数学第24章圆 24.1-24.3练习卷

圆24.1-24.3练习卷（文末有答案）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.如图，△ABC⊙O，⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB=52°，点D是AC⏜上一点，则∠D度数是（）A. 52∘B. 38∘C. 19∘D. 26∘3.如图，在⊙O中，点C在优弧AB⏜上，将弧BC⏜沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为√5，AB=4，则BC的长是（）A. 2√3B. 3√2C. 5√32D. √6524.⊙O中，OD⊥AB于C，AE过点O，连接EC，若AB=8，CD=2，则EC长度为（）A. 2√5B. 8C. 2√10D. 2√135.如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论：①AM=AD+MC；②AM=DE+BM；③DE2=AD•CM；④点N为△ABM的外心．其中正确的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.如图，圆O的直径AB为4，点C在圆O上，∠ACB的平分线交圆O于点D，连接AD、BD，则AD的长等于（）A. 2B. 3C. 2√2D. 2√37.如图，在半径为6的⊙O内有两条互相垂直的弦AB和CD，AB=8，CD=6，垂足为E．则tan∠OEA的值是（）A. 34B. √63C. √156D. 2√1598.如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB=2∠BOC，则下列说法中正确的是（）A. ∠OBA=∠OCAB. 四边形OABC内接于⊙OC. AB=2BCD. ∠OBA+∠BOC=90∘9.如图所示，图中共有相似三角形（）A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对10.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜边上BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①BF⊥BC；②△AED≌△AEF；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）11.如图，在△ABC中，∠ACB=120°，将它绕着点C旋转30°后得到△DEC，则∠ACE=______．12.如图，A、B、C、D均在⊙O上，E为BC延长线上的一点，若∠A=102°，则∠DCE=______．13.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，AD⏜=CD⏜．若∠CAB=40°，则∠CAD=_____．14.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的______（把你认为正确结论的序号都填上）三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）15.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的位置如图所示（顶点是网格线的交点）（1）请画出△ABC向右平移2单位再向下平移3个单位的格点△A1B1C1；（2）画出△ABC绕点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2并求出旋转过程中点B到B2所经过的路径长．四、解答题（本大题共8小题，共64.0分）16.如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．（1）求∠DCE的度数；（2）若AB=4，CD=3AD，求DE的长．17.某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连接BD、OB．（1）求证：△AEC∽△DEB；（2）若CD⊥AB，AB=8，DE=2，求⊙O的半径．18. 如图，已知⊙O 的半径为2，弦BC 的长为2√3，点A 为弦BC 所对优弧上任意一点（B ，C 两点除外）．（1）求∠BAC 的度数；（2）求△ABC 面积的最大值．（参考数据：sin60°=√32，cos30°=√32，tan30°=√33．）19. 如图在⊙O 中，BC =2，AB =AC ，点D 为AC 上的动点，且cos B =√1010． （1）求AB 的长度；（2）求AD •AE 的值；（3）过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH =CD +DH ．20.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠BPD=3，求⊙O的直径．521.如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点．过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，连接ED（1）求证：ED∥AC；（2）若BD=2CD，设△EBD的面积为S1，△ADC的面积为S2，且S12-16S2+4=0，求△ABC的面积．22.已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形．(1)求证：△DFB是等腰三角形；(2)若DA＝√7AF，求证：CF⊥AB.答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念有关知识，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B.是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选B.2.【答案】B【解析】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵∠ACB=52°，∴∠A=90°-∠ACB=38°，∴∠D=∠A=38°．故选：B．由AC是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠D的度数．此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．3.【答案】B【解析】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，∴AD=BD=AB=2，在Rt△OBD中，OD==1，∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，∴=，∴AC=DC，∴AE=DE=1，易得四边形ODEF为正方形，∴OF=EF=1，在Rt△OCF中，CF==2，∴CE=CF+EF=2+1=3，而BE=BD+DE=2+1=3，∴BC=3．故选：B．连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD=BD=AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到=，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=3．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理．4.【答案】D【解析】解：连接BE，设OA=R，∵OD⊥AB，∴AC=BC=×8=4，∵AO=OE，∴BE=2OC，∵AE是直径，∴∠B=90°，在Rt△ACO中，由勾股定理得：OA2=AC2+OC2，R2=（R-2）2+42，解得：R=5，OC=5-2=3，∴BE=6，在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE===2，故选D．根据垂径定理求出BC和AC，根据勾股定理求出半径，求出BC的长，根据勾股定理求出CE即可．本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线的应用，解此题的关键是构造直角三角形，并求出BE和OC的长，题目比较好，难度适中．5.【答案】B【解析】解：∵E为CD边的中点，∴DE=CE，又∵∠D=∠ECF=90°，∠AED=∠FEC，∴△ADE≌△FCE，∴AD=CF，AE=FE，又∵ME⊥AF，∴ME垂直平分AF，∴AM=MF=MC+CF，∴AM=MC+AD，故①正确；如图，延长CB至G，使得∠BAG=∠DAE，由AM=MF，AD∥BF，可得∠DAE=∠F=∠EAM，可设∠BAG=∠DAE=∠EAM=α，∠BAM=β，则∠AED=∠EAB=∠GAM=α+β，由∠BAG=∠DAE，∠ABG=∠ADE=90°，可得△ABG∽△ADE，∴∠G=∠AED=α+β，∴∠G=∠GAM，∴AM=GM=BG+BM，由△ABG∽△ADE，可得=，而AB＜BC=AD，∴BG＜DE，∴BG+BM＜DE+BM，即AM＜DE+BM，∴AM=DE+BM不成立，故②错误；∵ME⊥FF，EC⊥MF，∴EC2=CM×CF，又∵EC=DE，AD=CF，∴DE2=AD•CM，故③正确；∵∠ABM=90°，∴AM是△ABM的外接圆的直径，∵BM＜AD，∴当BM∥AD时，=＜1，∴N不是AM的中点，∴点N不是△ABM的外心，故④错误．综上所述，正确的结论有2个，故选：B．根据全等三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得出AM=MC+AD；根据△ABG∽△ADE，且AB＜BC，即可得出BG＜DE，再根据AM=GM=BG+BM，即可得出AM=DE+BM不成立；根据ME⊥FF，EC⊥MF，运用射影定理即可得出EC2=CM×CF，据此可得DE2=AD•CM成立；根据N不是AM的中点，可得点N不是△ABM的外心．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质以及旋转的性质的综合应用，解决问题的关键是运用全等三角形的对应边相等以及相似三角形的对应边成比例进行推导，解题时注意：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，故外心到三角形三个顶点的距离相等．6.【答案】C【解析】解：连接OD．∴∠ACB=∠ADB=90°，∵∠ACB的平分线交⊙O于D，∴D点为半圆AB的中点，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AD=AB÷=2cm．故选 C．连接OD．利用直径所对的圆周角是直角及勾股定理求出AB的长，再根据角平分线的性质求出∠ACD=45°；然后根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得∠AOD=90°；最后根据在等腰直角三角形AOD中利用勾股定理求AD的长度本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质．解答该题时，通过作辅助线OD构造等腰直角三角形AOD，利用其性质求得AD的长度的．7.【答案】D【解析】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，由垂径定理得：BM=AM=AB=4，DN=CN=CD=3，由勾股定理得：OM==2，ON==3，∵弦AB、CD互相垂直，OM⊥AB，ON⊥CD，∴∠MEN=∠OME=∠ONE=90°，∴四边形MONE是矩形，∴ME=ON=3，∴tan∠OEA===，故选D．作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，根据垂径定理得出BM=AM=4，DN=CN=CD=3，根据勾股定理求出OM和ON，求出ME，解直角三角形求出即可．本题考查了垂径定理、勾股定理和解直角三角形等知识点，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键．8.【答案】D【解析】解：过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，则=，∴AE=BE，∠AOE=∠BOE=AOB，∵∠AOB=2∠BOC，∴∠AOE=∠BOE=∠BOC，∴==，∴AE=BE=BC，∴2BC＞AB，故C错误；∵OA=OB=OC，∴∠OBA=（180°-∠AOB）=90°-∠BOC，∠OCA=（180°-∠AOC）=90°-∠BOC，∴∠OBA≠∠OCA，故A错误；∵点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，∴四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；∵∠BOE=∠BOC=AOB，∵∠BOE+∠OBA=90°，∴∠OBA+∠BOC=90°，故D正确；故选：D．过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，由垂径定理得到=，于是得到= =，推出AE=BE=BC，根据三角形的三边关系得到2BC＞AB，故C错误；根据三角形内角和得到∠OBA=（180°-∠AOB）=90°-∠BOC，∠OCA=（180°-∠AOC）=90°-∠BOC，推出∠OBA≠∠OCA，故A错误；由点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，得到四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；根据余角的性质得到∠OBA+∠BOC=90°，故D正确；本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：共四对，分别是△PAC∽△PBD、△AOC∽△DOB、△AOB∽△COD、△PAD∽△PCB．故选C．可以运用相似三角形的判定方法进行验证．主要考查相似三角形的判定方法的掌握情况．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了三角形全等的判定与性质以及勾股定理．①根据旋转的性质得BF=DC、∠FBA=∠C、∠BAF=∠CAD，由∠ABC+∠C=90°知∠ABC+∠FBA=90°，即可判断①；②由∠BAC=90°、∠DAE=45°知∠BAE+∠CAD=∠DAE=45°，继而可得∠EAF=∠EAD，可判断②；③由BF=DC、EF=DE，根据BE+BF＞EF可判断③；④根据BE2+BF2=EF2可判断④．【解答】解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，∴△ADC≌△AFB，∴BF=DC，∠FBA=∠C，∠BAF=∠CAD，又∵∠ABC+∠C=90°，∴∠ABC+∠FBA=90°，即∠FBC=90°，∴BF⊥BC，故①正确；∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠BAE+∠CAD=∠DAE=45°，∴∠BAE+∠BAF=∠DAE=45°，即∠EAF=∠EAD，在△AED和△AEF中，∵，∴△AED≌△AEF，故②正确；∵BF=DC，∴BE+DC=BE+BF，∵△AED≌△AEF，∴EF=DE，在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，故③错误，∵∠FBC=90°，∴BE2+BF2=EF2，∵BF=DC、EF=DE，∴BE2+DC2=DE2，故④正确；故选C．11.【答案】150°【解析】解：∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△DEC，∴∠DCE=∠ACB=120°，∠BCE=∠ACD=30°，∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=150°；故答案为：150°．由旋转的性质得出∠DCE=∠ACB=120°，∠BCE=∠ACD=30°，即可得出结果．本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．12.【答案】102°【解析】解：连接OB，OD，∵∠DOB与∠A都对，∠DOB（大于平角的角）与∠BCD都对，∴∠DOB=2∠A，∠DOB（大于平角的角）=2∠BCD，∵∠DOB+∠DOB（大于平角的角）=360°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠DCE=∠A=102°，故答案为：102°连接OB，OD，利用圆周角定理得到∠DOB=2∠A，∠DOB（大于平角的角）=2∠BCD，再由周角定义及等式的性质得到∠A与∠BCD互补，利用邻补角性质及同角的补角相等即可求出所求角的度数．此题考查了圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．13.【答案】25°【解析】解：如图，连接BC，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=40°，∴∠ABC=50°，∵=，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=25°，∴∠CAD=∠CBD=25°．故答案为：25°．先求出∠ABC=50°，进而判断出∠ABD=∠CBD=25°，最后用同弧所对的圆周角相等即可得出结论．本题考查的是圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，解本题的关键是作出辅助线．14.【答案】①③④⑤【解析】解：①∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，故①正确；②∵∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角，∴∠AOC≠∠AEC，故②不正确；③∵OC∥BD，∴∠OCB=∠DBC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OBC=∠DBC，∴BC平分∠ABD，故③正确；④∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，∵OC∥BD，∴∠AFO=90°，∵点O为圆心，∴AF=DF，故④正确；⑤由④有，AF=DF，∵点O为AB中点，∴OF是△ABD的中位线，∴BD=2OF，故⑤正确；⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，故⑥不正确；综上可知：其中一定成立的有①③④⑤，故答案为：①③④⑤．①由直径所对圆周角是直角，②由于∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角，③由平行线得到∠OCB=∠DBC，再由同圆的半径相等得到结论判断出∠OBC=∠DBC；④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；⑤用三角形的中位线得到结论；⑥得不到△CEF和△BED中对应相等的边，所以不一定全等．本题主要考查圆周角定理及圆的有关性质、平行线的性质，掌握圆中有关的线段、角相等的定理是解题的关键，特别注意垂径定理的应用．15.【答案】解：（1）如图；（2）如图；旋转过程中，点B 到B 2所经过的路径长为以OB 为半径，90°为圆心角的弧长，BB ⏜2=14×2π×3=32π． 【解析】（1）先画出三角形各顶点平移后的位置，再用线段依次连接各顶点，得到平移后的三角形；（2）先画出三角形各顶点绕着点O 逆时针旋转90°后的位置，再用线段依次连接各顶点，得到旋转后的三角形；最后根据弧长计算公式进行计算，求得旋转过程中点B 到B 2所经过的路径长．本题主要考查了图形基本变换中的平移和旋转以及弧长的计算，解决问题的关键是先找准对应点，并依次连接对应点．需要注意的是，平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动；旋转也不改变图形的大小和形状，但对应点到旋转中心的距离相等．16.【答案】解：（1）∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠BAD =∠BCD =45°．由旋转的性质可知∠BAD =∠BCE =45°．∴∠DCE =∠BCE +∠BCA =45°+45°=90°．（2）∵BA =BC ，∠ABC =90°，∴AC =√AB 2+BC 2=4√2．∵CD =3AD ，∴AD =√2，DC =3√2．由旋转的性质可知：AD =EC =√2．∴DE =√CE 2+DC 2=2√5．【解析】（1）首先由等腰直角三角形的性质求得∠BAD 、∠BCD 的度数，然后由旋转的性质可求得∠BCE 的度数，故此可求得∠DCE 的度数；（2）由（1）可知△DCE 是直角三角形，先由勾股定理求得AC 的长，然后依据比例关系可得到CE 和DC 的长，最后依据勾股定理求解即可．本题主要考查的是旋转的性质、勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质，求得∠DCE=90°是解题的关键． 17.【答案】解：过点O 作OC ⊥AB 于D ，交⊙O 于C ，连接OB ，∵OC ⊥AB ，∴BD =12AB =12×16=8cm ， 由题意可知，CD =4cm ，∴设半径为xcm ，则OD =（x -4）cm ，在Rt △BOD 中，由勾股定理得：OD 2+BD 2=OB 2，即（x -4）2+82=x 2，解得：x =10，答：这个圆形截面的半径为10cm ．【解析】 先过点O 作OC ⊥AB 于D ，交⊙O 于C ，连接OB ，得出BD=AB ，再设半径为xcm ，则OD=（x-4）cm ，根据OD 2+BD 2=OB 2，得出（x-4）2+82=x 2，再求出x 的值即可．此题考查了垂径定理的应用，关键是做出辅助线，构造直角三角形，用到的知识点是垂径定理、勾股定理，要能把实际问题转化成数学问题．18.【答案】（1）证明：∵∠AEC =∠DEB ，∠ACE =∠DBE ，∴△AEC ∽△DEB ．（2）解：设⊙O 的半径为r ，则CE =2r -2．∵CD ⊥AB ，AB =8，∴AE =BE =12AB =4．∵△AEC ∽△DEB ，∴AE DE =CE BE ，即42=2r−24， 解得：r =5．【解析】（1）由同弧的圆周角相等即可得出∠ACE=∠DBE，结合∠AEC=∠DEB，即可证出△AEC∽△DEB；（2）设⊙O的半径为r，则CE=2r-2，根据垂径定理以及三角形相似的性质即可得出关于r的一元一次方程，解方程即可得出r值，此题得解．本题考查了垂径定理以及相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质找出方程是解题的关键．19.【答案】解：（1）解法一：连接OB，OC，过O作OE⊥BC于点E．∵OE⊥BC，BC=2√3，∴BE=EC=√3．在Rt△OBE中，OB=2，∵sin∠BOE=BEOB =√32，∴∠BOE=60°，∴∠BOC=120°，∴∠BAC=12∠BOC=60°．解法二：连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD．∵BD是直径，∴BD=4，∠DCB=90°．在Rt△DBC中，sin∠BDC=BCBD =2√34=√32，∴∠BDC=60°，∴∠BAC=∠BDC=60°．（2）解：因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A落在优弧BC的中点处．过O作OE⊥BC于E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点．连接AB，AC，则AB=AC，∠BAE=12∠BAC=30°．在Rt△ABE中，∵BE=√3，∠BAE=30°，∴AE=BEtan30∘=√3√33=3，∴S△ABC=12×2√3×3=3√3．答：△ABC面积的最大值是3√3．【解析】（1）连接OB、OC，作OE⊥BC于点E，由垂径定理可得出BE=EC=，在Rt△OBE 中利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出∠BOE的度数，再由圆周角定理即可求解；（2）因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A应落在优弧BC的中点处，过OE⊥BC于点E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点，连接AB，AC，则AB=AC，由圆周角定理可求出∠BAE 的度数，在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出AE的长，由三角形的面积公式即可解答．本题考查的是垂径定理、圆周角定理及解直角三角形，能根据题意作出辅助线是解答此题的关键．20.【答案】解：（1）作AM⊥BC，∵AB=AC，AM⊥BC，BC=2BM，∴CM=12BC=1，∵cos B=BMAB =√10 10，在Rt△AMB中，BM=1，∴AB=BMcosB=√10；（2）连接DC，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠ACE+∠ACB=180°，∴∠ADC=∠ACE，∵∠CAE公共角，∴△EAC∽△CAD，∴AC AD =AE AC，∴AD•AE=AC2=10；（3）在BD上取一点N，使得BN=CD，在△ABN和△ACD中{AB=AC ∠3=∠1 BN=CD，∴△ABN≌△ACD（SAS），∴AN=AD，∵AN=AD，AH⊥BD，∴NH=HD，∵BN=CD，NH=HD，∴BN+NH=CD+HD=BH．【解析】（1）作AM垂直于BC，由AB=AC，利用三线合一得到CM等于BC的一半，求出CM的长，再由cosB的值，利用锐角三角函数定义求出AB的长即可；（2）连接DC，由等边对等角得到一对角相等，再由圆内接四边形的性质得到一对角相等，根据一对公共角，得到三角形EAC与三角形CAD相似，由相似得比例求出所求即可；（3）在BD上取一点N，使得BN=CD，利用SAS得到三角形ACD与三角形ABN 全等，由全等三角形对应边相等及等量代换即可得证．此题属于圆的综合题，涉及的知识有：圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．21.【答案】（1）证明：∵∠D=∠1，∠1=∠BCD，∴∠D=∠BCD，∴CB∥PD；（2）解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CD⊥AB，∴B^D=B^C，∴∠BPD=∠CAB，∴sin∠CAB=sin∠BPD=35，即BCAB =3 5，∵BC=3，∴AB=5，即⊙O的直径是5．【解析】（1）根据圆周角定理和已知求出∠D=∠BCD，根据平行线的判定推出即可；（2）根据垂径定理求出弧BC=弧BD，推出∠A=∠P，解直角三角形求出即可．本题考查了圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，平行线的判定的应用，主要考查学生的推理能力．22.【答案】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠DAC，∵∠E=∠BAD，∴∠E=∠DAC，∵BE∥AD，∴∠E=∠EDA，∴∠EDA=∠DAC，∴ED∥AC；（2）解：∵BE∥AD，∴∠EBD=∠ADC，∵∠E=∠DAC，∴△EBD∽△ADC，且相似比k=BDDC=2，∴S1S2=k2=4，即s1=4s2，∵s12-16S2+4=0，∴16S22-16S2+4=0，即(4S2−2)2=0，∴S2=12，∵S△ABCS2=BCCD=BD+CDCD=3CDCD=3，∴S△ABC=32．【解析】（1）由AD是△ABC的角平分线，得到∠BAD=∠DAC，由于∠E=∠BAD，等量代换得到∠E=∠DAC，根据平行线的性质和判定即可得到结果；（2）由BE∥AD，得到∠EBD=∠ADC，由于∠E=∠DAC，得到△EBD∽△ADC，根据相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得到结果．本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，记住相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．23.【答案】解：（1）证明：∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，∵△AEF为等边三角形，∴∠CAB=∠EFA=60°∴∠B=30°，∵∠EFA=∠B+∠FDB，∴∠B=∠FDB=30°，∴△DFB是等腰三角形；（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，∵△AEF是等边三角形，∴FM=EM=a，AM=√3a，在Rt△DAM中，AD=√7AF=2√7a，AM=√3a，∴DM=5a，∴DF=BF=6a，∴AB=AF+BF=8a，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a，∵AE=EF=AF=2a，∴CE=AC-AE=2a，∴∠ECF=∠EFC，∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°，∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，∴CF⊥AB．【解析】（1）由AB是⊙O直径，得到∠ACB=90°，由于△AEF为等边三角形，得到∠CAB=∠EFA=60°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，根据等边三角形的性质得到FM=EM=a，AM=，在根据已知条件得到AB=AF+BF=8a，根据直角三角形的性质得到AE=EF=AF=CE=2a，推出∠ECF=∠EFC，根据三角形的内角和即可得到结论．本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．感谢您的阅读，祝您生活愉快。