点估计的常用方法
6.2 点估计的常用方法
（1）似然函数为： 取对数得：
令
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
（3）判断并求出最大似然估计：
p 的最大似然估计值为：
p 的最大似然估计量为：
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
解：（1）似然函数为：
令
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
确定的估计量称为 矩估计量. 相应的估计值称为 矩估计值. 矩估计量与矩估计 值统称为 矩估计.
第二节 点估计的常用方法
一、矩估计法
解：（1）求总体 X 的一阶矩, 即总体 X 的数学期望：
矩估计值为
第二节 点估计的常用方法
一、矩估计法
解:（1）求总体 X 的一阶矩和二阶矩：
第二节 点估计的常用方法
又因为二最大似然估计法第二节点估计的常用方法二最大似然估计法第二节点估计的常用方法二最大似然估计法第二节点估计的常用方法3判断并求出最大值点在最大值点的表达式中用样本值代入即得参数的最大似然估计值点估计的常用方法
一、矩估计法
基本思想：用样本矩来估计总体矩。
（3）判断并求出最大似然估计：
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
解：（1）似然函数为：
（2）由于
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
解：（1）似然函数为：
取对数得
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
最大似然估计量分别为
第二节 点估计的常用方法
作业:
习题 2(1), 4(1)
似 然 函 数
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
第二节 点估计的常用方法
统计学中的参数估计方法
统计学中的参数估计方法统计学中的参数估计方法是研究样本统计量与总体参数之间关系的重要工具。
通过参数估计方法，可以根据样本数据推断总体参数的取值范围，并对统计推断的可靠性进行评估。
本文将介绍几种常用的参数估计方法及其应用。
一、点估计方法点估计方法是指通过样本数据来估计总体参数的具体取值。
最常用的点估计方法是最大似然估计和矩估计。
1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）最大似然估计是指在给定样本的条件下，寻找最大化样本观察值发生的可能性的参数值。
它假设样本是独立同分布的，并假设总体参数的取值满足某种分布。
最大似然估计可以通过求解似然函数的最大值来得到参数的估计值。
2. 矩估计（Method of Moments）矩估计是指利用样本矩与总体矩的对应关系来估计总体参数。
矩估计方法假设总体参数可以通过样本矩的函数来表示，并通过求解总体矩与样本矩的关系式来得到参数的估计值。
二、区间估计方法区间估计是指根据样本数据来估计总体参数的取值范围。
常见的区间估计方法有置信区间估计和预测区间估计。
1. 置信区间估计（Confidence Interval Estimation）置信区间估计是指通过样本数据估计总体参数，并给出一个区间，该区间包含总体参数的真值的概率为预先设定的置信水平。
置信区间估计通常使用标准正态分布、t分布、卡方分布等作为抽样分布进行计算。
2. 预测区间估计（Prediction Interval Estimation）预测区间估计是指根据样本数据估计出的总体参数，并给出一个区间，该区间包含未来单个观测值的概率为预先设定的置信水平。
预测区间估计在预测和判断未来观测值时具有重要的应用价值。
三、贝叶斯估计方法贝叶斯估计方法是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法。
贝叶斯估计将先验知识与样本数据相结合，通过计算后验概率分布来估计总体参数的取值。
贝叶斯估计方法的关键是设定先验分布和寻找后验分布。
点估计方法——精选推荐
其次知估计法的前提要求用到的各阶知存在且有限， 但有的分布，如柯西分布，任何阶都不存在，那就不 能用知估计法了。
7.1.2 极大似然估计法
从理论上来说，极大似然估计法是最重要的点估计方 法，它利用样本的联合分布密度(或联合分布律)中提 供的样本取值与分布中参数的关系，去求参数的点估 计，从而使估计量具有许多优良性。
(1) 待估参数为总体原点矩 α1,α2 ,Lαl 。则令
∑ αk
=
Ak
=
1 n
n
ξik ,
i=1
k
= 1, 2,L,l
(2) 待估参数为分布中θ1,θ2 ,L,θk ，先用总体ξ 前k阶
原点矩α1,α2 ,L,αk 把未知参数 θ1,θ2 ,L,θk 表示出来，
不妨记成
⎧ ⎪ ⎨
θ1 = g1(α1,L,αk )
之为参数 θ1,θ2 ,L,θk 的估计量，记成
θˆi = Ti (ξ1,ξ2 ,L,ξn ), i = 1, 2,L, k
估计值：设样本的观察值为 x1, x2 ,L xn ，将它们代入 估计量Ti 就得到k个数Ti (x1, x2 ,L, xn ) = ti , i = 1, 2,L, k 称 t1,t2 ,Ltk 为估计量的值（或称估计值） 以后把估计量和估计值统称为估计
离散情形的一般描述 若总体为离散型随机变量，分布律为
P{ξ = x) = P{x;θ1,Lθk ) 其中θ1,Lθk为未知参数，设样本 ξ1,ξ2,Lξn 的观察值
为 x1, x2,L, xn ，样本的联合分布律为
n
L(θ1,θ2,Lθk ) = P{ξ1 = x1,L,ξn = xn} = ∏ P{ξi = xi ;θ1,L,θk }
常见的点估计的方法
常见的点估计的方法
宝子，今天咱们来唠唠常见的点估计方法哈。
一种是矩估计法呢。
这就像是找东西的时候从最熟悉的地方开始找起。
矩估计法是利用样本矩来估计总体矩。
比如说，样本均值可以用来估计总体均值，样本方差可以用来估计总体方差。
它的想法很简单直接，就像是用已知的样本特征去推测总体的那些神秘特征。
这就好比你看到一群小鸭子走路的样子，就大概能猜到鸭妈妈走路的风格啦。
还有最大似然估计法哟。
这个方法可就有点像侦探破案啦。
它是在已经知道样本的情况下，去找那个最有可能产生这些样本的总体参数。
就像是你在一个神秘的地方发现了一些脚印，然后你要去推测是哪种小动物留下的脚印可能性最大呢。
这个方法会根据样本数据构建一个似然函数，然后找到使这个函数值最大的那个参数值，这个值就是我们要的点估计值啦。
另外呀，最小二乘法也是很常见的点估计方法呢。
这个就像是给一群调皮的小朋友排队，要让他们排得最整齐。
在回归分析里经常用到它哦。
比如说我们有一堆数据点，想要找到一条直线或者曲线来最好地拟合这些点，最小二乘法就是通过让误差的平方和最小来确定这条线的参数的。
这就像是给每个数据点都找到一个最适合它的位置，让它们整体看起来最和谐。
这些点估计方法在很多实际的情况里都超级有用的。
比如说在做市场调查的时候，我们可以用这些方法来估计消费者的平均消费水平呀，或者某种产品受欢迎程度的参数之类的。
就像我们要知道大家有多爱喝奶茶，就可以用这些方法从抽样的结果里去推测整体的情况啦。
宝子，你看，这些方法虽然听起来有点复杂，但理解起来是不是还挺有趣的呀？。
五种估计参数的方法
五种估计参数的方法在统计学和数据分析中，参数估计是一种用于估计总体的未知参数的方法。
参数估计的目标是通过样本数据来推断总体参数的值。
下面将介绍五种常用的参数估计方法。
一、点估计点估计是最常见的参数估计方法之一。
它通过使用样本数据计算出一个单一的数值作为总体参数的估计值。
点估计的核心思想是选择一个最佳的估计量，使得该估计量在某种准则下达到最优。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是一种常用的点估计方法。
它的核心思想是选择使得样本观测值出现的概率最大的参数值作为估计值。
最大似然估计通常基于对总体分布的假设，通过最大化似然函数来寻找最优参数估计。
矩估计（Method of Moments，简称MoM）是另一种常用的点估计方法。
它的核心思想是使用样本矩和总体矩之间的差异来估计参数值。
矩估计首先计算样本矩，然后通过解方程组来求解参数的估计值。
二、区间估计点估计只给出了一个参数的估计值，而没有给出该估计值的不确定性范围。
为了更全面地描述参数的估计结果，我们需要使用区间估计。
区间估计是指在一定的置信水平下，给出一个区间范围，该范围内包含了真实参数值的可能取值。
常见的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是对总体参数的一个区间估计，表示我们对该参数的估计值的置信程度。
置信区间的计算依赖于样本数据的统计量和分布假设。
一般来说，置信区间的宽度与样本大小和置信水平有关，较大的样本和较高的置信水平可以得到更准确的估计。
预测区间是对未来观测值的一个区间估计，表示我们对未来观测值的可能取值范围的估计。
预测区间的计算依赖于样本数据的统计量、分布假设和预测误差的方差。
与置信区间类似，预测区间的宽度也与样本大小和置信水平有关。
三、贝叶斯估计贝叶斯估计是一种基于贝叶斯理论的参数估计方法。
它将参数看作是一个随机变量，并给出参数的后验分布。
贝叶斯估计的核心思想是根据样本数据和先验知识来更新参数的分布，从而得到参数的后验分布。
高考数学知识点解析参数估计的方法与性质
高考数学知识点解析参数估计的方法与性质高考数学知识点解析：参数估计的方法与性质在高考数学中，参数估计是一个重要的知识点，它在统计学和概率论中有着广泛的应用。
理解和掌握参数估计的方法与性质，对于解决相关的数学问题以及在实际生活中的数据分析都具有重要意义。
一、参数估计的基本概念参数估计是指从样本数据中估计总体参数的值。
总体参数是描述总体特征的数值，例如总体均值、总体方差等。
而样本则是从总体中抽取的一部分数据。
通过对样本数据的分析和处理，我们试图推测出总体参数的大致范围或准确值。
二、参数估计的方法1、点估计点估计是用一个具体的数值来估计总体参数。
常见的点估计方法有矩估计法和最大似然估计法。
（1）矩估计法矩估计法的基本思想是利用样本矩来估计总体矩，从而得到总体参数的估计值。
例如，对于总体均值的估计，可以用样本均值来代替；对于总体方差的估计，可以用样本方差来代替。
（2）最大似然估计法最大似然估计法是基于样本出现的概率最大的原则来估计参数。
假设总体服从某种分布，通过求解使得样本出现概率最大的参数值，即为最大似然估计值。
2、区间估计区间估计则是给出一个区间，认为总体参数落在这个区间内的可能性较大。
这个区间被称为置信区间，而与之对应的概率称为置信水平。
三、参数估计的性质1、无偏性如果一个估计量的期望值等于被估计的参数，那么这个估计量就是无偏估计量。
无偏性意味着在多次重复抽样和估计的过程中，估计量的平均值会趋近于真实参数值。
2、有效性在多个无偏估计量中，方差越小的估计量越有效。
有效性反映了估计量的精度，方差小表示估计值的波动较小，更接近真实值。
3、一致性当样本容量无限增大时，如果估计量的值越来越接近被估计的参数，那么这个估计量就是一致估计量。
一致性保证了在样本量足够大时，估计量能够准确地反映总体参数。
四、参数估计在实际问题中的应用1、质量控制在生产过程中，通过对样本产品的检测和参数估计，可以推断出整批产品的质量情况，从而决定是否需要调整生产流程。
常用的点估计方法
常用的点估计方法1. 极大似然估计：极大似然估计是一种常用的点估计方法，通过选择使观测数据出现可能性最大的参数值来进行估计。
它的核心思想是通过观察到的数据来推断未观察到的参数值，从而对总体特征进行估计。
2. 最小二乘估计：最小二乘估计是一种常用的线性回归参数估计方法，它通过最小化观测数据与模型预测值之间的残差平方和来选择最优参数值。
最小二乘估计在统计学中应用广泛，特别是在回归分析和时间序列分析中。
3. 贝叶斯估计：贝叶斯估计是一种基于贝叶斯理论的点估计方法，它将先验信息结合观测数据来推断参数的后验分布，并通过选择后验分布的某个统计量（如期望值）来进行估计。
贝叶斯估计强调对参数的不确定性进行建模，并可以用于处理小样本问题。
4. 矩估计：矩估计是一种基于样本矩的点估计方法，它利用样本矩与总体矩之间的对应关系来推断参数值。
矩估计要求总体矩存在且能够通过观测数据的矩估计得到，适用于多种分布的参数估计。
5. 稳健估计：稳健估计是一种对异常值和模型假设违背具有一定鲁棒性的点估计方法。
它能够通过对观测数据进行适当的变换和调整，来推断参数估计值。
稳健估计在非正态分布和包含异常值的数据情况下表现出较好的性能。
6. 最大后验概率估计：最大后验概率估计是一种基于贝叶斯理论的点估计方法，它将先验信息和观测数据结合起来，通过选择使后验概率最大化的参数值来进行估计。
最大后验概率估计相对于最大似然估计能够更好地处理小样本问题，并对参数的先验概率进行建模。
7. 偏最小二乘估计：偏最小二乘估计是一种在多元统计中常用的点估计方法。
它通过最小化观测数据和预测值之间的误差，选择使预测误差最小的参数值。
偏最小二乘估计在回归分析和主成分分析等领域都有广泛应用。
8. 条件最大似然估计：条件最大似然估计是一种在有缺失数据或混合分布的情况下常用的点估计方法。
它通过对观测数据的边际分布进行建模，并通过最大化边际似然来选择参数值。
条件最大似然估计在处理缺失数据和复杂模型中具有重要的作用。
参数估计方法与实例例题和知识点总结
参数估计方法与实例例题和知识点总结一、参数估计的概念参数估计是指根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数。
参数通常是描述总体分布的特征值，比如均值、方差、比例等。
二、参数估计的方法（一）点估计点估计就是用样本统计量来估计总体参数，给出一个具体的数值。
常见的点估计方法有矩估计法和最大似然估计法。
1、矩估计法矩估计法的基本思想是用样本矩来估计总体矩。
比如，用样本均值估计总体均值，用样本方差估计总体方差。
2、最大似然估计法最大似然估计法是求使得样本出现的概率最大的参数值。
它基于这样的想法：如果在一次抽样中得到了某个样本，那么这个样本出现概率最大的参数值就是总体参数的估计值。
（二）区间估计区间估计则是给出一个区间，认为总体参数以一定的概率落在这个区间内。
区间估计通常包含置信水平和置信区间两个概念。
置信水平表示区间包含总体参数的可靠程度，常见的置信水平有90%、95%和 99%。
置信区间则是根据样本数据计算得到的一个区间范围。
三、实例例题假设我们要研究某地区成年人的身高情况。
随机抽取了 100 名成年人，他们的身高数据如下（单位：厘米）：165, 170, 172, 168, 175, 180, 160, 178, 176, 169,（一）点估计1、用样本均值估计总体均值：计算这 100 个数据的均值，得到样本均值为 172 厘米。
因此，我们估计该地区成年人的平均身高约为 172 厘米。
2、用样本方差估计总体方差：计算样本方差，得到约为 25 平方厘米。
（二）区间估计假设我们要以 95%的置信水平估计总体均值的置信区间。
首先，根据样本数据计算样本标准差，然后查找标准正态分布表或使用相应的统计软件，得到置信系数。
最终计算出置信区间为（168，176）厘米。
这意味着我们有 95%的把握认为该地区成年人的平均身高在 168 厘米到 176 厘米之间。
四、知识点总结（一）点估计的评价标准1、无偏性：估计量的期望值等于被估计的参数。
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第二节 点估计的常用方法
内容分布图示
★ 矩估计法 ★ 求矩估计的方法
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 最大似然估计法
★ 求最大似然估计的一般方法
★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8
★ 关于有k 个未知参数的最大似然估计 ★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题6-2 ★ 返回
内容要点：
一、矩估计法
矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体矩. 因为由在数定理知, 当总体的k 阶矩存在时,样本的k 阶矩依概率收敛于总体的k 阶矩.例如, 可用样本均值X 作为总体均值)(X E 的估计量, 一般地, 记
总体k 阶矩 );(k k X E =μ
样本k 阶矩 ∑==n i k
i k X n A 1
1;
总体k 阶中心矩 ;)]([k k X E X E V -=
样本k 阶中心矩 .)(11
∑=-=n
i k i k X X n B
用相应的样本矩去估计总体矩的方法就称为矩估计法. 用矩估计法确定的估计量称为矩估计量. 相应的估计值称为据估计值. 矩估计量与矩估计值统称为矩估计. 求矩估计的方法：
设总体X 的分布函数),,;(1k x F θθ 中含有k 个未知参数k θθ,,1 , 则
(1) 求总体X 的前k 阶矩k μμ,,1 ，一般都是这k 个未知参数的函数, 记为
k i g k i i ,,2,1),,,(1 ==θθμ （*）
(2) 从（*）中解得 k j h k j j ,,2,1),,,(1 ==μμθ
(3) 再用),,2,1(k i i =μ的估计量i A 分别代替上式中的i μ,即可得),,2,1(k i j =θ的矩估计量:
.,,2,1),,,(ˆ1k j A A h k
j j ==θ
注：求,,,1k V V 类似于上述步骤，最后用k B B ,,1⋅⋅⋅代替k V V ,,1 ，求出矩估计j θˆ
),,2,1(k I ⋅⋅⋅=。
二、最大似然估计法
引例 某同学与一位猎人一起去打猎,一只野兔从前方窜过, 只听一声枪响, 野兔应声倒下, 试猜测是谁打中的?
由于只发一枪便打中,而猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率, 故一般会猜测这一枪是猎人射中的.
最大似然估计法的思想: 在已经得到实验结果的情况下, 应该寻找使这个结果出现的可能性最大的那个θ作为θ的估计θˆ.
注: 最大似然估计法首先由德国数学家高斯于1821年提出, 英国统计学家费歇于1922年重新发现并作了进一步的研究.
下面分别就离散型总体和连续型总体情形作具体讨论. 离散型总体的情形: 设总体X 的概率分布为
),,(}{θx p x X P ==其中θ为未知参数. 如果n X X X ,,,21 是取自总体X 的样本,样本的观察值为n x x x ,,,21 ,则样本的联合分布律
,),(},,,{111∏====n
i i n n x p x X x X P θ
对确定的样本观察值n x x x ,,,21 ,它是未知参数θ的函数, 记为∏===n
i i n x f x x x L L 121),(),,,,()(θθθ ,并称其为似然函数.
连续型总体的情形: 设总体X 的概率密度为),(θx f ,其中θ为未知参数,此时定义似然函数
∏===n
i i n x f x x x L L 121),(),,,,()(θθθ .
似然函数)(θL 的值的大小意味着该样本值出现的可能性的大小, 在已得到样本值
n
x x x ,,,2
1
的情况下, 则应该选择使)(θL 达到最大值的那个θ作为θ的估计θ
ˆ. 这种求点估计的方法称为最大似然估计法.
定义 若对任意给定的样本值n x x x ,,,21 , 存在
),,,(ˆˆ2
1
n
x x x θθ=,
使 ),(max )ˆ(θθ
θ
L L = 则称),,,(ˆˆ21n
x x x θθ=为θ的最大似然估计值.称相应的统计量),,,(ˆ21n X X X θ为θ最大似然估计量. 它们统称为θ的最大似然估计(MLE ).
三、求最大似然估计的一般方法
求未知参数θ的最大似然估计问题, 归结为求似然函数)(θL 的最大值点的问题. 当似然函数关于未知参数可微时, 可利用微分学中求最大值的方法求之. 其主要步骤:
(1) 写出似然函数),,,,()(21θθn x x x L L =;
(2) 令0)(=θθd dL 或0)(ln =θ
θd L d , 求出驻点;
注: 因函数L ln 是L 的单调增加函数,且函数)(ln θL 与函数)(θL 有相同的极值点,故常转化为求函数)(ln θL 的最大值点较方便.
(3) 判断并求出最大值点, 在最大值点的表达式中, 用样本值代入就得参数的最大似然估计值.
注：(i) 当似然函数关于未知参数不可微时，只能按最大似然估计法的基本思想求出最大值点。
(ii) 上述方法易推广至多个未知参数的情形.
例题选讲：
矩估计法
例1（讲义例1）设总体X 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,
01
0,)1()(x x x f αα
其中1->a 是未知数，n X X X ,,,21 是取自X 的样本, 求参数α的矩估计.
例2（讲义例2）设总体X 在],[b a 上服从均匀分布，b a ,未知. n X X X ,,,21 是来自
X 的样本, 试求b a ,的矩估计量.
例3（讲义例3）设总体X 的均值μ及方差2
σ都存在, 且有02>σ, 但2,σμ均为未知,
又设n X X X ,,,21 是来自X 的样本. 试求2
,σμ的矩估计量.
例4（讲义例4）设总体X 的概率分布为
2
2)1()1(23
21θθθθ--k P X
其中θ为未知参数.现抽得一个样本,1,2,1321===x x x 求θ的矩估计值.
最大似然估计法
例5 （讲义例5） 设),1(~p b X ，n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本，试求参数p 的最大似然估计.
例6（讲义例6）设总体X 服从],0[θ上的均匀分布, θ未知. n X X ,,1 为X 的样本, n x x ,,1 为样本值. 试求θ的最大似然估计.
例7（讲义例7）设总体X 服从指数分布, 其概率密度函数
⎩
⎨⎧≤>=-0,00
,),(x x e x f x λλλ
其中0>λ, 是未知参数. n x x x ,,,21 是来自总体X 的样本观察值, 求参数λ的最大似然估计值.
例8（讲义例8） 设n x x x ,,,21 是正态总体),(2σμN 的样本观察值, 其中2,σμ是未知参数, 试求μ和2σ的最大似然估计值.
课堂练习
1. 设总体X 具有概率概率密度
⎩⎨⎧≤>=--θθ
λθλθλx x e x f x ,
0,),,()(
其中θλ,0>为未知参数. n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本, 求λθ,的矩估计量.
2. 设总体X 在],[b a 上服从均匀分布，b a ,未知，n x x x ,,,21 是一个样本值. 试求b a ,的最大值似然估计量.。