等差数列经典试题(含答案)doc

一、等差数列选择题

1．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A ．

47

B ．

1629

C ．

815

D ．

45

2．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（ ） A ．

825

两 B ．

845

两 C ．

865

两 D ．

885

两 3．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4

D ．-4

4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（ ） A ．45

B ．50

C ．60

D ．80

5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列

D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列

6．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231

n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ）

A ．

13

15

B ．

2335

C ．

1117 D ．

49

7．已知数列{}n a 的前n 项和2

21n S n n =+-，则13525a a a a +++

+=（ ）

A ．350

B ．351

C ．674

D ．675

8．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n

n S a b n =---?+，*n N ∈，则

存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）

A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列

B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列

C ．·

n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·

n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 9．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（ ） A ．13

B ．14

C ．15

D ．16

10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ）

A ．121

B ．161

C ．141

D ．151

11．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之和为（ ） A ．24

B ．39

C ．104

D ．52

12．在数列{}n a 中，129a =-，()

*

13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a ++

+=（ ）

A ．10

B ．145

C ．300

D ．320

13．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,

n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则

n a =（ ）

A ．21n -

B ．43n -

C ．54n -

D ．n

14．已知数列{}n a 的前项和2

21n S n =+，n *∈N ，则5a =（ ）

A ．20

B ．17

C ．18

D ．19

15．在等差数列{}n a 中，已知前21项和2163S =，则25820a a a a ++++的值为（ ）

A ．7

B ．9

C ．21

D ．42

16．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（ ） A ．18

B ．19

C ．20

D ．21

17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1

1213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：

①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（ ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（ ） A ．60

B ．120

C ．160

D ．240

19．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ?∈都有333

122n n n a a a ++=+，则10a 等于

（ ）

A ．10

B C ．64

D ．4

20．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则129

10

a a a a ++???+=

（ ）

A ．278

B ．

52

C ．3

D ．4

二、多选题

21．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的

有（ ） A ．1:17:2a d =-

B ．180S =

C ．当0d >时，6140a a +>

D ．当0d <时，614a a >

22．(多选)在数列{}n a 中，若2

2

1(2,,n n a a p n n N p *

--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．

(){}1n

- 是等方差数列

C ．{}2

n

是等方差数列.

D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列23．题目文件丢失！

24．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >， 则78S S > D ．若67S S >则56S S >.

25．已知数列0,2,0,2,0,2,

，则前六项适合的通项公式为（ ）

A ．1(1)n

n a =+-

B ．2cos

2

n n a π= C ．(1)2sin

2

n n a π

+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--

26．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的

是（ ） A ．110S =

B ．10n n S S -=（110n ≤≤）

C ．当110S >时，5n S S ≥

D ．当110S <时，5n S S ≥

27．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =

C ．95S S >

D ．170S <

28．定义11222n n

n a a a H n

-++

+=

为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优

值”2n

n H =，前n 项和为n S ，则（ ）

A ．数列{}n a 为等差数列

B ．数列{}n a 为等比数列

C ．

20202023

20202

S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列

29．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ）

A ．2

n S n =

B ．2

23n S n n =-

C ．21n a n =-

D ．35n a n =-

30．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥

时，)

2

11n a =

-，则关于数列

{}n a 说法正确的是（ ）

A ．28a =

B ．数列{}n a 为递增数列

C ．数列{}n a 为周期数列

D ．2

2n a n n =+

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等差数列选择题 1．D 【分析】

设该妇子织布每天增加d 尺，由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】

设该妇子织布每天增加d 尺， 由题意知202019

2042322

S d ?=?+=， 解得45

d =

． 故该女子织布每天增加4

5

尺． 故选：D 2．C 【分析】

设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =???两银子，数列{}n a 是等差数列，

810

6

100a S =??

=?利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程，即可求得长兄可分得银子的数目1a . 【详解】

设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =???两银子，由题意可得 设数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，

则由题意得8106100a S =??=?，即1176109

101002a d a d +=??

??+=??，解得186585a d ?

=????=-??

.

所以长兄分得86

5

两银子. 故选：C. 【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得

()1,2,,10n a n =???两银子构成公差0d <的等差数列，要熟练掌握等差数列的通项公式和

前n 项和公式. 3．A 【详解】 由()()184588848162

2

2

a a a a S +?+??====.故选A.

4．C 【分析】

利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】

{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =

1158158()15215

156022

a a a S a +??=

===

故选：C 【点睛】

本题考查等差数列性质及前n 项和公式，属于基础题 5．D 【分析】

根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】

由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，

根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；

当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；

当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 6．C 【分析】

利用等差数列的求和公式，化简求解即可 【详解】

2121S T ＝12112121()21()22

a a

b b ++÷＝121121a a b b ++＝1111a b ＝211

3111??+＝1117.

故选C 7．A 【分析】

先利用公式11,1

,2

n n n S n a S S n -=?=?-≥?求出数列{}n a 的通项公式，再利用通项公式求出

13525a a a a +++

+的值.

【详解】

当1n =时，2

1112112a S ==+?-=；

当2n ≥时，()

()()2

2

121121121n n n a S S n n n n n -??=-=+---+--=+??

.

12a =不适合上式，

2,121,2n n a n n =?∴=?+≥?

.

因此，()()

3251352512127512235022

a a a a a a ?+?+++++=+

=+=；

故选：A. 【点睛】

易错点睛：利用前n 项和n S 求通项n a ，一般利用公式11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?，但需要验证

1a 是否满足()2n a n ≥.

8．D 【分析】

由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】 解：

(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---?+=+-?-+，

∴当1n =时，有110S a a ==≠；

当2n ≥时，有1

1()2n n n n a S S a bn b --=-=-+?， 又当1n =时，0

1()2a a b b a =-+?=也适合上式，

1()2n n a a bn b -∴=-+?，

令n b a b bn =+-，1

2n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，

故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；

因为11

()22n n n a a b bn --+=-??，0b ≠，所以{

}1

2

n bn -?即不是等差数列，也不是等比数

列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：

由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2

,1

n n n S S n a a n --≥?=?=?求解，考查学生的计算能

力. 9．A 【分析】

利用等差数列的性质可得1742a a a +=，代入已知式子即可求解. 【详解】

由等差数列的性质可得1742a a a +=， 所以1474339a a a a ++==，解得：413a =， 故选：A 10．B 【分析】

由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可. 【详解】

因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即

127a =

所以231223161S a == 故选：B 11．D 【分析】

根据等差数列的性质计算求解． 【详解】

由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=?+?=+==，

74a =，∴11313713()

13134522

a a S a +=

==?=． 故选：D ． 12．C 【分析】

由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。 【详解】

因为129a =-，()

*

13n n a a n N +=+∈，

所以数列{}n a 是以29-为首项，公差为3的等差数列， 所以()11332n a a n d n =+-=-，

所以当10n ≤时，0n a <；当11n ≥时，0n a >； 所以()()12201210111220a a a a a a a a a ++

+=-++???++++???+

1101120292128

101010103002222a a a a ++--+=-

?+?=-?+?=. 故选：C. 13．A 【分析】 由已知等式分别求出数列的前三项，由2132a a a =+列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案． 【详解】

11a =，()()1211n n n a a tn a ++=+,

令1n =，则()()121211a a t a +=+，解得21a t =-

令2n =，则()()2322121a a t a +=+，即()2

311t a t -=-，若1t =，则20,1a d ==，

与已知矛盾，故解得31a t =+

{}n a 等差数列，2132a a a ∴=+，即()2111t t -=++，解得4t =

则公差212d a a =-=，所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选：A 14．C 【分析】

根据题中条件，由554a S S =-，即可得出结果． 【详解】

因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈， 所以22554(251)(241)18a S S =-=?+-?+=． 故选：C ． 15．C 【分析】

利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=，即可得113a =，再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，则()

1212121632

a a S +=

=，

所以1216a a +=，即1126a =，所以113a =， 所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a +++

+=++++++

111111111122277321a a a a a =+++==?=，

故选：C 【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是求出1216a a +=，进而得出113a =，

()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a +++

+=++++++=即可求解.

16．B 【分析】

由已知判断出数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得

10a .

【详解】

()122n n a a n --=≥，且11a =，

∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，

通项公式为()12121n a n n =+-=-，

10210119a ∴=?-=，

故选：B. 17．D 【分析】

由()

1

1213n n n n S S a n +++=+-+得到()

1

1132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得

到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】

因为()1

1213n n n n S S a n +++=+-+，

所以()

1

1132n n n a a n ++=-+-，

所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-， 联立得：()212133k k a a +-+=， 所以()232134k k a a +++=， 故2321k k a a +-=，

从而15941a a a a ===???=，

22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，

则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++，

()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，

()()20

1411820622

k k =+?=-=

=

∑1220，

故①②③正确. 故选：D 18．B 【分析】

利用等差数列的性质，由7916+=a a ，得到88a =，然后由15815S a =求解. 【详解】

因为7916+=a a ，

所以由等差数列的性质得978216a a a +==， 解得88a =， 所以()

11515815151581202

a a S a +===?=． 故选：B 19．D 【分析】

利用等差中项法可知，数列{}

3n a 为等差数列，根据11a =，22a =可求得数列{}

3

n a 的公

差，可求得3

10a 的值，进而可求得10a 的值. 【详解】

对*n N ?∈都有3

3

3

122n n n a a a ++=+，由等差中项法可知，数列{}

3

n a 为等差数列，

由于11a =，22a =，则数列{}

3n a 的公差为33

217d a a =-=，

所以，33

101919764a a d =+=+?=，因此，104a .

故选：D. 20．A 【分析】

根据数列{}n a 是等差数列，且1109a a a +=，求出首项和公差的关系，代入式子求解. 【详解】

因为1109a a a +=， 所以11298a d a d +=+， 即1a d =-， 所以

()1129510101992727

88

49a a a a a d a a d d a d ++???+====++.

故选：A

二、多选题

21．ABC 【分析】

因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质

961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，

140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.

【详解】

因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：

1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，

对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确； 对于选项B ：()

()

11891018181802

2

a a a a S ++=

=

=，故选项B 正确；

对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；

对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，

所以614a a <，故选项D 不正确， 故选：ABC 【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可. 22．BD 【分析】

根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】

对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222

(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故

{}n

a 不是等方差数列，故A 错误；

对于B ，数列

(){}1n

-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方

差数列，故B 正确； 对于C ，数列{}

2

n

中，()(

)

2

2

221

11

2234n

n n n n a a ----=-=?不是常数，{}

2n

∴不是等方差

数列，故C 错误；

对于D ，

{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数

列，()()2

2

2

112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，

故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，22

10n n a a --=是常数，故D 正确.

故选：BD. 【点睛】

关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.

23．无

24．BC 【分析】

根据等差数列的前n 项和性质判断． 【详解】

A 错：67895911415000S a a a a a S a S ?+++<>?+

B 对：n S 对称轴为

n =7；

C 对：6770S S a >?<，又10a >，887700a S a d S ??<；

D 错：6770S S a >?<，但不能得出6a 是否为负，因此不一定有56S S >． 故选：BC ． 【点睛】

关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和性质，（1）n S 是关于n 的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2）1n n n S S a -=+，可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小；（3）1()

2

n n n a a S +=，因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负． 25．AC 【分析】

对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】

对于选项A ，1(1)n

n a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；

对于选项B ，2cos 2

n n a π

=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件； 对于选项C ，(1)2sin

2

n n a π

+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件； 故选：AC 26．BC

【分析】 设公差d 不为零,由38a a =，解得192

a d =-，然后逐项判断.

【详解】 设公差d 不为零, 因为

38a a =，

所以1127a d a d +=+， 即1127a d a d +=--， 解得192

a d =-，

11191111551155022S a d d d d ??

=+=?-+=≠ ???

，故A 错误；

()()()()()()221101110910,10102222

n n n n n n d

d na d n n n a n n S S d ----=+

=-=-+=-，故B 正确； 若11191111551155022S a d d d d ??

=+=?-

+=> ???

，解得0d >，

()()2

2510525222

n d d d n n S n S =

-=--≥，故C 正确；D 错误； 故选：BC 27．ABD 【分析】

结合等差数列的性质、前n 项和公式，及题中的条件，可选出答案. 【详解】

由67S S =，可得7670S S a -==，故B 正确； 由56S S <，可得6560S S a -=>， 由78S S >，可得8780S S a -=<，

所以876a a a <<，故等差数列{}n a 是递减数列，即0d <，故A 正确； 又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确； 又因为等差数列{}n a 是单调递减数列，且80a <，所以90a <， 所以()

117179171702

a a S a +=

=<，故D 正确.

故选：ABD. 【点睛】

关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式()12n n n a S S n --≥=，及

()

12

n n n a a S +=

，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题. 28．AC 【分析】 由题意可知112222n n n

n a a a H n

-++

+==，即112222n n n a a a n -+++=?，则2

n ≥时，()()1

112

21212n n n n n a n n n ---=?--?=+?，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数

列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误. 【详解】 解：由112222n n n

n a a a H n

-++

+==，

得112222n n n a a a n -++

+=?，①

所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-?，②

得2n ≥时，()()1

112

21212n n n n n a n n n ---=?--?=+?，

即2n ≥时，1n a n =+，

当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．

所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错， 所以()

32

n n n S +=

，所以2020202320202S =，故C 正确．

25S =，414S =，627S =，故D 错，

故选：AC ． 【点睛】

本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般. 29．AC 【分析】

利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ． 【详解】

等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，

∴31413239237

S a d a a d ??

=+=???=+=?， 解得11a =，2d =，

1(1)221n a n n ∴+-?=-=．

()21212

n n n S n +-=

=

故选：AC ． 【点睛】

本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 30．ABD 【分析】

由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项

可得结果. 【详解】

)

2

11n a =

-得)

2

11n a +=

，

1=，

即数列

2=，公差为1的等差数列，

2(1)11n n =+-?=+，

∴2

2n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，

所以易知ABD 正确， 故选：ABD. 【点睛】

本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.