编号55山西大学附中高三年级数列递推公式
山西大学附中高三年级(上)数学导学设计100 计数原理
山西大学附中高三年级（上）数学导学设计 编号100课题：分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识梳理1、分类计数原理：2、分步计数原理：巩固练习1．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A ．56B ．65 C.5×6×5×4×3×22D ．6×5×4×3×2 2．将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有( )A ．34种B ．43种C ．18种D ．36种3．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A ．20B ．15C ．12D ．104．有4名学生，分别插入A 、B 两班学习，若每班最多只能接收3名学生，且甲不去A 班，则不同的分配方法种数为( )A ．7B ．9C ．11D ．125．如图所示，用四种不同颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有( )A ．288种B ．264种C ．240种D ．168种6．设集合I ＝{1,2,3,4,5}，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有( )A ．50种B ．49种C ．48种D ．47种7．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)8．一排共9个座位，甲、乙、丙三人按如下方式入座：每人左右两旁都有空座位，且甲必须在乙、丙两人之间，则不同的坐法共有__________种(用数字作答)．9．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________．(用数字作答)10．一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有多少种？11．用n 种不同颜色为广告牌着色(如图1)，要求在①、②、③、④4个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色．(1)当n＝6时，为图1着色共有多少种不同的着色方法？(2)若为图2着色时共有120种不同的着色方法，求n.12．一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．(1)从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？(2)从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？(3)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？。
高中数学必修5数列的递推公式
典型例题解析
例题1
已知等差数列{an}中， a1=2，d=3，求a10。
解析
根据等差数列的通项公 式an=a1+(n-1)d，代 入n=10，a1=2，d=3 ，可得a10=2+(101)×3=29。
例题2
已知等差数列{an}中， a3=7，a7=15，求a5 。
解析
根据等差数列的性质， a5=(a3+a7)/2=(7+15 )/2=11。
递推关系性质
递推关系具有确定性，即对于给 定的初始条件和递推公式，数列 的每一项都是唯一确定的。
递推关系建立
01
等差数列递推关系
等差数列的递推关系为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项 ，d为公差，n为项数。
02
等比数列递推关系
等比数列的递推关系为an=a1×qn-1，其中a1为首项， q为公比，n为项数。
，r是公比。
调和数列
调和数列是每一项都是其前一项 的倒数与1的和的数列。递推公 式为1/a_n = 1/a_(n-1) + 1/b，
其中a_1 = b。
05 递推公式在实际问题中应用
数学问题应用举例
等差数列求和
数列通项公式求解
利用递推公式可以快速求解等差数列 的前n项和，如求1+2+3+...+n的和 。
03
其他类型数列递推关系
对于非等差非等比数列，需要根据具体题目条件建立相 应的递推关系。
初始条件确定
初始条件定义
初始条件是数列中已知的第一项或前 几项，用于启动递推过程。
初始条件确定方法
根据题目给出的条件或已知信息，确 定数列的初始条件。例如，题目中可 能会直接给出首项a1和公差d或公比q 等参数。
山西大学附中高三年级(上)数学导学设计115 概率与统计1答案
概率与统计（一）答案1．解:(Ⅰ)的分布列为:ξ0 1 2 3 4P12120 110 320 15∴01234 1.5.22010205E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=D 2222211131(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)(4 1.5) 2.75.22010205ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= (Ⅱ)由D a D η=ξ2,得a 2×2.75=11,即 2.a =±又,E aE b η=ξ+所以当a =2时,由1=2×1.5+b ,得b =-2; 当a =-2时,由1=-2×1.5+b ,得b =4. ∴2,2a b =⎧⎨=-⎩或2,4a b =-⎧⎨=⎩即为所求.2．解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱， ∴共有238C对相交棱。
∴232128834(0)=6611C P C ξ⨯===。
（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，∴212661(2)=6611P C ξ===，416(1)=1(0)(2)=1=111111P P P ξξξ=-=-=--。
∴随机变量ξ的分布列是：ξ0 12 ()P ξ411 611111∴其数学期望6162()=12=111111E ξ+⨯+⨯。
3．4．解：(Ⅰ)因为小弹子落入第n 层的第m 个通道的次数服从二项分布,第1层 第2层 第3层 第4层入口第4题图则:001111(2,1)()()22P C =, 111211(3,2)()()22P C = 123113(4,2)()228P C == 111(,)2m n n C P n m ---=(Ⅱ)依题:1,2,3ξ=.由(Ⅰ)知,223511205(1)(6,3)(6,4)2()()22328p p p C ξ==+===14511105(2)(6,2)(6,5)2()()223216p p p C ξ==+===00551121(3)(6,1)(6,6)2()()223216p p p C ξ==+===所以ξ的分布列如下表:ξ1 23P2032 1032 232故201022312332323216E ξ=⋅+⋅+⋅= 5．解： (1)记“射手射击1次，击中目标”为事件A ，则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率P 1＝P (AA A )＋P (A AA )＋P (AAA )＝35×35×25＋25×35×35＋35×35×35＝63125.(2)射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率P 2＝C 23×()352×25×35＝162625. (3)由题设，“ξ＝k ”的概率为P (ξ＝k )＝C 2k －1×()352×()25k －3×35＝C 2k －1×()25k －3×()353(k ∈N *且k ≥3)． 所以，ξ的分布列为：ξ 3 4 … k …P 27125 162625 … C 2k －1()25k －3()353… 6．解:(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为3,小红中奖的概率为5,两人中奖与否互不影响,记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A,则A 事件的对立事件为“5=X ”,224(5)3515==⨯=P X ,11()1(5)15∴=-==P A P X ∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115.(Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ,都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X由已知:12~(2,)3X B ,22~(2,)5X B 124()233∴=⨯=E X ,224()255=⨯=E X118(2)2()3∴==E X E X ,2212(3)3()5==E X E X 12(2)(3)>E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.。
编号52山西大学附中高三年级等差数列
山西大学附中高中数学（高三）导学设计 编号52等差数列（二）1.在等差数列{}n a 中，已知前20项之和17020=S ，则691215a a a a +++=（ ）A.34B.51C.68D.702.在等差数列{}n a 中，48741=++a a a ，40852=++a a a ，则=++963a a a （ ）A.30B.32C.34D.363.已知数列{}n a 满足12,011++==+n n n a a a a ，则=13a （ ）A.121B.136C.144D.1694.在等差数列{}n a 中，4,1201-==d a ，若)2(≥≤n a S n n ，则n 的最小值为（ ）A.60B.62C.70D.725.等差数列{}n a 的前m 项的和是30，前2m 项的和是100，则它的前3m 项的和是（ ）A.130B.170C.210D.2606.一个项数为偶数的等差数列，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，若最后一项超过第一项10.5，则该数列的项数为（ ）A.18B.12C.10D.87.等差数列{}n a 中，01≠a ，5104S S = ，若有19a a k =，则k =（ ）A.2B.3C.4D.58.在数列{}n a 中，n a n 563-=，n S 取最大值时，=n9.在数列{}n a 中，已知221+=+n n n a a a 且11=a ，则=n a ． 10.已知正项等差数列{}n a 的前20项和为100，那么156a a ⋅的最大值为 11.等差数列{}n a 满足)1(,0),1(321-==+=x f a a x f a ，若24)(2+-=x x x f ，数列通项公式是12.在数列{}n a 中，)(442*1N n n a a n n ∈-=++，231-=a（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列的前n 项和，求n S 得最小值13.已知等差数列{}n a 中，n n a a >+1，37,16083101=+=a a a a(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项 ,,第n 2项，按原来的顺序组成一个新数列{}n b ，求.21n n b b b S +++=14.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式21222ma nS a n n ≥+对任意的等差数列及任意的正整数n 都成立，求实数m 的最大值.15.已知正项等差数列{}n a 的各项均为正数，n S 为数列的前n 项和，满足()12222+=a a S ，且11=a（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设nS b n n 212+=，求数列{}n b 的最小项.。
高考数学 数列的递推公式 PPT课件
想这个数列的通项公式
20
。
18
16 14
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8 6 4
。 。。
2
O 12 3456 7
已知数列Βιβλιοθήκη 的前5项为5，7，10，14，19
试猜想这个数列的通项公式
解：
一、请回答下列概念：
1. 数列的定义：
按一定次序排列的一列数叫做数列.
2. 数列的通项公式： 如果数列 的第n项 与n之间的关系可以用一个公
式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
3.数列的图像：
4.数列表示形式： 都是一群孤立的点.
列举法、通项公式法、图象法.
二、知识都来源于实践，最后还要应用于生活。用其来解决一些实际问 题．观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型
请同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都 钢管数多1。即:
比上一层
依此类推：
三、递推公式：
如果已知数列 的第1项（或前n项），
且任一项 与它的前一项 （或前n项） 间的关系可以用一个公式来表示，那么 这个公式就叫做这个数列的递推公式。
●递推公式也是给出数列的一种方法。 ●注意定义中的逻辑联结词“且”所给出的含义。
山西大学附中数数列综合57
山西大学附中高中数学（高三）导学设计 编号57数列综合1.设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a -->2.等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）843.已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ） A.2 B.1 1C.2 1D.84.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．5.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且1233,2,S S S 成等差数列，则n a = .6.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{n a 的前10项和为 7.若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于____．8.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知23 3.n n S =+（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .9.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+． ()1求4a 的值； ()2证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式．10.等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．。
山西大学附中数列求和编号56
山西大学附中高中数学（高三）导学设计 编号56数列求和【学习目标】会通过通项公式分析确定求数列和的方法【学习重、难点】错位相加法求和【学习过程】（一）基础梳理：数列求和的方法如下：1.公式法（利用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法）（1） 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2） 等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 正整数乘方和公式： （1）)1(211+==∑=n n k S n k n （2）)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n （3）213)]1(21[+==∑=n n k S n k n 2. 裂项求和法（1）111)1(1+-=+=n n n n a n （2）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （3）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n （4=-3．错位相减法 4.分组求和法 5.倒序相加法（二）巩固提高：1． 求和：nx x x x ++++ 32 2. 已知3log 1log 23-=x ，求∑=n k k x 13.已知等差数列{}n a 中，29,239263-=+-=+a a a a（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n b a +是首项为1，公比为c 的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S .4.}{491,12n n S a n S a ==-表示等差数列的前项的和，且S（1）求数列的通项n a 及n S（2）求和12n n T a a a =++5.设n S 为数列{}n a 的前n 项和,1(1),,2n n n n S a n N *=--∈则 (1)3a =_____; (2)12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________.6.已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前四项和为7314,,,14a a a S =成等比数列，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n T 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n a a 的前n 项和，若1+≤n n a T λ对一切*N n ∈恒成立，求实数λ的最小值7.正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足:222(1)()0n n s n n s n n -+--+=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令22)2(1n n a n n b ++=,数列{}n b 的前n 项和为n T .证明:对于任意的*n N ∈,都有564n T <8.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且S n =22n n +，数列{}n b 满足*2,3log 4N n b a n n ∈+= （1）求两数列的通项公式；（2）求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n T9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424S S =,221n n a a =+.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列{}n b 前n 项和为n T ,且 12n n n a T λ++=(λ为常数).令2n n c b =*()n N ∈.求数列{}n c 的前n 项和n R .10.在直角坐标平面上有点 ),,(,),,(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，对一切正整数n ，点n P 在函数4133+=x y 的图像上，且n P 的横坐标构成以25-为首项，-1为公差的等差数列 （1）求点n P 的坐标； （2）对于二次函数列,,,,,,321 n C C C C 其中二次函数n C 的顶点为n P ，且过点)1,0(2+n D n ，记与二次函数n C 图像相切于点n D 的直线斜率为n k ，令4-=n n k a ，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2的前n 项n T .。
2019-2020学年山西大学附中高三(上)第二次诊断数学试卷(文科)
)
A． {0}
B． {1}
C．{0 ，1}
D．{1 ，0，1， 2}
2．（2019•衡水二模）复数
z1
1 i
， z2
i ，其中 i 为虚数单位，则
z1 z2
的虚部为 (
)
A． 1
B．1
C． i
D． i
3．（5
分）（2019•成都模拟）已知向量
a
(
3,1) ， b (3,
月份该商场空调的销售量； （2）若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对 7 月到 12 月有购买空调意愿的顾客进行 问卷调查．假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的 500 名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：
有购买意愿对应的月份 7
8
9 10 11 12
频数
60 80 120 130 80 30
C．命题“ x R ，使得 x2 2x 3 0 ”的否定是：“ x R ， x2 2x 3 0 ”
D．命题“若 x0 为 y f (x) 的极值点，则 f ’ (x) 0 ”的逆命题是真命题
9．（5 分）（2019•陕西模拟）在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，已知 AB BC ， AB BC 2 ，
i 1 n
， xi yi 21.2 ．
xi2 nx 2
i 1
i 1
21．（12 分）（2019•6 月份模拟）己知函数 f (x) (x a)lnx(a R) ，它的导函数为 f (x) ． （1）当 a 1 时，求 f (x) 的零点； （2）若函数 f (x) 存在极小值点，求 a 的取值范围．
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山西大学附中高中数学（高三）导学设计 编号55
数列通项公式的求法
【学习目标】会求数列通项公式
【学习重、难点】会用待定系数法构造特殊数列求通项公式
【学习过程】
一．)()(1n g a n f a n n +=+型
（1）)(,1)(1n g a a n f n n +==+ 类比等差数列（叠加法）
1.,2,111n a a a n n +==+求n a .
2.,2,111n n n a a a +==+求n a .
3.,141,21211-+==
+n a a a n n 求n a . 4.,2)1(,211++==+n n a n na a 求n a .
（2）n n a n f a n g )(,
0)(1==+ 类比等比数列 （叠乘法） 1. ,2
313,311n n a n n a a +-=
=+求n a . 2. ,2,311n n n a a a ==+求n a .
（3）q pa a q
n g p n f n n +===+1)(,)(类比等比数列（构造新等比数列—待定系数法） 1.,523,21711+=-
=+n n a a a 求n a . 2.23,111+==+n n a a a ，求n a .
（4）)()
0()(1n g pa a p p n f n n +=≠=+类比等比数列（构造新等比数列—待定系数法）
1.,322,211-+==+n a a a n n 求n a .
2.,)21(31,65111+++==n n n a a a 求n a .
二.1()(1==+p a n f a p n n 时用叠乘法）型（对数法） 1.n n a a a 10,1011==+，求n a . 2.),1,0(,1,1211≠>⋅==+a a a a a a n n 求n a .
3.),4(2
1,23,011n n n n a a a a a -==
>+ 求n a .
三.)
()()(1n h a n g a n f a n n n +=+ 型 （取倒数法） 1.,13,111+=
=+n n n a a a a 求n a . 2. ,3,111+==+n n n a a a a 求n a .
3.a a a a (,121+=为非零常数2111),--+=n n n a a a ，求n a .
4.,1
23,23111-+==
--n a na a a n n n 求n a .
四.n n n pq a a =+1 型（取对数转化为)(1n f pa a n n +=+）
1、已知,3,111n n n a a a ==+ 求n a .
五.n n n qa pa a +=++12 型（构造新等比数列—待定系数法）
1.,,11221n n n a a a a a +===++ 求n a . 2、
,23,2,11221n n n a a a a a -===++ 求n a .
六.0),(=n n S a F 型（利用前n 项和与项的关系） 1.,23n n a S += 求n a . 2.,)12(,311n n a n n S a -== 求n a .
3.,,121n n a n S a == 求n a .
4.,)2(8
12+=n n a S 求n a .
5.,2,311-==n n n S S a a 求n a .
6.),2(1
22,121≥-==n S S a a n n n 求n a .
7.,2,111n n S n n a a +=
=+ 求n a .。