专题12 探索性问题(第01期)-2021年中考数学试题分项版解析汇编(原卷版)
中考数学试题汇编及解析探索型问题课标试题
2021年中考数学试题汇编及解析探究型问题本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
探究型问题这类问题往往涉及面很广，主要是探究题设结论是否存在，或者是否成立，或者是让学生自己先猜测结论，再进展研究从而得出正确的结论等等，这些题通常有一定的难度，几乎在全国各地的中考数学试卷中都能见到。
1、〔2021〕如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为〔1，0〕，•以OA•为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点〔OC>1〕，连结BC，•以BC•为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．〔1〕试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论．〔2〕随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化，假设没有变化，求出点E•的坐标；假设有变化，请说明理由．〔3〕如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC=m，AF=n，用含n的代数式表示m．[解析]〔1〕两个三角形全等∵△AOB、△CBD都是等边三角形∴OBA=∠CBD=60°∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC即∠OBC=∠ABD∵OB=AB，BC=BD△OBC≌△ABD〔2〕点E位置不变∵△OBC≌△ABD∴∠BAD=∠BOC=60°∠OAE=180°-60°-60°=60°在Rt△EOA中，EO=OA·tan60°=3或者∠AEO=30°，得AE=2，∴OE=3∴点E的坐标为〔0，3〕〔3〕∵AC=m，AF=n，由相交弦定理知1·m=n·AG，即AG=m n又∵OC是直径，∴OE是圆的切线，OE2=EG·EF 在Rt△EOA中，3132=〔2-mn〕〔2+n〕即2n 2+n-2m-mn=0解得m=222n nn ++.2、〔2021〕如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过点C 作CD ⊥x 轴于点D .(1)求直线AB 的解析式;(2)假设S 梯形OBCD ＝433,求点C 的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P ,使得以P,O,B 为顶点的 三角形与△OBA 相似.假设存在,恳求出所有符合条件 的点P 的坐标;假设不存在,请说明理由.[解析] 〔1〕直线AB 解析式为：y=33-x+3． 〔2〕方法一：设点Ｃ坐标为〔x ，33-x+3〕，那么OD ＝x ，CD ＝33-x+3． ∴OBCD S 梯形＝()2CD CD OB ⨯+＝3632+-x ． 由题意：3632+-x ＝334，解得4,221==x x 〔舍去〕 ∴ Ｃ〔２，33〕 方法二：∵ 23321=⨯=∆OB OA S AOB ,OBCD S 梯形＝334，∴63=∆ACD S ． 由OA=3OB ，得∠BAO ＝30°，AD=3CD ．∴ ACD S ∆＝21CD ×AD ＝223CD ＝63．可得CD ＝33．∴ AD=１，OD ＝２．∴C 〔２，33〕．〔３〕当∠OBP ＝Rt ∠时，如图①假设△BOP ∽△OBA ，那么∠BOP ＝∠BAO=30°，BP=3OB=3，∴1P 〔3，33〕． ②假设△BPO ∽△OBA ，那么∠BPO ＝∠BAO=30°,OP=33OB=1． ∴2P 〔1，3〕． 当∠OPB ＝Rt ∠时③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P(如图)，此时△PBO ∽△OBA ，∠BOP ＝∠BAO ＝30° 过点P 作PM ⊥OA 于点M ．方法一： 在Rt △PBO 中，BP ＝21OB ＝23，OP ＝3BP ＝23．∵ 在Rt △P ＭO 中，∠OPM ＝30°，∴ OM ＝21OP ＝43；PM ＝3OM ＝433．∴3P 〔43，433〕．方法二：设Ｐ〔x ，33-x+3〕，得OM ＝x ，PM ＝33-x+3 由∠BOP ＝∠BAO,得∠POM ＝∠ABO ．∵tan ∠POM==OMPM =x x 333+-，tan ∠ABOC=OBOA =3．∴33-x+3＝3x ，解得x ＝43．此时，3P 〔43，433〕． ④假设△POB ∽△OBA(如图)，那么∠OBP=∠BAO ＝30°，∠POM ＝30°．∴ PM ＝33OM ＝43． ∴ 4P 〔43，43〕〔由对称性也可得到点4P 的坐标〕．当∠OPB ＝Rt ∠时，点P 在ｘ轴上,不符合要求. 综合得，符合条件的点有四个，分别是：1P 〔3，33〕，2P 〔1，3〕，3P 〔43，433〕，4P 〔43，43〕． 3、〔2021〕如图，在直角坐标系中，以点A 为圆心，以x 轴相交于点B C ，，与y 轴相交于点D E ，．〔1〕假设抛物线213y x bx c =++经过C D ，两点，求抛物线的解析式，并判断点B 是否在该抛物线上．〔2〕在〔1〕中的抛物线的对称轴上求一点P ，使得PBD △的周长最小．〔3〕设Q 为〔1〕中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M ，使得四边形BCQM 是平行四边形．假设存在，求出点M 的坐标；假设不存在，说明理由．[解析] 〔1〕OA =∵AB AC ==(B ∴，C 又在Rt AOD △中，AD =OA =3OD ==∴D ∴的坐标为(03)-，又DC ，两点在抛物线上，231(33)03c c =-⎧⎪⎨++=⎪⎩∴解得3b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴抛物线的解析式为：2133y x x =--当x =0y =∴点(B 在抛物线上〔2〕2133y x x =--∵21(43x =- ∴抛物线2133y x x =--的对称轴方程为x = 在抛物线的对称轴上存在点P ，使PBD △的周长最小．BD ∵的长为定值 ∴要使PBD △周长最小只需PB PD +最小． 连结DC ，那么DC 与对称轴的交点即为使PBD △周长最小的点． 设直线DC 的解析式为y mx n =+．由30n n =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得3m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线DC的解析式为3y x =-由33y x x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 故点P的坐标为2)-〔3〕存在，设)Q t为抛物线对称轴x =M 在抛物线上要使四边形BCQM 为平行四边形，那么BC QM ∥且BC QM =，点M 在对称轴的左侧．于是，过点Q 作直线L BC ∥与抛物线交于点()m M x t ， 由BC QM =得QM =从而m x =-12t =故在抛物线上存在点(M ，使得四边形BCQM 为平行四边形． 4、〔2021〕把两块全等的直角三角形ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，其中90ABC DEF ∠=∠=，45C F ∠=∠=，4AB DE ==，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q ．〔1〕如图9，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证APD CDQ △∽△．此 时，AP CQ =· ．〔2〕将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中090α<<，问AP CQ ·的值是否改变？说明你的理由．〔3〕在〔2〕的条件下，设CQ x =，两块三角板重叠面积为y ，求y 与x 的函数关系式．[解析] 〔1〕8〔2〕AP CQ ·的值不会改变．理由如下：在APD △与CDQ △中，45A C ∠=∠= 18045(45)90APD a a ∠=--+=-90CDQ a ∠=- 即APD CDQ ∠=∠APD CDQ ∴△∽△ AP CDAD CQ=∴22182AP CQ AD CD AD AC ⎛⎫==== ⎪⎝⎭∴ＢＰＥＦF E 图1 图3图3ＥＦ〔3〕情形1：当045a <<时，24CQ <<，即24x <<，此时两三角板重叠局部为四边形DPBQ ，过D 作DG AP ⊥于G ，DN BC ⊥于N ，2DG DN ==∴由〔2〕知：8AP CQ =得8AP x=于是111222y AB AC CQ DN AP DG =--88(24)x x x=--<<情形2：当4590a <≤时，02CQ <≤时，即02x <≤，此时两三角板重叠局部为DMQ △， 由于8AP x =，84PB x=-，易证：PBM DNM △∽△， BM PB MN DN =∴即22BM PB BM =-解得28424PB xBM PB x-==+- 84444xMQ BM CQ x x-=--=---∴ 于是1844(02)24xy MQ DN x x x-==--<-≤综上所述，当24x <<时，88y x x=--当02x <≤时，8444xy x x-=---2484y x x x =⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭或法二：连结BD ，并过D 作DN BC ⊥于点N ，在DBQ △与MCD △中，45DBQ MCD ∠=∠=45DQB QCB QDC QDC MDQ QDC MDC ∠=∠+∠=+∠=∠+∠=∠DBQ MCD ∴△∽△MC DBCD BQ=∴4x =- 84MC x=-∴ 284844x x MQ MC CD x x x -+=-=-=--∴ ＢＰＧ2148(02)24x x y DN MQ x x-+==<-∴≤法三：过D 作DN BC ⊥于点N ，在Rt DNQ △中， 222DQ DN NQ =+ 24(2)x =+- 248x x =-+于是在BDQ △与DMQ △中45DBQ MDQ ∠=∠= DMQ DBM BDM ∠=∠+∠ 45BDM =+∠ BDQ =∠BDQ DMQ ∴△∽△ BQ DQ DQ MQ =∴即4x DQDQ MQ-= 224844DQ x x MQ x x-+==--∴2148(02)24x x y DN MQ x x-+==<-∴≤5、〔2021〕如图，点O 是坐标原点，点A 〔n ，0〕是x 轴上一动点(n ＜0〕以AO 为一边作矩形AOBC ，点C 在第二象限，且OB ＝2OA ．矩形AOBC 绕点A 逆时针旋转90o得矩形AGDE ．过点A 的直线y ＝kx ＋m 交y 轴于点F ，FB ＝FA ．抛物线y=ax 2+bx+c 过点E 、F 、G 且和直线AF 交于点H ，过点H 作HM ⊥x 轴，垂足为点M ．(1)求k 的值；(2)点A 位置改变时，△AMH 的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由．[解析] 〔1〕根据题意得到：E 〔3n ，0〕， G 〔n ，－n 〕当x ＝0时，y ＝kx ＋m ＝m ，∴点F 坐标为〔0，m 〕 ∵Rt △AOF 中，AF 2＝m 2＋n 2，∵FB ＝AF ，∴m 2＋n 2＝(-2n －m)2， 化简得：m ＝－0.75n ，对于y ＝kx ＋m ，当x ＝n 时，y ＝0， ∴0＝kn －0.75n ， ∴k ＝0.75〔2〕∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点E 、F 、G ，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=c c nb a n n c nb a n 75.039022解得：a ＝n 41，b ＝－21，c ＝－0.75n∴抛物线为y=n 41x 2－21x －0.75n解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=--=nx y n x x n y 75.075.075.021412 得：x 1＝5n ，y 1＝3n ；x 2＝0，y 2＝－0.75n∴H 坐标是：〔5n ，3n 〕，HM ＝－3n ，AM ＝n －5n ＝－4n ， ∴△×HM ×AM ＝6n 2；而矩形AOBC 的面积＝2n 2，∴△AMH 的面积∶矩形AOBC 的面积＝3:1，不随着点A 的位置的改变而改变．6、〔2021〕如图〔1〕，在以AB 为直径的半圆O 内有一点P ，AP 、BP 的延长线分别交半圆O 于点C 、D ．求证：AP ·AC+BP ·BD=AB 2．证明：连结AD、BC，过P作PM⊥AB，那么∠ADB=∠AMP=90ｏ，∴点D、M在以AP为直径的圆上；同理：M、C在以BP为直径的圆上．由割线定理得：AP·AC=AM·AB，BP·BD=BM·BA，所以，AP·AC+BP·BD=AM·AB+BM·AB=AB·〔AM+BM〕=AB2．当点P在半圆周上时，也有AP·AC+BP·BD=AP2+BP2=AB2成立，那么：〔1〕如图〔2〕当点P在半圆周外时，结论AP·AC+BP·BD=AB2是否成立？为什么？〔2〕如图〔3〕当点P在切线BE外侧时，你能得到什么结论？将你得到的结论写出来．[解析]〔1〕成立．证明：如图〔2〕，∵∠PCM=∠PDM=900，∴点C、D在以PM为直径的圆上，∴AC·AP=AM·MD，BD·BP=BM·BC，∴AC·AP+BD·BP=AM·MD+BM·BC，由，AM·MD+BM·BC=AB2，∴AP·AC+BP·BD=AB2．〔2〕如图〔3〕，过P作PM⊥AB，交AB的延长线于M，连结AD、BC，那么C、M在以PB为直径的圆上，∴AP·AC=AB·AM，①D、M在以PA为直径的圆上，∴BP·BD=AB·BM，②由图象可知：AB=AM-BM，③由①②③可得：AP·AC-BP·BD=AB·〔AM-BM〕=AB2．7、〔2021〕问题背景；课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图1，在正三角形ABC中，M，N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON=60°．那么BM=CN：②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点．BM与CN相交于点O，假设∠BON=90°．那么BM=CN.然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON=108°，那么BM=CN.任务要求(1)请你从①．②，③三个命题中选择一个进展证明；(2) 请你继续完成下面的探究；①如图4，在正n(n≧3)边形ABCDEF 中，M，N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立(不要求证明)②如图5，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE，AE上的点，BM与CN 相交于点O，∠BON=108°时，试问结论BM=CN是否还成立，假设成立，请给予证明．假设不成立，请说明理由(I)我选[解析]〔1〕如选命题①证明：在图1中，∵∠BON=60°∴∠1+∠2=60°∵∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3又∵BC=CA，∠BCM=∠CAN=60°∴ΔBCM≌ΔCAN∴BM=CN〔2〕如选命题②证明：在图2中，∵∵∠BON=90°∴∠1+∠2=90°∵∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=90°∴ΔBCM≌ΔCDN∴BM=CN〔3〕如选命题③证明；在图3中，∵∠BON=108°∴∠1+∠2=108°∵∠2+∠3=108°∴∠1=∠3又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=108°∴ΔBCM≌ΔCDN∴BM=CN(2)①答：当∠BON=(n-2)180n时结论BM=CN成立．②答当∠BON=108°时。
2021年中考数学试题分类汇编 12探索性问题(第2部分)(word原题
2021年中考数学试题分类汇编 12探索性问题（第2部分）（word原题2021年中考数学试题分类汇编-12探索性问题（第2部分）（word原题主题内容：探索性问题（第二部分）一、选择题1．（2021年贵州省黔东南州第10题）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数N学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．二十根据“杨辉三角”请计算（a+b）的展开式中第三项的系数为（）a．2021b．2021c．191d．190个人计算机C中的AB，2（问题10，内蒙古通辽市，2022年）如图所示，P点位于直线AB上方，并且？apb？90，若线段ab?6，ac?x，s?pab?y，则y与x的函数关系图象大致是（）a、不列颠哥伦比亚省。
3．（2021年四川省内江市第12题）如图，过点a（2，0）作直线l：y?3x的垂线，垂足为点3a1，过点a1作a1a2⊥x轴，垂足为点a2，过点a2作a2a3⊥l，垂足为点a3，…，这样依次下去，得到一组线段：aa1，a1a2，a2a3，…，则线段a2021a2107的长为（）一a．(32021333)b．()2021c．()2021d．()202122224．（2021年山东省日照市第10题）如图，∠bac=60°，点o从a点出发，以2m/s的速度沿∠bac的角平分线向右运动，在运动过程中，以o为圆心的圆始终保持与∠bac的两边相切，设⊙o的面二积为s（cm），则⊙o的面积s与圆心o运动的时间t（s）的函数图象大致为（）a、不列颠哥伦比亚省。
5．（2021年山东省日照市第11题）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）a、 23b.75c.77d.139124536.（2021年湖南省岳阳市第7题）观察下列等式：2?2，2?4，2?8，2?16，2?32，26? 64，，根据这条法律，那么21岁？22? 23? 24 22022的结束号码是a．0b．2c.4d．6二、填空题1．（2021年贵州省毕节地区第20题）观察下列运算过程：二百一十计算：1+2+2+ (2)二百一十解：设s=1+2+2+…+2，①2.① ×2s=2+22+23+…+211，②?②①得s=2111．二万一千零一十一所以，1+2+2+…+2=21二万二千零二十一运用上面的计算方法计算：1+3+3+…+3=．2．（2021年贵州省黔东南州第16题）把多块大小不同的30°直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板aob的一条直角边与y轴重合且点a的坐标为（0，1），∠abo=30°；第二块三角板的斜边bb1与第一块三角板的斜边ab垂直且交y轴于点b1；第三块三角板的斜边b1b2与第二块三角板的斜边bb1垂直且交x轴于点b2；第四块三角板的斜边b2b3与第三块三角板的斜二边b1b2c垂直且交y轴于点b3；…按此规律继续下去，则点b2021的坐标为．3.（2022年湖北省荆州市问题14）观察以下数据：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有______个点.4.（问题16，山东省威海市，2022年）一个正方形第一次使用与图中所示相同的地砖拼图，如图1所示组装图案，第二次，如图2所示组装图案，第三次，如图3所示组装图案，第四次，如图4所示组装图案。
专题12探索性问题(第02期)-2021年中考数学试题分项版解析汇编(东三省专版)(原卷版)
一、选择题1.(2015·黑龙江牡丹江）（3分）在△ABC 中，AB=12，AC=13，cos ∠B=，则BC 边长为（ ）.A ． 7B ． 8C ． 8或17D ． 7或172.（2015·辽宁本溪）（3分）在△ABC 中，AB =6cm ，AC =5cm ，点D 、E 分别在AB 、AC 上．若△ADE 与△ABC 相似，且ΔADE BCED :S S 四边形=1：8，则AD = cm ．二、填空题1．(2015·辽宁抚顺）（3分）如图，过原点O 的直线AB 与反比例函数k y x=（0k >）的图象交于A 、B 两点，点B 坐标为（﹣2，m ），过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，OA 的垂直平分线DE 交OC 于点D ，交AB 于点E ．若△ACD 的周长为5，则k 的值为 ．3.(2015·黑龙江牡丹江）（3分）如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AO=CO ，请添加一个条件 （只添一个即可），使四边形ABCD 是平行四边形．4.(2015·吉林省）（3分）若关于x 的一元二次方程20x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的值可能是 （写出一个即可）．5.（2015·辽宁本溪）（3分）如图，已知矩形ABCD 的边长分别为a ，b ，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形AEFG 各边中点，得到菱形I 1；连接矩形FMCH 对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩形FNPQ 各边中点，得到菱形I 2；…如此操作下去，得到菱形I n ，则I n 的面积是 ．三、解答题1．(2015·辽宁朝阳）（6分）如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E 、F 分别是线段AD 及其延长线上，且DE =DF ，给出下列条件：①BE ⊥EC ；②BF ∥EC ；③AB =AC ，从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形，并给出证明，你选择的条件是 （只填写序号）．[探究发现]小聪同学利用图形变换，将△CAD 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBH ，连接EH ，由已知条件易得∠EBH =90°，∠ECH =∠ECB +∠BCH =∠ECB +∠ACD =45°．根据“边角边”，可证△CEH ≌ ，得EH =ED ．在Rt △HBE 中，由 定理，可得BH 2+EB 2=EH 2，由BH =AD ，可得AD 、DE 、EB 之间的等量关系是 ．[实践运用]（1）如图（2），在正方形ABCD 中，△AEF 的顶点E 、F 分别在BC 、CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求∠EAF 的度数；（2）在（1）条件下，连接BD ，分别交AE 、AF 于点M 、N ，若BE =2，DF =3，BM =2，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及MN 的长．3.(2015·辽宁朝阳）（12分）如图，已知经过点D （2，3-）的抛物线(1)(3)3m y x x =+-（m 为常数，且m ＞0）与x 轴交于点A 、B （点A 位于B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）填空：m 的值为 ，点A 的坐标为 ；（2）根据下列描述，用尺规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）：连接AD ，在x 轴上方作射线AE ，使∠BAE =∠BAD ，过点D 作x 轴的垂线交射线AE 于点E ；（3）动点M 、N 分别在射线AB 、AE 上，求ME +MN 的最小值；（4）t 是过点A 平行于y 轴的直线，P 是抛物线上一点，过点P 作l 的垂线，垂足为点G ，请你探究：是否存在点P ，使以P 、G 、A 为顶点的三角形与△ABD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．4.(2015·辽宁抚顺）（12分）在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，过点B 的直线MN ∥AC ，D 为BC 边上一点，连接AD ，作DE ⊥AD 交MN 于点E ，连接AE ．（1）如图①，当∠ABC =45°时，求证：AD =DE ；（2）如图②，当∠ABC =30°时，线段AD 与DE 有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC =α时，请直接写出线段AD 与DE 的数量关系．（用含α的三角函数表示）5.(2015·辽宁阜新）（12分）如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接CP ，将线段CP 绕点C 顺时针旋转90°，得到线段CQ ，连接BP ，DQ ．（1）如图a ，求证：△BCP ≌△DCQ ；（2）如图，延长BP 交直线DQ 于点E ．①如图b ，求证：BE ⊥DQ ；②如图c ，若△BCP 为等边三角形，判断△DEP 的形状，并说明理由．6.(2015·辽宁阜新）（12分）如图，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于点A （﹣3，0）和点B ，交y 轴于点C （0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 在抛物线上，且ΔAOP ΔBOC 4S S =，求点P 的坐标；（3）如图b ，设点Q 是线段AC 上的一动点，作DQ ⊥x 轴，交抛物线于点D ，求线段DQ 长度的最大值．7.（2015·辽宁辽阳）（12分）菱形ABCD 中，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，∠MON +∠BCD =180°，∠MON 绕点O 旋转，射线OM 交边BC 于点E ，射线ON 交边DC 于点F ，连接EF ．（1）如图1，当∠ABC =90°时，△OEF 的形状是；（2）如图2，当∠ABC =60°时，请判断△OEF 的形状，并说明理由；（3）在（1）的条件下，将∠MON 的顶点移到AO 的中点O ′处，∠MO ′N 绕点O ′旋转，仍满足∠MO ′N +∠BCD =180°，射线O ′M 交直线BC 于点E ，射线O ′N 交直线CD 于点F ，当BC =4，且ΔO'EF 98ABCD S S =四边形时，直接写出线段CE 的长．8.（2015·辽宁辽阳）（14分）如图1，平面直角坐标系中，直线334y x =-+与抛物线294y ax x c =++相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上，点B 在y 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上存在一点M ，使△MAB 是以AB 为直角边的直角三角形，求点M 的坐标；（3）如图2，点E 为线段AB 上一点，BE =2，以BE 为腰作等腰Rt △BDE ，使它与△AOB 在直线AB 的同侧，∠BED =90°，△BDE 沿着BA 方向以每秒一个单位的速度运动，当点B 与A 重合时停止运动，设运动时间为t 秒，△BDE 与△AOB 重叠部分的面积为S ，直接写出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．9.(2015·辽宁盘锦）（14分）如图1，△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠EAD =90°，点B 在线段AE 上，点C 在线段AD 上．（1）请直接写出线段BE 与线段CD 的关系： ；①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；②当AC =12ED 时，探究在△ABC 旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．10.(2015·辽宁盘锦）（14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交x 轴于A （﹣1，0）和B （5，0）两点，交y 轴于点C ，点D 是线段OB 上一动点，连接CD ，将线段CD 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE ，过点E 作直线l ⊥x 轴于H ，过点C 作CF ⊥l 于F ．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F 恰好在抛物线上时，求线段OD 的长；（3）在（2）的条件下：①连接DF ，求tan ∠FDE 的值；②试探究在直线l 上，是否存在点G ，使∠EDG =45°？若存在，请直接写出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．11.(2015·黑龙江牡丹江）（8分）已知四边形ABCD 是正方形，等腰直角△AEF 的直角顶点E 在直线BC 上（不与点B ，C 重合），FM ⊥AD ，交射线AD 于点M ．（1）当点E 在边BC 上，点M 在边AD 的延长线上时，如图①，求证：AB+BE=AM ；（提示：延长MF ，交边BC 的延长线于点H ．）（2）当点E 在边CB 的延长线上，点M 在边AD 上时，如图②；当点E 在边BC 的延长线上，点M 在边AD 上时，如图③．请分别写出线段AB ，BE ，AM 之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1），（2）的条件下，若BE=，∠AFM=15°，则AM= ．12.(2015·吉林省）（10分）如图①，一次函数y kx b =+的图象与二次函数2y x =的图象相交于A ，B 两点，点A ，B 的横坐标分别为m ，n （m ＜0，n ＞0）．（1）当m =﹣1，n =4时，k = ，b = ；（2）根据（1）中的结果，用含m ，n 的代数式分别表示k 与b ，并证明你的结论；（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED．①当m=﹣3，n＞3时，求ΔACOAOEDSS四边形的值（用含n的代数式表示）；②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为；当四边形AOED为正方形时，m= ，n= ．13.（2015·辽宁本溪）（12分）如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）（1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120°，则∠ACD∠ABD （填“＞”、“=”、“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是；（2）当∠BAC=120°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=60°，求证：BD﹣CD=3AD；（3）将图3中的BP继续旋转，当30°＜α＜180°时，点D是直线BP上一点（点P不在线段BD上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）．14.（2015·辽宁本溪）（14分）如图，抛物线2y ax bx =+（0a ≠）经过点A （2，0），点B （3，3），BC ⊥x 轴于点C ，连接OB ，等腰直角三角形DEF 的斜边EF 在x 轴上，点E 的坐标为（﹣4，0），点F 与原点重合．（1）求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴；（2）△DEF 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向移动，运动时间为t 秒，当点D 落在BC 边上时停止运动，设△DEF 与△OBC 的重叠部分的面积为S ，求出S 关于t 的函数关系式；（3）点P 是抛物线对称轴上一点，当△ABP 时直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点P 坐标．15.（2015·辽宁锦州）（10分）如图，△ABC 中，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ，AD ，点F 在BA 的延长线上，且AF =12AB ，连接EF ，判断四边形ADEF 的形状，并加以证明．16.（2015·辽宁锦州）（10分）开学初，小明到文具批发部一次性购买某种笔记本，该文具批发部规定：这种笔记本售价y （元/本）与购买数量x （本）之间的函数关系如图所示．（1）图中线段AB 所表示的实际意义是 ；（2）请直接写出y 与x 之间的函数关系式；（3）已知该文具批发部这种笔记本的进价是3元/本，若小明购买此种笔记本超过10本但不超过20本，那么小明购买多少本时，该文具批发部在这次买卖中所获的利润W （元）最大？最大利润是多少？17.（2015·辽宁锦州）（12分）如图①，∠QPN 的顶点P 在正方形ABCD 两条对角线的交点处，∠QPN =α，将∠QPN 绕点P 旋转，旋转过程中∠QPN 的两边分别与正方形ABCD 的边AD 和CD 交于点E 和点F （点F 与点C ，D 不重合）．（1）如图①，当α=90°时，DE ，DF ，AD 之间满足的数量关系是 ；（2）如图②，将图①中的正方形ABCD 改为∠ADC =120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE +DF =12AD ，请给出证明； （3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN 的边PQ 与射线AD 交于点E ，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE ，DF ，AD 之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．18.（2015·辽宁锦州）（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =++经过点A （﹣1，0）和点B （4，0），且与y 轴交于点C ，点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点，连接CA ，CD ，PD ，PB ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDB 的面积等于△CAD 的面积时，求点P 的坐标；（3）当m＞0，n＞0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值．。
专题12探索性问题(第02期)-2021年中考数学试题分项版解析汇编(山东专版)(解析版)
一、选择题：1.（山东济南，第14题,3分）在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点P （0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A、B、C 为对称中心重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2015的坐标是（）A．（0，0）B．（0，2）C．（2，﹣4）D．（﹣4，2）【答案】A考点：点的坐标．2.(山东日照，第11题，3分)观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（）A. 36B. 45C. 55D. 66【答案】B考点：完全平方公式．3．（山东泰安，第18题）（3分）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（）【答案】C．考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．4.（山东威海，第12题，3分）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（）A.92432B.98132C.9812D.88132 【答案】D考点：正多边形和圆5.（山东烟台，第8题，3分）如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外做正方形，其面积标记为2S ，…，按照此规律继续下去，则2015S 的值为（ ）A ．20122()2 B. 20132()2C. 20121()2D. 20131()2【答案】C【解析】考点：勾股定理，正方形的面积，规律探索1.（山东济宁，第15题,3分）若221223127⨯-⨯=-⨯⨯,222222(1223)(3445)(5667)3415⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯⨯, ……则222222(1223)(3445).........(2n 1)(2n)2(2n 1)n ⎡⎤⨯-⨯+⨯-⨯++--+=⎣⎦【答案】-n(n+1)(4n+3)考点：规律探索2.（山东潍坊，第17题，3分）如图，正△ABC 的边长为2，以BC 边上的高1AB 为边作正11AB C ∆,△ABC 与11AB C ∆公共部分的面积记为1S ；再以正11AB C ∆边11B C 上的高2AB 为边作22AB C ∆，11AB C ∆与22AB C ∆公共部分的面积记为2S ；......，以此类推，则n S = .（用含n 的式子表示）.【答案】33 () 24n考点：1.等边三角形的性质；2.特殊角的三角函数值.3．（3分）（2015•聊城，第17题）如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P1，把△ABC分成3个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把△ABC分成5个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3，把△ABC分成7个互不重叠的小三角形；…△ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3、…、P n，把△ABC分成个互不重叠的小三角形．【答案】3+2（n﹣1）考点：规律型：图形的变化类。
初中数学探索性专题单元测试题(附答案)(2021年整理)
初中数学探索性专题单元测试题(附答案)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（初中数学探索性专题单元测试题(附答案)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为初中数学探索性专题单元测试题(附答案)(word版可编辑修改)的全部内容。
探索性专题单元测试题（满分：100分;考试时间：100分钟)一、填空（每小题5分，共50分）1. 观察：21=2，22=4,23=8,24=16，25=32，26=64，27=128,28=256… 通过观察用你所发现的规律写出21995的未位数是 。
2。
瑞士中学教师巴尔米成功地从光谱数据59、1216、2125、3236…中得到巴尔 米公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请你按这种规律写出第七个数 . 3. 下列是一个有规律排列的数表：第1列 第2列 第3列 第4列…第n 例…第1行: 1121 31 41 …n 1 …第2行: 12 22 32 42 …n 2…第3行: 13 23 33 43 …n3…上面数表中第9行,第7列的数是 。
4. 观察下面一列数： 1-2 3 -45 —67 —89 -10 11 —12 13 -14 15 -16 …… ……按上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是 。
5. 将正奇数如下表排列：按表中的排列规则，数 2005应排在第 行第 列。
6。
已知n （n ≥2）个点P 1、P 2、P 3…P n 在同一平面内，且其中没有任何三点在同一直线上，设Sn 表示过这n 个点中的任意2个点所作的所有直线的条数,显然S 2=1，S 3=3，S 4=6,S 5=10…，由此推断S n = 。
中考数学专题复习探索性问题复习教案新人教版(2021年整理)
中考数学专题复习 探索性问题复习教案 （新版）新人教版1 /111中考数学专题复习 探索性问题复习教案 （新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（中考数学专题复习 探索性问题复习教案 （新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为中考数学专题复习 探索性问题复习教案 （新版）新人教版的全部内容。
探索性问题一、【教材分析】二、【教学流程】2 / 1123 / 113综合运用例2（1）探究新知:如图①，已知△ABC与△ABD的面积相等,试探究AB与CD的位置关系，并说明理由．（2）结论应用:①如图②，点M，N在反比例函数xky （k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E,F．试探究MN与EF的位置关系．②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图③所示，试探究MN与EF的位置关系．只有认真观察图象上所给的各个数据及位置特征,灵活运用函数性质,才能找出所有的关系与结论，数形结合是解答此类问题的重要数学思想方法。
学生通过探究新知→应用新知,培养学生的探究应用能力．yNMEA BDC图①G H5 / 115击中考第二步:再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点B′，得 Rt△AB′E，如图2－6－19（2）所示;第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图2－6－19⑶所示；利用展开图 2－6－19(4）所示探究：（l）△AEF是什么三角形？证明你的结论．(2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．2. 如图2－6－20所示，在Rt△ABC中,6 / 116∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE，交BC于 D，交AB于E，F在DE上，并且A F＝CE．⑴求证:四边形ACEF是平行四边形；⑵当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论；⑶四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？完善整合1.1.知识结构图探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断,补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3)探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完对内容的升华理解认识7 / 1178 / 1182．本这节课你收获了什么？作业一、必做题：1、（2010.荆门中考)如图，坐标平面内一点A(2，－1）,O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）A 。
专题12探索性问题-2021年中考数学试题分项版解析汇编(原卷版)
专题12：探索性问题一、选择题1.（2017湖南长沙第11题）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（）A．24里B．12里C．6里D．3里2.（2017山东临沂第11题）将一些相同的“”按如图所示摆放，观察每个图形中的“”的个数，若第n个图形中“”的个数是78，则n的值是（）A．11 B．12 C．13 D．143.(2017山东日照第11题)观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）4.（2017浙江台州第10题）如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE BF=，将,AEH CFG∆∆分别沿,EH FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的116时，则AEEB为（）A．53B．2 C.52D．45.（2017浙江湖州第10题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从544⨯的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有2020⨯的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M 经过跳马变换到达与其相对的顶点N ，最少需要跳马变换的次数是（ ）A ．13B ．14 C.15 D ．16二、填空题1.(2017山东滨州第18题)观察下列各式： 2111313=-⨯， 2112424=-⨯……请利用你所得结论，化简代数式213⨯＋224⨯＋235⨯＋…＋2(2)n n +（n ≥3且为整数），其结果为__________． 2,(2017山东菏泽第14题)如图，y AB ⊥轴，垂足为B ，将ABO ∆绕点A 逆时针旋转到11O AB ∆的位置，使点B 的对应点1B 落在直线x y 33-=上，再将11O AB ∆绕点1B 逆时针旋转到111O B A ∆的位置，使点1O 的对应点2O 落在直线x y 33-=上，依次进行下去......若点B 的坐标是)1,0(，则点12O 的纵坐标为 ．3.（2017浙江湖州第15题）如图，已知30∠AOB =，在射线OA 上取点1O ，以1O 为圆心的圆与OB 相切；在射线1O A 上取点2O ，以2O 为圆心，21O O 为半径的圆与OB 相切；在射线2O A 上取点3O ，以3O 为圆心，32O O 为半径的圆与OB 相切；⋅⋅⋅；在射线9O A 上取点10O ，以10O 为圆心，109O O 为半径的圆与OB 相切．若1O 的半径为1，则10O 的半径长是 ．4.(2017湖南湘潭第15题)如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=°，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，DE 垂直平分AB ，垂足为E 点，请任意写出一组相等的线段 ．5.(2017浙江舟山第15题)如图，把n 个长为1的正方形拼接成一排，求得71tan ,31tan ,1tan 321=∠=∠=∠C BA C BA C BA ，计算=∠C BA 4tan ，……，按此规律，写出=∠C BA n tan （用含n 的代数式表示）．三、解答题1.（2017山东临沂第25题）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC 、BD 是四边形ABCD 的对角线，若ACB ACD ∠=∠=60ABD ADB ∠=∠=︒，则线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？ 经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB 到E ，使BE CD =，连接AE ，证得ABE ADC ≌，从而容易证明ACE 是等边三角形，故AC CE =，所以AC BC CD =+.小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将ABC 绕着点A 逆时针旋转60︒，使AB 与AD 重合，从而容易证明ACF 是等比三角形，故AC CF =，所以AC BC CD =+.在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“ACB ACD ∠=∠=60ABD ADB ∠=∠=︒”改为“ACB ACD ∠=∠=45ABD ADB ∠=∠=︒”，其它条件不变，那么线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明.（2）小华提出：如图5，如果把“ACB ACD ∠=∠=60ABD ADB ∠=∠=︒”改为“ACB ACD ∠=∠=ABD ADB α∠=∠=”，其它条件不变，那么线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明.2.(2017山东日照第18题)如图，已知BA=AE=DC ，AD=EC ，CE ⊥AE ，垂足为E ．（1）求证：△DCA ≌△EAC ；（2）只需添加一个条件，即 ，可使四边形ABCD 为矩形．请加以证明．3.(2017浙江金华第23题)如图1，将ABC ∆纸片沿中位线EH 折叠，使点A 的对称点D 落在BC 边上，再将纸片分别沿等腰BED ∆和等腰DHC ∆的底边上的高线EF ，HG 折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．(1)将ABCD 纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG ，则操作形成的折痕分别是线段_____，_____；:ABCD AEFG S S =矩形 ______.(2)ABCD 纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH ，若5EF =，12EH =，求AD 的长．(3)如图4，四边形ABCD 纸片满足,,,8,10AD BC AD BC AB BC AB CD <⊥==．小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．．．．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出,AD BC 的长．4.(2017湖南湘潭第26题)如图，动点M 在以O 为圆心，AB 为直径的半圆弧上运动（点M 不与点A B 、及AB 的中点F 重合），连接OM .过点M 作ME AB ⊥于点E ，以BE 为边在半圆同侧作正方形BCDE ，过M 点作O 的切线交射线DC 于点N ，连接BM 、BN .（1）探究：如左图，当M 动点在AF 上运动时；①判断OEMMDN ∆∆是否成立？请说明理由； ②设ME NC k MN+=，k 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由； ③设MBN α∠=，α是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；（2）拓展：如右图，当动点M 在FB 上运动时；分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论.（均不必说明理由）。
专题12探索性问题(第01期)-2022年中考数学试题分项版解析汇编(浙江专版)(解析版)
1．(2021·杭州市第22题12分)如图，在△ABC中(BC>AC)，∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E(1)、假设13ADDB，AE=2，求EC的长(2)、设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P，问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由【答案】6；略.考点：等腰三角形的性质、角度之间的关系.【答案】8736561(2128或写成）.考点：正方形的性质；相似三角形的判定及性质；规律探究题.3. (2021·湖州市第23题10分)问题背景：在△AB C中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连结DE交AC于点F，点H 是线段AF上一点(1)初步尝试：如图1，假设△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等，求证：HF=AH+CF 小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立.思路二：过点E作EM⊥A C，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=M F，从而证得结论成立. 请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答，那么以第一种方法评分)(2)类比探究：如图2，假设在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E的运动速度之比是31，求ACHF的值.(3)延伸拓展：如图3，假设在△ABC 中，AB=A C ，∠ADH=∠BAC =36°，记BC AC =m ，且点D 、E 的运动速度相等，试用含m 的代数式表示AC HF(直接写出结果，不必写解答过程). 【答案】〔1〕详见解析；〔2〕AC HF =2 ；(3) 1AC m HF m+=.考点：等边三角形的判定及性质；全等三角形的判定及性质；平行线的性质；比例的性质.4.〔2021·丽水市 第23题 10分〕如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BE 上的一点，连结CF并延长交AB 于点M ，MN ⊥CM 交射线AD 于点N 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题12 探索性问题一、选择题1.（2021浙江衢州第7题）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P 作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④2. （2021浙江衢州第10题）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB 是⊙O 的直径，CD ，EF 是⊙O 的弦，且AB ∥CD ∥EF ，AB =10，CD =6，EF =8。
则图中阴影部分的面积是（ ）A.π225B. π10C. π424+D. π524+ 3.（2021山东德州第9题）公式KP L L +=0表示当重力为P 时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度. 0L 表示弹簧的初始长度,用厘米(cm )表示，K 表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧的长度，用厘米(cm )表示。
下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（ ）A ．L =10+0.5PB ．L =10+5PC ．L =80+0.5PD ．L =80+5P4. （2021山东德州第12题）观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形的中点，构成4个小三角形，挖去中间的小三角形（如题1）；对剩下的三角形再分别重复以上做法，……，将这种做法继续下去（如图2，图3……），则图6中挖去三角形的个数为（ ） A ．121 B ．362 C ．364 D ．7295.（2021浙江宁波第12题）一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中n 个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n 的最小值是( )A.3B.4C.5D.66.（2021重庆A 卷第10题）下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（ ）A ．73B ．81C ．91D ．1097.（2021广西贵港第11题）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠= ，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，P 是''A B 的中点，连接PM ，若230BC BAC =∠=，，则线段PM 的最大值是 （ ）A ．4B ．3 C.2 D ．18.（2021湖北武汉第10题）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，以ABC ∆的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC ∆的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）A．4 B．5 C．6 D．79.（2021贵州黔东南州第10题）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．.根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（）A．2021 B．2016 C．191 D．19010.（2021四川泸州第12题）已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（3，3），P是抛物线y=14x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．611.（2021四川自贡第11题）填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为（）A ．180B ．182C ．184D ．186 二、填空题1. （2021浙江衢州第14题）如图，从边长为（a +3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是 ．2. （2021浙江衢州第15题）如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为（-1，0），半径为1，点P 为直线343+-=x y 上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是__________3．（2021浙江衢州第16题）如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限。
△ABO 沿x 轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得△A 1B 1O ，则翻滚3次后点B 的对应点的坐标是__________；翻滚2021次后AB 中点M 经过的路径长为__________4.（2021浙江宁波第15题）如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第⑦个图案有 个黑色棋子．5. （2021浙江宁波第17题）已知ABC △的三个顶点为1,1A，1,3B，3,3C，将ABC △向右平移0m m个单位后，ABC△某一边的中点恰好落在反比例函数3yx的图象上，则m的值为.6.（2021甘肃庆阳第18题）下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为，第2021个图形的周长为．7.（2021贵州安顺第18题）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n﹣1B n顶点B n的横坐标为．8.（2021贵州安顺第17题）如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为．9.（2021湖南怀化第16题）如图，在菱形ABCD中，120ABC∠°，10cmAB，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以,,P B C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为cm.10.（2021甘肃兰州第20题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABCO 的顶点A ，B 的坐标分别是3,0A ，0,2B ，动点P 在直线32yx 上运动，以点P 为圆心，PB 长为半径的P ⊙随点P 运动，当P ⊙与四边形ABCO 的边相切时，P 点的坐标为.11.（2021贵州黔东南州第16题）把多块大小不同的30°直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB 的一条直角边与y 轴重合且点A 的坐标为（0，1），∠ABO =30°；第二块三角板的斜边BB 1与第一块三角板的斜边AB 垂直且交y 轴于点B 1；第三块三角板的斜边B 1B 2与第二块三角板的斜边BB 1垂直且交x 轴于点B 2；第四块三角板的斜边B 2B 3与第三块三角板的斜边B 1B 2C 垂直且交y 轴于点B 3；…按此规律继续下去，则点B 2021的坐标为 ．12.（2021江苏徐州第18题）如图，已知1OB ，以OB 为直角边作等腰直角三角形1A BO .再以1OA 为直角边作等腰直角三角形21A AO ，如此下去，则线段n OA 的长度为 ．13.（2021浙江嘉兴第15题）如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得1tan 1BAC ∠=，21tan 3BA C ∠=，31tan 7BA C ∠=，计算4tan BA C ∠= ，……按此规律，写出tan n BA C ∠=（用含n 的代数式表示）．14.（2021浙江嘉兴第16题）一副含30︒和45︒角的三角板ABC 和DEF 叠合在一起，边BC 与EF 重合，12BC EF cm ==（如图1），点G 为边BC ()EF 的中点，边FD 与AB 相交于点H ，此时线段BH 的长是 ．现将三角板DEF 绕点G 按顺时针方向旋转（如图2），在CGF ∠从0︒到60︒的变化过程中，点H 相应移动的路径长共为 ．（结果保留根号）三、解答题1. （2021浙江衢州第23题） 问题背景如图1，在正方形A BCD 的内部，作∠DAE =∠ABF =∠BCG =∠CDH ，根据三角形全等的条件，易得△DAE ≌△ABF ≌△BCG ≌△CDH ，从而得到四边形EFGH 是正方形。
类比研究如图2，在正△ABC 的内部，作∠BAD =∠CBE =∠ACF ，AD ，BE ，CF 两两相交于D ，E ，F 三点（D ，E ，F 三点不重合）。
（1）△ABD ，△BCE ，△CAF 是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明； （2）△DEF 是否为正三角形？请说明理由；（3）进一步探究发现，△ABD 的三边存在一定的等量关系，设a BD =，b AD =，c AB =，请探索a ，b ，c 满足的等量关系。
2.（2021山东德州第24题）有这样一个问题：探究同一坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数1=ky x 与=（k 0）k y x ≠的图象性质.小明根据学习函数的经验，对函数1=k y x 与=k y x ，当k >0时=（k 0）ky x≠的图象性质进行了探究，下面是小明的探究过程： （1）如图所示，设函数1=k y x 与=ky x图像的交点为A ,B.已知A 的坐标为(-k ，-1)，则B 点的坐标为 .(2)若P 点为第一象限内双曲线上不同于点B 的任意一点.①设直线P A 交x 轴于点M ，直线PB 交x 轴于点N .求证：PM =PN . 证明过程如下：设P (m ，km)，直线P A 的解析式为y =ax +b (a ≠0). 则-+=-1+=ka b k ma b m⎧⎪⎨⎪⎩ 解得a b ⎧=⎨=⎩所以,直线P A 的解析式为 ．请把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明.②当P 点坐标为(1,k )(k ≠1)时，判断ΔP AB 的形状，并用k 表示出ΔP AB 的面积.3.（2021浙江宁波第26题）有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形. (1)如图1，在半对角四边形ABCD 中，12BD ∠∠，12C A ∠∠，求B ∠与C ∠的度数之和； (2)如图2，锐角ABC △内接于O ⊙，若边AB 上存在一点D ，使得BD BO ，OBA ∠的平分线交OA 于点E ，连结DE 并延长交AC 于点F ，2AFE EAF ∠∠.求证：四边形DBCF 是半对角四边形； (3)如图3，在(2)的条件下，过点D 作DG OB 于点H ，交BC 于点G ，当DH BG 时，求BGH △与ABC △的面积之比.4.（2021重庆A 卷第25题）对任意一个三位数n ，如果n 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F （n ）．例如n =123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F （123）=6． （1）计算：F （243），F （617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=() ()F sF t，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．5.（2021湖南怀化第24题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线25y ax bx与x轴交于1,0A，5,0B两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D是y轴上的一点，且以,,B C D为顶点的三角形与ABC△相似，求点D的坐标；(3)如图2，CE x∥轴玮抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；(4)若点K为抛物线的顶点，点4,M m是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标.6.（2021江苏无锡第25题）操作：“如图1，P是平面直角坐标系中一点（x轴上的点除外），过点P作PC⊥x 轴于点C，点C绕点P逆时针旋转60°得到点Q．”我们将此由点P得到点Q的操作称为点的T变换．（1）点P（a，b）经过T变换后得到的点Q的坐标为；若点M经过T变换后得到点N（6，﹣3），则点M的坐标为．（2）A是函数y=32x图象上异于原点O的任意一点，经过T变换后得到点B．①求经过点O，点B的直线的函数表达式；②如图2，直线AB交y轴于点D，求△OAB的面积与△OAD的面积之比．7.（2021江苏盐城第24题）如图，△ABC是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部．（1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹）（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长．8.（2021江苏盐城第26题）【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为．【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为．（用含a，h的代数式表示）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE ，AB =32，BC =40，AE =20，CD =16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量AB =50cm ，BC =108cm ，CD =60cm ，且tanB =tanC =43，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M 、N 在边BC 上且面积最大的矩形PQMN ，求该矩形的面积．9.（2021山东烟台第23题）【操作发现】（1）如图1，ABC ∆为等边三角形，先将三角板中的060角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于00且小于030）.旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D .在三角板斜边上取一点F ，使CD CF =，线段AB 上取点E ，使030=∠DCE ，连接AF ，EF .①求EAF ∠的度数；②DE 与EF 相等吗？请说明理由；【类比探究】（2）如图2，ABC ∆为等腰直角三角形，090=∠ACB ，先将三角板的090角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于00且小于045）.旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D .在三角板另一直角边上取一点F ，使CD CF =，线段AB 上取点E ，使045=∠DCE ，连接AF ，EF .请直接写出探究结果：①EAF ∠的度数；学科*网②线段DB ED AE ,,之间的数量关系.10.（2021四川自贡第24题）【探究函数y=x+4x的图象与性质】（1）函数y=x+4x的自变量x的取值范围是；（2）下列四个函数图象中函数y=x+4x的图象大致是；（3）对于函数y=x+4x，求当x＞0时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．解：∵x＞0∴y=x+4x=x2+2x）2=x2x2+x 2x2≥0∴y≥．[拓展运用]（4）若函数y =2-5x 9x x+，则y 的取值范围 ． 11.（2021江苏徐州第27题）如图，将边长为6的正三角形纸片ABC 按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕,AD BE （如图①），点O 为其交点.（1）探求AO 与OD 的数量关系，并说明理由；（2）如图②，若,P N 分别为,BE BC 上的动点.①当PN PD +的长度取得最小值时，求BP 的长度；②如图③，若点Q 在线段BO 上，1BQ =，则QN NP PD ++的最小值=.。