等差数列重难点突破教学设计

2.3 等差数列的前n项和
一、教材分析
等差数列的求和是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

它是在前面研究了等差数列定义和通项公式的基础上对等差数列的进一步研究，公式的推导方法倒序相加法是数列求和常用的方法之一，等差数列求和公式是数列求和的最基本的方法，有广泛的实际应用。

同时本节课的学习还为进一步研究等比数列提供了思想方法。

二、学情分析
教学对象是职业高中高二美术班学生。

1）学生已掌握等差数列的通项公式及基本性质，在初中已经了解了特殊的数列求和，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础.
2）学生学习数学的整体水平比较低，习惯于感性思维，模仿能力较好，独立思考能力差，高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍．
3）高二学生学习积极性较高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。

4）高二学生数学学习的个体差异比较明显。

三、教学目标
根据以上对教材和学生的分析及其课标要求，制定如下教学目标
1）知识与技能目标：掌握等差数列前n项和公式及其推导思路和方法；会初步应用公式解决相关问题。

2）过程与方法目标：经历公式的推导过程，体会数形结合、化归、函数与方程，联系等数学思想，体验从特殊到一般的研究问题的方法，学会观察、分析、归纳、反思。

3）情感态度与价值观：激发学生探究的兴趣，培养学生善于观察、勇于探索的学习精神和严谨的学习态度 教学重点、难点
教学重点：探索并掌握等差数列的前n 项和公式，学会用公式解决问题 教学难点： 等差数列前n 项和公式的推导思路的获取
四、教学方法
为了达到以上教学目标采取以下的教学方法
教法：采用问题启发教学法、合作探究教学法，分层次教学法,多媒体辅助教学法
学法：在教师的指导下，学生自主学习、合作学习、探究学习。

五、教学准备：PPT 相关课件 两个全等的等腰三角形模型、全等梯
形模型
六、教学过程
教学流程
1、创设情境，导入新课（2分钟）
2、由特殊到一般探索公式（13分钟）
3、公式运用，例题教学 （13分钟）
4、分层练习，形成技能（12分钟）
5、归纳小结，构成体系 （3分钟）
6、布置作业（2分钟）
学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我设计了如下的教学过程：
（一）创设情境，引入课题
①复习提问：等差数列的通项公式与性质。

即：等差数列任意第k 项与倒数第k 项的和的和等于首末两项的和。

1121a a a a a a n n n +==+=+-Λ
②创设情境，提出问题
在我们家乡祁县的珠算展览馆有各色各样的算盘，其中有这样一个算盘如图，最顶层有一串算珠，以下每层依次增加一串，一共100层，共有多少串算珠？
学生活动：学生列式计算1+2+3+ (100)
学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和。

有学生用高斯算法用下面的方法迅速算出了正确答案：
（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050 教师活动
1、给予激励性评价
2、指出这是等差数列的求和问题，并给出数列求和定义：
3、设问：高斯算法妙在哪里？能不能推广到一般等差数列的求和？ 【设计说明】 了解历史，激发兴趣，提出问题，紧扣核心。

（二）由特殊到一般探索公式 1、教师引导，学生探究
探究1、高斯算法妙在哪里？学生思考教师指导后得出：根据等差数列特征，首尾配对
探究2、算盘中，从最高层到第21层一共有多少串算珠？即求21...321++++的值，可设2121...321S =++++
学生：分组计算，交流合作。

这是求奇数项和的问题，学生们将奇数项问题转化为偶数项求解，体现“化归思想”，
教师对学生的解法给予肯定表扬，并进一步提出新的问题
探究3、算盘中，从最高层到第n 层一共有多少串算珠？即求
n S =n ++++...321的值
学生：很自然就想到要用分类讨论来解决此类问题。

教师：肯定学生的想法，指出此方法的缺点是繁琐，进而促使学生探索更简捷的做法
教师引导做简单实验：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形，让学生观察效果很容易获得结果：)
211(2121+=S
学生活动 ：
计算1、20112121+++++=ΛΛS 计算2 ：求1到n 的正整数之和
请两位同学板演
反思求和过程，体会其中的数列具有怎样的关键特点？ 学生思考交流 ，最后归纳
特点：在于前n 个自然数列中，任意第k 项与倒数第k 项的和的和等于首末两项的和。

并指出这种方法就是“倒序相加法”
从反思中进一步体会等差数列的特点即任意第k 项与倒数第k 项的和等于首末两项的和，为后面顺利完成等差求和的推导奠定基础。

本节课的难点得以突破。

2、引导学生用“特殊到一般”的研究方法，探究公式
再顺势引导学生，能否将问题一般化？学生可模仿以上过程，推导公式
3、师生互动，归纳公式，掌握特征
指导学生归纳公式结构特征和记忆方法，结合图形，联想熟悉的梯形面积公式记忆，
2
)
(1n n a a n S +=
（公式1）
d n
n na S n 2
)
1(1-+
=（公式2）
学生通过观察分析后，交流总结
（三）公式运用，例题学习
1、学生练习，熟悉公式
设等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ，项数为n ，第n 项为n a ,前n 项和为n S 请填表:
【设计说明】本例是使用等差数列的求和公式和通项公式求未知元,知三求二。

2、例题教学
例1 教材P44例2
例2 教材P43例1
教师要指导分析解决问题，规范解题步骤。

板书例1解题步骤 例2解题步骤多媒体显示。

（四）、课堂练习
1、 P45练习1题
2、补充练习 1、 等差数列{}n a 中，已知629,37,20===n S n d ，求1a 和n a
3、补充练习2、在等差数列{}n a 中， （1）已知36151252=+++a a a a ，求16S （2）已知166=a ，求11S （较好的学生选做）
d
n
-4 8 -18 100 -2 50 38 10 36
（五）梳理知识——形成系统
引导学生回顾公式、推导方法鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。

知识：等差数列前n 项和公式
思想方法（1）从特殊到一般的研究方法；
（2）倒序相加的算法，
（3）待定系数法及数形结合的数学思想；
(六) 布置分层作业
一、必做： P46 A 组1、⑴、⑶ ， 2. ⑴、⑶ 二、选作题
1、P46 A 组1、⑵，⑷ 2. ⑵、⑷ ， B 组
2、4、 2、在等差数列{}n a 中，
（1）已知36151252=+++a a a a ，求
16
S
（2）已知
16
6=a ，求11S
三、课后思考题：
1、用特殊到一般的方法,探究等差数列前n 项和n S 的公式中,反映了n S 与n 的函数关系？
2、若数列{}n a 的前n 项和2An Bn =+n S （B A ∈R 、），则数列{}n a 是等差数列。

【设计意图】注意分层教学和因材施教，使每个学生都得到发展。

板书设计
针对本节课的教学目的，教学重难点和设计理念，我采用教师启发引导，学生自主探索、合作交流和多媒体演示等教学手段，在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性,突破了学生思维的障碍，使学生“倒序相加法”思路的获得水到渠成．突破了教学的难点。

为突出公式应用这个重点，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，完成对公式的进一步理解和掌握，形成技能.突破了重难点。