出余弦曲线，余弦曲线 的分布有什么特点？
y
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2-1
2
2
2
理论迁移
例1 用“五点法”画出下列函数的 简图：
3
2 2π
O
π
x
-1
2
例2 当x∈[0，2π]时，求不等式 cos x 1 的解集.
2y
1
y
1 2
O
π
2π x
-1
2
2
[0, ] [ 5 , 2 ]
3
3
小结作业
1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位 重复出现，因此，只要记住它们在[0， 2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲 线和余弦曲线.
2.作与正、余弦函数有关的函数图象， 是解题的基本要求，用“五点法”作图 是常用的方法.
2.正、余弦函数的最小正周期是多少？
函数
y Asin( x和 ) y Acos( x )
(A 0, 0) 的最小正周期是多少？
3.周期性是正、余弦函数所具有的一个 基本性质，此外，正、余弦函数还具有 哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.
探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性
思考1：观察下列正弦曲线和余弦曲线的
思考4：周期函数的周期是否惟一？正弦 函数的周期有哪些？
思考5：如果在周期函数f(x)的所有周期 中存在一个最小的正数, 则这个最小正 数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函 数的最小正周期是多少？为什么？
思考6：就周期性而言，对正弦函数有 什么结论？对余弦函数呢？
正、余弦函数是周期函数，2kπ （k∈Z, k≠0）都是它的周期，最小 正周期是2π．
思考3：观察正弦曲线，正弦函数在哪些
区间上是增函数？在哪些区间上是减函
数？如何将这些单调区间进行整合？
y 1
y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π
O
π
3π 5π x
2π 4π 6π
-1
正弦函数在每一个闭区间 [ 2k 2k
2
上都是增函数；在每一个闭区间
[ 2k 2k 上都是减函数.
在函数领域里，周期性是函数的一个重
要性质.
知识探究（一）：周期函数的概念 思考1：由正弦函数的图象可知, 正弦曲 线每相隔2π个单位重复出现， 这一规 律的理论依据是什么？
. sin(x 2k ) sin x (k Z )
思考2：设f(x)=sinx，则sin(x 2k ) sin x 可以怎样表示？其数学意义如何？
例2 已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周 期函数？
例3 已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x＋1)=f(x－1)，且当x∈[0，2]时， f(x)=x－4，求f(10)的值.
小结作业
1.函数的周期性是函数的一个基本性质， 判断一个函数是否为周期函数，一般以 定义为依据，即存在非零常数T，使f(x ＋T)=f(x)恒成立.
知识探究（二）：周期概念的拓展
思考1：函数f(x)=sinx（x≥0）是否为 周 期 函 数 ？ 函 数 f(x)=sinx （ x≤0 ） 是 否为周期函数？
思考2：函数f(x)=sinx（x>0）是否为 周期函数？函数f(x)=sinx（x≠3kπ） 是否为周期函数？
思考3：函数f(x)=sinx，x∈[0，10π] 是否为周期函数？周期函数的定义域有 什么特点？
4.一个函数总具有许多基本性质，要直 观、全面了解正、余弦函数的基本特性， 我们应从哪个方面人手？
知识探究（一）：正弦函数的图象 思考1：作函数图象最原始的方法是什么？
思考2：用描点法作正弦函数y=sinx在[0， 2π]内的图象，可取哪些点？
思考3：如何在直角坐标系中比较精确地 描出这些点，并画出y=sinx在[0，2π] 内的图象？
(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]； (2)y=-cosx，x∈[0，2π] .
x0 sinx 0 1+sinx 1
3
2
22
1 0 -1 0
21 0 1
y
2
y=1+sinx
1
3
π
2
2π
O
x
-1
2
x
02
3 22
cosx 1 0 -1 0 1
-cosx -1 0 1 0 -1
y
y=-cosx
1
( k k
2
思考2：根据相关诱导公式，你能判断正 切函数是周期函数吗？其最小正周期为 多少？
正切函数是周期函数，周期是π.
思考3：函数 y tan(2x 的)周期为多少？
思考4：函数y=3sin(2x＋4)的最小正 周期是多少？
思考5：一般地，函数y A sin( x )
(A 0, 0) 的最小正周期是多少?
思考6：如果函数y=f(x)的周期是T，那 么函数y=f(ωx＋φ)的周期是多少？
理论迁移
例1 求下列函数的周期： （1）y=3cosx; x∈R （2）y=sin2x，x∈R； （ （34） ）yy=|s2isninx(|x2 x∈6)R.， x∈R ；
1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1正弦函数、余弦函数的图象
问题提出
t
p
1 2
5730
1.在单位圆中，角α的正弦线、余弦线
分别是什么？
y
sinα=MP
P（x，y）
cosα=OM
OM x
2.任意给定一个实数x，对应的正弦值 （sinx）、余弦值(cosx)是否存在？惟一？
3.设实数x对应的角的正弦值为y，则对 应关系y=sinx就是一个函数，称为正弦 函数；同样y= cosx也是一个函数，称为 余弦函数，这两个函数的定义域是什么？
对称性，你有什么发现？
y 1
y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π
O
π
3π 5π x
2π
4π
6π
-1
y y=cosx
2
2
1 22