2022届湖南师范大学附属中学高三上学期月考(一)数学(含答案)

湖南师大附中2022届高三月考试卷（一）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分得分：_____第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,0,1A =-，101x B x x ⎧+⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ） A.{}0B.{}1,0-C.{}0,1D.{}1,0,1-2.已知i 是虚数单位，则化简20201i 1i +⎛⎫⎪-⎝⎭的结果为（ ）A.iB.i -C.1-D.1 3.已知向量()1,2a =-，()1,b m =，则“12m <”是“,a b 为钝角”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.设函数()1ln1xf x x x+=-，则函数()f x 的图象可能为（ ） A. B.C.D.5.直线l 过抛物线24y x =的焦点F 且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AF ，BF 的长分别为m ，n ，则4m n +的最小值是（ ） A.10 B.9 C.8D.76.已知函数()12log ,0,1,0,3xx a x x f x >⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭⎩若关于x 的方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A.()(),00,1-∞B.()(),01,-∞+∞C.(),0-∞D.()()0,11,+∞7.在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，假如村长给6位“萌娃”布置一项到A 、B 、C 三个位置搜寻空投食物的任务，每两位“萌娃”搜寻一个位置.考虑到位置远近及年龄大小，Grace 不去较远的A 位置，多多不去较近的C 位置，则不同的搜寻安排方案有（ ） A.20种B.40种C.42种D.48种8.如图，1F ，2F 是双曲线l ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线与双曲线左、右两支分别交于点P ，Q .若115FQ F P =，M 为PQ 的中点，且12FQ F M ⊥，则双曲线的离心率为（ ）D.2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.在“新冠肺炎”疫情期间，各口罩企业都加大了生产力度，如图是2020年第一季度A 、B 、C 、D 、E 五个企业的生产量情况，下列叙述正确的是（ ）A.2020年第一季度生产量增速由高到低排位第5的是A 企业B.2020年第一季度生产总量和增速由高到低排位均居同一位次的企业只有一个C.2019年同期C 企业的生产总量不超过2000万只D.与2019年同期相比，各企业2020年第一季度的生产总量都实现了增长10.在等差数列{}n a 中，100a <，110a >，且1110a a >，则使{}n a 的前n 项和0n S <成立的自然数n 可能为（ ） A.17 B.18C.19D.2011.已知函数()()sin x f x ωϕ=+（0ω>，02πϕ<<），满足()203f x f x π⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且()f x 在()0,π上有且仅有7个零点，下述结论正确的是（ ）A.6πϕ=B.5ω=C.()f x 在()0,π上有且仅有4个极大值点D.()f x 在0,42π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 12.已知实数a ，b ，c 满足2e 111a a cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，那么()()22a cb d -+-的值可能是（ ）A.8B.6C.10D.7第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()()101011x x --+的展开式中x 最高次项的系数为______.（用数字）14.设α满足3sin 4α=，则()22sin sin 2sin2πααα++=_____. 15.已知正方形ABCD 边长为1，E ，F 分别是线段BC ，CD 上的动点，则22EF EA AF ⋅+的最小值是______.16.如图，已知ABC △是边长为1的等边三角形，D 是AB 边上异于端点的一个动点，DE BC ⊥于点E ，将BDE △沿DE 翻折至DE B '△的位置，其中B DE A '--为直二面角，则四棱雉B ADEC '-体积的最大值为_____.四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边已知3A B π+=，3c =，若_____.在横线上选择下面一个序号作为条件，求ABC △的面积ABC S △及c 边上的高h .①a b -=a b +=1sin sin 12A B =. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

18.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足1001201a =，121n n n a a a +=+.（1）证明1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项n a ； （2）设1(1)2nn n n b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前2n 项和2n T . 19.（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDE 中，平面BCD ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，//ED AC ，且22AC BC ED ===，DC DB ==（1）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（2）线段BC 上是否存在一点F ，使得二面角F AE B --，若存在，求BFBC的值；若不存在，说明理由. 20.（本小题满分12分）某个地区计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水的年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：十亿立方米）都在4以上，其中，不足8的年份有10年，不低于8且不超过12的年份有35年，超过12的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过12的概率.（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21.（本小题满分12分）已知双曲线22143x y -=的左、右顶点分别为A 和B ，()11,M x y 和()11,N x y -）是双曲线上两个不同的动点.（1）求直线AM 与BN 交点的轨迹C 的方程；（2）已知点()1,0F ，过点A 且斜率为k （0k >）的直线交曲线C 于另一点P ，设直线l ：2x =，延长AP 交直线l 于点Q ，线段BQ 的中点为E ，求证：点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上. 22.（本小题满分12分） 已知函数()()2ln 12a f x x x a x =+-+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设1x ，2x （120x x <<）是函数()()g x f x x =+的两个极值点，证明：()()12ln 2ag x g x a -<-恒成立.炎德·英才大联考湖南师大附中2022届高三月考试卷（一）数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.B 【解析】∵{}1,0,1A =-，{}11B x x =-≤<，∴{}1,0AB =-.2.D 【解析】∵()()()21i 1i i 1i 1i 1i ++==--+，∴202020204505i i 11i 1i ⨯==+⎛⎫ ⎪-⎝=⎭.3.D 【解析】由题意得，12a b m ⋅=-+. 2若,a b 为钝角，则0a b ⋅<，且a b λ≠（λ∈R ），解得12m <且2m ≠-. 故“12m <”是“,a b 为钝角”的必要不充分条件. 4.B 【解析】函数()1ln 1xf x x x+=-的定义域为()1,1-，由()()11ln ln 11x xx x f x x x f x -+=-==+--，得()f x 为偶函数，排除A ，C ；又111112lnln 30122212f +⎛⎫==> ⎪⎝⎭-，排除D. 5.B 【解析】抛物线24y x =的焦点()1,0F ，准线方程l 为1x =-，如图所示，作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，过点B 作BD AM ⊥于D ， 由抛物线的定义可得AM AF m ==，BN BF n ==，AD m n =-，2EF n =-，∴2n n n n m n -=-+，化简得：111n m+=， ∴()()1144414559m nm n m n m n n m n m⎛⎫+=+⋅=+⋅+=++≥=⎪⎝⎭，当且仅当2n m =时等号成立.所以4m n +的最小值为9.6.B 【解析】令()f x t =，则方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦等价于()0f t =，由选项知0a ≠，则()103xf x a ⎛⎫=⋅≠ ⎪⎝⎭，所以由()12log 0f t t ==，得1t =，则关于x 的方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有一个实数根等价于关于x 的方程()1f x =有且只有一个实数根，作出()f x 的图象如图：当0a <时，由图象可知直线1y =与()y f x =的图象只有一个交点，恒满足条件； 当0a >时，要使直线1y =与()y f x =的图象只有一个交点，则只需要当0x ≤时，直线1y =与()13xx a f ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭的图象没有交点，所以()01f >，即0113a ⎛⎫⋅ ⎪⎭>⎝，解得1a >，综上所述，实数a 的取值范围是()(),01,-∞+∞，故选B.7.C 【解析】分两类，第一类，多多去较远的Δ位置，从不包含Grace 的4位“萌娃”选一位去A ，剩下的4位“萌娃”平均分配到B ，C ，故有1244C C 24⋅=种，第二类，多多去B 位置，则先从不包含Grace 的4位“萌娃”选2位去A ，再从剩下的3位中选一位去B ，剩下的两位到C ，故有2143C C 18⋅=种，根据分类计数原理，不同的搜寻安排方案共有8.A 【解析】连接2F P ，2F Q ，设1F P t =，则由题意可得2PM MQ t ==，因为P ，Q 为双曲线上的点，所以22F P t a =+，252F Q t a =-， 因为M 为PQ 的中点，且12FQ F M ⊥， 所以22F P F Q =，所以252t a t a +=-，所以t a =， 所以1F P a =，2PM MQ a ==，223F P F Q a ==，在直角三角形2PMF 中，222cos 33a MPF a ∠==， 所以在三角形12PF F 中，由余弦定理可得22212942cos 233a a c F PF a a +-∠==-⨯⨯，所以可得2227c a =，即e =二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.AD 【解析】由折线图可知A ，D 正确；4067(166%)24502000÷+≈>，故C 错误；2020年第一季度生产总量和增速由高到低排位均居同一位次的有B 企业均第一，C 企业均第四，共有2个，故B 错误.10.ABC 【解析】∵{}n a 为等差数列，100a <，110a >，∴0d >，又∵1110a a >，∴1110a a >-，即10110a a +>，由()120201*********a a S a a +=⨯=+>，1191910191902a aS a +=⨯=<，故使{}n a 的前n 项和0n S <成立的最大的自然数为19，故选ABC. 11.CD 【解析】由题意6x π=函数为()f x 图象的一条对称轴，,03π⎛⎫-⎪⎝⎭为函数()f x 图象的一个对称中心，()()sin x f x ϕω=+，所以62n ππωϕπ⨯+=+，n ∈Z ，且3m πωϕπ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，m ∈Z ，所以2()121n m k ω=-+=+，k ∈Z ，因为()f x 在()0,π上有且仅有7个零点，又02πϕ<<，所以7ω=，所以762k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，又02πϕ<<，所以3πϕ=，所以选项AB 错误.所以()sin 73f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令7232x k πππ+=+，k ∈Z ，得2427k x ππ=+，k ∈Z ，当20427k πππ<+<，解得1411212k -<<，因为k ∈Z ，所以0,1,2,3k =.故()f x 在()0,π上有且仅有4个极大值点，由272232k x k πππππ-+≤+≤+得，522427427k k x ππππ-+≤≤+，即()f x 在522,427427k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()f x 在0,42π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，选项CD 正确，故选CD.12.AC 【解析】由()2e 12e 2e aa xb a a x x bf -==-=-⇒⇒；又由()11221d c g cx x d -==⇒-=⇒--；由()12e 1x f x '=-=-，得0x =，所以切点坐标为()0,2-，所以()()22a cb d -+-的最小值为28=，故选AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.20- 14.3-15.218【解析】设DF x =（01x ≤≤），AF 、BC 中点分别为M ，N ，则 ()2222221EF EA AF EM FM x ⋅+=-++()222222177121212112424488x x x MN x x ++⎛⎫⎛⎫-++=-+=≥-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当14x =时等号成立.所以22EF EA AF ⋅+的最小值是218. 另解：本題还可建立平面直角坐标系，用坐标法求解，过程略.16.36【解析】设B E x '=，则DE =，容易验证BE '⊥平面ADEC ， 四边形ADEC 的面积2ABCDBE S S x S =-=△△， 故)21123B ADEC V S B E x x '-'=⋅=-，利用导数可得当x =. 四、解答题：本题共6小题，共70分。