难点专题：数列中的4类探索性问题

难点专题：破解数列中的4类探索性问题1．条件探索性问题此类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探求，或条件增删需确定，或条件正误需判定，解决此类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件，在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意．[例1] 已知数列{a n}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和S n满足S n＋2＋S n＝2S n＋1＋1(n∈N*)；数列{b n}中，b1＝a1，b n＋1＝4b n＋6(n∈N*)．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设c n＝b n＋2＋(－1)n－1λ·n a2(λ为非零整数，n∈N*)，试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有c n＋1>c n成立．此类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定．解决此类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论，在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．[例2] 已知各项均为正数的数列{a n}满足：a2n＋1＝2a2n＋a n a n＋1，且a2＋a4＝2a3＋4，其中n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足：b n＝nan2n＋12n，是否存在正整数m，n(1<m<n)，使得b1，b m，b n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值，若不存在，请说明理由；(3)令c n＝1＋nan，记数列{c n}的前n项积为T n，其中n∈N*，试比较T n与9的大小，并加以证明．此类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立．解决此类问题的一般方法是：假定题中的数学对象存在或结论成立或暂且认可其中的一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用．[例3] 已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，n ∈N *.(1)求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1为等比数列； (2)记S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n，若S n <100，求最大正整数n ；(3)是否存在互不相等的正整数m ，s ，n ，使m ，s ，n 成等差数列，且a m －1，a s －1，a n －1成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由．这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论．解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式，但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜想来探路，解题过程中创新成分比较高．在数列问题研究中，经常是根据数列的前几项所提供的信息作大胆的猜想，然后用数学归纳法证明．[例4] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 都在函数f (x )＝x ＋a n2x的图象上． (1)求a 1，a 2，a 3的值，猜想a n 的表达式，并证明你的猜想；(2)设A n 为数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n －1a n 的前n 项积，是否存在实数a ，使得不等式A na n ＋1<f (a )－a n ＋32a对一切n ∈N *都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．难点专题：破解数列中的4类探索性问题答案1．条件探索性问题[例1] 已知数列{a n}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和S n满足S n＋2＋S n＝2S n＋1＋1(n∈N*)；数列{b n}中，b1＝a1，b n＋1＝4b n＋6(n∈N*)．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设c n＝b n＋2＋(－1)n－1λ·n a2(λ为非零整数，n∈N*)，试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有c n＋1>c n成立．[解] (1)由已知得S n＋2－S n＋1－(S n＋1－S n)＝1，所以a n＋2－a n＋1＝1(n≥1)．又a2－a1＝1，所以数列{a n}是以a1＝2为首项，1为公差的等差数列．所以a n＝n＋1.因为b n＋1＝4b n＋6，即b n＋1＋2＝4(b n＋2)，又b1＋2＝a1＋2＝4，所以数列{b2＋2}是以4为公比，4为首项的等比数列．所以b n＝4n－2.(2)因为a n＝n＋1，b n＝4n－2，所以c n＝4n＋(－1)n－1λ·2n＋1.要使c n＋1>c n成立，需c n＋1－c n＝4n＋1－4n＋(－1)nλ·2n＋2－(－1)n－1λ·2n＋1>0恒成立，化简得3·4n－3λ(－1)n－12n＋1>0恒成立，即(－1)n－1λ<2n－1恒成立，①当n为奇数时，即λ<2n－1恒成立，当且仅当n＝1时，2n－1有最小值1，所以λ<1；②当n为偶数时，即λ>－2n－1恒成立，当且仅当n＝2时，－2n－1有最大值－2，所以λ>－2，即－2<λ<1.又λ为非零整数，则λ＝－1.综上所述，存在λ＝－1，使得对任意n∈N*，都有c n＋1>c n成立．[点评] 对于数列问题，一般要先求出数列的通项，不是等差数列和等比数列的要转化为等差数列或等比数列．遇到S n要注意利用S n与a n的关系将其转化为a，再研究其具体性质．遇到(－1)n型的问题要注意分n为奇数与偶数两种情况n进行讨论，本题易忘掉对n 的奇偶性的讨论而致误．2．结论探索性问题[例2] 已知各项均为正数的数列{a n }满足：a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1，且a 2＋a 4＝2a 3＋4，其中n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }满足：b n ＝na n 2n ＋12n，是否存在正整数m ，n (1<m <n )，使得b 1，b m ，b n 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值，若不存在，请说明理由；(3)令c n ＝1＋na n，记数列{c n }的前n 项积为T n ，其中n ∈N *，试比较T n 与9的大小，并加以证明．[解] (1)因为a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1，即(a n ＋a n ＋1)(2a n －a n ＋1)＝0.又a n >0，所以2a n －a n ＋1＝0，即2a n ＝a n ＋1. 所以数列{a n }是公比为2的等比数列．由a 2＋a 4＝2a 3＋4，得2a 1＋8a 1＝8a 1＋4，解得a 1＝2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)． (2)因为b n ＝na n 2n ＋12n＝n 2n ＋1，所以b 1＝13，b m ＝m 2m ＋1，b n ＝n2n ＋1.若b 1，b m ，b n 成等比数列，则⎝⎛⎭⎪⎫m 2m ＋12＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2n ＋1， 即m 24m 2＋4m ＋1＝n 6n ＋3. 由m 24m 2＋4m ＋1＝n 6n ＋3，可得3n ＝－2m 2＋4m ＋1m 2，所以－2m 2＋4m ＋1>0，从而1－62<m <1＋62. 又n ∈N *，且m >1，所以m ＝2，此时n ＝12.故当且仅当m ＝2，n ＝12时，b 1，b m ，b n 成等比数列．(3)构造函数f (x )＝ln(1＋x )－x (x ≥0)，则f ′(x )＝11＋x －1＝－x 1＋x. 当x >0时，f ′(x )<0，即f (x )在[0，＋∞)上单调递减， 所以f (x )<f (0)＝0.所以ln(1＋x )－x <0.所以ln c n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n a n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2n <n 2n .所以ln T n <12＋222＋323＋…＋n2n .记A n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ，则12A n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，所以A n －12A n ＝12＋122＋123＋124＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1<1，即A n <2.所以ln T n <2.所以T n <e 2<9，即T n <9.[点评] 对于结论探索性问题，需要先得出一个结论，再进行证明．注意含有两个变量的问题，变量归一是常用的解题思想，一般把其中的一个变量转化为另一个变量，根据题目条件，确定变量的值．遇到数列中的比较大小问题可以采用构造函数，根据函数的单调性进行证明，这是解决复杂问题常用的方法．3．存在探索性问题[例3] 已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n2a n ＋1，n ∈N *.(1)求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1为等比数列；(2)记S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n，若S n <100，求最大正整数n ；(3)是否存在互不相等的正整数m ，s ，n ，使m ，s ，n 成等差数列，且a m －1，a s －1，a n －1成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由．[解] (1)因为1a n ＋1＝23＋13a n ，所以1a n ＋1－1＝13a n －13.又因为1a 1－1≠0，所以1a n－1≠0(n ∈N *)．所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1为等比数列．(2)由(1)可得1a n －1＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，所以1a n ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n＋1.S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋ (13)＝n ＋2×13－13n ＋11－13＝n ＋1－13n ，若S n <100，则n ＋1－13n <100，所以最大正整数n 的值为99. (3)假设存在，则m ＋n ＝2s ， (a m －1)(a n －1)＝(a s －1)2， 因为a n ＝3n3n ＋2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3n 3n＋2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫3m 3m ＋2－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3s3s ＋2－12， 化简得3m ＋3n ＝2×3s .因为3m ＋3n ≥2×3m ＋n ＝2×3s ，当且仅当m ＝n 时等号成立，又m ，s ，n 互不相等，所以不存在．[点评] 数列问题是以分式形式给出条件的，一般采用取倒数，再转化为等差数列或等比数列，通过等差数列与等比数列的桥梁作用求出通项．遇到多个变量的存在性问题，一般假设存在，求出满足的关系，再寻找满足的条件，一般可以利用重要不等式、值域或范围等判断是否存在．4．规律探索性问题[例4] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 都在函数f (x )＝x ＋a n2x的图象上．(1)求a 1，a 2，a 3的值，猜想a n 的表达式，并证明你的猜想；(2)设A n 为数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n －1a n 的前n 项积，是否存在实数a ，使得不等式A n a n ＋1<f (a )－a n ＋32a对一切n ∈N *都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由． [解] (1)因为点⎝⎛⎭⎪⎫n ，S n n 都在函数f (x )＝x ＋a n 2x 的图象上，故S n n ＝n ＋a n 2n .所以S n ＝n 2＋12a n .令n ＝1，得a 1＝1＋12a 1，所以a 1＝2.令n ＝2，得a 1＋a 2＝4＋12a 2，所以a 2＝4.令n ＝3，得a 1＋a 2＋a 3＝9＋12a 3，所以a 3＝6.由此猜想：a n ＝2n (n ∈N *)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上面的求解知，猜想成立； ②假设当n ＝k 时猜想成立，即a k ＝2k 成立，那么当n ＝k ＋1时，由条件，知S k ＝k 2＋12a k ，S k ＋1＝(k ＋1)2＋12a k ＋1，两式相减，得a k ＋1＝2k ＋1＋12a k ＋1－12a k ，所以a k ＋1＝4k ＋2－a k ＝4k ＋2－2k ＝2(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，猜想成立． 根据①②，知对一切n ∈N *，a n ＝2n 成立．(2)因为a n －1a n ＝1－1a n，故A n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n ，所以A na n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2·…·⎝⎛⎭⎪⎫1－1a n ·2n ＋1.又f (a )－a n ＋32a ＝a ＋a n 2a －a n ＋32a ＝a －32a，故A n a n ＋1<f (a )－a n ＋32a对一切n ∈N *都成立，等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2·…·⎝⎛⎭⎪⎫1－1a n ·2n ＋1<a －32a 对一切n ∈N *都成立．设g (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n ·2n ＋1，则只需g (n )max <a －32a 即可．由于g n ＋1g n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n ＋1·2n ＋32n ＋1＝2n ＋12n ＋2·2n ＋32n ＋1＝4n 2＋8n ＋34n 2＋8n ＋4<1，所以g (n ＋1)<g (n )，故g (n )是单调递减的，于是g (n )max ＝g (1)＝32. 由32<a －32a ，得a －32a ＋3a>0，解得－32<a <0或a > 3. 综上所述，使得不等式对一切n ∈N *都成立的实数a 存在，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0∪(3，＋∞)． [点评] 处理规律探索性问题，应充分利用已知条件，先求出数列的前几项，根据前几项的特点透彻分析、发现规律、猜想结论，再利用数学归纳法进行证明．对于含有参数的恒成立问题，可通过分离参数求含有变量的式子的最值即可．在求含变量的式子的最值问题时，一般可以利用函数的单调性，通过作差或作商(分式或整式作差，乘积的因式作商)求出最值，便求出参数的范围(注意应用函数与方程思想解决问题)．。