九年级数学上册 第四章 图形的相似4 探索三角形相似的条件第3课时 黄金分割教案 (新版)北师大版-
第3课时黄金分割
1．理解和掌握黄金分割的定义．
2．理解黄金比的含义，会找一条线段的黄金分割点．
3．会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点．
重点
黄金分割的意义和简单应用．
难点
掌握寻找黄金分割点的方法．
一、情境导入
课件出示与“黄金分割”有关的图片，提出问题：
(1)芭蕾舞演员做相同的动作，踮脚尖和不踮脚尖，哪个更美？
(2)为什么身材苗条的模特还要穿高跟鞋？
(3)为什么世界第三高塔的上某某方明珠塔那么璀璨壮观？
学生小组讨论后给出答案，教师点评．
教师：美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在这些问题中，我们对美的认同的确是比较一致的，为什么这些图形会给人以美的感觉呢？这些美的事物是否存在内在的规律呢？和我们的数学知识有没有联系呢？这就是我们今天要研究的“黄金分割”．
二、探究新知
1．黄金分割的定义
课件出示一个五角星：
教师：在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC，BC的长度，然后计算AC
AB
，
BC
AC
，
它们之间有什么关系？ 学生：AC AB ＝BC AC
. 引导学生得出：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BC AC
，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．
2．计算黄金比
教师：那么AC 与AB 的比是多少呢？
学生计算后给出答案，教师点评并板书具体解题过程：
由AC AB ＝BC AC
，得AC 2＝AB·BC. 设AB ＝1，AC ＝x ，则BC ＝1－x.
∴x 2
＝1×(1－x)，
即x 2＋x －1＝0.
解这个方程，得
x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52
(不合题意，舍去)． 所以，AC AB ＝5－12
≈0.618. 教师：AC 与AB 的比叫做黄金比．其中AC AB
≈0.618. 3．找黄金分割点的方法
(1)课件出示：
如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：
①经过点B 作BD⊥AB，使BD ＝12
AB. ②连接DA ，在DA 上截取DE ＝DB.
③在AB 上截取AC ＝AE.则点C 为线段AB 的黄金分割点．
教师：能说说其中的道理吗？
教师：若点C 为线段AB 的黄金分割点，则点C 分线段AB 所成的两条线段AC ，BC 间需
满足AC AB ＝BC AC
.下面请大家进行验证．有困难时可以互相交流．为了计算方便，可设AB ＝1. 学生独立完成后给出答案，教师点评．
(2)教师：采用如下的方法也可以得到黄金分割点．
①如图，设AB 是已知线段．
②以AB 为边作正方形ABCD.
③取AD 的中点E ，连接EB.
④延长DA 至点F ，使EF ＝EB.
⑤以线段AF 为边作正方形AFGH.
⑥点H 就是AB 的黄金分割点．
教师：你能说说这种作法的道理吗？
学生分小组讨论后给出答案，教师讲解．
解：设AB ＝1，那么在Rt △BAE 中，
BE ＝AB 2＋AE 2＝
12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52. EF ＝BE ＝52， AH ＝AF ＝BE －AE ＝
52－12＝5－12. BH ＝AB －AH ＝1－5－12＝3－52
. 因此AH AB ＝BH AH
，点H 是AB 的黄金分割点． 三、练习巩固
当节目主持人站在舞台的黄金分割点时，观众看起来是最协调的．已知一舞台长为10 m ，节目主持人应站在距离舞台一端________处观众观看最协调．(精确到0.1 m )
四、小结
1．通过本节课的学习，你有什么收获？
2．黄金分割点与黄金比的定义分别是什么？
3．说一说找黄金分割点的方法．
五、课外作业
教材第98页习题4.8第1～3题．
“黄金分割”作为《新课程标准》明确提出的内容，在进一步强化线段的比、成比例线段的基础上，注重体现数学的文化价值，有意识引导学生从文化角度把握“黄金分割”这一数学瑰宝，丰富了学生对数学发展的整体认识，对后续新课的学习有着激励作用．在教学过程中，学生要经历“观察”和“思维”两大基本层次来诱导学生认识客观世界的本质和规律．学生的求知欲被激发起来后，教师应及时将其引入理性认识的轨道．。
九年级数学上册 第四章 图形的相似 4 探索三角形相似的条件 拓展资源 黄金分割造就了美素材 北师
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黄金分割造就了美和谐的音乐关键在于它的频率,舞台的设计关键在于它的中心。
把二胡的千斤放在哪里,才会拉出最美妙的音乐呢？把舞台的中心放在何处，才会达到最佳的效果呢？这是艺术家们常考虑的问题。
但是，数学家们告诉我们，只要你把它放在黄金分割点，就会达到你的目的了。
真是太奇妙了，很多事情只要用到黄金分割就迎刃而解了。
在建筑上,在美术上甚至在音乐上，它都体现了它的美妙之处。
五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星.在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金比的。
正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。
利用线段上的两黄金分割点,可作出正五角星、正五边形.早在100多年以前，德国的心理学家弗希纳曾精心制作了各种比例的矩形，并且举行了一个“矩形展览”,邀请了许多朋友来参加，参观完了之后,让大家投票选出最美的矩形。
最后被选出的四个矩形的比例分别是：5×8，8×13，13×21,21×34。
经过计算，其宽与长的比值分别是:0.625，0。
615，0.619,0.618.这些比值竟然都在0.618附近。
北师大版九年级数学上册 探索三角形相似的条件
BC B1C1
∴ △ ABC ∽ △A1B1C1
B
C
A1
B1
C1
总结归纳
判定三角形相似的方法： 如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别
算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最 长边与最长边对应，最短边与最短边对应 （注意：大对大，小对小，中对中）
练一练
1.如图,小方格的边长为1 ，△ ABC与△ A′B′C′相似吗?
A．∠BAD=∠C
B．∠B DA =∠B A C
C． BA BC BD BA
D． BA AC BD AD
【答案】D
【详解】解：A.∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△ BAD∽△BCA，故本选项正确，不符合题意；
B.∵∠BDA=∠BAC，∠B＝∠B，
∴△ BAD∽△BCA，故本选项正确，不符合题意；
AB AD
BC DE
AC AE
.
∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
A
解：∵
AB AD
BC DE
AC AE
,
B
∴△ABC∽△ADE ∴∠BAC=∠DAE.
D
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC.
即 ∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°.
C E
知识点四 黄金分割
A
C
B
AB AC
设AB = 1，AC = x,则BC = 1 – x.
∴ x2 = 1 ×（1 - x）.
即 x2 + x – 1 = 0.
解方程得：x1=
-1 2
5,
黄金比
AC BC =
AB AC
x2=
新北师大版九年级数学上册《探索三角形相似的条件(四)》公开课课件.ppt
。2020年12月18日星期五2020/12/182020/12/182020/12/18
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第四章 图形的相似
第4节 探索三角形相似的条件（四）
黄金分割定义
• 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如
果 AC BC zxxkw
被点ACB AC
那么称线段AB
黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分 割点，AC与AB的比叫做黄金比.
• 一条线段有几个黄金分割点？ • 2个.
尺规作黄金分割点
1.经过点B作BD⊥AB, 使 BD 1 AB.
练习与拓展
• 2.人体下半身（即脚底到肚脐的长度） 与身高的比越接近0.618越给人以美感， 遗憾的是即使是身材修长的芭蕾舞演员 也达不到如此完美.某女士身高1.68m， 下半身1.02m，她应选择多高的高跟鞋 看起来更美丽？（精确到1cm）
练习与拓展：古希腊的巴台农神庙
• 如果把左图中用虚线表示的矩形画成右
2
D E
2.连接AD,在AD上截 取DE=DB.
3.在AB上截取 AC=AE.
A
C
B
故点C即为所求.
作图说理
zxxkw
• 为什么点C是线段AB的黄金分割点？
• 方法提示：设AB=2，求AC、BC，并分别 计算 AC 和 BC .
AB
AC
• 也可以计算AC2和BC.AB.
练习与拓展
• 1.电视节目主持人在主持节目时，站到离A 点至少多少米处是比较得体的位置？ （结果精确到0.1m）.
北师大版数学九年级上册课件4.4.3三角形相似的判定3及黄金分割
∴ A' E AC DE BC
∴ A' DE ABC ∴ ABC ∽A' B'C'
新课推进
相似三角形判定定理3：
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这 两个三角形相似。
简记为 三边对应成比例，两三角形相似。
几何语言：
∵ AB BC CA . AB BC CA
A
A′
B
C
∴△A´B´C´∽△ABC (sss)
三边对应成比例，两三角形相似。
形的是( C ) 第4课时 三角形相似的C 判定及黄金分割
第4课时 三角形相似的判定及黄金分割 ∴△A´B´C´∽△ABC (sss) 第4课时 三角形相似的判定及黄金分割
A.①和② ∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC
∴△A´B´C´∽△ABC (sss) 三边对应成比例，两三角形相似。
4 探索三角形相似的条件
第4课时 三角形相似的判定及黄金分割
北师大版 九年级上册
探究
边S 边S 边S
A
新课导入
已知：AB BC AC , A' B' B'C' A'C'
求证：△ ABC ∽△A' B'C '
A'
B
C
B'
C'
已知：在ABC和A'
B'C'中，AA'BB'
BC B'C'
AC A' C '
,
求证: △ ABC ∽△A' B'C'
A
A'
证明：在线段A' B（' 或它的延长线
北师大版九年级数学上册《图形的相似——探索三角形相似的条件》教学PPT课件(4篇)
2. 判断两个三角形相似，在已知一个角相等的情况下， 夹这个角的两边的比相等有两种情况，不要只考虑其中一种， 而忽视了另一种．
第四章 图形的相似
4.4 探索三角形相似的条件
第3课时
教学目标
3. 如图，已知 D 是△ ABC 的边 AB 上一点，若∠1＝ ∠∠B ， 则 △ ADC∽△ACB ， 若 ∠2 ＝ ∠AACCBB ， 则 △ ADC∽△ACB.
4. 如图，已知在△ ABC 与△ DEF 中，∠C＝54°，∠A ＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°，△ ABC 与△ DEF 相似吗？ 为什么？
知识点 2 相似三角形的应用 例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P， 在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过 点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 于 PS 的直线 b 的交点 R.如果测得 QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m， 求河的宽度 PQ.
知识点 2 相似三角形的应用 例2 如图，D，E 分别是△ ABC 的边 AC，AB 上的点．AE ＝1.5，AC＝2，BC＝3，且AADB＝34，求 DE 的长．
【
思
路
点
拨
】
由
条
件
可
得
AE AC
＝
AD AB
，
可
说
明
△ AED∽△ACB，再利用相似三角形的性质可得到 DE.
解：∵AE＝1.5，AC＝2，∴AAEC＝12.5＝34＝AADB，且∠EAD ＝∠CAB，∴△AED∽△ACB，
九年级数学上册 第四章 图形的相似 4 探索三角形相似的条件—黄金分割教案 (新版)北师大版
第四章：图形的相似课题探索三角形相似的条件课时安排共（1）课时课程标准了解黄金分割在各个领域有的运用；会找一条线段的黄金分割点学习目标1、探索黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的过程，了解黄金分割在各个领域有的运用；2、会找一条线段的黄金分割点；教学重点了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义. 教学难点怎样找一条线段的黄金分割点.教学方法合作交流，共同探究课前作业欣赏芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感，请量出图中线段AB、AC的长度，并求出线段AB与AC的比值教学过程教学环节课堂合作交流二次备课（修改人：）环节一活动一、计算ACAB（或ABBC）的值，引入黄金分割的概念.把矩形ABCD的长AB与宽BC画在同一条直线上，此时点B把线段AC分成两部分，如果ACABABBC，那么线段AC被点B黄金分割.（有一种通俗的说法是：较小的线段与较大的线段的比等于较大的线段与整个线段之比）BC与AC（或AC与AB）的比值约为0.618，这个比值称为黄金比.课中作业BC与AC（或AC与AB）的比值约为0.618，这个比值称为黄金比.注意：（1）一条线段的黄金分割点有两个，它们关于中点中心对称；（2）若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形.（3）若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形是黄金矩形吗？环节二活动二、认识黄金分割在几何中的一些应用.（如黄金三角形）1、作顶角为36°的等腰△ABC；2、分别量出底边BC与腰AB的长度；3、作∠B的平分线，交AC于点D，量出△BCD的底边CD的长度；最后，分别求出△ABC与△BCD的底边与腰的长度的比值（精确到0.001）CBA。
北师大版九年级数学第四章探索相似三角形相似的条件
探索相似三角形相似的条件【学习目标】1.相似三角形的概念.2.相似三角形的三个判定定理.3.黄金分割.4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形的概念相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.要点进阶：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的三个判定定理定理：两角分别相等的两个三角形相似.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.三边成比例的两个三角形相似.要点进阶：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：要点四、黄金分割1.定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC两段,如果AC BCAB AC,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 要点进阶：512AC AB-=≈0.618AB(0.618是黄金分割的近似值，512-是黄金分割的准确值).2.作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=21AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.要点进阶：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似三角形的概念例1、买西瓜为什么挑大个？思驰是一个好奇心很强的女孩，凡事都喜欢问个为什么．一天，思驰跟爸爸上街买西瓜．见爸爸选中的全是大个西瓜，她的小脑袋瓜又转开了：买西瓜为什么挑大个？“你这个沈老师的得意门生，能用学过的数学知识解决吗？”，爸爸“将”了思驰一军．回到学校，思驰就找来远兮一起商量．两人便开始了一番精彩对话．思驰：西瓜可以近似看成球体，可以应用球的体积公式．远兮：大西瓜和小西瓜的皮厚几乎相等．思驰：人们买瓜是为了吃瓤．远兮：瓤的体积在整个西瓜体积中占的比越大越好．思驰：两者的体积比如何求呢？经过一段时间的商讨，她们提出了解决方案：设瓜瓤（视为球体）的半径为r，瓜皮厚度为a，则瓤和整个瓜的体积比为：3333343()4()()3r r rr a r ar aππ==+++＜1当a一定时，r值越大，（3()rr a+的值越接近于1，即西瓜越大，瓤与整个瓜的体积比越接近于1．思驰把解决方案讲给父亲听后，父亲充满了赞许之意，但父亲同时又提出了：你能用你正在学习的相似图形知识解决问题吗？等你学完图形的相似这一章后，我相信你还能找出新的方法的．问题：你认为生活中还有哪些与它类似的情形？类型二、相似三角形的三个判定定理例2.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．举一反三【变式】如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C=54°，∠A=47°，∠F=54°，∠E=79°，求证：△ABC∽△DEF．例3、如图，△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE的长为多少？举一反三【变式】如图，在△ABC于△ADE中,AB AEBC ED，要使△ABC于△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是___________．例4、如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．（1）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（2）P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由）举一反三【变式】如图，已知每个小正方形的边长均为1，△ABC与△DEF的顶点都在小正方形的顶点上，那么△DEF与△ABC相似的是（）类型三、黄金分割例5.折纸与证明---用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）举一反三：【变式】如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．【巩固练习】一、选择题1. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A．1个B． 2个 C．3个D． 4个2．在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列条件中不能判定△AED∽△ABC是（）A．∠ADE=∠C B．∠AED=∠B C. AD ACAE AB= D.AD DEAC BC=3．如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有（）A．8对 B． 6对 C．4对D． 2对4．下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个5.如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1（）S2．A.>B.=C.<D.无法确定6.有以下命题：①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有a cb d ．②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项．③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项．④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=-1．其中正确的判断有（）.A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题7．如图，添加一个条件：，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）8．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有条．9．如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有个．10．如图，点D、E、F在△ABC三边上，EF、DG相交于点H，∠ABC=∠EFC=70°，∠ACB=60°，∠DGB=50°，图中与△GFH相似的三角形的个数是．11．如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，直线l经过C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC=．12.如图所示，顶角A为36°的第一个黄金三角形△ABC的腰AB=1，底边与腰之比为K，三角形△BCD为第二个黄金三角形，依此类推，第2008个黄金三角形的周长为____________．三、解答题13. 如图，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q．（1）求证：△DQP∽△CBP；（2）当△DQP≌△CBP，且AB=8时，求DP的长．14如图，已知△ABC 中，AB=，AC=，BC=6，点M 为AB 的中点，在线段AC 上取点N ，使△AMN 与△ABC 相似，求MN 的长．15.如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC 中，若点D 为AB 边上的黄金分割点（如图2），则直线CD 是△ABC 的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF ∥CE ，交AC 于点F ，连接EF （如图3），则直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF ∥AD ，交DC 于点F ，显然直线EF 是平行四边形ABCD 的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD 的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD 各边黄金分割点．。
北师大版数学九年级上册 4.4探索三角形相似的条件--黄金分割 (共15张PPT)
65cm 95cm
颗粒归仓
学了今天的课程，畅谈你的收获吧。
三个定义
黄金分割、黄金分割点、黄金比
黄金分割
长 原
＝
短 长
＝
5 1 2
一个易错点
当堂检测 《当堂检测》29页1、2、4、5
解决问题
1．根据你对五角星的了解，解答以下问题：
小亮说：“我从一本课外书知道 AC BC 5 1 ”
5 1 0.618 2
新课导学
3．计算黄金比
A
MB
思考：如图，点M是线段AB的黄金分割点，且
AM＞BM，求黄金比即求此图中哪两条线段的比？
黄金比＝长＝短＝ 5 1 原长 2
归纳：判定黄金分割有三种方法．
学以致用
体验一：如何判定是不是黄金分割
例1：如图，点M在线段AB上，AB＝2，
MB＝3 5 ，点M是线段AB的一个黄金分割
长的比是黄金比吗？
学以致用
体验二：如何作一条线段的黄金分割点
例3：独立解答课本97页“随堂练习”
点C是线段AB的黄金分割点吗？
解决方案是：
．
心动 不如行动 自己找出黄金分割点
如图,已知线段AB按照如下方法作图: 1.经过点B作BD⊥AB,使 BD 1 AB.
2
2.连接AD,在AD上截取DE=DB. 3.在AB上截取AC=AE.
C点是AB的黄金分割点吗？
学以致用
体验四：如何作一个黄金矩形
例4：宽与长的比等于黄金比的矩形也称 为黄金矩形，请设法作一个黄金矩形。
学以致用
体验五：如何利用黄金矩形使身材更匀称
例5：一般认为，如果一个人的肚脐以 上的高度与肚脐以下的高度符合黄金 分割，那么这人的身材匀称，非常好 看。如图是一个参加空姐选拔的选手 的身高情况，那么她穿上多高的鞋子 才能好看。（精确到1cm， 5 2.2 ）
九年级数学上册第四章图形的相似4探索三角形相似的条件黄金分割典例分析素材北师大版
黄金分割典例分析黄金分割是成比例线段中既特殊又重要的内容,考查的重点是与黄金分割有关的计算和推理题．下面举例予以说明．例1 如图1，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ,如果AB 的比叫做AC BCAB AC=，那么称线段AB 被点C 黄金分割，AC 与黄金比,其比值是（ ）A ．51- B ．35- C ．51+ D ．35+ 分析:设AB=1,AC=x ，则BC=1-x ．根据定义可知.11xx x -=解得x=512-．故选A ． 评注:黄金分割是成比例线段的一个特例．一条线段的黄金分割点是指把一条线段分成两条线段,其中较长的线段是较段线段和全线段的比例中项．在解决这类问题时一般将等积式与比例式互化,黄金比的比值约为0．618,其在生活中有着广泛应用．例 2 为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m 的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图2是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高度(精确到0．01m ，参考数据:2≈1．414，3≈1．732,5≈2．236）是( ）．A ．0．62mB ．0．76mC ．1．24mD ．1．62m分析：由题意知,B 点是雕像的黄金分割点，所以A小资料雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度之比等于下部与全部的高度比，这一比值是黄金分割数。
图2BACA B C图1BC=221236.2215⨯-≈-AC =1．236≈1．24m ．故选C ． 评注:黄金分割既是线段的比，成比例线段的应用，同时也蕴含着丰富的文化价值,是密切数学与现实生活之间联系的重要内容．如:人体肚脐以下高度与身高之比接近0．618;在探索最优生产方案时,人们常用的“优选法”中有“ 0．618法"；在人体绘画、雕塑等方面艺术家多以这个比作为美学标准等．例3 （08孝感)宽与长的比是51-的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感．现将同学们在教学活动中,折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤（如图3所示):第一步:作一个任意正方形ABCD ；第二步：分别取AD 、BC 的中点M 、N ，连接MN;第三步：以N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于E; 第四步：过E 作EF AD ⊥交AD 的延长线于F ，请你根据以上作法，证明矩形DCEF 为黄金矩形，（可取AB=2）． 分析:欲证明矩形DCEF 为黄金矩形,只需证明矩形DCEF 的宽与长的比为51-,也就是证明=CDCE51-,我们不妨设正方形ABCD 的边长为2，于是NC=1，DC=2，根据勾股定理求DN,从而求得CE ，于是CDCE 的比值即可求出．证明：在正方形ABCD 中，取AB=2．∵N 为BC 的中点,∴NC=112BC =．在Rt△DNC 中，2222125DN NC CD =+=+= 又∵NE=ND，∴CE=NE—NC=51-,512CE CD -∴=， 故矩形DCEF 为黄金矩形． 评注：图3本题首先给出了“黄金矩形"的定义．然后通过作图提供的信息，理解这里面蕴涵的道理，将它迁移，则可以顺利地解决后面的问题．此类题目能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程，符合学生的认知规律,是中考的热点题目之一．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
北师大版九年级数学上册《探索三角形相似的条件(4)(黄金分割)》优课件
（黄金分割）
查阅 & 欣赏 ☞ 黄金分割 与生活
由黄金分割画出的正五角星形,有庄严雄健之美.
查阅 & 欣赏 ☞ 黄金分割 与生活
• 世界名画<蒙娜丽莎>之所以有名,也得益于黄金分割,无 论是画面整体还是局部.
• 人的俊美,体现在头部及躯干是否符合黄金分割.
查阅 & 欣赏 ☞黄金分割 与生活
开启 智慧 古希腊时期的 巴台农神庙
• 图4-7是古希腊时期的巴台农神庙,
如把图中虚线表示的矩形画成图
4-8中的ABCD,以矩形ABCD的宽为
边在其内部作正方形AEFD,那么我
们可以惊奇的发现
A
EB
BC AB ,
BE BC
点E是AB的黄金分割点吗?矩形 ABCD的宽与长的比是黄金比吗?
D
FC
积累就是知识
• 视力表中的E同样具有黄金分割的美,儿童乐园的标志,赏 心悦目的摄影作品,都凝聚着设计师对黄金分割的运用, 中央电视台的主持人均处在屏幕的黄金分割点位置.
查阅 & 欣赏 ☞ 黄金分割 与生活
• 邻边满足黄金分割的矩形称为黄金矩形,被广 泛应用于装点生活;腰与底满足黄金分割的等 腰三角形称为黄金三角形,它有着其特殊的几 何性质.
w2.连接AD,2在AD上截
A
取DE=DB.
w3.在AB上截取AC=AE.
E
C
B
• 如果设AB=1,那么BD,AD,AC,BC分别等于多少? • 点C是线段AB的黄金分割点吗? • 先独立思考,再与同伴交流.
例解题 欣赏 与老师同步探索
1 BD ; AD
12 1 2
5 , AC AE