2021年高中数学苏教版选修2-2教学案：第2章 2.1 2.1.3 推理案例赏析

2．1.3推理案例赏析2．1.4[对应学生用书P23]归纳推理的应用[例1]观察如下图的 "三角数阵〞：记第n行的第2个数为a n(n≥2 ,n∈N*) ,请仔细观察上述 "三角数阵〞的特征,完成以下各题：(1)第6行的6个数依次为__________、__________、______________、______________、______________、______________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．[思路点拨](1)观察数阵,总结规律：除首|末两数外,每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和,得出(1)的结果．(2)由数阵可直接写出答案．(3)写出a3－a2 ,a4－a3 ,a5－a4 ,从而归纳出(3)的结论．[精解详析](1)由数阵可看出,除首|末两数外,每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和,且每一行的首|末两数都等于行数．[答案]6,16,25,25,16,6(2)a2＝2 ,a3＝4 ,a4＝7 ,a5＝11(3)∵a3＝a2＋2 ,a4＝a3＋3 ,a5＝a4＋4 ,∴由此归纳：a n＋1＝a n＋n.[一点通]对于数阵问题的解决方法,既要清楚每行、每列数的特征,又要对上、下行,左、右列间的关系进行研究,找到规律,问题即可迎刃而解了．1．设[x]表示不超过x的最|大整数,如[5]＝2 ,[π]＝3 ,[k]＝k (k∈N*)．我的发现：[1]＋[2]＋[3]＝3；[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10；[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21；…通过归纳推理,写出一般性结论_____________________________________________ __________________________________________________________(用含n的式子表示)．解析：第n行右边第|一个数是[n2] ,往后是[n2＋1] ,[n2＋2] ,…,最|后一个是[n2＋2n]．等号右边是n(2n＋1)．答案：[n2]＋[n2＋1]＋[n2＋2]＋…＋[n2＋2n]＝n(2n＋1)2．(1)如图(a)、(b)、(c)、(d)所示为四个平面图形,数一数,每个平面图形各有多少个顶点?多少条边?它们将平面围成了多少个区域?顶点数边数区域数(a)(b)(c)(d)(2)观察上表,推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系?(3)现某个平面图形有999个顶点,且围成了999个区域,试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边?解：(1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为顶点数边数区域数(a) 3 3 2(b) 8 12 6(c) 6 9 5(d)10157(2)观察：3＋2－3＝2；8＋6－12＝2；6＋5－9＝2；10＋7－15＝2 ,通过观察发现,它们的顶点数V ,边数E ,区域数F之间的关系为V＋F－E＝2.(3)由V＝999 ,F＝999 ,代入上述关系式得E＝1 996 ,故这个平面图形有1 996条边．类比推理的应用[例2] 通过计算可得以下等式： 23－13＝3×12＋3×1＋1； 33－23＝3×22＋3×2＋1； 43－33＝3×32＋3×3＋1； …(n ＋1)3－n 3＝3×n 2＋3×n ＋1. 将以上各等式两边分别相加 ,得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n )＋n , 即12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)．类比上述求法 ,请你求出13＋23＋33＋…＋n 3的值．[思路点拨] 类比上面的求法；可分别求出24－14 ,34－24,44－34 ,…(n ＋1)4－n 4 ,然后将各式相加求解．[精解详析] ∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1 , 34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1 , 44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1 , …(n ＋1)4－n 4＝4×n 3＋6×n 2＋4×n ＋1. 将以上各式两边分别相加 ,得(n ＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n 3)＋6×(12＋22＋…＋n 2)＋4×(1＋2＋…＋n )＋n ∴13＋23＋…＋n 3＝14⎣⎡ (n ＋1)4－14－6×16n (n ＋1)·⎦⎤(2n ＋1)－4×n (n ＋1)2－n ＝14n 2(n ＋1)2.[一点通] (1)解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比 ,从而产生解题方法的迁移 ,这是数学学习中很高的境界 ,需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法．(2)类比推理的步骤与方法第|一步：弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差异．第二步：把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来 ,也就是要把相关对象在某些方面一致性的模糊认识说清楚．3．二维空间中圆的一维侧度(周长)l ＝2πr ,二维测度(面积)S ＝πr 2 ,观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(外表积)S ＝4πr 2 ,三维测度(体积)V ＝43πr 3 ,观察发现V ′＝S .那么四维空间中 "超球〞的三维测度V ＝8πr 3 ,猜测其四维测度W ＝________.解析：(2πr 4)′＝8πr 3. 答案：2πr 44．在平面上 ,我们如果用一条直线去截正方形的一个角 ,那么截下一个直角三角形 ,按图所标边长 ,由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体 ,把截线换成如图的截面 ,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN ,如果用S 1 ,S 2 ,S 3表示三个侧面的面积 ,S 4表示截面的面积 ,那么你类比得到的结论是________．解析：由于平面图形中的边长应与空间几何体中的面积类比 ,因此所得到的结论为：S 24＝S 21＋S 22＋S 23.答案：S 24＝S 21＋S 22＋S 23演绎推理的应用[例3] {a n }为等差数列 ,首|项a 1>1 ,公差d >0 ,n >1且n ∈N *. 求证：lg a n ＋1lg a n －1<(lg a n )2.[思路点拨] 对数之积不能直接运算 ,可由根本不等式转化为对数之和进行运算． [精解详析] ∵{a n }为等差数列 , ∴a n ＋1＋a n －1＝2a n . ∵d >0 ,∴a n －1a n ＋1＝(a n －d )(a n ＋d )＝a 2n －d 2<a 2n .∵a 1>1 ,d >0 ,∴a n ＝a 1＋(n －1)d >1. ∴lg a n >0. ∴lg a n ＋1·lg a n －1≤⎝⎛⎭⎫lg a n ＋1＋lg a n －122＝⎣⎡⎦⎤12lg (a n －1a n ＋1)2<⎣⎡⎦⎤12lg a 2n 2＝(lg a n )2 , 即lg a n ＋1·lg a n －1<(lg a n )2.[一点通] 三段论推理的根据 ,从集合的观点来讲 ,就是：假设集合M 的所有元素都具有性质P ,S 是M 的子集 ,那么S 中所有元素都具有性质P .5．如图 ,棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形 ,B 1C ⊥A 1B .(1)证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；(2)设D 是A 1C 1上的点 ,且A 1B ∥平面B 1CD ,求A 1D ∶DC 1的值． 要求：写出每一个三段论的大前提、小前提、结论．解：(1)因为菱形的对角线互相垂直(大前提) ,侧面BCC 1B 1是菱形(小前提) , 所以B 1C ⊥BC 1(结论)．又线面垂直的判定定理(大前提) , B 1C ⊥A 1B ,且A 1B ∩BC 1＝B (小前提) , 所以B 1C ⊥平面A 1BC 1(结论)． 又面面垂直的判定定理(大前提) ,B 1C ⊂平面AB 1C ,B 1C ⊥平面A 1BC (小前提) , 所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1(结论)．(2)设BC 1交B 1C 于点E ,连接DE ,那么DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线． 根据线面平行的性质定理(大前提) ,因为A 1B ∥平面B 1CD (小前提) ,所以A 1B ∥DE (结论)． 又E 是BC 1的中点 ,所以D 为A 1C 1的中点 ,即A 1D ∶DC 1＝1∶1. 6．求证：函数y ＝2x －12x ＋1是奇函数 ,且在定义域上是增函数．证明：y ＝f (x )＝(2x ＋1)－22x ＋1＝1－22x ＋1 ,所以f (x )的定义域为x ∈R .f (－x )＋f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22－x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x＋1 ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋22－x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋2·2x2x ＋1＝2－2(2x ＋1)2x ＋1＝2－2＝0 ,即f (－x )＝－f (x ) ,所以f (x )是奇函数． 任取x 1 ,x 2∈R ,且x 1<x 2 ,那么f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x 2＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1－12x 1＋1＝2·2x 1－2x 2(2x 2＋1)(2x 1＋1).因为x 1<x 2 ,所以2x 1<2x 2 ,2x 1－2x 2<0 , 所以f (x 1)<f (x 2)．故f (x )为增函数．1．通俗地说 ,合情推理是指 "符合情理〞的推理 ,数学研究中 ,得到一个新结论之前 ,合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前 ,合情推理常为我们提供证明的思路和方向．2．在数学推理活动中常常利用归纳和类比去发现结论 ,再想方法去证明或否认发现的结论．[对应学生用书P25]一、填空题1．设k 棱柱有f (k )个对角面 ,那么k ＋1棱柱对角面的个数为f (k ＋1)＝f (k )＋________. 解析：k 棱柱增加一条侧棱时 ,那么这条侧棱和与之不相邻的k －2条侧棱可构成k －2个对角面 ,而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面．所以f (k ＋1)＝f (k )＋k －2＋1＝f (k )＋k －1. 答案：k －12．如果一个凸多面体是n 棱锥 ,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有____条．这些直线中共有f (n )对异面直线 ,那么f (4)＝______；f (n )＝______.(答案用数字或含n的式子表示)解析：所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对角线数 ,即n ＋n ＋n (n －3)2＝n 2＋n2.f (4)＝4×2＋4×12×2＝12 ,f (n )＝n (n －2)＋n (n －3)2×(n －2)＝n (n －1)(n －2)2.答案：n 2＋n 2 12 n (n －1)(n －2)23．(陕西（高|考）)f (x )＝ x1＋x,x ≥0 ,假设 f 1(x )＝f (x ) ,f n ＋1(x )＝f (f n (x )) ,n ∈N *, 那么f 2 014(x )的表达式为________．解析：由f 1(x )＝x 1＋x ⇒f 2(x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ；又可得f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x1＋2x 1＋x 1＋2x ＝x 1＋3x ,故可猜测f 2 014(x )＝x1＋2 014x . 答案：x1＋2 014x4．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的 "分裂〞： 23＝⎩⎨⎧3 533＝⎩⎨⎧791143＝⎩⎨⎧1315 1719….仿此 ,假设m 3的 "分裂数〞中有一个是2 015 ,那么m ＝________. 解析：根据分裂特点 ,设最|小数为a 1 , 那么ma 1＋m (m －1)2×2＝m 3 ,∴a 1＝m 2－m ＋1.∵a 1为奇数 ,又452＝2 025 , ∴猜测m ＝45. 验证453＝91 125＝(1 979＋2 071)×452.答案：45 5．观察以下等式sin 230°＋cos 290°＋3sin 30°·cos 90°＝14；sin 225°＋cos 285°＋3sin 25°·cos 85°＝14；sin 210°＋cos 270°＋3sin 10°·cos 70°＝14.推测出反映一般规律的等式：____________________. 解析：∵90°－30°＝60° ,85°－25°＝60° ,70°－10°＝60° , ∴其一般规律为sin 2α＋cos 2(60°＋α)＋3sin αcos(60°＋α)＝14.答案：sin 2α＋cos 2(60°＋α)＋3sin αcos(60°＋α)＝14二、解答题6．试将以下演绎推理写成三段论的形式：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行 ,海|王星是太阳系中的大行星 ,所以海|王星以椭圆形轨道绕太阳运行；(2)所有导体通电时发热 ,铁是导体 ,所以铁通电时发热；(3)一次函数是单调函数 ,函数y ＝2x －1是一次函数 ,所以y ＝2x －1是单调函数； (4)等差数列的通项公式具有形式a n ＝pn ＋q (p ,q 是常数) ,数列1,2,3… ,n 是等差数列 ,所以数列1,2,3 ,… ,n 的通项具有a n ＝pn ＋q 的形式．解：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行 ,(大前提) 海|王星是太阳系中的大行星 ,(小前提) 海|王星以椭圆形轨道绕太阳运行．(结论) (2)所有导体通电时发热 ,(大前提) 铁是导体 ,(小前提) 铁通电时发热．(结论)(3)一次函数都是单调函数 ,(大前提) 函数y ＝2x －1是一次函数 ,(小前提) y ＝2x －1是单调函数．(结论)(4)等差数列的通项公式具有形式a n ＝pn ＋q (p ,q 是常数) ,(大前提)数列1,2,3 ,… ,n是等差数列,(小前提)数列1,2,3 ,… ,n的通项具有a n＝pn＋q的形式．(结论)7．平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的,如： "长方形的每一边与其对边平行,而与其余的边垂直〞； "长方体的每一面与其相对面平行,而与其余的面垂直〞,请用类比法写出更多相似的命题．(写出三种即可)解：(1)(平面)在平行四边形中,对角线互相平分；(立体)在平行六面体中,体对角线相交于同一点,且在这一点互相平分．(2)(平面)在平行四边形中,各对角线长的平方和等于各边长的平方和；(立体)在平行六面体中,各体对角线长的平方和等于各棱长的平方和．(3)(平面)圆面积等于圆周长与半径之积的1/2；(立体)球体积等于球外表积与半径之积的1/3.(4)(平面)正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍；(立体)正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍．8．某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣中最|简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同) ,设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)写出f(5)的值；(2)利用合情推理的 "归纳推理思想〞,归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求1f(1)＋1f(2)－1＋1f(3)－1＋…＋1f(n)－1的值．解：(1)f(5)＝41.(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1 , f(3)－f(2)＝8＝4×2 ,f(4)－f(3)＝12＝4×3 ,f (5)－f (4)＝16＝4×4 , …由以上规律 ,可得出f (n ＋1)－f (n )＝4n , 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ,所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n , 所以当n ≥2时 , f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f [n －(n －1)]＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4[n －(n －1)] ＝2n 2－2n ＋1.f (1)＝1也适合上式 ,故f (u )＝2n 2－2n ＋1(n ∈N *)． (3)当n ≥2时 ,1f (n )－1＝12n (n －1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ,所以1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n .。