网格生成

对于连续介质系统，例如飞行器周围的气体，集中在障碍物上的压力，或者是回路中的电磁场，又或者是化学反应器中的浓缩物，都是可以用偏微分方程来进行描述的。

为了对这些系统进行模拟。

这些连续性方程需要基于一定数量的时间空间意义的点进行离散化，并且在这些点上对各种物理量进行计算。

通常的离散的办法又下列三种1 有限差分法2.有限体积法3.有限元法都是使用相邻的点来计算我们所需要的点。

所以在计算中网格点的概念被引出。

一般来说，有二种网格的类型，是通过连接点的方式的不同而被区分的。

结构网格是正交的处理点的连线，也就意味着每个点都具有相同数目的邻点，对于非结构网格来说，也就是不规则的连接，每个点周围的点的数目是不同的。

图一给出了每种网格的例子。

在一些情况中，也有着部分网格是结构的，部分网格是非结构的（例如在粘性流体中，边界一般都是使用结构网格，其他的部分是使用非结构网格。

在这章剩下的内容中，我们将针对不同的需求讲述不同的离散的办法。

第二章主要讲在简单域中使用普通的结构网格（代数和椭圆的方法）和在复杂区域中使用混合结构。

第三章主要讲产生非结构网格的方法，主要的针对产生三角形、四边形网格（奇怪四边形网格不是结构化网格吗？）的二种办法：advancing front 和delaunay triangulation。

第四章对适应性网格作了一个简单的介绍。

1.1离散和网格种类主要的离散的办法有，有限差分法，有限体积法（和有限差分法等同）和有限元法，为了说明这些方法，我们首先来考虑连续性方程。

其中ρ是密度，U是速度，S是源项，ρU表示各个方向上的质量流，有限差分公式模拟，是用下面的办法来达到对所需要的点的模拟的。

例如，对正交网格，矩形在横轴的长度是h.尽管不规则的网格可以运用有限差分法,但是规则的网格却是最适合使用它的,这样就产生了简单的差分格式和有效的算法(例如在向量机上(什么东东)),也可以在特殊的坐标系中对正交网格使用有限差分法(例如在球形极坐标中)在有限体积法中,物理空间被分成很多小的体积V,然后对每一个小的体积运用偏微分方程来积分.然后我们会用每个小体积中的每个所求量的平均值来代替我们要求的值,,用相邻体积中的变量的函数来表示流过每个体积的表面的流量.有限体积法来进行离散可以用于结构或者非结构网格,在非结构网格中,每个小面上的流通量依然可以用相邻的变量来进行很好的定义.有限元方法也是把空间分为很多小的体积, 相当于很多小的单元,然后在每个单元里,变量和流通量都用势函数来表示,计算的变量都势这些势函数中的系数.有限元的方法被普遍使用在非结构网格中,,使用结构网格也没有什么太特别的优势.1.2网格的性质.对很多种类的网格而言,有如下的特征我们非常关心的1.网格点的密度.很高的网格点的密度也就意味着很高的准确度,但是计算的时间也会长很多,这就导致了适应性网格方法的产生,这将在第四章中介绍.2.点分布的光滑程度.(我理解的是均匀的程度),对于网格的密度或者形状如果有比较大的变动,就会导致数值的发散,或者不发散但是大的误差,或者波动的传播的转向,这都会导致不稳定或者不准确3.网格形状,举个例子,流动中的边界层需要的网格是非常的扁平的(我理解的是非常的细小)并且垂直于流动的方向,若在有限元的方法使用的三角形单元,那么它的最大的角度就必须是受到限制的,并且应该严格的小于180来保障随着单元尺寸的减小这种办法的收敛性.对于简单的流动区域,对结构或者非结构的网格的选择主要是出于对离散办法的考虑, 但是,对于复杂的区域,(例如涡轮旋转机械),不规则的网格就比规则的网格的适用性更好,不规则的网格的生成(至少是用三角形或者四边形)可以充分的填满,并且速度迅速,对于规则的网格的生成则需要把区域划分为简单的可以自动划分网格的小块,这些小块的分解是半自动的(?),并且需要用户的思考努力.2.结构网格.这一章将就边界适应性网格和对他们展开PDEs 的离散方法展开讨论,然后,会处理对于简单区域中的网格生成方法(使用代数的或者差分方程的办法),并且解释用于复杂的区域的混合块的概念,2.1边界适应性网格结构网格是有着规则的特性的,网格的节点可以被标识,并且每个相邻的点都可以被计算而不是被寻找(例如,I,j这个点可以通过i+1.j 和i-1,j计算得到),在矩形区域的网格是非常容易生成的,(尽管在离散过程中对存在拐点的地方要特别地仔细),所以结构网格的生成的技术重点是放在了对带不规则的边界的区域进行的网格划分上面.例如,在血管中的流动,或者变形,金属在磨具中成型时候的流动和热传导,一般的网格都为了适应边界条件而生成,第一种办法是用一维坐标来构成边界(什么意思?)这样在边界层周围给出精确的解,并且可以使用快速的精确的求解方法,对于流体的流动,这些网格也可以支持简单的湍流模式的运用,而这些湍流模式一般是需要网格和边界保持重合的,另外的一种选择就是使用紧贴边界的矩形的网格(笛卡尔网格),在奇异的边界附近使用局部网格来完善,这样就可以减少在边界上的截取位数(?),并且可以使得网格单元方程的贴近边界,增加了算法的复杂程度,,笛卡尔网格产生的非常的快,并且可以用在欧拉空气动力学里面,但是对N-S方程的系统的适用性不好.最常见的产生贴体(?)网格的办法就是使用一个连续的网格(什么叫做连续的网格?)适应所有的边界,这样的作用是使得和矩形计算区域相邻的有着曲折边界的物体之间,可以比较好的连接.一般来说,在不产生倾斜的网格的基础上想要用正交计算区域中的分布办法来填充复杂的区域是非常的困难的.为了避免这个问题的产生,我们把主要的区域分解成为几个小块,然后对每个小块进行划分,,对各个小块的交接处,有连续性的要求,这就是混合块的概念了,把主要区域分解成为小块一般都需要用CAD技巧手动的进行实现,并且比较的慢.另外一种使用这种连续贴体多块网格的方法就是,在每个边界附近使用贴体网格,并且在内部区域采用简单的矩形网格，在连接处通过插值的办法实现，这叫做组合（嵌合网格）这样的网格对于多块网格而言比较容易产生,因为每个网格划分都是局部的,不需要和其他的网格进行匹配,独立的网格有着很高的质量(比较小的扭曲),尽管如此,差值连接是一个比较困难的事情,特别是多于二种以上的网格的搭接,并且增加了求解器的工作时间,搭接的网格不能在求解的时候太不同,否则在粘性流动计算的时候,就会在边界层附近的网格上出现问题.(?)但是组合网格方程的适合移动的边界,例如直升机的螺旋桨,或者多样的边界例如在流体种的颗粒,计算的时候,只有网格之间的差值会随着边界附近的网格的变动而改变,其他的大多数的部分都是固定不动的.组合网格的确是有一定的优点,,最近在差值收敛方面的一些工作扩充了它的使用的范围,尽管是这样,大块的结构网格的生成是基于混合块网格,我们接下来将把重点放在这上面.2.2在弯曲网格处难处理的解一旦网格生成了,接下来的问题就是离散并且求解网格,直接在网格上使用有限元或者有限体积公式来计算是可以的,但是这将会因为网格的不统一而减少FD/FV的截断位数(什么意思?),首选的办法是用问题的模型把方程转化成为可以计算的区域,因为物理的网格是根据矩形网格的转化而定义的(什么意思),这个过程是直接的,在计算区域内的方程就包括了坐标变化的内容,例如要推导的运动网格的时间(?),有限元法可以在计算网格上对转换后的方程进行求解,因为计算的网格通常都是规则的,高秩序的方法可以被使用,并且一旦FD/FV方程被转回到物理网格,截断的位数可以保存(总觉得很别扭什么保存乱七八糟的),(流动计算可能会向使用组合网格的方向发展,因为在每个网格之间的差值需要BOOK-KEEPING(?)尽管FD/FV方法的位数是可以保存的,但在解法的精确度方面曲线网格还是有一定的效果.1.网格的尺寸的变化导致数值的发散(或者不发散但是会不稳定),当网格尺寸小,求解的梯度大的时候,效果最差.(不是说网格越密越好吗)2.网格的非正交性,或者倾斜性都会增加截断误差系数,但是却不能改变位数,在相对于网格中心,小于45度角的倾斜都是可以接受的,但是一边的差分在必须保持正交性的边界上使用.这些对倾斜性的要求是多块划分思想应用的主要的约束.3.在多块系统中,各块在角落的汇合处一般使用非标准的连通来连接(例如对有限体积法离散这些点就需要在物理空间上进行离散)2.3在单块上的边界适应性网格对于简单的区域,一个简单的不过分倾斜的网格是可以被使用的,计算的取于是正交的网格或者立方的,或者至少有这正交的网格划分的边界,我们需要定义一种从计算空间转到物理空间的一种画法,这种办法正在被使用的有:1.代数网格生成法,网格是用物理边界的差值来计算的2.PDE方法3.变网格生成,一些性质(例如光滑)是最大或者最小(变网格生成在此不讨论)4.其他的办法例如投影画法2.4代数网格生成,差值法在网格生成中使用的代数的办法称为无限差值法TFI2.4.1TFI我们首先看二维的情况,取一个计算区域,基本单元矩形是[0,1]*[0,1],坐标是s和t,物理的计算区域的坐标是x y ,为了在物理计算区域内生成网格,我们可以在单元正方形中创造网格,并且将它移植到物理区域中,对这样的画法有二个要求1.必须是1*1的区间2.计算区域的边界必须可以转画到物理空间的边界上去,但是画的过程是任意的,尽管这样可能不能产生比较好的网格.TFI是画法的一种,它把物理坐标看作是计算坐标的一个函数,并且根据计算区域的边界上的值来进行差值计算,因为给出值的点的数量是不可数的(我理解的是一条边界点不可数) ,所以把这种差值的办法称为无限差值法.2维的差值是由2个一维的线性差值来组合成的(也叫做投影法?),首先定义混合函数φ0 φ1θ0 θ1 是用来表述差值的方向的,φ0 用来从S=0的边界向主要的区域差值,同理φ1是从边界s=1向主要的区域差值,相似的对于在t方向的θ0, θ1,对φ0 ( s) φ1( s )的要求是相似的对θ0 θ1在T方向,最简单的办法是进行线性差值,给出线性差值的表达式一维的无限差值可以用以下的构造他们的乘积为代表了X在计算区域四周的差值,二维的无限差值公式是它是对整个边界的差值,为了形成物理空间的网格,这个差值方法被用来画计算区域的规则网格的节点将TFI的方法推广,使得它的差值不仅仅限于边界,还可以借助几条坐标线,是可能的,这样就对控制网格的密度和保证矩形划分比较的有用,混合函数也会是立方体的线(这里翻译不确定),也可以匹配在边界上的正交的相应量,例如, dx/ ds ,这就可以容许在混合块连接的时候网格适度的倾斜.TFI也有一些问题,比如划分将传播边界处的奇异点到内部的区域,这将对流体的流动模拟产生不好的影响,更严重的问题是,如果我们的划分不是完全的正方形,溢出就会产生,这可以通过边界参量的重新确定来进行修正,或者在区域内添加约束线.2.5PDE网格生成在这些思想的背后都是想在根据计算空间坐标确定的物理空间坐标上来定义PDE,然后算出在计算区域上的网格的方程来对应出物理的空间的网格,PDE使用的主要的形式是椭圆的,(比较适合有着封闭边界的区域,对于无边界流动,在很远处的大边界常被引为假设)另外的一种是双曲线型和抛物线型方程.通常用于无边界的流动.2.5.1椭圆型网格的生成为了说明这种办法,我们来看,计算区域的坐标是ξ1 ξ2 相应的物理空间中的坐标是X1.X2,最简单的例子是拉普拉斯方程物理边界形成的等位面.,在二维情况下,极值原理保证了划分的是正方形,拉普拉斯算子是光滑的,所以边界处的网格的倾斜不会传入到内部.(什么意思)为了对当前的方程的形式求解,我们需要在物理区域中的网格,所以方程被转化了,所以X变成了不独立的变量,而ξ变成了独立的变量.使用下面的方程并且张量gij可以用来表示.ξ区间,用物理边界点的位置,对应于点在计算边界上的值这个类似于线性的方程可以在正交的i来进行计算.任何标准的计算器都可以被使用,并且代数生成的网格可以用来做最开始的尝试以保证其收敛性.基于拉普拉斯方程的网格不是很容易弯曲,坐标线是等距离的,除了在凹凸不平的边界上,所以不容易控制边界上网格的倾斜(因为这是二次方程)为了控制网格的间距和倾斜度,我们增加了一个源项,(控制函数),叫做泊松方程.控制函数的作用在下图中做了说明.这个张量被分解位源项的形式表达如下变换方程就变成了通常在各个方向只需要做一维的拉伸,源项表达式是ii i ii P g 没有加,理论上,源项的表达式是根据物理空间中的坐标来定义的,但是实际上都是根据计算坐标来定义的,所以这就会导致网格点比固定的物理点会多了吸引或者排斥的问题.这使得直接使用控制函数比较的困难,通常用间接的办法来达到一系列的影响.1. 因为非常的光滑,在区域的内部坐标线是等距离分布的.为了让边界点的间距设置可以使影响传到内部,我们可以根据边界数据来增加源项以获得需要的间距,然后进行差值2. 边界上的点的间距是固定的,一维网格生成方程(拉普拉斯方程)是二次的,所以不能控制边界上的坐标线的倾斜度,一种可行的办法是使用双调和方程而放弃拉普拉斯方程,但是更好的办法是使用控制函数,在STEGER 和SORENSON 的办法中,控制函数是反复的调整直到椭圆方程可以解出,并且在边界上的网格线的倾斜度,边界上的网格点分布距离,还有边界上的第一条平行网格线距离,都可以被控制,这样就可以给出边界处的正交网格,也可以用来控制 用来修补的网格的倾斜度和间距分布的连续性(多块系统中的嵌入网格,稍后有一种更好,但是速度慢一些的匹配边界的方法)2.6三维执行在三维的情况下,我们的计算区域是立方体,并且网格生成过程有着顺序:线,面,体,首先我们选择计算网格,划分边界的使用一维泊松方程计算,然后面网格就可以产生了,有点类似于二维网格的生成,但是表面的弯曲处需要被考虑(面通常都会在CAD 系统中被定义位二维参量空间的函数,例如(不会翻 …….)最后,三维网格可以生成了,使用面网格作为数据来源.在椭圆网格的划分中有如下的一些困难1. 转化方程是非线型的,所以如果最开始给定一个好的初值,计算的速度会快很多,会很快的收敛2. 可能回收敛的很慢或者不收敛,对于比较大的控制函数,比较扭曲的角落,和高度拉伸的网格.3. 这种网格方法对于三维的网格划分而言太慢了,一般在三维问题中采用代数的技术.2.7其他的办法2.7.1双曲线的网格生成双曲线的网格生成办法,在二维中第一个方程强调了正交性,第二个方程控制了单元区域,这种方法在三维中也是可以运用的,他们有着这样的性质1.这样产生正交的网格2.不会自动的修复边界的中断3.可以应用于外部的区域(例如机翼绕流),网格坐标的解法器和边界的匹配4.对于凹边界可能会失败(因为计算进行时,网格线的下凹,单位体积会变成负数)5.速度比较快,是椭圆生成法的1倍2.7.2抛物线网格生成法抛物线方法,集合了双曲线生成法的速度,并且辅之于更好的光滑度,但是,似乎没有被广泛的应用2.8混合块理论上说,复杂的几何形状可以划分为一个正交的区域(这里可以使用于二维和三维)(可能不是简单的连接)但是这会导致不能接受的网格的单元的扭曲,实际上,物理区域被分解称为小片,每一个小片都有着相对简单的正交划分办法,这些小块被一些在它们的交互面上拥有连续性的网格联系在了一起,从无到所有(看起来象是单个的网格没有倾斜或者间距中断),所以网格生成的过程被分成了二部分,把物理的区域分解称为很多块,然后对每一块进行划分,分解的过程还不能做到完全的自动,需要和使用者的交互,(比如选择块的边界来匹配物体的边界)来生成好的网格,块的划分可以自动的进行,使用以上讨论的任意一种办法.在我们关注混合块之前,我们来看看一些可以用来适应目标的可以插入混合块使之称为一个块的简单的正交块.2.8.1C,O,H网格C.O.H网格,这样命名的原因是他们近似的形状,是正交块的简单的外延,计算的区域虽然一般都只是简单的矩形,但是计算区域的角落没有必要姚和物理空间的角落对应,反之亦然.这些经过转化后的点在差分公式计算的时候需要注意.计算的块可以被多样的连接.但是我们也可以进行剪切把它们变成简单的连接的块,用矩形来描述,这就产生了C,O,H网格(事实上H网格包括了这种多样连接的块)O型网格C型网格经常用于机翼这些有着圆滑的边界和锐利的尾部边界的形状,比H网格在这上面的应用要好.H网格是一个笛卡尔类型的网格,但是可以允许多样性的连接,也可以把内部的宽的片分成小的片]坐标的方向和形式在转化后都可以变化,这就意味着在物体的差分方程处理中需要做特殊的处理,这种复杂化可以通过使用一层halo点来避免,halo保持了变换前的连接点的复制,这就和在主要分解中为了平行处理而设置halo是一样的,但是在图十四中,边界是一条线/面的网格点,在有限体积格式中,数据点以网格单元为中心,在这个例子中halo和在区域分解中几乎一样.一旦halo设定了,相同的差分公式就可以在内部和切口上使用了.2.8.2混合块在合成块中使用COH,我们就可以生成符合的网格,混合块.第一步就是把物理区域分割称为很多四条边的小自区域,这个过程需要有经验的用户来进行区域的划分(例如有着急剧变化特征的边界)第二步是自动的,在每个子区域中生成网格,然后把它们聚合成一个整体,各个子区域之间的边界上的网格线的连续程度可以任意,甚至可以是网格点不在边界上.明显的,连续性较少,当处理子区域的时候需要做的差值计算就更多.这就就会在损失一些准确度,如果在每个块中使用代数的办法,网格线的连续性就可以得到保证,在产生线,面体的步骤中,每一步都使用上一次产生的边界点值,并且可以使用TFI来生成倾斜网格,这样保证了分布的连续性.如果PDE椭圆的办法被使用,方程就可以在整个区域上求解,使用halo把物理坐标信息从一个块转化到另外一个块,这就给出了网格坐标的连续性,并且区域边界也可以得到调整,解整个区域的画非常的耗时,所以另外一个办法就是解每一个小块,然后用STEGER和SORENSON型的控制函数来保证倾斜和分布的连续性.图十五显示了一个简单的混合块的例子,对于整边界适应混合块网格有如下的一些优点1.分块的时候需要用户的经验,是一个比较繁琐的过程,2.一个块上的几何形状的改变会导致其他的块的改变3.改变一个网点对块的贡献,例如,在变化剧烈的目标上增加一个点,将会对其他的块产生变化,如果保持网格点的连续性不变的话4.需要的网格点的连续性导致要在不增加相邻块的复杂程度上对一个块进行简化是非常困难的.(resolution怎么翻译)2.9小结结构网格的主要的产生的办法就在每个小块使用TFI或者椭圆生成法来组合成;混合块,结构网格的规则性决定了可以应用快速的解法,并行计算比较的方便(parallelization….),但是用户在组建混合块分解的时候需要很大的努力,目前复杂构造的趋势是使用非结构网格,它可以自动的生成,但是计算的要慢一些.。