基本初等函数复习

基本初等函数复习一、知识梳理1．知识网络2．要点归纳 (1)分数指数幂①m na ＝na m (a >0、m 、n ∈N *、且n >1)． ②1m n m naa-=(a >0、m 、n ∈N *、且n >1)．(2)根式的性质 ①(na )n ＝a .②当n 为奇数时、na n ＝a ；当n 为偶数时、na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.(3)指数幂的运算性质 ①a r ·a s ＝a r ＋s (a >0、r 、s ∈R )． ②(a r )s ＝a rs (a >0、r 、s ∈R )． ③(ab )r ＝a r b r (a >0、b >0、r ∈R )． (4)指数式与对数式的互化式log a N ＝b ⇔a b ＝N (a >0、且a ≠1、N >0)． (5)对数的换底公式log a N ＝log m Nlog m a(a >0、且a ≠1、m >0、且m ≠1、N >0)．推论：log m na b ＝n m log a b (a >0、且a ≠1、m 、n >0、且m ≠1、n ≠1、b >0)．(6)对数的四则运算法则若a >0、且a ≠1、M >0、N >0、则 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )． (7)指数函数①理解指数函数概念及单调性．②会画具体指数函数图象并掌握图象通过的特殊点． (8)对数函数①理解对数函数概念及单调性．②会画具体对数函数图象并掌握图象通过的特殊点． ③了解y ＝a x 、y ＝log a x (a >0、且a ≠1)互为反函数． (9)幂函数①了解幂函数的概念．②结合y ＝x α、α＝－1、12、1、2、3的图象、了解它们的性质．二、专题讲解1、 指数、对数的运算1、化简：(1)2932)-⨯ (2)2log 32－log 3329＋log 38－5log 325.2、已知22(xxa a -+=为常数、)x Z ∈、求88x x -+的值3、计算80.25×42＋(32×3)6＋log 32×log 2(log 327)的值为________．4、22(lg 2)(lg 5)2lg 2lg 5++⋅= 5、设,,a b c 都是正数、且346a b c ==、则下列正确的是（ ）111.A c a b =+ 221.B c a b =+ 122.C c a b =+ 212.D c a b =+ 6、已知1414log 7,log 5,a b ==则用,a b 表示35log 28=2、函数的解析式1、函数()xa a a 33y 2+-=是指数函数、求a 的值。

2、已知函数21()(1)a a f x a x +-=-⋅、①当a ＝______时、()f x 为正比例函数； ②当a ＝______时、()f x 为反比例函数； ③当a ＝______时、()f x 为二次函数； ④当a ＝______时、()f x 为幂函数.3、为了保证信息安全、传输必须使用加密方式、有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为2xy a =- (x 为明文、y 为密文)、如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”、再发送、接收方通过解密得到明文“3”、若接收方接到密文为“14”、则原发的明文是________．4、通常候鸟每年秋天从北方飞往南方过冬、若某种候鸟的飞行速度y (m/s) 可以表示为函数25log 10xy =、其中x 为这种候鸟在飞行过程中耗氧量的单位数. （1） 该种候鸟的耗氧量是40个单位时、它的飞行速度是多少？ （2） 该种候鸟的飞行速度为15m/s 时、它的耗氧量是多少个单位？3、定义域和值域1、函数()xf x a =（0a >、且1a ≠）在[1,2]上的最大值与最小值的和为6、则a 的值为 .2、函数y = ）1.(,)2A +∞ [).1,B +∞ 1.,12C ⎛⎤⎥⎝⎦.(,1)D -∞3、已知函数22()lg (1)(1)1f x a x a x ⎡⎤=-+++⎣⎦、若()f x 的定义域为R 、求实数a 的取值范围。

4、已知函数2lg(1)y x ax =++的值域是R 、求实数a 的取值范围。

5、设全集{}3xU x y ==、集合{}3log P x y x ==、12{}Q x y x ==、则(P Q)UC⋂等于( )A ．{}0B ．(0,)+∞C ．(,0)-∞D ．(,0]-∞4.过定点问题1、函数log (21)2a y x =+-的图像恒过定点2、已知指数函数y ＝(2b －3)a x 经过点(1、2)、求a 、b 的值．5、比较大小1、比较下列各组数的大小：①27、82； ②log 20.4、log 30.4、log 40.4； ③132,-log 213、121log .32、设x 、y 、z 为正数、且2x ＝3y ＝5z 、则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z3、已知a ＝log 23.6、b ＝log 43.2、c ＝log 43.6、则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b4、已知a ＝log 0.70.8、b ＝log 1.10.9、c ＝1.10.9、则a 、b 、c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．c ＜a ＜b 6、单调性问题1、已知函数21xf x a =（）（﹣）、当m n ＞时、()()f m f n ＜、则实数a 的取值范围是 2、已知关于x 的不等式2221122x axx a ++-⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭恒成立、则a 的取值范围是 ．3、函数212()log (2)f x x x =-的单调递增区间是（ ）A. (1,)+∞B. (2,)+∞C. (,1)-∞D. (,0)-∞4、函数12()log f xx =的单调递增区间是（ ）A. 1(0,]2B. (0,1]C. (0,)+∞D. [1,)+∞5、如果函数2()log (82)a f x ax x =+-在[1,3]-上是增函数、则a 的取值范围是 .6、函数()f x 的图像与函数1()()3x g x =的图像关于直线y x =对称、求2(2)f x x -的单调递减区间.7、若函数2()(1)mf x m m x =--是幂函数、且在(0,)+∞上为增函数、则实数m = .7、不等式与方程1、方程143280x x +-⋅+=的解集为_____________2、若不等式1240x x a ++⋅>在(,1]x ∈-∞时总成立、求实数a 的取值范围.3、若函数f (x )＝2112log 1xx x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪>⎩，，，，则f (x )≥2的解集为________ 4、已知函数f (x )＝log a (1－a x )(a ＞0、且a ≠1)、解关于x 的不等式log a (1－a x )＞f (1)8、图像问题1．若函数y ＝log a x (a >0、且a ≠1)的图象如图所示、则下列函数图象正确的是( )2、函数()1xxa y a x=>的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．3、已知函数1log ()(,4a y xb a b =+为常数）的图象如下图所示、则a b +的值为 .4、函数()y f x =如下图所示、则函数12log ()y f x =的图象大致是（ ）5、幂函数my x =、ny x =、py x =的图象如图所示、以下结论正确的是（ ）A ．m n p >>B ．m p n >>C ．n p m >>D ．p n m >>9、函数性质综合应用1、对于函数212()log (3)f x x ax =-+、解答下列问题：（1）若()f x 的定义域是R 、求a 的取值范围； （2）若()f x 的值域是R 、求a 的取值范围；（3）若()f x 在[1,)-+∞上有意义、求a 的取值范围； （4）若()f x 的值域是(,1]-∞-、求a 的取值范围； （5）若()f x 在 (,1]-∞-内为增函数、求a 的取值范围.2、已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x 、其中常数a 、b 满足ab ≠0. (1)若ab >0、判断函数f (x )的单调性；(2)若ab <0、求f (x ＋1)>f (x )时的x 的取值范围．3、已知函数41()log ,[,4]16f x x x =∈的值域为集合A 、关于x 的不等式31()2()2x ax a R +>∈的解集为B 、集合5{|0}1xC x x -=≥+、集合{|121}(0)D x m x m m =+≤<-> （1）若A B B ⋃=、求实数a 的取值范围； （2）若D C ⊆、求实数m 的取值范围．4、已知函数4411)xf x log k x x R =+∈（）（）-（﹣（）为偶函数． （1）求常数k 的值；（2）当x 取何值时函数f x （）的值最小？并求出f x （）的最小值；（3）设44•2)03xg x log a aa =≠（）（﹣（）、试根据实数a 的取值、讨论函数f x （）与()g x 的图象的公共点个数．三、课后练习一、选择题1．函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2、0]∪(0、2]B ．(－1、0)∪(0、2]C ．[－2、2]D ．(－1、2]2．已知x 、y 为正实数、则( ) A ．2lg x ＋lg y＝2lg x ＋2lg yB ．2lg(x＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)等于( )A ．3B ．6C ．9D ．124．下列区间中、函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是( ) A ．(－∞、1] B.⎣⎡⎦⎤－1，43 C.⎣⎡⎭⎫0，32 D ．[1、2)5．函数y ＝log 2(|x |＋1)的图象大致是( )6．函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称7．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215、b ＝f (log 24.1)、c ＝f (20.8)、则a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <aD ．c <a <b8．函数y ＝(x ＋2)ln|x |的图象大致为( )二、填空题9．若lg 2＝a 、lg 3＝b 、则log 512＝________.10．若函数y ＝log 12(3x 2－ax ＋5)在[－1、＋∞)上是减函数、则实数a 的取值范围是________．11．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )、且f (x )在[m 、＋∞)上单调递增、则实数m 的最小值为________． 三、解答题12．若lg a 、lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根、求lg(ab )·⎝⎛⎭⎫lg a b 2的值．13．已知常数a (a >1)和变量x 、y 之间的关系式是log a x ＋3log x a －log x y ＝3、若x ＝a t (t ≠0)、且当t ≥1时、y 的最小值是8、求相应的x 的值．14.如图、矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数y ＝log2x 、y ＝x 12、y ＝⎝⎛⎭⎫22x的图象上、且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2、则点D 的坐标为________．15．已知函数f (x )＝x n －4x 、且f (4)＝3.(1)判断f (x )的奇偶性并说明理由；(2)判断f (x )在区间(0、＋∞)上的单调性、并证明你的结论；(3)若对任意实数x 1、x 2∈[1、3]、有|f (x 1)－f (x 2)|≤t 成立、求t 的最小值．四、反思总结。