基本初等函数知识点总结

基本初等函数
一、指数函数
一指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N ．
◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作00=n ;
当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,⎩
⎨
⎧<≥-==)0()
0(||a a a a a a n n
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定：
)
1,,,0(*>∈>=n N n m a a a
n m n
m ,
)1,,,0(1
1*>∈>=
=
-
n N n m a a a
a
n
m
n
m n
m
◆ 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质 1r a ·s
r r a a += ),,0(R s r a ∈>；
2rs s r a a =)(
),,0(R s r a ∈>；
3
s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>．
二指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1．
2、指数函数的图象和性质
注意：利用函数的单调性,结合图象还可以看出： 1在a,b 上,)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；
2对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =； 二、对数函数 一对数
1．对数的概念：一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,
那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数,记作：N x a log =a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式
说明：错误! 注意底数的限制0>a ,且1≠a ；
错误! x N N a a x
=⇔=log ；
错误! 两个重要对数：
错误! 常用对数：以10为底的对数N lg ； 错误! 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．
指数式与对数式的互化
幂值 真数
b ＝ N b
对数 二对数的运算性质
如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么： 错误! M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；
错误! =N M
a
log M a log －N a log ； 错误! n
a M log n =M a log )(R n ∈．
注意：换底公式
a
b
b c c a log log log =
0>a ,且1≠a ；0>c ,且1≠c ；0>b ． 利用换底公式推导下面的结论 1b m
n b a n a m
log log =；2a
b b a log 1
log =
． 二对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是0,+∞．
注意：错误! 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别;如：x y 2log 2=,5
log 5
x y = 都
不是对数函数,而只能称其为对数型函数． 错误! 对数函数对底数的限制：0(>a ,且)1≠a ．
＞0
值域为R 值域为R 在R 上递
增
在R 上递减
函数图象
都过定点
1,0 函数图象都过
定点1,0
三幂函数
1、幂函数定义：一般地,形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数,其中α为常数．
2、幂函数性质归纳．
1所有的幂函数在0,+∞都有定义并且图象都过点1,1；
20>α时,幂函数的图象通过原点,并且在区间
),0[+∞上是增函数．
特别地,当1>α时,幂函数的图象下凸；当10<<α时,幂函数的图象上凸； 30<α时,幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴,当x 趋于∞+时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 例题：
1. 已知a>0,a 0,函数y=a x 与y=log a -x 的图象只能是
2.计算： 1 2
log 227log 553
125
+= ;
221343
101.016])2[()8
7(064
.075
.030++-+----- =
3.函数y=log 2
12x 2-3x+1的递减区间为
4.若函数)10(log )(<<=a x x f a
在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的
3倍,
则a= 5.已知1()log (01)1a
x
f x a a x
+=>≠-且,1求()f x 的定义域2求使()0f x >的x 的取
值范围 6.
7． .。