柯西不等式二维形式证明
二维柯西不等式
变式3:
若2x 3 y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3 y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3 y 1, acur urbd ur ur (4)柯西不等式的向量形式 .
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论. 若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了.
例3 : 求函数y x 1 10 x的最大值.
变式1 :求函数y 5 x 1 10 2x的最大值
变式 2:已知 4 x2 9 y2 =36,求 x 2 y 的最大值.
3.若2x 3y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
探究：柯西不等式的几何意义是什么？
如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量ar a,b,
r
ur r
c, d , 与 之间的夹角为 .
y
O
x
(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设r
r
, 为平面上的两个向量, 则
ur ur ur ur
二维形式的柯西不等式
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2
你能证 明吗？
当且仅当ad =bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式的变式: (1) a2 b2 c2 d 2 ac bd (2) a2 b2 c2 d 2 ac bd
| g || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
柯西不等式各种形式地证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅=⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc≥=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()1231231122332222212322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na b b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。
二维形式的柯西不等式
⑵ 若 a, b, c, d 都是实数 , 则 (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd .
(a b )(c d ) (ac bd )
2 2 2 2
2
牛刀小试 例1:设
1 1 a, b R , a b 1, 求证: ≥ 4 . a b
a 代替a, b 代替b
2
2
a代替c, b代替d
探究2
ab 2
ab ( a, b 0)
D
当且仅当弦为直径时， 等号成立。
A
a
ab 2 ab
O C
b
B
• 半径不小于半弦长
E
探究2
探究2： 二维形式的柯西不等式：
(a b )(c d ) (ac bd )
2 2 2 2
2
那它表示的几何意义又是什么呢？
1 1 1 ≥ a4 b 时,等号成立。 ∴ 当且仅当 a 1 b 1 2
∴
≥4 a b
牛刀小试
例 2:设 a , b R, 求证 : (a 4 b 4 )( a 2 b2 ) (a3 b3 )2 .
(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
探究1
将我们发现的不等式写成定理形式：
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a, b, c, d 都是实数 , 则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) ≥ (ac bd )2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
你能否简明地写出这个定理的证明？
探究1
a代替a b代替b
a b 2ab
作业:课本 P 习题 3.1 第 1、3、7、8 题
二维形式的柯西不等式 课件
(2)如图，平面内点 B(c，d)到直线 ax＋by＝0 的距离 BH 不 大于线段 OB 的长，因此有
|aca＋2＋bbd2|≤ c2＋d2. 即(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
(3)如图所示，构造△AOB，点 A(a，b)，B(c，d)，在△AOB 中应用余弦定理可得，
cos∠AOB＝OA2＋2OOAB·O2－B AB2
(2)由二维形式的柯西不等式推导出两个非常有用的不等 式：
对于任何实数 a，b，c，d，以下不等式成立： a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd|； a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|.
2．对二维柯西不等式的认识 二维柯西不等式与中学数学中的代数、几何、三角等各方 面都有联系，熟悉这些联系能更本质的把握不等式，并更自觉 地应用它． (1)由代数恒等式(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2＋(ad－bc)2，把 非负数(ad－bc)2 舍去，易得不等式 (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
x1－x32＋y1－y32
＋
≥______________.
x2－x32＋y2－y32
1.ad＝bc 答 2.|α||β| 零向量 α＝kβ 案 3. x1－x22＋y1－y22
4. x1－x22＋y1－y22
思考探究 1．在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件 可以写成ab＝dc吗？ 提示 不可以．当 b·d＝0 时，柯西不等式成立，但ab＝dc不 成立．
2．用柯西不等式求最值时的关键是什么？ 提示 利用柯西不等式求最值问题，通常设法在不等式一 边得到一个常数，并寻求不等式等号成立的条件.
名师点拨 1.二维形式的柯西不等式 (1)定理 1：不等式中等号成立的条件是 ad＝bc.这时我们称 (a，b)，(c，d)成比例．如果 c≠0，d≠0，那么 ad＝bc⇔ac＝bd， 若 cd＝0，我们分情况说明：①c＝d＝0，原不等式两边都为 0， 显然成立；②当 c＝0，d≠0 时，原不等式化为(a2＋b2)d2≥b2d2， 是显然成立的；③当 c≠0，d＝0 时，道理和②一样，也是成立 的．所以当 cd＝0 时，不等式也成立．
2.1.2柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明
所以n(a12+a22+…+an2) ≥(a1+a2+…+an)2
即 1 n
a1 a2 ... an
2
a12 a22 ... an2
.
例2
已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明 a2+b2+c2+d2>ab+bc+cd+da.
分析
上式两边都是a,b,c,d这四个数组成的 式子，特别是右边式子的字母排列顺序启 发我们，可以用柯西不等式进行证明.
此时，有唯一实数x0，使aix0+bi=0(i=1,2,…,n).
若若xx00=≠00，，则则有b1k=b2=…abii =，bn=总0之,(*，)式当成且立仅；
当bi=0(i=1,2,…,n)或ai=kbi(i=1,2,…,n)时， 等号成立.
定理（一般形式的柯西不等式）
设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是实数，则 (a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当 bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k，使得 ai=kbi(i=1,2,…,n）时，等号成立.
2
ab
bc
cd
da
2
,
即a2 b2 c2 d 2ab bc cd da
例3
已知x+2y+3z=1以及 x2+y2+z2 的最小值.
分析 由x+2y+3z=1以及 x2+y2+z2 的形式，联 系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32） 作为一个因式而解决问题.
柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式(解析版)
2.2.1柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式知识点一：柯西不等式、反柯西不等式1．柯西不等式的二维形式：()()22222()a b cd ac bd ++≥+，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．2．柯西不等式的一般情形：222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++++++ ，当且仅当a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．3．柯西不等式的向量形式：αβαβ→→→→≥⋅，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝kβ时，等号成立．4．柯西不等式的三角形式：()()222222a b c d a c b d +++≥-+-5.反柯西不等式()()()22222a b c d ac bd --≤-考点1：利用柯西不等式求函数最值及变量范围求整式【例1.1.】已知,,R x y z ∈，且225x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值是（）A ．20B ．25C ．36D ．47【答案】C【分析】结合已知条件，利用柯西不等式即可求得答案.【详解】由于225x y z -+=，故()()()()()222222513122x y z ⎡⎤⎡⎤++-+++-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()225212(22133324)x y z x y z ⎡⎤≥++--++-⎣+=⎦=+，【例1.2.】已知,,R x y z ∈，且22x y +=，则222x y z ++的最小值是.【例1.3.】已知22232424x y z ++=，则75W x y z =++的最大值为．【例1.4.】已知实数,x y 满足方程()2221x y ++=，则2x y -的最大值为.求分式【例1.5.】已知a ，b ，c 均为正数，若1a b c ++=，则111a b c++的最小值为（）A ．9B ．8C ．3D ．13【例1.6.】已知x ,y ,z ∈(0,+∞),且1,x y z ++=则23x ++的最小值为（）A．5B．6C．8D．9【答案】C【解析】因为23a b +=，所以()()41211a b -+-=由柯西不等式()()()211114121219121121a b a b a b ⎛⎫+=+-+-≥+=⎡⎤ ⎪⎣⎦----⎝⎭当且仅当112221a b =--，即72,63a b ==时，等号成立，故选C.【例1.8.】已知,,x y z R +∈且1x y z ++=则2222y+32323x y z z z x x y++++的最小值是（）A ．1B ．15C ．25D ．35【例1.9.】为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量()()1122,,,a x y b x y ==时，有222a b a b ⋅≤ ，即()()()2222212121122x x y y x y xy +≤++，当且仅当1221x y x y =时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：()()()2222212121122x x y y x y x y -≥--，当且仅当1221x y x y =时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当x ∈R 时，2212211x x -的最小值是．求根式【例1.10.】函数y =的最大值是()A B C ．3D ．5【例1.11.】已知,x y 10,=2x y -的最大值为．【答案】200【解析】()()222222121x y x y ⎡⎤⎡⎤-=--=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦222200≤==≥==当且仅当1=，即400,100x y ==时取等号，故2x y -的最大值为200．【例1.12.】已知1()2f x =的最大值为m ，则m =．【例1.13.】已知M =M 的最大值为．【例1.14.】已知0x >，R y ∈，且2530x xy x y +-+=，的最大值为（）AB C ．D ．【答案】C，进而由柯西不等式 求三角函数式【例1.16.】设x R ∈，则3sin 2cos xx-的最大值为．【答案】【例1.17.】若()sin cos sin 2y x y x +++=，则sin x 的最小值是（）A ．0B ．2C ．3D ．12求变量范围（值）【例1.19.】已知实数a b c d ,,,满足222232445a b c d a b c d +++=+++=，，则a 的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4知识点二：权方和不等式1.二维形式的权方和不等式：若0,,,>y x b a ，则y x b a y b x a ++≥+222)(，当且仅当ybx a =时，等号成立.推广1：,)(2222zy x c b a z c y b x a ++++≥++当z c y b x a ==时，等号成立．推广2：若0,0>>i i b a ，则nn n n b b b a a a b a b a b a ++++++≥+++ 212212222121)(，当i i b a λ=时，等号成立.2.一般形式的权方和不等式：若0,0,0>>>m b a i i ，则()mn m n m m n m m m m b b b b a b a b a n +++≥+++++++ 2112111211)(21i i b a λ=时，等号成立.考点2：利用权方和不等式求最值【例2.1.】已知,,a b c R +∈，则a b c b c c a a b++的最小值为．【详解】()2222()()()2()a b c a b c a b c b c c a a b a b c b c a c a b ab bc ca ++++=++≥++++++++3()32()2ab bc ca ab bc ca ++≥=++当且仅当a b c ==时，等号成立所以答案为：3 2【例2.2.】已知正数,x y满足434xy+=，则11321yxy xy⎛⎫+⎪++⎝⎭的最小值为．【例2.3.】对任意11,2x y>>，()22224121(1)x ya y a x+≥--恒成立，则实数a的最大值为．【答案】8【详解】因为()22224121(1)x y a y a x +≥--恒成立，所以2224211x y a y x ≤+--，对任意11,2x y >>恒成立，所以222min4()211x y a y x ≤+--()()()22224211211x y x y y x y x ++≥---+-设22,(0)x y t t +-=>，则()()()()2222224448211211x y t x y t y x y x t t +++≥==++≥---+-当且仅当2222211x y x y y x +-=⎧⎪⎨=⎪--⎩，即21x y =⎧⎨=⎩时，两个等号同时成立故答案为8【例2.4.】若正数,,m n p 满足4m n p ++=，且()()()222222mn mn p n pn m p mp mnp λ+++++≥，则实数λ的取值范围为（）A ．(],6-∞B ．(],4-∞C ．(],12-∞D ．(],8-∞。
二维形式的柯西不等式
06
二维形式的柯西不等式的拓 展与推广
向高维空间的拓展
高维柯西不等式
对于任意两个n维向量a和b，有 (a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+... +bn^2) ≥ (a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当 且仅当a和b线性相关时取等号。
几何意义
高维柯西不等式在几何上可以理解为两个高 维向量长度的乘积大于等于它们内积的平方。
与其他数学分支的联系与应用
01
线性代数中的应用
柯西不等式在线性代数中可用于证明矩阵的正定性、求解特征值问题等。
02 03
概率论与数理统计中的应用
在概率论与数理统计中，柯西不等式可用于证明某些概率不等式、求解 某些统计量的界等。例如，利用柯西不等式可以证明切比雪夫不等式、 马尔可夫不等式等。
分析学中的应用
柯西不等式二维形式的几何意义
柯西不等式的二维形式可以看作是平面中两个向量的模长之积与它们的内积的 平方之间的关系。当且仅当两个向量共线时，等号成立。
柯西不等式二维形式的性质
• 性质一：正定性。当$a_1, a_2$和$b_1, b_2$均不为零时，柯西不等式的左边 总是大于零，即$(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) > 0$。
04
二维形式的柯西不等式在几 何中的应用
在三角形中的应用
面积估计
通过二维形式的柯西不等式，可以对 三角形的面积进行估计，得到面积的 上界和下界。
边长关系
式关系， 如两边之和大于第三边等。
在平行四边形中的应用
对角线性质
二维形式的柯西不等式可用于研究平行四边形的对角线性质，如对角线长度与边 长之间的关系。
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a bb b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc≥=等号成立条件：三角形式的证明：222111n nn k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+- 注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233112233=,,,,,,,,,cos ,,cos ,1n n n n n n m a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m nm nm n a b a b a b a b =⋅=++++==≤∴++++≤令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===nk k k n k k nk kb a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。
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柯西不等式二维形式证明
柯西不等式是指对于任意实数集合A和B，有以下不等式成立：
（∑(a_i * b_i))^2 ≤ (∑a_i^2) * (∑b_i^2)
其中∑表示求和，a_i和b_i分别是A和B中的元素。
现在我们来证明柯西不等式的二维形式。
假设有两个二维向量
a=(a1,a2)和b=(b1,b2)。
根据柯西不等式的二维形式，我们有：
(a1*b1 + a2*b2)^2 ≤ (a1^2 + a2^2) * (b1^2 + b2^2)
我们将要证明这个不等式。
首先，假设a1,b1,a2,b2是任意实数。
我们可以通过将不等式两边展开后进行移项来开始证明。
展开不等式后，我们得到：
(a1^2 * b1^2 + 2*a1*b1*a2*b2 + a2^2 * b2^2) ≤ (a1^2 * b1^2 + a2^2 * b1^2 + a1^2 * b2^2 + a2^2 * b2^2)
接下来，我们可以通过移项将右侧的四项相加合并，并将左右两侧的相同项合并。
合并同类项后，不等式变为：
2*a1*b1*a2*b2 ≤ a1^2 * b2^2 + a2^2 * b1^2
我们注意到左侧是两个实数相乘的结果，右侧是两个实数平方的和。
由于(x+y)^2 ≥ 0对于任意实数x和y成立，我们可以推导出右侧是非负数。
因此，我们证明了柯西不等式的二维形式。
通过类似的推理，我们可以证明柯西不等式的多维形式。