基本初等函数(知识点汇总)大全

《指数函数》知识点汇总
1、根式的基本性质
⎪⎩⎪⎨
⎧>±=⇔>∈=为偶数，为奇数
n a a n a x n N n a x n n n
)0(,)1,( a a n n =)(（n 是大于1的自然数）
n n n
b a ab ⋅=（的整数是大于1,0,0n b a ≥≥）
b
a b
a
n
n n
=)1,0,0(的整数是大于n b a >≥
⎩⎨⎧=为偶数
为奇数
n a n a a n
n |,|,
||2a a =
n m n
m a a =（1,,,0>∈>+n N n m a 且）
n m np m p a a =（1,,,,0>∈>+n N p n m a 且）
n
m
n
m n
m a
a
a
1
1=
=
-
（1,,,0>∈>+n N n m a 且）
)1,,0(的整数都是大于n m a a a mn
n
m
>=
2、指数幂及运算性质
n m n m a a a +=⋅（R n m b a ∈>>,,0,0）
),,0,0(R n m b a a a
a n
m n m ∈>>=- mn n m a a =)(（R n m b a ∈>>,,0,0） n n n b a b a =⋅)(（R n m b a ∈>>,,0,0）
3、指数函数)1,0(≠>=a a a y x
且的图象和性质 )1(>=a a y x
)10(<<=a a y x
函数图象
函数性质
（1）定义域：R ； （2）值域：),0(+∞； （3）过定点)1,0(； （4）当0>x 时，1>y ； （4）当0>x 时，10<<y ； （5）当0<x 时，10<<y ； （5）当0<x 时，1>y ； （6）在R 上是增函数
（6）在R 上是减函数
（7）底数越大图象越接近y 轴；
（7）底数越小图象越接近y 轴；
（8）底数越大，它的图象与x=1的交点越靠上（底大图高）； （9）当a 与
a
1互为倒数时，函数)1,0(≠>=a a a y x
且与函数)1,0()1
(≠>=a a a
y x 且的图象关于y 轴对称。

《对数函数》知识点汇总
1、指数式与对数式的互化：N
a b
b N a log =⇔=)0,1,0(>≠>N a a
2、对数运算性质：如果,0,0,1,0>>≠>N M a a 且那么 1的对数：0log 1
=a 底的对数：1log =a a 积的对数：N
a M a MN a log log log )(+=
商的对数：N
a M
a N
M a log log log )(
-=
幂的对数：)(log log R n n M
a M a
n
∈=
根式的对数：N
a N a
n
m n
m
log log =
3、对数恒等式：N a N
a =log
)0,1,0(>≠>N a a 且
4、换底公式：a
c
b
c
b
a log log log =)0,1,0,1,0(>≠>≠>
b
c c a a 且且 5、由换底公式推导所得公式：a b b
a log 1log =；b
a b a
n m m n log log =；1log 1-=a a ；1log 1-=a a
； 6、常用对数：N N
lg log 10=
7、自然对数：)71828.2(ln log ==e N N
e
8、对数函数)1,0(log ≠>=a a y x
a 且的图象和性质： 1>a
10<<a
图象
性质
（1）定义域：),0(+∞ （2）值域：R （3）过定点)0,1(； （4）当1>x 时，0>y ； （4）当1>x 时，0<y ； （5）当10<<x 时，0<y ； （5）当10<<x 时，0>y ； （6）是),0(+∞上的增函数； （6）是),0(+∞上的减函数； （7）底数越大图象越接近x 轴；
（7）底数越小图象越接近x 轴；
（8）底数越大，它的图象与y=1的交点越靠右； （9）当a 与
a
1互为倒数时，函数)1,0(log ≠>=a a y x
a 且与函数)1,0(log 1≠>=a a y x
a
且的图象关于x 轴对称。

《幂函数》知识点汇总
幂函数：形如αx y =（R ∈α）的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数。

1、做出以下幂函数图像，并归纳其图像走势： （1）x y =
结论1：当1=α时，图像为直线。

（2）①2x y = ②3x y =
结论2：当1>α时，第一象限为增函数，曲线下凸。

（3）①21x y = ②3
1x y =
结论3：当10<<α时，第一象限为增函数，曲线上凸。

（4） ①1
-=x y ②2-=x y ③3-=x y
④2
1-=x y ⑤3
1-
=x
y
结论4：当0<α时，第一象限为减函数。

（5）0x y =
结论5：当0=α时，10
==x y （0≠x ），除去（0,1）点。

注：10、做幂函数图像可先做第一象限的图象，然后根据奇偶性做出其他象限的图象，奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称。

20、在1>x 区域，α值越小，幂函数的图象越接近x 轴。

特别提示：在同一直角坐标系内做出0<α，0=α，10<<α，1=α，1>α图像的大致走向即可得出上面结论。

30、幂函数图象第一象限恒过（1,1）点，在第四象限没有图象。

2、完成下列各题 （1）、请将①、②、③在同一直角坐标系内做出图象。

①3
2x y = ②4
3x y = ③5
3x y =
（2）、请将④、⑤、⑥在同一直角坐标系内做出图象。

④45x y = ⑤34x y = ⑥3
5x y =
（3）、请将⑦、⑧、⑨、在同一直角坐标系内做出图象。

⑦32-=x y ⑧4
5-
=x
y ⑨5
3-
=x
y
《反函数》知识点汇总
1、若函数y=f （x ）的定义域为A ，值域为B,对于B 中的每一个元素y 0，在A 中都有唯一的元素x 0与之对应，则函数y=f （x ）存在反函数，记为)(1
x f y -=，且)(1x f y -=的定义
域为y=f （x ）的值域。

典例：指数函数)10(≠>=a a a y x
且与对数函数)10(log ≠>=a a y x
a 且互为反函数。

2、互为反函数的图象之间的关系 （1）)(1
x f
y -=与y=f （x ）的图象关于直线y=x 对称；
（2）若点P （a ，b ）在)(1
x f y -=的图象上，则点（b ，a ）在y=f （x ）的图象上；
（3）若y=f （x ）存在反函数)(1
x f y -=，则b a f =)(⇔a b f =-)(1；
3、求函数的反函数的一般步骤： ①反解x ； ②对换x 与y ；
③指明反函数的定义域；
《对勾函数》知识点汇总
1、对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲线函数，是形如f(x)=ax+b/x （a>0,b>0）的函数。

对勾函数又被称为“双勾函数”、“勾函数”、"对号函数"、“双飞燕函数”等。

也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”。

2、耐克是全球著名的体育用品制造商，总部位于美国俄勒冈州，生产的体育用品包罗万象：服装、鞋类、运动器材等。

耐克商标图案是个小钩子。

耐克鞋
耐克标志的含义：NIKE这个名字，在西方人的眼光里很是吉利，而且易读易记，能叫得很响。

耐克商标象征着希腊胜利女神翅膀的羽毛，代表着速度，同时也代表着动感和轻柔。

耐克公司的耐克商标，图案是个小钩子，造型简洁有力，急如闪电，一看就让人想到使用耐克体育用品后所产生的速度和爆发力。

首次以“耐克”命名的运动鞋，鞋底有方形凸粒以增强稳定性，鞋身的两旁有刀形的弯勾，象征女神的翅膀。

3、所谓的对勾函数是形如f(x)=ax+b/x （a>0,b>0)的函数，由图像得名。

（1）单调性 增区间：{x|x ≤-
a b }和{x|x ≥a
b }； 减区间：{x|-
a b ≤x<0}和{x|0<x ≤a
b }。

（2)奇偶性:奇函数
（3)渐近线：y=ax 与x=0，对勾函数的图像是分别以Y 轴和y=ax 为渐近线的两支双曲线。