数的认识-教材解读和教学策略
“数的认识”教材解读与教学策略
苏州市彩香实验小学冯晓浴
教学内容
数的认识在小学主要分为认识整数、认识分数（正分数）和认识小数三大块。
《数学课程标准（实验稿）》对数系作了以下规定：
内容变化：与以往相比，这个规定蕴含的主要变化有：（1）明确规定了0是自然数。过去教材把“用来表示物体个数的1，2，3，4，…的数，叫做自然数”。“0和自然数都是整数。”而现在则是：正整数和0统称自然数。（2）增加了认识负整数的教学内容，从而在小学阶段完成了对整数的认识。
教材编排
教材分析及教学策略
一、整数的认识
（一）教材分析
教材处理自然数的认识大致可以分为四大块：认识100以内的数、认识比100大的数、因数与倍数、认识负数。认识100以内数，可以为三个阶段：第一阶段：认识10以内的数（含10以内数的加减）。第二阶段：认识11——20之间的各数（含20以内数的加减）。第三阶段：认识100以内的数（含相应的加减和表内乘除）。认识比100大的数，教材分三段完成：（1）认识千以内的数；（2）认识万以内的数；（3）认识万级、亿级的数。这是因为学生在生活中接触较大数的机会比较少，缺乏感性材料和直接经验，使他们认识较大数时有困难。所以教材在二年级（下册）教学千以内的数，三年级（上册）教学万以内的数，适当缩小认数范围扩展的跨度，增加教学的循环，适量延长认数教学的时间，能降低教学的难度。“因数与倍数”的教学既帮助学生进一步理解和认识整数，又为分数的学习提供准备，另设单元，放在第八册教学。“认识负数”也是另设一个单元，放在第九册教学。
（二）教学策略
1，认数教学以理解数的意义为重点。
理解数的意义包括：
数的含义。如：认识整数、小数、分数、百分数和负数，探索各种数之间的联系，会进行整数、小数、分数、百分数之间的相互转化；能感受大数的意义并进行估计；知道整数、奇数、偶数、质数、合数。
计数技能。如：能认、读、写数；会用数表示物体的个数或事物的顺序和位置；认识数位，了解十进制计数法，识别数位上数字的意义。
数的相对大小关系。如：认识“＜，=，＞”的含义，能够用符号和词语描述万以内数的大小；会比较小数、分数、百分数大小。
数学交流。如：能运用数表示日常生活中的一些事物，并进行交流；在熟悉的生活场景中，了解负数的意义，会用负数表示生活中一些常见的问题。
数学活动。如：能找出10以内某个自然数的小于100的所有倍数，知道2，3，5的倍数特征；能找出10以内两个自然数的公倍数、最小公倍数；能找出1——100中某个自然数的所有因数；能找出两个数的公因数、最大公因数。
（1）让学生在生动具体的情境中认识数。
结合情境认识10以内的数，是认数的开始，这阶段的教学对建立数的概念十分重要。有的老师认为，许多学生入学前都已经会数数了，现在只要写好数就行了。其实不然，教学10以内数的认识应注意：①物体个数与数一一对应，不能允许口中按顺序数数，却不能与物体个数对应。②物体个数与数字一一对应，每个不同的数量与不同的数学符号（数字）对应。③注意选择不同的情境和不同的学具，帮助学生理解数的意义。如3可以表示所有数量是3个的物体，而与物体的大小、形状、质量等状态无关。④知道数的作用不但可以用来表示数量的多少（基数），还可以表示顺序（序数）和编码，如3可以表示有3个物体，也可
以表示第3个物体。
（2）理解数的意义要与数的读写和计算紧密结合起来。
读写教学中要注意：①在低年级，对数的分解和组成，要作为基本的技能来训练；在高年级，要在读写中体会数的分解与组成。②读写数教学的重点是万以内数的读法和写法。③读写数教学的难点是多位数的读法和写法，特别是中间有0的数的读、写。突破的方法是先分级，再从高往低逐级读，实在了读法，写法也就不难了。
现行的课程标准实验教科书大多没有用文字形式总结多位数的读法和写法，这并不是不重视读数与写数的基本方法，而是为教学留出空间，由教师组成学生体验方法、交流方法。学生总结的方法是自己真实的体会和经验，是主动获得知识的表现。但教师应该及时帮助学生总结方法。
2，了解十进制计数法对理解数的意义有重要作用。
整数的计数方法是十进制计数法，学生了解十进制计数法对理解整数的意义有重要的作用。十进制计数法的主要内容有两部分：一是计数单位间的关系——每相邻两个计数单位间的进率是10；二是计数法的位值原则——哪一个数位上的数是几，就表示有几个这样的单位。（注：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则。）
（1）认识10是关键。
学生从认识1，2，3…起，老师就应帮助学生体会，数字是用来表示生活中各种不同的数量的，每一个不同的数量，都用一个不同的符号（数字）来表示。当数量从9增加1
到了10，按理应该用一个新的符号来表示，但这样一来，如果每一个不同的数量，都用一个不同的符号（数字）来表示，就需要有无限多的符号。前人在9的后面用“10”来表示，没有创造使用新符号，而是例行了一个数位，十位上的“1”就代表10，这样就方便多了，一个10和几个1是十几，就有了11，12，13…，这就是位值制的基础。这样，0到9十个数字就可以表示出生活中无限多的物体的个数。这个创造太科学了，可以让学生从中体会到数学的抽象性与符号性的好处。所以，教学中建立好10的概念非常重要。
（2）按单位数数。
为帮助学生了解十进制计数法，可以通过一个单位、一个单位地数，逐步建立新的计数单位。学生在学习万以内数的时候，就要明确地知道，10个一是一十、10个十是一百、10个百是一千、10个千是一万，即10个单位就是一个相邻的较大单位。学习比万大的数，可以一边数一边接受10个万是十万、10个十万是一百万、10个百万是一千万，从而引出了新的计数单位十万、百万和千万。一千万一千万、一亿一亿、十亿十亿…地数，教学计数单位亿、十亿、百亿和千亿。在一个单位、一个单位地数的活动中，学生充分体会每数满10个单位就产生一个新的计数单位，感受了两个相邻计数单位间的进率都是10。
（3）不断扩展数位顺序表。
随着认识的数越来越大，教师应不断扩充完善数位顺序表。从认识10～20的数起，就让学生了解个位和十位。认识百以内数时，及时补充认识百位。在“认识万以内数”的时候，第一次出现了数位顺序表。在认识整数的最后一个单元里，学生将认识万级和亿级的数以及比亿更大的数。数位顺序表可以分两次扩展，先扩展到万级，把十万、百万、千万这三个计数单位引上计数器，了解个、十、百……千万在计数时的排列顺序。然后让学生在数位顺序表里填写十万位、百万位和千万位，通过填写知道从个位到千万位的数位顺序，初步把这些数位分成个级和万级。再扩展到亿级，表里的内容也丰富了，有数级、数位、计数单位。教材把亿级及相关的数位、计数单位都留给学生填写，让他们知道数级、数位和计数单位间
的对应关系。在整理了数位顺序表后，还应通过“每相邻两个计数单位之间有什么关系”这个问题，概括地讲述十进制计数法。
3，让学生在数学活动中形成数感。
“数感”是人对数与运算的理解与体会，主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达的交流信息；能为解决问题而选择适当的算法，并对结果的合理性作出解释。数感使数学知识从学科的知识内化成人的数学素养。
“数感”需要培养。过去。人们对数概念的教学更多地停留在从数的组成层面上理解。如对于100，教师往往只要求学生掌握"i00里面有10个十，100里面有2个五十”之类文字上的识记。随着课改的逐步推进，越来越多的教师认识到这样教学的不足，太缺乏形象支持，片面，单薄，不利于学生真正认识数，理解数。通过，以此来更具体深刻地把握数概念。
培养学生的数感可以从以下几方面进行：
（1）在体验中培养学生数感。如：提供一些可感知的现实背景，将这些数与它们所表示的实际含义联系起来。1200张纸有多厚？1200名学生大约能组成多少个班？
（2）在比较中培养学生数感。在具体情境中把握数的相对大小关系，能够加深学生对数意义的理解。比如，五年级二班学生数的1/3和五年级一班学生数的1/3一样多吗？五年级二班学生数可能等于、大于、小于五年级理解数的意义是数学课程的重要任务。小学阶段主要学习整数、小数、分数等数的概念。这些概念本身是抽象的，只有为学生提供充分的可以感知的现实背景，才能使学生真正理解数的意义，建立数感。交流中培养学生数感。学生能用数表达和交流信息也是学生形成数感的表现。比如，学习了100以内数的认识，学生可以互相说说家中各种物品的数量；为班级的每一个学生编一个学号。当学生开始会用数学的眼光量化看世界时，应该说他已经具有了一定的数感了。
（4）在解决问题中培养学生数惑。在解决问题中选择适当的算法、对运算结果的合理性作出解释，也是形成数感的重要标志。新课程倡导的数学实践活动，很多就是开放性的，解决方法多种多样，结果也可能多种多样。
（5）在数的计算教学中发展数感。通过加强口算、倡导估算、运用简算等手段优化数感。
4，让学生体会数学符号产生的需要和作用。
符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表现；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。
符号感是人对符号的意义、符号的作用的理解以及主动地使用符号的意识和习惯。这里包含三层意思：一是理解各种数学符号的意义，即表示什么意思，在什么时候使用以及怎样使用，这是发展符号感的基础。二是理解数学符号的作用与价值：为什么使用符号、有哪些好处，这是发展符号感的重点。三是在学习数学和应用数学时，在独立思考和与人交流时，都能经常地、主动地甚至创造性地使用符号，这是具有符号感的表现。
发展学生的符号感可以从以下几方面进行：
（1）结合数学内容，体会数学符号的作用。
常见的数学语言有文字语言和符号语言，符号语言是在文字语言的基础上产生的，它把文字语言的主要内容以直观、形象的方式简练地表示出来，方便人们进行表达、交流、思考以及解决问题。
教学常用的数学符号，首先要注意结合具体的情境，让学生了解数学符号产生的需要，体会由于使用符号，才能清楚、简便地表达这些具体情境中的数量关系和变化规律。数学符号为我们进行表达和交流带来了便捷。其次要在具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，
并用符号表示，使学生认识符号、会用符号，体会到符号是语言的一种形式，数学符号是数学语言的一部分。
（2）参与创造符号，体会符号发展过程。
数学符号在数学教科书里有很多。如表达大小关系的符号“＜”，“＞”和“=”；表达运算的符号“＋”，“－”，“×”，“÷”；表达运算顺序的小括号、中括号；0，1，2，3，…，9是数字符号，它们能组成无数个数；小数点、分数线、百分号、千分号等是特定的数学符号；字母也可以作为符号，用来表达数量关系、计算公式……这些符号是人们公认的，习惯使用的，属于数学事实。
当学生在具体的情境中体会到需要符号的时候，先让学生经历自己创造数学符号的过程，体会到数学符号原来并不神秘，是人创造的，在长期的生产生活中不同的符号在使用时逐步发展统一成现在的符号。这也能帮助学生形成符号感。
数学符号的教学，教师一般比较多地采取简单告诉的方法，容易使学生对数学符号产生神秘感。下面的案例中，老师就很好地帮助学生消除了这种神秘感。
5，帮助学生认识负数，实现认识数的质的飞跃。
现实世界中存在着许多具有相反方向的量，或某种量的增大和减小，也可用这种量的某一状态为标准，把它们看作是向两个方向变化的量。要确切地表示这种具有相反方向的量，仅仅运用原有数（自然数和分数）就不够了，还必须把这两个互为相反的方向表示出来，于是产生了正数和负数。数从表示数量的多少到不但表示数量的多少，还表示相反方向的量，是数的发展的一个飞跃，老师要帮助学生完成这个飞跃。
正数和负数的认识，过去安排在中学有理数中学习，《标准》高速安排在小学的第二学段初步认识负数，有利于完整地建立整数的概念。教学时要注意：（1）通过丰富多彩的现实生活情境，帮助学生了解负数的意义。（2）借助直观，理解相反的分界点与“0”的关系。知道0既不是正数，也不是负数。（3）通过分步呈现数轴（不用告诉数轴名称）等办法，使学生认识到正数都大于0，负数都小于0。
二、分数的认识。
（一）教材分析
在表达平均分的结果的时候，遇到了分的结果比1还要小的情况，比如一半、小半、大半等，如何表示这样的结果呢？这时候只有自然数显然是不够的，于是引进了分数。这时候认识的分数，都是把一个物体平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的。这就是“分数的初步认识”。后来扩展到不但可以把一个物体平均分，如果把一些物体、一个计量单位等看作一个整体，平均分以后，其中的一份或者几份，虽然是一个或几个，可以用自然数来表示，但也可以理解为是这个整体的几分之一或几分之几。这样建立的分数概念就基本完整了，这也就是教材中的“分数的意义”。
分数的意义对于小学生来说是个比较抽象的概念，教材一般是采用螺旋上升的安排，分两次完成对分数的认识，加上最后认识的百分数，对分数的认识分成了三个阶段：“分数的初步认识”一般安排在第一学段；“分数的意义”一般安排在第二学段；在这两个单元中认识的分数都是正分数。在学习了分数的四则运算后，又安排认识百分数。
（二）教学策略
1，在与自然数的联系中借助直观来初步认识分数。
“分数的初步认识”，是学生第一次建立分数的概念，教材安排一般有以下特点：
（1）单位“1”由一个物体组成；即每次平均分的都是1个物体，如一个饼、一个圆等。
（2）只认识真分数以及分子分母相等的假分数。因为分得的结果，每一份都比1小。取一份或几份或全部，所得的分数都小于1或等于1。
（3）分母都比较小。
（4）不概括分数的定义，只通过直观描述初步建立分数概念。
由于是对分数的初步认识，应充分运用形象和直观手段，让学生在具体的情境中操作感悟，如通过操作活动初步理解分数，能够将图与分数相互表示。
“平均分”是初步认识分数的基础，是产生一个分数的前提。
2，分数的意义教学要着力解决对单位“1”的深入理解。
“分数的意义”这个单元，是让学生在对分数有了初步认识的基础上，进一步系统地认识分数。其重点是把第一次的初步认识进一步扩展。其特点是：（1）单位“1”由“一个”变成“一些”；（2）给出分数的定义。
教学时，主要突出“也可以把一堆物体看作是一个整体来平均分”的思想。如一堆苹果，一个班级的人数，等等，如果看成一个整体也平均分的话，分得的结果，每份也可以就是这个整体的几分之一。而这个几分之一，可能含有一个、两个或若干个，表述成“表示这样的一份或几份的数是这个整体的几份之几”。
3，抓住百分数的特征进行教学。
说到百分数，要分清两种情况：一种是分母是100的分数，另一种是表示一个数是另一个数的百分之几的数。我们所说的百分数，一般指后者，它在写法（和读法）上与前者也有区别，用百分号（%）来表示。认识百分数要注意以下几点：
（1）分数既可以表示两个数之间的关系，也可以表示具体的数量。百分数只表示两个数之间的关系，并不表示具体的数量。
（2）由于以上原因，分数可能有单位，也可能没有单位，但百分数不能加上单位，这是它与分数的不同。
（3）分数一般用最简分数的形式表示，但百分数为了便于比较，分母固定为100，所以当分子分母不互质时，不用约分成最简分数的形式，也不用化成带分数，而且分子也可能是小数。
（4）由于百分数的广泛应用，认识百分数应该联系学生的生活实际，并通过日常生活的运用加深理解概念，体会百分数的好处。
三、小数的认识。
（一）教材分析
通常认识小数也分为两个阶段：第一阶段是小数的初步认识，特点是：（1）联系生活实际中具体的量来认识小数；（2）以一位小数为主；（3）不定义小数，只描述为：像，，，…这样的数叫做小数。第二阶段较系统地认识小数的意义。特点是：（1）给出小数的定义：分母是10，100，…的分数，可以用小数表示；（2）再次扩展数位顺序表，建立十分位、百分位、千分位……的概念；（3）运用小数的计数单位分析小数的组成、小数的性质，比较小数的大小；（4）把非整万（亿）的大数改写成以万（亿）为单位的小数等。
（二）教学策略
1，充分运用生活经验，建立小数概念。
小数概念的引入，通常有两种做法：一是从生活实例出发；二是从表示度量结果的需要出发。这都是小学生能够理解的。虽然小数实际上是一种特殊的分数，是分数的另一种表示形式。但在生活中最常见到的是小数，如元，30.8米，吨等具体的数量，而不是分数。所以学生认识小数，不一定要从分数的概念入手，可以由测量长度的结果不是整米数、物品的价格不是整元数出发引入小数。也可以直接运用生活中各种鲜活的实例，让学生感受小数的现实作用。学生已有的经验能够支持学生理解小数的意义，发现小数的性质，进行比较大小的活动，从而实现感性认识到理性认识的飞跃。
2，数形结合，教学小数的知识。
小数的意义是比较抽象的数学概念，小数的性质也是抽象的数学规律，小学生掌握这些知识是有一定困难的。如果把抽象的数学知识与具体的图形联系起来，挖掘和利用概念中的直观成分，能有效地降低教学的难度。如用大正方形表示整数“1”，它的十分之几、百分之几分别表示成一位小数、两位小数；依托直尺显示几厘米是百分之几米，是零点零几米；在数轴上建立点与相应的一位小数、两位小数的联系……这些都有助于学生领会小数的知识。
3，始终把小数的意义作为教学重点。
小数的意义是进一步学习小数的性质、比较小数大小的规划、改写大数的方法的基础。十进分数除了可以写成分母是10，100，1000，…的分数形式外，还可以写成另一种形式，即小数。具体地说，分母是10的分数还可以写成一位小数，一位小数表示十分之几；分母是100的分数还可以写成两位小数，两位小数表示百分之几……教学小数的意义，要让学生理解并掌握这些关系，这就是学生需要建立的小数概念。
4，利用知识迁移，建立小数与分数的联系。
我们现在常用的计数制是十进制，它的重要特征是位值制，即写在不同位置上的数字表示着不同的值。当人们在度量可以分割的量时，常常把作为单位的量细分为它的1/10，1/100，1/1000，这样就得到一种以10的幂为分母的特殊的分数，这种分数叫十进分数。为了应用上的方便，人们把十进分数改用位值制的记法，这就是小数。在有理数范围内的小数实际上是一种特殊的分数，是分数的另一种表示形式。当分数的分母是10，100，1000，…时，可以用一位小数、两位小数、三位小数等来表示。由十进分数改写的小数都是有限小数，所以所有的有限小数都能改写成分数。
在小学里学生还要遇到无限循环小数，它可由不能化成十进分数的分数改写而成，所以无限循环小数也都可以改写成分数。有限小数和无限循环小数都是有理数范围里的数。
无限不循环小数不能由分数改写得到，它是无理数的一种表现形式。在小学生认识的数里，只有圆周率=…是无理数，但这并不需要告诉学生。它只是在计算圆周长的时候才被介绍到。
分数的学习对小数的学习特别是小数意义的理解有直接、显著的影响；小数的意义和整数的大小比较或加减计算对小数的大小比较或加减计算有直接、显著的影响。反过来，后者的学习对前也有促进作用。迁移，有时在听教师讲解的过程中实现。例如，“5分米是几分之几米”是学生已有的知识，只要通过提问，引起学生的回忆和思考，就不难解决。然后不妨直接告诉学生：“5/10米还可以写成0.5米。”“还可以写成”也就是同一对象的两种不同形式，使小数和分数建立起直接的联系，使学生进一步体会到，十分之几和一位小数，百分之几和两位小数……之间的关系。用单名数或复名数表示具体的数量、把正方形平均分成10份，100份，1000份，…，表示其中的若干份以及用数轴表示数，过去曾经是认识整数、分数时常用的模型，而现在又拓展到了小数。比如，把一个正方形平均分成10份，100份，其中的若干份既可以用分数表示，也可以用小数表示。到了这时，学生理解的小数已经不是具体的量了，自然就接受了不带单位的小数。这些做法，无论对小数意义的接受、理解，还是对小数的模型的建立，培养关于小数的数感，都很有帮助。
5，沟通整数与小数计数与比较方法的关系。
整数与小数的计数方法是一致的，相邻两个计数单位间的进率都是“十”，小数的计数方法是整数计数方法的扩展。教学中要设计相应的教学环节，将整数的计数方法迁移到小数，为学生在计数的经验和方法上建立联系。不仅如此，还要利用这些活动帮助学生整理认数系统，把原来认识的整数数位表扩充到小数，把分单位和小数的计数单位联系起来，使学生逐步在头脑中建构起完整的认数体系。
学生已经掌握的比较整数大小的知识，有些可以应用于比较小数的大小，也有些需要
在认识上做必要的调整。如，在整数中，位数多的数一定比位数少的数大（四位数大于三位数）。而在小数中未必一定如此（三位小数不一定比两位小数大）。因此，从比较整数的大小到比较小数的大小，不是单纯的认知同化和方法迁移。
综上所述，理解数的意义是数学课程的重要任务。小学阶段主要学习整数、小数、分数等数的概念。这些概念本身是抽象的，只有为学生提供充分的可以感知的现实背景，才能使学生真正理解数的意义，建立数感。