九年级数学上册-二次函数与一元二次方程课件
第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
一、基本目标 【知识与技能】 1．理解二次函数与一元二次方程的关系． 2．会判断抛物线与x轴的交点个数． 3．掌握方程与函数间的转化． 4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． 【过程与方法】
经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的 联系，进一步体会数形结合思想．
少飞行时间？
20.5 h
h=20t-5t2
解方程： 20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0. 因为(-4)2-4 ×4.1<0,所以方程 无实数根.这就是说，小球的飞 行高度达不到20.5m.
O
t
你能结合上图指出 为什么小球不能达 到20.5m的高度?
（4）小球从飞出到落地要用多少时间？
知识要点
★二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0根的关系
二次函数 y=ax2+bx+c的图象
与x轴交点
有两个交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
有两个不相等的实 数根
b2-4ac b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根 b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
新课讲解
3 图象法解一元二次方程
由前面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方
程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般
是近似的．
例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的
实数根(结果保留小数点后一位). 解：画出函数y=x2-2x-2的图象
二次函数 与一元二
次方程
二次函数与 一元二次方 程根的情况
二次函数 与x轴的 交点个数
判别式 Δ 的符号
一元二次方 程根的情况
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是 一个一元二次方程.
新课讲解
所以二次函数与一元二次方程联系密切．
例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x 的值，可以看作解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－ 4x+3=0）． 反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2
抛物线与x轴 公共点 公共点个数 横坐标
0个
1个
0
2个
-2, 1
相应的一元二次 方程的根
x2-x+1=0无解 x2-6x+9=0，x1=x2=3 x2+x-2=0，x1=-2,x2=1
y = x2－x＋1
y = x2－6x＋9
y = x2＋x－2 1
＝m 的根．
2．若抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点为(x0,0)，则 x0 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的一个根．
3．二次函数与一元二次方程有下列对应关系：
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
象与 x 轴的位置关系
的根的情况
b2－4ac 的值
2 利用二次函数深入讨论一元二次方程
新课讲解
思考 下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的
横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由 此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-6x+9； （3）y=x2-x+1.
观察图象，完成下表
新课讲解
C.x轴下方
D.第二、三、四象限
能力提升
已知二次函数
的图象，利用图象回答问题：
（1）方程
的解是什么？ y
（2）x取什么值时，y>0 ？
Hale Waihona Puke 8（3）x取什么值时，y<0 ？
解：（1）x1=2,x2=4; （2）x<2或x>4; （3）2<x<4.
O2 4 x
课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与二次方程之间的关系，当 y 为某一确定值 m 时，相应的自变量 x 的值就是方程 ax2＋bx＋c
有两个公共点
有两个不相等的实数根
b2－4ac>0
只有一个公共点
有两个相等的实数根
b2－4ac＝0
无公共点
无实数根
b2－4ac<0
二次函数与一元 二次方程的关系
课堂总结 y=ax2+bx+c(a ≠0)当y取定值时就 成了一元二次方程； ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时 就成了二次函数.
y
O1 3 x
3.一元二次方程
3
x2+x－10=0的两个根是x1=－2
，x2=
5 3
，那
么二次函数
y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐标是
(-2，0)
(
5 3
，0).
随堂即练
4.若一元二次方程 x2 mx n 0 无实根，则抛物线y x2 mx n
图象位于（ A ）
A.x轴上方
B.第一、二、三象限
新课讲解
1 二次函数与一元二次方程的关系
（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少
飞行时间？
h
h=20t-5t2
15
O1
3
t
解：解方程 15=20t-5t2,
你能结合上图指出
t2-4t+3=0,
为什么在两个时间
t1=1,t2=3.
小球的高度为15m 吗？
当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
(如右图所示)，它与x轴的公共
点的横坐标大约是-0.7，2.7.
所以方程x2-2x-2=0的实数根为
－4
x1≈-0.7，x2≈2.7.
8 6 4 2
－2 －2 －4
y = x2－2x－2 24
1.根据下列表格的对应值:
随堂即练
x
3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
新课讲解
h
h=20t-5t2
O
t
解方程： 0=20t-5t2, t2-4t=0, t1=0,t2=4. 当小球飞行0s和4s时，它的高度为0m.
即0s时小球从地面飞出，4s时球落回地面.
为一个常数 （定值）
新课讲解
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方 程.
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a、b、c为常数)一个解
x的范围是（ C ）
A. 3< x < 3.23
B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26
随堂即练 2．若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一 元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2= -1 .
【情感态度与价值观】
通过对小球飞行问题的分析，感受数学在生活中的应用，激发学生学习热 情．
二、重难点目标 【教学重点】 二次函数与一元二次方程的关系． 【教学难点】 用图象法求解一元二次方程．
情境引入
问题： 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方 向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空 气的阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单 位：s）之间具有关系h=20t-5t2，考虑以下问题：
新课讲解
（2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多
少飞行时间？
h=20t-5t2
解方程： 20=20t-5t2, t2-4t+4=0,
20 h
O
4
t
t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的飞行高度为20m.
你能结合上图指出 为什么只在一个时
间小球的高度为
20m？
新课讲解
（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多
22.2 二次函数与一元二次方程
一、基本目标 【知识与技能】 1．理解二次函数与一元二次方程的关系． 2．会判断抛物线与x轴的交点个数． 3．掌握方程与函数间的转化． 4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． 【过程与方法】
经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的 联系，进一步体会数形结合思想．
少飞行时间？
20.5 h
h=20t-5t2
解方程： 20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0. 因为(-4)2-4 ×4.1<0,所以方程 无实数根.这就是说，小球的飞 行高度达不到20.5m.
O
t
你能结合上图指出 为什么小球不能达 到20.5m的高度?
（4）小球从飞出到落地要用多少时间？
知识要点
★二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0根的关系
二次函数 y=ax2+bx+c的图象
与x轴交点
有两个交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
有两个不相等的实 数根
b2-4ac b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根 b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
新课讲解
3 图象法解一元二次方程
由前面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方
程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般
是近似的．
例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的
实数根(结果保留小数点后一位). 解：画出函数y=x2-2x-2的图象
二次函数 与一元二
次方程
二次函数与 一元二次方 程根的情况
二次函数 与x轴的 交点个数
判别式 Δ 的符号
一元二次方 程根的情况
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是 一个一元二次方程.
新课讲解
所以二次函数与一元二次方程联系密切．
例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x 的值，可以看作解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－ 4x+3=0）． 反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2
抛物线与x轴 公共点 公共点个数 横坐标
0个
1个
0
2个
-2, 1
相应的一元二次 方程的根
x2-x+1=0无解 x2-6x+9=0，x1=x2=3 x2+x-2=0，x1=-2,x2=1
y = x2－x＋1
y = x2－6x＋9
y = x2＋x－2 1
＝m 的根．
2．若抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点为(x0,0)，则 x0 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的一个根．
3．二次函数与一元二次方程有下列对应关系：
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
象与 x 轴的位置关系
的根的情况
b2－4ac 的值
2 利用二次函数深入讨论一元二次方程
新课讲解
思考 下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的
横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由 此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-6x+9； （3）y=x2-x+1.
观察图象，完成下表
新课讲解
C.x轴下方
D.第二、三、四象限
能力提升
已知二次函数
的图象，利用图象回答问题：
（1）方程
的解是什么？ y
（2）x取什么值时，y>0 ？
Hale Waihona Puke 8（3）x取什么值时，y<0 ？
解：（1）x1=2,x2=4; （2）x<2或x>4; （3）2<x<4.
O2 4 x
课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与二次方程之间的关系，当 y 为某一确定值 m 时，相应的自变量 x 的值就是方程 ax2＋bx＋c
有两个公共点
有两个不相等的实数根
b2－4ac>0
只有一个公共点
有两个相等的实数根
b2－4ac＝0
无公共点
无实数根
b2－4ac<0
二次函数与一元 二次方程的关系
课堂总结 y=ax2+bx+c(a ≠0)当y取定值时就 成了一元二次方程； ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时 就成了二次函数.
y
O1 3 x
3.一元二次方程
3
x2+x－10=0的两个根是x1=－2
，x2=
5 3
，那
么二次函数
y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐标是
(-2，0)
(
5 3
，0).
随堂即练
4.若一元二次方程 x2 mx n 0 无实根，则抛物线y x2 mx n
图象位于（ A ）
A.x轴上方
B.第一、二、三象限
新课讲解
1 二次函数与一元二次方程的关系
（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少
飞行时间？
h
h=20t-5t2
15
O1
3
t
解：解方程 15=20t-5t2,
你能结合上图指出
t2-4t+3=0,
为什么在两个时间
t1=1,t2=3.
小球的高度为15m 吗？
当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
(如右图所示)，它与x轴的公共
点的横坐标大约是-0.7，2.7.
所以方程x2-2x-2=0的实数根为
－4
x1≈-0.7，x2≈2.7.
8 6 4 2
－2 －2 －4
y = x2－2x－2 24
1.根据下列表格的对应值:
随堂即练
x
3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
新课讲解
h
h=20t-5t2
O
t
解方程： 0=20t-5t2, t2-4t=0, t1=0,t2=4. 当小球飞行0s和4s时，它的高度为0m.
即0s时小球从地面飞出，4s时球落回地面.
为一个常数 （定值）
新课讲解
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方 程.
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a、b、c为常数)一个解
x的范围是（ C ）
A. 3< x < 3.23
B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26
随堂即练 2．若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一 元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2= -1 .
【情感态度与价值观】
通过对小球飞行问题的分析，感受数学在生活中的应用，激发学生学习热 情．
二、重难点目标 【教学重点】 二次函数与一元二次方程的关系． 【教学难点】 用图象法求解一元二次方程．
情境引入
问题： 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方 向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空 气的阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单 位：s）之间具有关系h=20t-5t2，考虑以下问题：
新课讲解
（2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多
少飞行时间？
h=20t-5t2
解方程： 20=20t-5t2, t2-4t+4=0,
20 h
O
4
t
t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的飞行高度为20m.
你能结合上图指出 为什么只在一个时
间小球的高度为
20m？
新课讲解
（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多
合集下载
二次函数与一元二次方程_课件
=0
没有交点
没有实根
＜0
有交点
有实根
≥0
归纳
△＜0 △=0
△＞0
求抛物线与坐标轴的交点 如何求抛物线与坐标轴的交点？ 如何确定抛物线与x轴的交点个数？
例题 答案：
例题
答案：有(2.5,0),(-1,0) 归纳：一元二次方程
,则抛物线
例题 不与x轴相交的抛物线是（ D ）
练习——求交点 （0，-5）
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根 第二步：取平均数 取2和3的平均数2.5， 当x=2.5，y=-0.75<0． 那根是在2与2.5之间， 还是2.5与3之间呢？
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根 第三步：取异号缩小范围 一定得让相应的y值异号， 这样才能保证抛物线穿过x轴， 即根在该范围之间． 当x=2.5时，y<0， 当x=2时，y<0， 当x=3时，y>0， 所以根是在2.5与3之间
解：（3）当h = 20.5时，
因为
，所以方程无实根．
球的飞行高度达不到 20.5m .
思考 （4）球从飞出到落地要用多少时间? 解：（4）落地即h = 0，
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ， 即0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面．
讨论
通过刚才的例子可以发现，
二次函数
何时为一元二次方程？
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根 第四步：再取平均数 取2.5和3的平均数2.75， 当x=2.75，y=0.0625 > 0． 第五步：再取异号 所以根是在2.5与2.75之间
所以该抛物线与 x 轴有两个交点．
人教版九年级上册数学课件：二次函数与一元二次方程
x
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
归纳:
当二次函y数 a x2 bxc,当给定y的值时,则二次函数
可转化为一元二次. 方程
如:二次函数 y x24x的值为 3,求自变量 x的值, 可以解一元二次方x程 2 4x 3(即x2 4x30). 反过来,解方程x2 4x30又可以看作已知二次 函数y x24x3的值为 0,球自变量 x的值.
如果h=20，那50-20t2= 20 ，
如果h=0，那50-20t2= 0 。 如果要想求t的值，那么我们可以求 方程
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
的解。
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
问题:王明手里抛出的篮球的飞行路线是一条抛物线,如果
不考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
呢？
∴当球飞行2s时，它的高度为4m。 （3）解方程4.1=4t-t2 即： t2-4t+4.1=0
因为(-4)2-4×4.1＜0，所以方程无解，
从上面我们看出， 对于二次函数 高为个度什时为么间3在球mh其 二两的=？实 次4就 方（t –是程4t）∴2把的t中球1解=函解的，0方,t飞数。程已2=行0值4知=高4hht换度-的t2达成值不常，即到数：求4.，1t时2m-求4间。t=一t0，元
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
拓展升华
二次函数 yax2 bxc(a0)的图像如图，
根据图像解答下列问题：
（1）写出方程 ax2bxc0的两个根；
22-2二次函数与一元二次方程(课件)-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂(人教版)
B．m＝0.25n
C．m＝0.5n2
D．m＝0.25n2
2.下列抛物线中，与x轴有两个交点的是( D )
A．y＝3x2－5x＋3
B．y＝4x2－12x＋9
C．y＝x2－2x＋3
D．y＝2x2＋3x－4
拓展训练
人教版数学九年级上册
3.已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m＝0. (1)试判断该方程根的情况． (2)若抛物线y＝x2－(m－3)x－m与x轴交于A(x1，0)，B(x 2，0)两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？ 若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由(友情提示： AB＝|x2－x1|)．
人教版数学九年级上册
人教版数学九年级上册
第22.2 二次函数与一元二次方程
学习目标
人教版数学九年级上册
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系. 2.能运用二次函数及性质确定方程的解或不等式的解集. 3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
复习引入
人教版数学九年级上册
1.二次函数的一般式：y_=_a_x_2_+_b_x_+_c_（__a_≠__0_）_， __x__是自变量，__y__是__x__的函数.
互动新授
人教版数学九年级上册
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？ 解：当h=20.5时，20t-5t2=20.5 整理得，t2-4t+4.1=0 因为(-4)2-4×4.1=-0.4＜0，所以方程无实数根. 这就是说，小球的飞行高度达不到20.5m.
互动新授
人教版数学九年级上册
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系 h=20t-5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关 于t的一元二次方程. 如果方程有合乎实际的解，则说明小球的 飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不 能达到问题中h的值.
九年级上《22.2二次函数与一元二次方程》课件
2．自主探究：
问题1
以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的 方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线． 如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h （单位 ：m ）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关 系 h = 20t - 5t 2． （2）小球的飞行高度能否达到 20 m？ 如能，需 要多少飞行时间？
归纳 一般地，从二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象可知： （1）如果抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴有公共点， 公共点的横坐标是 x0，那么当 x = x0 时，函数值是 0， 因此 x = x0 是方程 ax 2 + bx + c = 0 的一个根． （2）二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴的位置 关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共 点． 这对应着一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的根的三种 情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等 的实数根．
y=ax2+bx+c的图 象和x轴交点
方程ax2+bx+c=0 的根
b2-4ac
函数的图象
y . o y o y o . x
有两个交点
方程有两个不相等 b2-4ac 的实数根
> 0
只有一个交点 方程有两个相等 b2-4ac = 0
的实数根
x
没有交点
方程没有实数根
b2-4ac
< 0
x
2．小组合作，类比探究
1．复习知识，回顾方法
问题1:一次函数y=kx+b与一次方程 kx+b=0之间有什么关系？
沪科版数学九年级上册21.3二次函数与一元二次方程 课件(共24张PPT)
第21章 二次函数与反比例函数
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
沪科版九年级上册数学精品教学课件 第21章二次函数与一元二次方程 第2课时 二次函数与一元二次不等式
∴ 点 B 的横坐标为 -6.
B
根据图象可以看出，
kx + 1＞ax2 + bx - 2 的解集为
-6＜x＜1.
y
y2
OA x
y1
课堂小结
b2-4ac 的符号 二次函数
b2-4ac＞0
y
y = ax2+bx+c (a＞0) 的图象
O
x1
x2 x
一元二次方程
ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) 的根
y
02 x
0
x
y=-x2+x-2
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交点的坐标 与一元二次不等式的关系
二次函数 y = ax2+bx+c 的 图象与 x 轴交点
a＞0 时的解集
a＜0 时的解集
有两个交点 (x1,0),
有(x2一,0)个(x交1＜点x2) (x0，0)
没有交点
不等式 ax2 + bx + c < 2 的解集是__−_2_<__x__<_4___.
问题2：如果不等式 ax2 + bx + c＞0 (a ≠ 0) 的解集是 x ≠ 2
的一切实数，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有
__1__ 个交点，坐标是 (2 ，0) . 方程 ax2 + bx + c = 0 的根
0＜x＜3
ax2 bx＜kx
由图可知，不等式
ax2 bx＞kx 的解集为 x＜0或 x＞3.
方法归纳
不等式 ax2 bx c＞mx n 的解集是二次函数
人教版初中数学九年级上册精品教学课件 第22章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程
2
3
4
5
6
7
7.利用二次函数的图象求方程1
1 2
x +x+2=0的近似解(精确到0.1).
2
解: 函数 y=-2x2+x+2 的图象如图.
1 2
设-2x +x+2=0
的两根分别为 x1,x2,且 x1<x2,观察图象可知
-2<x1<-1,3<x2<4.
1
因为当 x=-1 时,y=-2×(-1)2-1+2=0.5>0,
的交点个数是3.故选A.
A
解析
关闭
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
3.已知二次函数y=x2-2ax+a2-2a-4(a为常数)的图象与x轴有交点,且
当x>3时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是(
)
A.a≥-2
B.a<3
C.-2≤a<3
D.-2≤a≤3
关闭
D
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
4.(2023·浙江宁波中考)已知二次函数y=ax2-(3a+1)x+3(a≠0),下列说
1
时,y=-2×(-1.5)2-1.5+2=-0.625<0,
当 x=-1.5
所以-1.5<x1<-1.
因为当 x=3
1 2
时,y=-2×3 +3+2=0.5>0,当
1
时,y=- ×3.52+3.5+2=-0.625<0,
人教版数学九年级上册2二次函数与一元二次方程课件
A. 无交点
B. 只有一个交点
C. 有两个交点
D. 不能确定
4. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两个相等的实数根， 则m=＿＿＿，此时抛物线 y=x2－2x+m与x轴有＿＿个交点.
5. 已知抛物线 y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上，则 c =＿＿.
6. 若抛物线 y=x2 + bx+ c 的c =0
22.2 二次函数与一元二次 方程
复习
二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的开口由 什么决定呢？ 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质： (1)顶点坐标与对称轴； (2)位置与开口方向； (3)增减性与最值．
活动
二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象如图所示． (1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个根？验证一下一元二次方程 x2－2x＋2＝0有根吗？
D. 0
2. 抛物线y＝4x2－4x－1与x轴的交点的个数是
.
3. 已知抛物线y＝(a＋2)x2＋2x＋1与x轴没有交点，则a的取值范围
是
.
利用二次函数的图象求一元二次方程的近 似根
根据二次函数与一元二次方程的关系，可得函数图象与x轴的交点 的横坐标就是相应的方程的解.
例题
如图22－2－2是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，且过点 A(3,0)，二次函数图象的对称轴是直线x＝1，则图象与x轴的另一个 交点坐标是
的根的情况是＿＿＿＿＿.
7. 已知抛物线y＝x2－ m x＋m－１. (1)若抛物线经过坐标系原点，则m______ (2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m____ (3)若抛物线的对称轴为y轴，则m______ (4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m_______.
人教版九年级数学上册课件：22.2二次函数与一元二次方程 (共12张PPT)
（2）若该抛物线的对称轴为直线x=5/2. ①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的 抛物线与x轴只有一个公共点.
能力提升
挑战中考
12.（2016·江苏省宿迁）若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象
经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（ C ）
与y轴的交点坐标是_（__0_，__3_）____.
8.若二次函数y=mx2-2x+1的图像与x轴只有一个交点，则 m=____1_____.
9.画出抛物线y=x2-3x-4的图像，根据图像回答： （1）方程x2-3x-4=0的解是什么？ （2）不等式x2-3x-4>0的解是什么？ （3）不等式x2-3x-4<0的解是什么？
的对称轴是直线___X_=_-_1___.
类比精练
1.二次函数
的图象与x轴有两个交点，其中
一个交点坐标为（-1，0）则一元二次方程
的
解为__X__1_=_-1_，__X_2_=_3___.
课堂精讲
知识点2.运用一元二次方程根的判别式处理二次函数图
象与"轴的交点问题
例2．若二次函数
的图象与x轴有交点，则k
6.如果关于x的二次函数y=x2﹣2x+k与x轴只有1个交点， 则k= 1 ．
7.若抛物线
则
= 10 ．
经过点(－1，10)，
课前小测
8.二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则函数值y<0时 x的取值范围是 - 1＜x元二次方程的关系
例1．方程
的两根为-3和1，那么抛物线
能力提升
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列说法： ① a>0；②2a+b=0； ③a+b+c=0； ④当-1<x<3时，y>0. 其中正确的个数为（ B ）
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的 抛物线与x轴只有一个公共点.
能力提升
挑战中考
12.（2016·江苏省宿迁）若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象
经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（ C ）
与y轴的交点坐标是_（__0_，__3_）____.
8.若二次函数y=mx2-2x+1的图像与x轴只有一个交点，则 m=____1_____.
9.画出抛物线y=x2-3x-4的图像，根据图像回答： （1）方程x2-3x-4=0的解是什么？ （2）不等式x2-3x-4>0的解是什么？ （3）不等式x2-3x-4<0的解是什么？
的对称轴是直线___X_=_-_1___.
类比精练
1.二次函数
的图象与x轴有两个交点，其中
一个交点坐标为（-1，0）则一元二次方程
的
解为__X__1_=_-1_，__X_2_=_3___.
课堂精讲
知识点2.运用一元二次方程根的判别式处理二次函数图
象与"轴的交点问题
例2．若二次函数
的图象与x轴有交点，则k
6.如果关于x的二次函数y=x2﹣2x+k与x轴只有1个交点， 则k= 1 ．
7.若抛物线
则
= 10 ．
经过点(－1，10)，
课前小测
8.二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则函数值y<0时 x的取值范围是 - 1＜x元二次方程的关系
例1．方程
的两根为-3和1，那么抛物线
能力提升
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列说法： ① a>0；②2a+b=0； ③a+b+c=0； ④当-1<x<3时，y>0. 其中正确的个数为（ B ）
22.2 二次函数与一元二次方程 课件2024-2025学年人教版数学九年级上册
C
A. B.若实数 ，则 C. D.当 时，
14.（2022·大庆）已知函数 的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数 的值为_ _______.
1或
第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
自主学习
自主导学
1.二次函数 的图象与 轴的位置关系有三种：
（1） 方程 有____个不相等的实数根 与 轴有____个交点；
两
两
（2） 方程 有____个相等的实数根 与 轴有____个交点；
两
一
（3） 方程 没有实数根 与 轴____交点.
D
A. B. C. D. 且
3.二次函数 的图象与 轴的两个交点之间的距离为( ) .
D
A.1 B.3 C.4 D.5
图22.2-1
4.观察抛物线 的图象（如图22.2-1所示），不等式 的解集是( ) .
D
A. B. C. 或 D.
5.对于二次函数 ，当 时， 的值是_ ___.
位于 轴上方，此时 ，即 ，所以一元二次不等式 的解集为
（2）某数学兴趣小组根据以上的经验，对函数 的图象和性质进行了探究，探究过程如下.
①列表： 与 的几组对应值如表，其中 _ ___.
…
0
1
2
3
4
…
…
5
0
0
1
0…Βιβλιοθήκη ②如图22.2-7，在直角坐标系中画出了函数 的部分图象，用描点法将这个图象补画完整.
6.二次函数 的图象与 轴的交点的坐标为______________.
，
图22.2-2
7.抛物线 的部分图象如图22.2-2所示，则关于 的一元二次方程 的解为_ ________________.
A. B.若实数 ，则 C. D.当 时，
14.（2022·大庆）已知函数 的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数 的值为_ _______.
1或
第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
自主学习
自主导学
1.二次函数 的图象与 轴的位置关系有三种：
（1） 方程 有____个不相等的实数根 与 轴有____个交点；
两
两
（2） 方程 有____个相等的实数根 与 轴有____个交点；
两
一
（3） 方程 没有实数根 与 轴____交点.
D
A. B. C. D. 且
3.二次函数 的图象与 轴的两个交点之间的距离为( ) .
D
A.1 B.3 C.4 D.5
图22.2-1
4.观察抛物线 的图象（如图22.2-1所示），不等式 的解集是( ) .
D
A. B. C. 或 D.
5.对于二次函数 ，当 时， 的值是_ ___.
位于 轴上方，此时 ，即 ，所以一元二次不等式 的解集为
（2）某数学兴趣小组根据以上的经验，对函数 的图象和性质进行了探究，探究过程如下.
①列表： 与 的几组对应值如表，其中 _ ___.
…
0
1
2
3
4
…
…
5
0
0
1
0…Βιβλιοθήκη ②如图22.2-7，在直角坐标系中画出了函数 的部分图象，用描点法将这个图象补画完整.
6.二次函数 的图象与 轴的交点的坐标为______________.
，
图22.2-2
7.抛物线 的部分图象如图22.2-2所示，则关于 的一元二次方程 的解为_ ________________.