2022届高三数学第八章 高考专题突破五 第3课时 证明与探索性问题

第3课时 证明与探索性问题题型一证明问题例1(八省联考)双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上，当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|. (1)求C 的离心率；(2)若B 在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF. (1)解 设双曲线的离心率为e ，焦距为2c ， 在x 2a 2－y 2b 2＝1中，令x ＝c ，则c 2a 2－y2b 2＝1， 则y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2a 2，故y ＝±b 2a ， 若|AF|＝|BF|，则a ＋c ＝b 2a ，所以a 2＋ac ＝b 2＝c 2－a 2， 所以e 2－e －2＝0，所以e ＝2.(2)证明 由(1)知双曲线方程为x 2a 2－y23a 2＝1，设B(x ，y)(x>0，y>0)，当x≠c 时，k AB ＝y x ＋a ，k BF ＝y x －c， 设∠BAF＝θ，则tanθ＝y x ＋a ，tan2θ＝2tanθ1－tan 2θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋a 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋a 2＝2x ＋a y x ＋a 2－y 2＝2x ＋ayx ＋a2－3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x2a 2－1＝2x ＋a y －2x 2＋2ax ＋4a 2＝y 2a －x ＝yc －x＝－k BF ＝tan∠BFA， 因为0≤2∠BAF≤π，0≤∠BFA≤π，所以∠BFA＝2∠BAF. 当x ＝c 时，由题意知∠BFA＝π2，∠BAF＝π4，满足∠BFA＝2∠BAF. 综上，∠BFA＝2∠BAF.思维升华圆锥曲线中的证明问题常见的有(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等． (2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等．在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明．跟踪训练1已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F 在y 轴正半轴上，圆心在直线y ＝12x 上的圆E 与x 轴相切，且点E ，F 关于点M(－1,0)对称． (1)求E 和Γ的标准方程；(2)过点M 的直线l 与圆E 交于A ，B 两点，与Γ交于C ，D 两点，求证：|CD|>2|AB|. (1)解 设Γ的标准方程为x 2＝2py ，p>0，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2. 已知E 在直线y ＝12x 上，故可设E ()2a ，a .因为E ，F 关于M(－1,0)对称，所以⎩⎨⎧2a ＋02＝－1，p2＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，p ＝2.所以抛物线Γ的标准方程为x 2＝4y. 因为圆E 与x 轴相切，故半径r ＝|a|＝1， 所以圆E 的标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1. (2)证明 由题意知，直线l 的斜率存在，设l 的斜率为k ，那么其方程为y ＝k(x ＋1)(k≠0)． 则E(－2，－1)到l 的距离d ＝|k －1|k 2＋1，因为l 与E 交于A ，B 两点，所以d 2<r 2， 即k －12k 2＋1<1，解得k>0，所以|AB|＝21－d 2＝22kk 2＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k x ＋1消去y 并整理得，x 2－4kx －4k ＝0.Δ＝16k 2＋16k>0恒成立，设C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4k ， 那么|CD|＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·x 1＋x 22－4x 1x 2＝4k 2＋1·k 2＋k.所以|CD|2|AB|2＝16k 2＋1k 2＋k8k k 2＋1＝2k 2＋12k 2＋kk>2kk＝2. 所以|CD|2>2|AB|2，即|CD|>2|AB|.题型二探索性问题例2 (2019·全国Ⅰ)已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB|＝4，⊙M 过点A ，B 且与直线x ＋2＝0相切．(1)若A 在直线x ＋y ＝0上，求⊙M 的半径；(2)是否存在定点P ，使得当A 运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由． 解 (1)因为⊙M 过点A ，B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上． 由已知A 在直线x ＋y ＝0上，且A ，B 关于坐标原点O 对称， 所以M 在直线y ＝x 上，故可设M(a ，a)．因为⊙M 与直线x ＋2＝0相切，所以⊙M 的半径为r ＝|a ＋2|. 由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO，故可得2a 2＋4＝(a ＋2)2， 解得a ＝0或a ＝4. 故⊙M 的半径r ＝2或r ＝6.(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值． 理由如下：设M(x ，y)，由已知得⊙M 的半径为r ＝|x ＋2|，|AO|＝2.由于MO⊥AO，故可得x 2＋y 2＋4＝(x ＋2)2，化简得M 的轨迹方程为y 2＝4x. 因为曲线C ：y 2＝4x 是以点P(1,0)为焦点，以直线x ＝－1为准线的抛物线， 所以|MP|＝x ＋1.因为|MA|－|MP|＝r －|MP|＝x ＋2－(x ＋1)＝1， 所以存在满足条件的定点P.思维升华探索性问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．跟踪训练2 (2021·皖北协作区联考)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)，且可知左焦点F′的坐标为(－2,0)．所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 所以椭圆C 的方程为x 216＋y212＝1.(2)不存在，理由如下． 假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝32x ＋t(t≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，消去y ，整理得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0. 因为直线l 与椭圆C 有公共点， 所以Δ＝(3t)2－4×3×(t 2－12)≥0， 解得－43≤t≤43，且t≠0.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4可得|t|94＋1＝4， 解得t ＝±213.因为±213∉[－43，0)∪(0,43]， 所以符合题意的直线l 不存在．在圆锥曲线问题中，常见各种含两直线斜率k 1，k 2的双斜率问题，齐次化处理是解决这类问题的重要策略．例 已知A ，B 为抛物线y 2＝4x 上异于顶点的两动点，且满足以AB 为直径的圆过顶点．求证：直线AB 过定点．证明 当直线AB 斜率存在时，设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由题意得k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，①y ＝kx ＋b ，②由②得，y －kx b ＝1，代入①得，y 2＝4x·y －kx b ，整理得，by 2－4xy ＋4kx 2＝0，即b ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4k ＝0， 则y 1x 1·y 2x 2＝4kb＝－1，得b ＝－4k ， ∴y＝kx ＋b ＝k(x －4)，故直线AB 过定点(4,0)． 当直线AB 的斜率不存在时，由对称性可知∠AOx＝45°.直线OA 和抛物线y 2＝4x 的交点为(4,4)， 直线AB 的方程为x ＝4，直线AB 过点(4,0)． 综上，直线AB 过定点(4,0)．课时精练1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的一个焦点为F(－1,0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263在C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点M(－4,0)，过F 作直线l 交椭圆于A ，B 两点，求证：∠FMA＝∠FMB.(1)解 由题意知，c ＝1，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263在椭圆C 上，∴49a 2＋83b2＝1.又a 2＝b 2＋c 2＝b 2＋1，解得a 2＝4，b 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1.(2)证明 当l 与x 轴垂直时，直线MF 恰好平分∠AMB，则∠FMA＝∠FMB； 当l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x ＋1，消去y 得，(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，∵Δ>0恒成立，∴设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，直线MA ，MB 的斜率之和为 k MA ＋k MB ＝y 1x 1＋4＋y 2x 2＋4＝y 1x 2＋4＋y 2x 1＋4x 1＋4x 2＋4＝k x 1＋1x 2＋4＋k x 2＋1x 1＋4x 1＋4x 2＋4＝k[2x 1x 2＋5x 2＋x 1＋8]x 1＋4x 2＋4，∵2x 1x 2＋5(x 2＋x 1)＋8＝2×4k 2－123＋4k 2＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 23＋4k 2＋8＝0， ∴k MA ＋k MB ＝0，故直线MA ，MB 的倾斜角互补， 综上所述，∠FMA＝∠FMB.2．(2020·青岛质检)设椭圆E ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若椭圆E 的离心率为22，△ABF 2的周长为4 6. (1)求椭圆E 的方程；(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB 的直线交椭圆E 于点C ，D ，设弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，证明：O ，M ，N 三点共线． (1)解 由题意知，4a ＝46，a ＝ 6. 又e ＝22，∴c＝3，b ＝3， ∴椭圆E 的方程为x 26＋y23＝1.(2)证明 当直线AB ，CD 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M ，N 在x 轴上，O ，M ，N 三点共线，当直线AB ，CD 的斜率存在时，设其斜率为k ，且设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 213＝1，x 226＋y 223＝1，两式相减，得x 216＋y 213－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 226＋y 223＝0，∴x 21－x 226＝－y 21－y 223，x 1－x 2x 1＋x 26＝－y 1－y 2y 1＋y 23，∴y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－36，y 1－y 2x 1－x 2·y 0x 0＝－36， 即k·k OM ＝－12，∴k OM ＝－12k.同理可得k ON ＝－12k，∴k OM ＝k ON ，∴O，M ，N 三点共线．3．设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任意一点，且△MF 1F 2的周长是4＋2 3. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左、右顶点分别为A ，B ，过椭圆C 1上的一点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，若点C 满足AB →⊥BC →，AD →∥OC →，连接AC 交DE 于点P ，求证：|PD|＝|PE|. (1)解 由e ＝32，知c a ＝32，所以c ＝32a ， 因为△MF 1F 2的周长是4＋23，所以2a ＋2c ＝4＋23，所以a ＝2，c ＝3， 所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由(1)得A(－2,0)，B(2,0)，设D(x 0，y 0)，所以E(x 0,0)， 因为AB →⊥BC →，所以可设C(2，y 1)， 所以AD →＝(x 0＋2，y 0)，OC →＝(2，y 1)， 由AD →∥OC →可得：(x 0＋2)y 1＝2y 0，即y 1＝2y 0x 0＋2.所以直线AC 的方程为y －02y 0x 0＋2－0＝x ＋22－－2.整理得：y ＝y 02x 0＋2(x ＋2)．又点P 在DE 上，将x ＝x 0代入直线AC 的方程可得：y ＝y 02，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，y 02，所以P 为DE 的中点，|PD|＝|PE|.4．已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y23＝1交于A ，B 两点．线段AB 的中点为M(1，m)(m>0)．(1)证明：k<－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|. 证明 (1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t ， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y23＝1，消去y 得(4k 2＋3)x 2＋8ktx ＋4t 2－12＝0， 则Δ＝64k 2t 2－4(4t 2－12)(3＋4k 2)>0， 得4k 2＋3>t 2，① 且x 1＋x 2＝－8kt3＋4k2＝2，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2t ＝6t3＋4k 2＝2m ，因为m>0，所以t>0且k<0.且t ＝3＋4k2－4k ，②由①②得4k 2＋3>3＋4k2216k2，所以k>12或k<－12.因为k<0，所以k<－12.(2)FP →＋FA →＋FB →＝0，FP →＋2FM →＝0，因为M(1，m)，F(1,0)，所以P 的坐标为(1，－2m)． 又P 在椭圆上，所以14＋4m23＝1，所以m ＝34，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32， 又x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1， 两式相减可得y 1－y 2x 1－x 2＝－34·x 1＋x 2y 1＋y 2，又x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝32，所以k ＝－1，直线l 方程为y －34＝－(x －1)，即y ＝－x ＋74，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋74，x 24＋y23＝1，消去y 得28x 2－56x ＋1＝0，x 1,2＝14±32114，|FA →|＋|FB →|＝x 1－12＋y 21＋x 2－12＋y 22＝3，|FP →|＝1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－02＝32， 所以|FA →|＋|FB →|＝2|FP →|.5．(2020·衡水模拟)已知点P 在圆O ：x 2＋y 2＝6上运动，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足(1－3)OQ →＝OP →－3OM →. (1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)过点(2,0)的动直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，问：在x 轴上是否存在定点D ，使得DA →·AB →＋DA→2的值为定值？若存在，求出定点D 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．解 (1)设M(x ，y)，P(x 0，y 0)， 由(1－3)OQ →＝OP →－3OM →，得OQ →－OP →＝3OQ →－3OM →，即PQ →＝3MQ →，∴⎩⎨⎧x 0＝x ，y 0＝3y ，又点P(x 0，y 0)在圆O ：x 2＋y 2＝6上，∴x 20＋y 20＝6，∴x 2＋3y 2＝6，∴轨迹E 的方程为x 26＋y22＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k(x －2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝k x －2，消去y 得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，x 1·x 2＝12k 2－61＋3k 2，根据题意，假设x 轴上存在定点D(m,0)，使得DA →·AB →＋DA →2＝DA →·(AB →－AD →)＝DA →·DB →为定值，则有DA →·DB →＝(x 1－m ，y 1)·(x 2－m ，y 2)＝(x 1－m)(x 2－m)＋y 1y 2 ＝(x 1－m)(x 2－m)＋k 2(x 1－2)(x 2－2) ＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋m)(x 1＋x 2)＋(4k 2＋m 2) ＝(k 2＋1)·12k 2－61＋3k 2－(2k 2＋m)·12k 21＋3k2＋(4k 2＋m 2)＝3m 2－12m ＋10k 2＋m 2－63k 2＋1要使上式为定值，即与k 无关， 则3m 2－12m ＋10＝3(m 2－6)，即m ＝73，此时DA →·DB →＝m 2－6＝－59为常数，定点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，易求得直线l 与椭圆C 的两个交点坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，63，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－63，此时DA →·DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，63·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－63＝－59.综上所述，存在定点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0，使得DA →·AB →＋DA →2为定值－59.。