湘教版数学八年级下册初中：第1章 直角三角形.docx
初中数学试卷
桑水出品
初中数学湘教版八年级下册：第1章直角三角形
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，
则满足此条件的点P ( )
A. 有且只有1个
B. 有且只有2个
C. 组成∠E的角平分线
D. 组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CA=CB，AB=2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD
的长为( )
A. 1
4B. 1
2
C. 1
D. 2
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于
点D，CD=3，则BC的长为( )
A. 6
B. 6√3
C. 9
D. 3√3
4. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格
点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是( )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
5. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是( )
A. 3，4，5
B. 6，8，10
C. √3，2，√5
D. 5，12，13
6. 如图，已知点A(−1,0)和点B(1,2)，在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足这样
条件的点P共有( )
A. 2个
B. 4个
C. 6个
D. 7个
7. 如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连接BE交CD于点O，
连接AO，下列结论不正确的是( )
A. △AOB≌△BOC
B. △BOC≌△EOD
C. △AOD≌△EOD
D. △AOD≌△BOC
8. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3,√3)，
点C的坐标为(1
2
,0)，点P为斜边OB上的一动点，则PA+PC的最小值为( )
A. √13
2B. √31
2
C. 3+√19
2
D. 2√7
9. 如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a，则下列说法正确的个数有( )
①DCʹ平分∠BDE；②BC长为(√2+2)a；③△BCʹD是等腰三角形；④△CED的周长等于
BC的长．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10. 如图所示，已知△ABC与△CDE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD交
于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC，FG，则下列结论：
①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC．
其中正确的结论个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（共10小题；共50分）
11. 如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=
4cm，则点P到边BC的距离为cm．
12. 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CD是AB边上的高，则图中与∠A相等的角
是．
13. 在△ABC中，AB=AC=8，AD是底边上的高，E为AC中点，则DE=．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，D为AB的中点，DE⊥AC于点E．∠A=30∘，AB=8，则
DE的长度是．
15. 如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，
那么这棵树折断之前的高度是米．
16. 一个三角形的三边之比为5:12:13，且周长为60cm，则它的面积是．
17. 如图，Rt△AOB≌Rt△CDA，且A(−1,0)，B(0,2)，则点C的坐标是．
18. 已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30∘．将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC
的点C处，此时点C落在点D处．延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于．
19. 如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积
是．
20. 如图，P是等边△ACB中的一个点，PA=2，PB=2√3，PC=4，则△ACB的边长
是．
三、解答题（共5小题；共65分）
21. 已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB与M，
DN⊥AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系?试证明你的发现．
22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：CD⊥AB．
23. 如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．
（1）若EF=4，BC=10，求△EFM的周长；
（2）若∠ABC=50∘，∠ACB=70∘，求∠MEF的度数．
24. 如图，有两条公路OM，ON相交成30∘角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当
重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡
车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON 方向行驶的速度为18千米/时．
（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；
（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．
25. 已知某开发区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90∘，
AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，求一共需要投入多少元．
答案
第一部分
1. D
2. C
3. C
4. C
5. C
6. C
7. A
8. B
9. C 10. D
第二部分 11. 4 12. ∠BCD 13. 4 14. 2 15. 8 16. 120cm 2 17. (−3,1) 18. 4√3−4 19. 5 20. 2√7 第三部分
21. 结论：BM =CN ． 连接 BD ，CD ．
∵AD 平分 ∠BAC ，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ， ∴DM =DN ， ∵DE 垂直平分 BC ， ∴BD =CD ，
在 Rt △BMD 与 Rt △CND 中 {BD =CD DM =DN
∴Rt △BDM ≌Rt △CDN (HL )， ∴BM =CN ．
22. ∵∠ACB =90∘， ∴∠A +∠B =90∘． ∵∠ACD =∠B ， ∴∠A +∠ACD =90∘ ．
∴∠ADC=90∘．
∴CD⊥AB．
23. （1）∵CF⊥AB，BE⊥AC，M为BC的中点，
∴EM=FM=1
2
BC．
∵EF=4，BC=10，
∴△EFM的周长=EF+EM+FM=EF+BC=4+10=14．
（2）∵EM=BM=FM=CM=1
2
BC，
∴∠ABC=∠BFM=50∘，∠ACB=∠CEM=70∘．
∴∠BMF=180∘−50∘×2=80∘，∠CME=180∘−70∘×2=40∘．∴∠EMF=180∘−80∘−40∘=60∘．
∴∠MEF=1
2(180∘−∠EMF)=1
2
×(180∘−60∘)=60∘．
24. （1）过点A作AD⊥ON于点D，
∵∠NOM=30∘，AO=80m，
∴AD=40m，
即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米．
（2）
如图：
在Rt△ABD中，AB=50，AD=40，由勾股定理得BD=√AB2−AD2=√502−402=30m，故BC=2×30=60米，即重型运输卡车在经过BC时对学校产生影响．
∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即18000
60
=300米/分钟，
∴重型运输卡车经过BD时需要60÷300=0.2（分钟）．
答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为0.2分钟．
25. 连接BD，
在△ABD中
∵∠A=90∘，AB=3m，DA=4m，
∴利用勾股定理解得BD=5m．
在△CBD中，
∵BD=5m，BC=12m，CD=13m，
∴根据勾股定理的逆定理得∠DBC=90∘．
∴S△ABD=1
2AB⋅AD=1
2
×4×3=6．
∴三角形DBC的面积=1
2DB⋅BC=1
2
×5×12=30．
∴四边形ABCD的面积是36．∵每平方米草皮需要200元，
∴总投入=36×200=7200元．。
湘教版八年级数学XJ版下册精品教学课件 第1章 直角三角形 第1课时 勾股定理
知识回顾
三角形的面积计算公式是什么？
三角形的面积=底×高÷2
c a
b
1
S = ab
2
教学目标
【学习目标】 1．理解勾股定理及其推导过程． 2．会用“勾股定理”解决简单的几何问题． 【学习重点】 勾股定理及其应用． 【学习难点】 勾股定理的推导与证明．
积为 36 cm².
8 cm
10 cm
3.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三角形 的面积.
解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得152+ x2 =172， 即x2=172-152=289–225=64， 所以 x=±8（负值舍去）， 所以另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
C A
B
C A
B
左图：
SC
4
1 2
2
3
11 13
右图：
SC
4
1 2
4
3
11
25
C A
B
C A
B
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
S正方形A S正方形B S正方形C
问题4 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边 之间有怎样的特殊关系？
C A
B
C A
B
一直角边2 + 另一直角边2 = 斜边2
(cm2).
4.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°， AD=1，求△ABC的周长．
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°． 在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°， ∴∠B=∠BAD=45°， ∴BD=AD=1，∴AB= 2 ． 在Rt△ADC中，∵∠C=30°， ∴AC=2AD=2， ∴CD= 3 ，∴BC=BD+CD=1+ 3 ， ∴AB+AC+BC= 2 3 3 ．
湘教版八年级数学下册第一章《直角三角形的性质和判定(Ⅰ)》课件
3.△ABC中，∠A= 1 ∠B,∠B= 2
1 3
∠C,
∠A= 20 ∠ B= 40 ∠C= 120
°
°
°
七、小结
这节课，我们学习了直角三角形的判定定理和性 质定理及应用定理进行推理论证解决有关问题。
八、作业
A
如图，AB=AC,AD⊥BC.
求证：BD=CD
B
D
C
∠A+∠ B=90 °
B C
2.如图在△ABC中，
如果∠A+∠ B=90 °，△ABC是直角三角形吗?
由∠A+∠ B=90 °和∠A+∠ B+∠C=180°
解得∠C=90 °，因此△ABC是直角三角形。
定理：有两个角互余的三角形是 直角三角形。
三、做一做，感受性质定理
画一个直角三角形，并作出斜边上的中 线，量一量比较各线段的长度。你能猜出什 么结论？
•7、风声雨声读书声，声声入耳；家事国事天下事，事事关心。2021/10/252021/10/25October 25, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/252021/10/252021/10/252021/10/25
已知，如图，CD是△ABC的AB边上的中线且CD=
是直角三角形）
六、巩固与练习
C
1.如图，AB ⊥DB,CD ⊥DBB,
D O
下列说法错误的是（ C ）
A.一定有∠A=∠C
A
B.只要有一边相等就有△ABO≌ △CDO
C.只要再给一个条件就能得到△ABO≌ △CDO
D.有OA=OC或OB=OD,就有AB=CD
新版湘教版八年级数学下册第1章直角三角形1.2直角三角形的性质和判定Ⅱ
∴ AB2 = c2.
∴ AB= c.
图1-20
在△ABC和△ABC 中， ∵ BC = BC = a，AC = AC = b，
AB = AB= c， ∴ △ABC≌△ ABC. ∴ ∠C =∠C= 90°. ∴ △ABC是直角三角形.
先构造满足某些条件的 图形，再根据所求证的图
形与所构造图形之间的关系，
在Rt△ ABC中，AC= 4 m，BC = 1 m， 故 AB 42 12 15 3.87（m）.
因此 AA = 3.87 - 3.71 = 0.16（m）.
即梯子顶端A点大约向上移动了0.16 m，而不是向上 移动0.5 m.
例2 （“引葭赴岸” 问题） “今有方池一丈，葭生其 中央， 出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐. 问水深， 葭长各几何？” 意思是：有一个边长为10 尺的 正方形池塘，一棵芦苇生长在池的中央，其出水 部分为1 尺. 如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉 向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面. 问：水深 与芦苇长分别为多少？
解 因为6x>90，所以x >15. 又6x<180，所以x<30. 故选B.
图1-18
练习
1. 如图，一艘渔船以30 海里/时 的速度由西向东追赶 鱼群. 在A 处测得小岛C 在船的北偏东60°方向；40 min 后，渔船行至B 处，此时测得小岛C 在船的北偏 东30°方向. 已知以小岛C 为中心，周围10 海里以内 有暗礁，问：这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触 礁的危险？
图1-21
在Rt△ADC中，DC2 = AC2 - AD2 ， ∴b，c组成的三角形是不是直角三角形. （1） a = 8，b = 15，c = 17； （2） a = 10，b = 24，c = 25； （3） a = 4，b = 5， c = 41 .
湘教版八年级数学下册第一章《直角三角形的性质和判定(Ⅰ)》优课件
C
B
小结： 性质定理：
1.在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的 一半。
2.在直角三角形中，如果一条直角边等于 斜边的一半，那么这条直角边所对的角等 于30°。
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月15日星期二2022/2/152022/2/152022/2/15 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/152022/2/152022/2/152/15/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/152022/2/15February 15, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/152022/2/152022/2/152022/2/15
北
提问：A岛可以
看成一 以看成一条线。 60°
点到线的距离，
什么最短？
O
A
东
D
B
反馈练习：
A
1．Rt⊿ABC
中,∠C=90°,∠A=30°, D是
斜边AB的中点，连结CD，图
D
中有哪几条线段相等？
C
B
2.如图，在⊿ABC中， ∠CBA=90°, D是AC的中
C
点,AB=3 ,∠CBD=30°，
作平行线、中线、垂线、角平分线、延长 线，作相等的角等等。
2。你打算怎样作辅助线？
动脑筋
1.取线段AB的中点D，连接CD，即CD为
Rt⊿ABC斜边AB上的中线，则可得到哪些
湘教版数学八年级下册《1.1 直角三角形的性质和判定(I)》教学设计
湘教版数学八年级下册《1.1 直角三角形的性质和判定（Ｉ）》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级下册第1.1节直角三角形的性质和判定（Ｉ）是初中数学的重要内容，主要介绍了直角三角形的性质和判定方法。
本节课的内容是学生学习几何学的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
教材从直角三角形的定义入手，介绍了直角三角形的性质，如直角三角形的两个锐角互余，直角三角形的斜边最长等。
接着，教材介绍了直角三角形的判定方法，如HL判定法、ASA判定法、AAS判定法等。
这些性质和判定方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的基本概念和性质，对于三角形的分类和特点有一定的了解。
但是，对于直角三角形的特殊性质和判定方法，学生可能还没有完全掌握。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握直角三角形的性质和判定方法。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握直角三角形的性质和判定方法，能够运用这些性质和判定方法解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、推理等数学活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质和判定方法。
2.难点：直角三角形的判定方法的灵活运用。
五. 教学方法1.引导发现法：通过提问、引导，让学生发现直角三角形的性质和判定方法。
2.实践操作法：让学生通过实际操作，加深对直角三角形性质和判定方法的理解。
3.合作交流法：鼓励学生分组讨论，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
六. 教学准备1.教具准备：直角三角形模型、多媒体课件等。
2.学具准备：直角三角形模型、剪刀、胶水等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾三角形的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件展示直角三角形的性质和判定方法，让学生初步了解这些知识。
湘教版八年级数学下册1.1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)课件(共23张)
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
锦囊妙计
求直角三角形面积的常用 方法 (1)两直角边长度乘积的一半； (2)斜边长度与斜边上高的乘积的一半.
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
题型四 运用直角三角形中30°角的性质进行有关计算
例题4 如图 1- 1- 18 , 在 R t △ A B C 中 , ∠C=90°, ∠A=30°, BT是
第1章 直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
第1章 直角三角形
1.1 直角三角形的性质 和判定(Ⅰ)
考场对接
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
考场对接
题型一 利用直角三角形两锐角之间的关系பைடு நூலகம்角度
例题1 如图1-1-14, 在 Rt△ABC中, ∠ACB=90°, CD是 AB边上的
高, 如果∠A=50°, 则 ∠DCB的度数为( ). A
A．50°
B．45°
C．40°
D．25°
图1-1-14
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
锦囊妙计
直角三角形中的经典图形
在直角三角形中, 斜边上的高分直角所得的 两个锐角与原
直角三角形的两个锐角之间存在 相等或互余的关系, 这是一个常
见的基本图形, 在 解题中应用广泛. 如图1-1-15, ∵∠B+∠A=90°,
例题3 如图1-1-17所示, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, CD⊥AB 于点D, CE为斜边AB 上的中线, 且CD=4, CE=5, 求Rt△ABC的 面积.
图1-1-17
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
2024八年级数学下册第1章直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第2课时勾股定理的实际应用习题课件新版湘教版
A.x2－3＝(10－x)2
C.x2＋3＝(10－x)2
B.x2－32＝(10－x)2
D.x2＋32＝(10－x)2
【点拨】
如图，已知折断处离地面的高度为x尺，即AC＝x尺，
则AB＝(10－x)尺，由题意得，BC＝3尺.在Rt△ABC
中，AC2＋BC2＝AB2，即x2＋32＝(10－x)2.故选D.
艘同时以16 n mile/h的速度离开该岛向北偏东45°方向航
行，经过1.5 h后两船相距( B )
A.25 n mile
B.30 n mile
C.32 n mile
D.40 n mile
【点拨】
如图，由题意得，∠BAC＝90°，AB＝12×1.5＝18(n mile)，
AC＝16×1.5＝24(n mile).
展开，得到长方形EFGH，过点B作BQ⊥EF于点Q，作点A
关于EH的对称点A'，连接A'B交EH于点P，连接AP，如图所
示，则AP＋PB就是蚂蚁爬行的最短距离，即A'B的长度.
利用面积法求拼图的面积
7.[2022·金华]如图①，将长为2a＋3，宽为2a的长方形分割成
四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”(如图②)，得到
∴小巷的宽度为AC＋AE＝0.7＋1.5＝2.2(m)，故选C.
知识点3
用展开法求最短距离
5. [新考法 展开平移法]如图，一个三级台阶，它的每一级的
长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台
阶的两个相对的点，A点处有一只壁虎，它想到B点去吃可
口的食物，请你算一算，这只壁虎从A点出发，沿着台阶
平面内).求：
湘教版八年级下册数学第1章 直角三角形 勾股定理
(2)若设△AEC三边的长分别为a，b，c，利用此图证明勾股定理．
解：由(1)知△CDB≌△AEC，BC＝AC＝c， ∴BD＝EC＝a，CD＝AE＝b， ∴S 梯形 AEDB＝12(AE＋BD)·ED＝12(a＋b)(a＋b)， 又 S 梯形 AEDB＝S△AEC＋S△ABC＋S△BCD＝12ab＋12c2＋12ab， ∴12(a＋b)(a＋b)＝12ab＋12c2＋12ab， 整理可得 a2＋b2＝c2，故勾股定理得证．
【点拨】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边的长为 b，较短直角边的长为a，由勾股定理得c2＝a2＋b2，易得 阴影部分的面积＝c2－b2－a(c－b)＝a2－ac＋ab＝a(a＋b －c)，较小的两个正方形重叠部分的宽＝a－(c－b)＝a＋ b－c，长＝a，则较小的两个正方形重叠部分的面积＝ a(a＋b－c)，∴若知道图中阴影部分的面积，则一定能 求出较小的两个正方形重叠部分的面积．
∴S△AFC＝12AF·BC＝10.
16．在Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D 为斜边AB上的动点．
(1)如图①，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当 AE平分∠CAB时，求CE的长；
解：∵AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，∴BC＝20. (1)∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠EAD. ∵AC⊥CB，DE⊥AB，∴∠ECA＝∠EDA＝90°. 又∵AE＝AE，∴△ACE≌△ADE(AAS)， ∴CE＝DE，AC＝AD＝15. ∴BD＝25－15＝10. 设CE＝DE＝x，则BE＝20－x， 在Rt△BED中，x2＋102＝(20－x)2， ∴x＝7.5，∴CE＝7.5.
7．【中考·宜宾】如图，已知在Rt△ABC中，CD是斜边 AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝________．
湘教版数学八年级下册第1章直角三角形
2.两点注意： (1)必须在直角三角形中，非直角三角形不具备该性质. (2)只有30°的角所对的直角边等于斜边的一半，其他 度数的角所对的直角边和斜边不满足该关系.
【题组训练】 1.(2019·哈尔滨香坊区期末)如图， 在等边△ABC中，AD=BD，过点D作 DF⊥AC于点F，过点F作FE⊥BC于点E， 若AF=6，则线段BE的长为_______. 世纪金榜导学号
B.AC=2CD D.AB=2BC
知识点一 含30°角的直角三角形性质的应用 (P4动脑筋拓展) 【典例1】如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠B=2∠A，AB=8， CD⊥AB于点D.求BC，AD的长.
【自主解答】∵∠ACB=90°，∠B=2∠A， ∴∠B=60°，∠A=30°， ∴BC= AB=4， ∵CD⊥AB，∠B=60°， ∴∠DCB1=30°，
C.AB=2CD
D.BC=CD
D
★2.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE是边 AB上的中线，如果CD=BE，∠B=40°，那么∠BCE= _______度.
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★★3.著名画家达芬奇不仅画意超群，同时还是一个 数学家、发明家.他曾经设计过一种圆规.如图所示， 有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计)，一根没 有弹性的木棒的两端A，B能在滑槽内自由滑动，将笔 插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可
直角边
斜边的一半
2.探究直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边为什么等于斜边的一半. 如图，Rt△ABC中，∠A=30°， BC为什么会等于 AB？
1 2
证明：取AB的中点D，连接CD，则AD=BD， 因为CD为Rt△ABC斜边的中线， 所以_____________. 又因为∠A=30°，所以∠B=_________，
湘教版八年级数学下册_1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
感悟新知
知1－练
解题秘方：利用直角三角形的性质与判定证明即可 .
证明： ∵∠ ACB=90°，∴∠ A+ ∠ B=90° . ∵∠ ACD= ∠ B，∴∠ A+ ∠ ACD=90° . ∴△ ACD 为直角三角形，且∠ CDA=90° . ∴ CD ⊥ AB.
感悟新知
拓展 满足下列条件的三角形也是直角三角形： (1)在三角形中，两个内 角之和等于第三个内角； (2)在三角形中，两个内角之差等于第三个内角.
知2－讲
感悟新知
特别提醒
知2－讲
◆直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个
面积相等的等腰三角形.
◆应用这个性质时要注意“直角三角形” 这一前提，
切不可忽略这一前提而在其他任意三角形中生搬
硬套 .
感悟新知
知2－讲
2. 拓展：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么 这个三角形是直角三角形 . 数学语言： 如图 1.1－5，在△ ABC 中，
∵ CD=BD=AD=12 AB， ∴∠ ACB=90°，即△ ABC 是直角三角形 .
感悟新知
知2－练
例4 如图 1.1－6， BD， CE 是△ ABC 的两条高， M， N 分别是 BC， DE 的中点 . 求证： MN ⊥ DE.
感悟新知
知2－练
解题秘方：紧扣“N 为 DE 的中点”这一条件和 “MN ⊥ DE”这一结论，建立等腰三 角形“三线合一”模型， 结合直角三 角形斜边上中线的性质求解 .
在 Rt △ CDB 中，∵ M 为斜边 BC 的中点，
∴
DM=
1 2
BC.
在
Rt
△
BEC
中，∵
M