北师大版数学九年级知识点总结
※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。 这个距离称为平行线之间的距离。 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：具有平行四边形的性质, 且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分 ,每一条对角线平 分一组对角。 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形 . . 。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。 （矩形是轴对称图形， 有 两条对称轴） ※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 （正方形是轴对称图形，有两条 对称轴） ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图 3 所示)： ※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 ※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 ※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：①按照反比例函数的定义判断；②看两个变量 的乘积是否为定值<即 xy = k >。 （通常第二种方法更适用） ※反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线
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※反比例函数的画法的注意事项：①反比例函数的图象不是直线，所“两点法”是不能画的； ②选取的点越多画的图越准确； ③画图注意其美观性（对称性、延伸特征） 。 ※反比例函数性质： ①当 k>0 时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； ②当 k<0 时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而增大； ③双曲线的两支会无限接近坐标轴（x 轴和 y 轴） ，但不会与坐标轴相交。 ※反比例函数图象的几何特征:(如图 4 所示) 点 P(x,y)在双曲线上都有 S矩形 OAPB =| xy |=| k |
x 2 − ( x1 + x 2 ) x + x1 x2 = 0 的根
※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设 问题为 x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑） ；②寻找等量关系（一般地， 题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程） 。 ※处理问题的过程可以进一步概括为： 问题
②
1 1 x1 + x2 + = x1 x 2 x1 x 2
③
( x1 − x2 ) 2 = ( x1 + x 2 ) 2 − 4 x1 x2
④ | x1 − x 2 |=
( x1 + x2 ) 2 − 4 x1x 2
⑤ (| x1 | + | x2 |) 2 = ( x1 + x 2 ) 2 − 2 x1 x2 + 2 | x1 x2 | ⑦其他能用 x1 + x 2 或 x1 x2 表达的代数式。
2
※如果一元二次方程 ax 2
+ bx + c = 0 的两根分别为 x1、x2，则有： x1 + x2 = −
b a
x1 ⋅ x2 =
c 。 a
※一元二次方程的根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根，求另一根； （2）不解方程，求二次方程的根 x1、x2 的对称式的值，特别注意以下公式：
2 2 ① x1 + x2 2 = ( x1 + x 2 ) − 2 x1 x2
为一次项系数；c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为 ( x + m) 2 = 0 的形式>
②公式法 x =
− b ± b 2 − 4ac 2a
（注意在找 abc 时须先把方程化为一般形式）
③分解因式法 把方程的一边变成 0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。 （主要 包括“提公因式”和“十字相乘” ） ※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；
100 10 = 估 x 200
算出鱼的条数。 （注意估算出来的数据不是确切的，所以应谓之“约是 XX” ） ※生活中存在大量的不确定事件，概率是描述不确定现象的数学模型，它能准确地衡量出事件发生 的可能性的大小，并不表示一定会发生。 九年级(下册) 第一章 直角三角形边的关系 ※一. 正切： 定 义 ： 在 Rt△ABC 中 ， 锐 角 ∠A 的 对 边 与 邻 边 的 比 叫 做 ∠A 的 正 . 切 . ， 记 作 tanA ， 即
分析 求解 → 方程 → 解答 抽象 检验
证两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 . . . . . ，平行四边形不相邻的两顶点连成 的线段叫做它的对角线 . . .。 ※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等, 对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
D O O C B 图1 B 图2 E
F
C
※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图 2 所示，OD=OE=OF) 第二章 一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为 ax 2 + bx + c = 0 （a、b、c 为 常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程 . . . . . .。 ※把 ax 2 b + bx + c = 0 （a 、b、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；
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②将二次项系数化成 1； ③把常数项移到方程的右边； ④两边加上一次项系数的一半的平方； ⑤把方程转化成 ( x + m) 2 = 0 的形式； ⑥两边开方求其根。 ※根与系数的关系：当 b -4ac>0 时，方程有两个不等的实数根； 当 b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根； 当 b2-4ac<0 时，方程无实数根。
3 3 ⑥ x1 + x2 = ( x1 + x2 ) 3 − 3x1 x 2 ( x1 + x2 )
（3）已知方程的两根 x1 、x2，可以构造一元二次方程： x 2 − ( x 1 + x2 ) x + x1 x2 = 0 （ 4 ） 已 知 两 数 x1 、 x2 的 和 与 积 ， 求 此 两 数 的 问 题 ， 可 以 转 化 为 求 一 元 二 次 方 程
S ∆AOB =
1 1 | xy |= | k | 2 2
B O P A 图4 P A O B
第六章 频率与概率 ※在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数 . .；
每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率 . . ； 即： 频率 =
频数 频数 = 数据总数 实验次数
在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于 1。因 此，各个小长方形的面积的和等于 1。 ※频率分布表和频率分布直方图是一组数据的频率分布的两种不同表示形式，前者准确，后者直观。 用一件事件发生的频率来估计这一件事件发生的概率。 可用列表的方法求出概率，但此方法不太适用较复杂情况。 ※假设布袋内有 m 个黑球，通过多次试验， 我们可以估计出布袋内随机摸出一球， 它为白球的概率； ※要估算池塘里有多少条鱼，我们可先从池塘里捉上 100 条鱼做记号，再放回池塘，之后再从池塘 中捉上 200 条鱼，如果其中有 10 条鱼是有标记的，再设池塘共有 x 条鱼，则可依照
= c 2 （注意区分斜边与直角边）
②在直角三角形中，如有一个内角等于 30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线 （注意着重号的意义） . . . . . 是垂直于一条线段 . . 并且平分这条线段的直线 . .。 <直线与射线有垂线，但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等 。 （如图 1 所示， A A AO=BO=CO ）
北师大版初中数学定理知识点汇总 九年级(上册) 第一章 证明 (二) ※等腰三角形的“三线合一” ：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等 的 直角三角形，其中一个锐角等于 30º，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于 60º的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理： a 2 + b 2
k （k 为常数，k≠0）叫做反比例函数， 即 y 是 x 的反比例函数。 x k ( k ≠ 0) ←→ y = kx−1 ( k ≠ 0) ←→ x
（x 为自变量，y 为因变量，其中 x 不能为零） ※反比例函数的等价形式：y 是 x 的反比例函数 ←→ y =
xy = k ( k ≠ 0) ←→ 变量 y 与 x 成反比例，比例系数为 k.
北师大版初三数学知识点总结
北师大版初三数学知识点总结北师大版初三数学知识点总结1直角三角形的判定方法：判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。
如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形。
〔勾股定理的逆定理〕。
判定3：假设一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互为余角〔两角相加等于90°〕的三角形是直角三角形。
判定5：假设两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，那么两直线互相垂直。
那么判定6：假设在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
〔与判定3不同，此定理用于斜边的三角形。
〕北师大版初三数学知识点总结2全套教科书包含了课程标准(实验稿)规定的“数与代数〞“空间与图形〞“统计与概率〞“实践与综合应用〞四个领域的内容，在体系结构的设计上力求反映这些内容之间的联系与综合，使它们形成一个有机的整体。
九年级上册包括二次根式、一元二次方程、旋转、圆、概率初步五章内容，学习内容涉及到了《课程标准》的四个领域。
本册书内容分析如下：第21章二次根式学生已经学过整式与分式，知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。
解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。
“二次根式〞一章就来认识这种式子，探索它的性质，掌握它的运算。
在这一章，首先让学生了解二次根式的概念，并掌握以下重要结论：注：关于二次根式的运算，由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握，教科书先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加减。
“二次根式的乘除〞一节的内容有两条开展的线索。
一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法那么的合理性，并运用二次根式的乘除法那么进行运算;一条是由二次根式的乘除法那么得到并运用它们进行二次根式的化简。
北师大版《数学》(九年级上册)知识点总结
北师大版《数学》（九年级上册）知识点总结第一章 证明（二）一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。
（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）。
（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）。
（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）。
二、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
(2)有两条边相等的三角形是等腰三角形.三、等边三角形性质：（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）三线合一判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形是等边三角形（3）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
四、直角三角形（一）、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 其它性质：1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似。
新北师大九年级数学知识点
新北师大九年级数学知识点作为九年级学生即将面临的一项挑战，数学必然是其中最重要的科目之一。
无论是在学业还是将来的职业中，数学都扮演着重要的角色。
因此，掌握九年级数学的重要知识点对于学生的学习和发展至关重要。
下面将介绍一些新北师大九年级数学的重要知识点。
一、代数和方程式代数是数学中的一个重要分支，它涉及到符号和变量的运算。
九年级代数的主要内容包括多项式的加减乘除、因式分解、配方法和韦达定理等。
方程式是代数中的另一个重要概念，它涉及到未知数的关系。
九年级学生需要学会解一元一次方程式、一元二次方程式和简单的不等式等。
二、几何学几何学是数学中的另一个重要分支，它涉及到形状、大小和空间的研究。
九年级学生将进一步学习三角形、四边形和多边形的性质和计算、圆和圆锥的性质、平行线和垂直线的关系等。
此外，九年级还将引入向量、坐标和几何图形的变换等概念。
三、统计和概率统计和概率是数学中的另一重要分支，它涉及到数据的收集、整理和分析。
九年级学生将学习如何收集和组织数据，然后使用图表、图形和数值来表示和分析数据。
概率是统计的一个重要概念，九年级学生将学习如何计算概率并应用到实际问题中。
四、函数函数是数学中的一个重要概念，它描述了两个变量之间的关系。
九年级学生将学习线性函数、二次函数和反比例函数等，并了解函数的图像、性质和应用。
五、数列和级数数列和级数是数学中的一个重要概念，它们描述了一系列数字的排列和求和规律。
九年级学生将学习等差数列和等比数列的性质、求通项公式和求和公式的方法。
通过掌握这些新北师大九年级数学的重要知识点，学生将能够提高数学的理解和应用能力，为未来的学习和职业打下良好的基础。
除了这些重要的知识点，九年级数学还涉及到许多其他的概念和技巧，如函数图像的性质、概率的计算方法、解几何问题的思路等。
学生应当通过课堂的学习、习题的练习和辅导的辅助，全面掌握这些知识和技巧。
九年级数学的学习对于学生成长和发展具有重要意义。
北师大版九年级数学知识点汇总(总16页)
北师大版九年级数学知识点汇总(总16页)第一章整式与代数式一、定义1、定义1：整式整式是由常数和未知数的乘积以及未知数的幂次构成的一个或多个项的表达式。
2、定义2：代数式代数式是数学中由常数、未知数、及他们的运算符号组成的符号表达式的总称。
二、运算1、加减运算在加减运算中，同类项要求具有相同的底数和指数，再将它们的系数相加减，整式中一些未知数有相同指数，可以合并为一项。
2、乘除运算乘除运算中，同一式子中的若干未知数及其指数要求相同，否则将它们拆开，系数则相乘、相除，未知数则相乘、相除。
三、同类因式1、定义：同类因式是指有相同底数和指数的项。
2、形式当底数相同，有两种形式出现：（1）乘积形式，如：（a+b）2；（2）对比形式，如a2：b2；当指数相同，有三种形式出现：（1）口诀形式，如：a2b2；（2）引号形式，如：(a+b)2；（3）下标形式，如：a2/b2。
第二章平方差一、定义1、定义1：平方平方是数学中指一个数的平方，也可以表示为n²。
2、定义2：差差是指在数学中表示两个或多个数之间的差，也可以表示为a-b。
二、运算1、解平方差要解方程：x²-a=b，须将a和b分别平方，变为x²-a²=b²，再根据等式左右两边分别加或减a²，变为：x²±2a x±a²=b²，再用平方根法求出x的值。
2、完全平方差要解方程：ax²+2bx+c=0，首先设：x²+2px+q=0，其中p=b/a，q=c/a，再将上式化为完全平方差的形式：（x+p）²=q-p²，最后解出 x=–p±√q–p² 。
三、巧解平方差当a、b、c的数值比较简单且不能完全平方差时，则可用巧解方法。
只要将a、b、c 做互质处理，即将a与b、c求公约数，将a、b、c分解为两个数的乘积，如果形式中乘积可以分解完全平方式，则可用巧解方法解方程。
北师大版九年级数学上册知识点总结
九（上）数学知识点第一章证明（一）1、你能证明它吗？（1）三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、（2）等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。
判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
或者三个角都相等的三角形是等边三角形。
（4）含30度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。
（3）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）3、线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。
4、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
北师大版九年级数学上册图形的相似知识点归纳
知识点
具体内容
成比例线段
- 定义：如果四条线段a、b、c、d中，a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。 - 定理：如果a/b=c/d=...=m/n (b+d+...+n≠0)，那么（a+c+...+m）/（b+d+...+n）=a/b。
平行线分线段成比例
- 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 - 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
相似多边形
- 定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 - 性质：对应边成比例，对应角相等；面积比等于相似比的平方。
黄金分割
- 定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，约为0.618。
图形的位似
- 定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P1所在的直线都经过同一个点O，且有OP1=k*OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。k就是这两个相似多边形的相似比。
相似三角形
- 定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 - 判定定理： 1. 两角分别相等的两个三角形相似。 2. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 3. 三边成比例的两个三角形相似。 - 性质： 1. 对应角相等，对应边成比例。 2. 对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。 3. 周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 - 应用： 1. 利用阳光下的影子测量高度（同一时刻，物高与影长成比例）。 2. 利用标杆来测量高度（构造相似三角形）。 3. 利用镜子的反射来测量高度（反射角等于入射角，构造相似三角形）。
九年级数学上册第三章知识点总结(北师大版)
北师大版九年级数学上册第三章知识点总结《北师大版九年级数学上册第三章知识点总结》嘿，宝子们。
今天咱们来唠唠北师大版九年级数学上册第三章的那些知识点。
这一章呢，有好多重要的东西。
像证明（三）这部分，平行四边形可是个大主角。
平行四边形的性质可不少，对边平行且相等，对角也相等呢。
就好比咱们生活中的那种平行的栏杆，两边总是规规矩矩地保持着自己的状态。
而且平行四边形的对角线互相平分，这就像两个人分东西，分得那叫一个公平。
再说说特殊的平行四边形吧。
矩形，这家伙可特别了。
它是平行四边形的一种特殊情况，四个角都是直角。
想象一下家里的那种方方正正的相框，四个角都是九十度，规规矩矩的。
矩形的对角线不仅互相平分，还相等呢。
这就好比它比普通的平行四边形又多了点“小特权”。
菱形也不甘示弱呀。
菱形的四条边都相等，就像一个规规矩矩的小方块被拉成了斜斜的样子，但是四条边依旧保持着相等的长度。
它的对角线互相垂直，而且还平分每一组对角呢。
感觉菱形就像是一个很有个性的平行四边形，有着自己独特的魅力。
还有正方形呢，正方形可就厉害了。
它既是矩形又是菱形，所以它既有矩形四个角是直角的特点，又有菱形四条边相等的优点。
就像是一个集万千优点于一身的学霸，啥都好。
在证明这些图形的性质和判定的时候，也有很多小窍门。
比如说要证明一个四边形是平行四边形，咱们可以从对边相等、对边平行、对角线互相平分等方面入手。
要是证明矩形呢，就可以先证明它是平行四边形，再加上一个角是直角这个条件。
菱形的话，可以先证平行四边形，再加上邻边相等之类的。
这些知识点在咱们做数学题的时候可太重要了。
就像盖房子的砖头一样，少了哪一块都不行。
有时候遇到一道几何证明题，你就得在脑袋里把这些知识点过一遍，看看哪个能用得上。
就像从自己的小百宝箱里找工具一样，找对了工具，问题就迎刃而解了。
我觉得这一章的知识点虽然有点多，但是只要咱们把每个图形的特点和判定方法都搞清楚，就像熟悉自己的朋友一样，做数学题的时候就不会害怕了。
新版九年级数学上册知识点归纳北师大版
新版九年级数学上册知识点归纳北师大版新版九年级数学上册知识点归纳（北师大版）一、整数的运算1. 整数的加法和减法运算a) 同号数相加、相减b) 异号数相加、相减c) 加法的交换律和结合律d) 减法与加法的关系2. 整数的乘法和除法运算a) 同号数相乘、相除b) 异号数相乘、相除c) 乘法的交换律和结合律d) 除法的定义和性质3. 整数运算的综合应用a) 数线和整数运算b) 整数的乘方运算c) 分数与整数的运算d) 整数运算在解决实际问题中的应用二、平方根与立方根1. 平方根的定义和性质a) 平方根的概念b) 完全平方数和非完全平方数c) 求平方根的方法2. 平方根的运算a) 平方根的加法和减法b) 平方根的乘法和除法c) 求平方根的应用3. 立方根的定义和性质a) 立方根的概念b) 立方根的运算三、代数式的定义与运算1. 代数式的概念和基本性质a) 变量、常数和代数式的关系b) 代数式的展开与因式分解2. 代数式的加法和减法a) 同类项与合并同类项b) 代数式的加减运算规则c) 根据题意列代数式3. 代数式的乘法和除法a) 代数式的乘法规则b) 代数式的除法规则c) 根据题意列代数式四、一次函数1. 一次函数的定义和性质a) 一次函数的概念b) 一次函数的图象特点c) 一次函数的斜率和截距2. 一次函数的图象与方程a) 一次函数的图象和方程的关系b) 根据图象写出方程c) 根据方程画出图象3. 一次函数的应用a) 一次函数在实际问题中的应用b) 利润、成本和收入的关系五、二次根式1. 二次根式的定义和性质a) 二次根式的概念b) 二次根式的化简与还原c) 二次根式的近似计算2. 二次根式的加法和减法a) 同类项的概念和加减运算b) 多个二次根式的相加相减3. 二次根式的乘法和除法a) 二次根式的乘法运算b) 二次根式的除法运算4. 二次根式的应用a) 二次根式在图形的计算中的应用b) 二次根式在实际问题中的应用六、三角形的性质1. 三角形的基本概念a) 三角形的定义b) 三角形的分类2. 三角形的角度与边的关系a) 三角形内部角的性质b) 三角形外角的性质3. 三角形的边与边的关系a) 三角形边长的大小关系b) 三角形边长的和差关系4. 三角形的中线与垂直平分线a) 三角形的中线性质b) 三角形的垂直平分线性质七、相似三角形1. 相似三角形的概念和性质a) 相似三角形的定义b) 相似三角形的判定条件c) 相似三角形的性质2. 相似三角形的比例关系a) 相似三角形的边比例b) 相似三角形的角度对应关系3. 相似三角形的应用a) 相似三角形在图形中的应用b) 相似三角形在实际问题中的应用以上是新版九年级数学上册的知识点归纳，包括整数的运算、平方根与立方根、代数式的定义与运算、一次函数、二次根式、三角形的性质以及相似三角形等内容。
九年级数学上册知识点归纳北师大版
九年级数学上册知识点归纳北师大版第一章特殊平行四边形第二章一元二次方程第三章概率的进一步认识第四章图形的相似第五章投影与视图第六章反比例函数八下前情回顾※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形．．．．．,平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线．．．;※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分;※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两条对角线互相平分的四边形是平行四边形;※平行线之间的距离：若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等;这个距离称为平行线之间的距离;第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形;※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角;菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴;※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四条边都相等的四边形是菱形;2矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．;矩形是特殊的平行四边形; ※矩形的性质：具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角;矩形是轴对称图形,有两条对称轴※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形根据定义;对角线相等的平行四边形是矩形;四个角都相等的四边形是矩形;※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;3正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形;※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质;正方形是轴对称图形,有两条对称轴※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形;正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系如图3所示：※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形;※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形;※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形;※夹在两条平行线间的平行线段相等; ※在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半第二章 一元二次方程1认识一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程,且都可以化为02=++c bx ax a 、b 、c 为 常数,a ≠0的形式,这样的方程叫一元二次方程．．．．．．; ※把02=++c bx ax a 、b 、c 为常数,a ≠0称为一元二次方程的一般形式,a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项;2用配方法求解一元二次方程①配方法 <即将其变为0)(2=+m x 的形式>※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方；⑤把方程转化成0)(2=+m x 的形式；⑥两边开方求其根;3用公式法求解一元二次方程图3②公式法 aac b b x 242-±-= 注意在找abc 时须先把方程化为一般形式 4用因式分解法求解一元二次方程③分解因式法 把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解;主要包括“提公因式”和“十字相乘”5一元二次方程的根与系数的关系※根与系数的关系：当b 2-4ac>0时,方程有两个不等的实数根；当b 2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根；当b 2-4ac<0时,方程无实数根;※如果一元二次方程02=++c bx ax 的两根分别为x 1、x 2,则有：ac x x a bx x =⋅-=+2121; ※一元二次方程的根与系数的关系的作用：1已知方程的一根,求另一根；2不解方程,求二次方程的根x 1、x 2的对称式的值,特别注意以下公式：①2122122212)(x x x x x x -+=+ ②21212111x x x x x x +=+ ③212212214)()(x x x x x x -+=- ④21221214)(||x x x x x x -+=- ⑤||22)(|)||(|2121221221x x x x x x x x +-+=+⑥)(3)(21213213231x x x x x x x x +-+=+ ⑦其他能用21x x +或21x x 表达的代数式;3已知方程的两根x 1、x 2,可以构造一元二次方程：0)(21221=++-x x x x x x 4已知两数x 1、x 2的和与积,求此两数的问题,可以转化为求一元二次方程0)(21221=++-x x x x x x 的根6应用一元二次方程※在利用方程来解应用题时,主要分为两个步骤：①设未知数在设未知数时,大多数情况只要设问题为x ；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑；②寻找等量关系一般地,题目中会含有一表述等量关系的句子,只须找到此句话即可根据其列出方程;※处理问题的过程可以进一步概括为： 解答检验求解方程抽象分析问题→→第三章 概率的进一步认识用树状图或表格求概率相关知识点链接：频数与频率频数：在数据统计中,每个对象出现的次数叫做频数,频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率;概率的意义和大小：概率就是表示每件事情发生的可能性大小,即一个时间发生的可能性大小的数值;必然事件发生的概率为1；不可能事件发生的概率为0；不确定事件发生的概率在0与1之间;知识点1频率与概率的含义在试验中,每个对象出现的频繁程度不同,我们称每个对象出现的次数为频数,而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率,即=频数频率总次数把刻画事件A 发生的可能性大小的数值,称为事件A 发生的概率;知识点2通过实验运用稳定的频率来估计某一时间的概率在进行试验的时候,当试验的次数很大时,某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近;我们可以通过多次试验,用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的频率; 知识点3利用画树状图或列表法求概率重难点第四章 图形的相似1成比例线段一. 线段的比※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成nm B A =. ※2. 四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即d c b a=,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段.※3. 注意点:①a:b=k,说明a 是b 的k 倍;②由于线段 a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;④除了a=b 之外,a:b ≠b:a, b a 与a b 互为倒数; ⑤比例的基本性质:若d c b a =, 则ad=bc; 若ad=bc, 则dc b a = 2平行线分线段成比例 ※1. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图2, l 1 EF BC DE AB =二. 黄金分割 ※1. 如图1,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比._ 图1 _B_C _A _ 图2 _ F _ E _ D _ C_ B _ A _l_3 _l _2 _l _11:618.0215:≈-=AB AC ※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.3相似多边形1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形.※2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.※1. 在相似多边形中,最为简单的就是相似三角形.※2. 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.※3. 全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. ※4. 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. ※5. 相似三角形周长的比等于相似比.※6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.4探索三角形相似的条件※1. 相似三角形的判定方法:基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边或两边的延长线相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.※2. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图2, l 1 EFBC DE AB ※3. 平行于三角形一边的直线与其他两边或两边的延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似.5相似三角形的判定定理的证明6利用相似三角形测高7相似三角形的性质8图形的位似 第五章 投影与视图A 三视图主视图——从正面看到的图左视图——从左面看到的图俯视图——从上面看到的图画物体的三视图时,要符合如下原则:大小：长对正,高平齐,宽相等.虚实:在画图时,看的见部分的轮廓通常画成实线,看不见部分的轮廓线通常画成虚线.B 投影物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是投影现象. 太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影; 在同一时刻,物体高度与影子长度成比例.物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线垂直于投影面的平行光线下的平行投影.探照灯,手电筒,路灯,和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线,像这样的光线所形成的投影称为中心投影皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子.它们是中心投影;C 视点、视线、盲区的定义以及在生活中的应用;.眼睛所在的位置称为视点,.由视点发出的光线称为视线,.眼睛看不到的地方称为盲区第六章 反比例函数知识点1 反比例函数的定义一般地,形如xk y =k 为常数,0k ≠的函数称为反比例函数,它可以从以下几个方面来理解：⑴x 是自变量,y 是x 的反比例函数；⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数,函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分；⑷反比例函数有三种表达式： ①x k y =0k ≠, ②1kx y -=0k ≠,③k y x =⋅定值0k ≠； ⑸函数xk y =0k ≠与y k x =0k ≠是等价的,所以当y 是x 的反比例函数时,x 也是y 的反比例函数;k 为常数,0k ≠是反比例函数的一部分,当k=0时,x k y =,就不是反比例函数了,由于反比例函数xk y =0k ≠中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式;知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数xk y =0k ≠中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式;知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠,函数值0y ≠,所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴;反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线;再作反比例函数的图像时应注意以下几点：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多,画的图像越精确；③连线时,必须根据自变量大小从左至右或从右至左用光滑的曲线连接,切忌画成折线；④画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交;知识点4反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质,主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况,如下表：k 的 符号 图像性质①x 的取值范围是0x ≠,y 的取值范围是0y ≠ ②当0k >时,函数图像的两个分支分别在第一、第三象限,在每个象限内,y 随x 的增大而减小; ①x 的取值范围是0x ≠,y的取值范围是0y ≠②当0k <时,函数图像的两个分支分别在第二、第四象限,在每个象限内,y 随x的增大而增大;注意：描述函数值的增减情况时,必须指出“在每个象限内……”否则,笼统地说,当0k >时,y 随x 的增大而减小“,就会与事实不符的矛盾;反比例函数图像的位置和函数的增减性,是有反比例函数系数k 的符号决定的,反过来,由反比例函数图像双曲线的位置和函数的增减性,也可以推断出k 的符号;如xk y =在第一、第三象限,则可知0k >; ☆反比例函数x k y =0k ≠中比例系数k 的绝对值k 的几何意义; 如图所示,过双曲线上任一点Px,y 分别作x 轴、y 轴的垂线,E 、F 分别为垂足, 则OEPF S PE PF y x xy 矩形=⋅=⋅==k☆ 反比例函数x k y =0k ≠中,k 越大,双曲线x k y =越远离坐标原点；k 越小,双曲线xk y =越靠近坐标原点; ☆ 双曲线是中心对称图形,对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形,对称轴是直线y=x 和直线y=－x;。
北师大版九年级数学知识点汇总
一、数与代数1.数的概念与数的读法2.数的比较大小3.整数的四则运算4.分数的概念与分数的四则运算5.小数的概念与小数的四则运算6.百分数的概念与百分数的四则运算7.有理数的概念与有理数的四则运算8.正数、负数与绝对值9.代数式与代数方程10.一次代数方程的解11.二次根式的概念与运算12.分式的概念与运算13.根式的概念与运算14.简单的函数与函数的图象二、几何1.平行线与平行四边形2.相交线与相交角3.三角形的分类与性质4.角的概念与角的分类5.直角三角形与斜角三角形6.相似三角形与比例7.圆的概念与性质8.圆内接四边形与正多边形9.三视图与棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的概念三、统计与概率1.统计调查与统计图表2.频率分布直方图与频率分布折线图3.统计数据的分析与统计平均数、中位数、众数4.概率的概念与概率的计算四、函数与方程1.函数的概念与函数的性质2.函数关系与函数图象3.函数与方程的思想与方法4.一次函数的概念与性质5.一次函数图象与应用6.一次函数方程与问题7.二次函数的概念与性质8.二次函数的图象与应用9.二次函数方程与问题的解法五、计量与单位1.长度、面积与体积2.常用度量单位与换算3.时间与速度4.英制单位与国际单位六、解析几何初步1.平面直角坐标系2.点的坐标与位置关系3.直线的方程与性质4.圆的方程与性质5.解直线与圆的方程及几何应用七、三角函数的初步研究1.角的三要素2.角度与弧度3.正弦定理与余弦定理4.解三角形的问题以上是北师大版九年级数学的主要知识点汇总，涵盖了数与代数、几何、统计与概率、函数与方程、计量与单位、解析几何初步、三角函数的初步研究等各个方面。
对于学生来说，掌握这些知识点将有助于他们在九年级数学学习中取得更好的成绩。