九年级数学上册第21章 二次函数y=ax2+bx+c的图象第2课时作业课件新版沪科版
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人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》(第2课时)课件
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y ＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式．
解：由题意，得aa＋－bb＋＋cc＝＝06，，解得ab＝＝2－，3，
c＝1，
c＝1，
∴二次函数的解析式为y＝2x2－3x＋1
知识点2：利用“顶点式”求二次函数的解析式 4．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式 为( D ) A．y＝2(x＋1)2＋8
B．y＝18(x＋1)2－8
C．y＝29(x－1)2＋8 D．y＝2(x－1)2－8
5．已知抛物线的顶点坐标为(4，－1)，与y轴交于点(0，3)，求 这条抛物线的解析式．
解：由题意，设二次函数的解析式为y＝a(x－4)2－1，把(0，3)代入 得3＝a(0－4)2－1，解得a＝14，∴y＝14(x－4)2－1 知识点3：利用“交点式”求二次函数的解析式 6．如图，抛物线的函数表达式是( D )
A．y＝12x2－x＋4 B．y＝－12x2－x＋4 C．y＝12x2＋x＋4 D．y＝－12x2＋x＋4
7．已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1， 0)和(2，0)，与y轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析 式．
解：由题意，设二次函数解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，把(0，－2) 代入得－2＝－2a，∴a＝1，∴y＝(x＋1)(x－2)，即y＝x2－x－2
8．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能 是( D )
A．y＝x2－x－2 B．y＝－12x2－12x＋2 C．y＝－12x2－12x＋1 D．y＝－x2＋x＋2
9．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c
人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2的图象与性质》二次函数PPT精品课件
课堂检测
巩固练习
对应训练
第二十二章 二次函数
《超越训练》 P34：例2+达标训练
课堂检测
基础巩固题
第二十二章 二次函数
1.函数y=2x2的图象的开口向上 , 对称轴y轴
是 (0,0) ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 减小 ,
,顶点 y
在对称轴的右侧, y随x的增大而 增大 .
O
x
2.函数y=-3x2的图象的开口 向下 ,对称 y轴
2
口大小与a的大小有什么关系？
的图象开
当a<0时，a越小（即a的绝对 值越大），开口越小.
－4 －2 －2
24
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
知识探究 归纳
y＝ax2 图象
位置开 口方向
对称性 顶点最值
增减性
第二十二章 二次函数
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
y y=x2
o
x
知识探究
第二十二章 二次函数
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交
流.
1.y＝-x2的图象是一条 抛物线;
y
o
x
2.图象开口向下;
3.图象关于y轴对称;
画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
-3
-6 -9
最新人教版九年级数学上册《第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式》精品教学课件
状元成才路
4.已知函数图象过已知三点，求出函数的解析式： (1) (1, 1),(0, 2),(1,1); (2) (1,0),(3,0),(1, 5).
解：（1）选用一般式求解析式： y 2x2 x 2
（2）选用交点式求解析式：
y 5 x 12 5
4
状元成才路
根据已知条件选设函数解析式： 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择 适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况： ①已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； ②已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值，一般选用顶 点式； ③已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式； ④已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式（可求出对 称轴）.
a-b+c=10 由已知得： a+b+c=4
4a+2b+c=7
第一步:设出解析式的形式； 第二步:代入已知点的坐标； 第三步：解方程组。
∴解方程组得：a=2, b= -3, c=5 因此，所求二次函数是：y=2x2-3x+5.
状元成才路
任意两点的连 线不与y轴平行
归纳
求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定 系数a，b，c的值。
状元成才路
已知抛物线顶点为(1,-4)，且又过点(2,-3)，求其解析式. 解：∵抛物线顶点为(1,-4)
∴设其解析式为y=a(x-1)2-4， 又抛物线过点(2,-3)， 则-3=a(2-1)2-4，则a=1. ∴其解析式为y=(x-1)2-4＝x2-2x-3.
状元成才路
归纳
已知顶点坐标和一点，求二次函数解析式的一般 步骤: 第一步：设解析式为y=a(x-h)2+k. 第二步：将已知点坐标代入求a值得出解析式.
九年级数学上册22、1二次函数的图象和性质4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第2课时习题课件
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上， 并写出平移后抛物线的解析式.
(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位长 度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线 的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为 (0，0)，落在直线y＝－x上．
考查角度二 已知面积求抛物线上点的坐标 16.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A(2，0). (1)求此抛物线的解析式；
考查角度一 抛物线的平移 15.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过 点C(0，－3). (1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3)． ∵抛物线过点C(0，－3)，∴－3＝a×(－1)×(－3)， 解得a＝－1，∴y＝－(x－1)(x－3)＝－x2＋4x－3. ∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴顶点坐标为 (2，1)．
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
知识点一 利用“一般式”求二次函数的解析式
1.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)和(1，－2)，则这个函
数的解析式为( ) B
A.y＝x2－x＋2
3
6.如图所示的抛物线的解析式为__y_＝__2_x_2_－__4_x_＋__2____.
7.已知二次函数当x＝－1时，有最小值－4，且当x＝0时，y＝－3，则二次 函数的解析式为________________.
y＝(x＋1)2－4
知识点三 利用“交点式”求二次函数的解析式
2020年新人教版初三数学上册《22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质(1)》课件
y=ax2+bx+c a( x b )2 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c a( x b )2 4ac b2
2a
4a
b 4ac b2
显然，二次函数y a(x
b
)2
4ac
b2
的顶点坐标为
2a
,
4a
。
2a
4a
x b
二次函数的
对称轴为
2a
.
一般表达式
二次函数
的顶点式
因此，抛物线的对称轴是
1 [(x 6)2 6] 2
1 (x 6)2 3. 2
y 1 x2 6x 21 2
(1)“提”：提出二次项系数；
配
(2)“配”：括号内配成完全平方；
方
(3)“化”：化成顶点式.
y 1 (x 6)2 3 2
【提示】配方后的表达式通常称 为配方式或顶点式.
【思考2】你能说出
y 1 (x 6)2 3 的对称轴及顶点坐标吗？
例1 画出函数
y 1 x2 x 5
2
2
的图象，并说明这个函
数具有哪些性质.
解:
函数
y
1 2
x2
x
5 2
通过配方可得
y 1 (x 1)2 2 2
，
先列表：
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ··· y ··· -6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 ···
然后描点、连线，得到图象如下图：
解析 根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，
根据对称轴和图象确定y＞0或y＜0时，x的范围，确定代数式的符号． ①∵开口向下，∴a＜0，A错误；②对称轴在y轴的右侧和a＜0，可知b＞0 ，B正确；③抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，C错误；④因为a<0，c>0， 所以ac<0，D错误．
人教版九年级数学上册 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c=0的图象和性质(共22张PPT)
故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1) 即：y=－x2+1
归纳总结
交点法求二次函数解析式的方法
这种知道抛物线x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入坐标代入，得到关于a的一元一 次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
求出这个二次函数的解析式.
解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,
把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入
y=ax2+bx+c得
9a-3b+c=0， a-b+c=0， 解得 c=-3，
a=-1， b=-4， c=-3.
∴所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3.
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.
C．S≤2 D．S＜﹣3
11．二次函数在 x= 3 时，有最小值 1 ，且函数的图象经过点（0，2），则此函数的解析式
2
4
为_______．
12．已知 A3, y1 ， B1, y2 两点均在抛物线 y ax2 bx c(a 0) 上点C m, y3 是该
抛物线的顶点，若 y1 y2 y3 ，则 m 的取值范围为___________．
是( )
A． y 1 x 22 3 B． y 1 x 22 3 C． y 1 x 22 3
2
2
2
D． y 1 x 22 3
● 10．已2 知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经
过第一象限，若S＝a+b﹣c，则S的取值范围是（ ）
归纳总结
交点法求二次函数解析式的方法
这种知道抛物线x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入坐标代入，得到关于a的一元一 次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
求出这个二次函数的解析式.
解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,
把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入
y=ax2+bx+c得
9a-3b+c=0， a-b+c=0， 解得 c=-3，
a=-1， b=-4， c=-3.
∴所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3.
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.
C．S≤2 D．S＜﹣3
11．二次函数在 x= 3 时，有最小值 1 ，且函数的图象经过点（0，2），则此函数的解析式
2
4
为_______．
12．已知 A3, y1 ， B1, y2 两点均在抛物线 y ax2 bx c(a 0) 上点C m, y3 是该
抛物线的顶点，若 y1 y2 y3 ，则 m 的取值范围为___________．
是( )
A． y 1 x 22 3 B． y 1 x 22 3 C． y 1 x 22 3
2
2
2
D． y 1 x 22 3
● 10．已2 知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经
过第一象限，若S＝a+b﹣c，则S的取值范围是（ ）
人教版九年级数学上册22.2：二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质课件 (共46张PPT)
例1：指出抛物线:y x2 5x 4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口 方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点时），这样就可以画出它的大致图象。
方法归纳
② c=0 ＜＝＞图象过原点；
③ c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。
⑷顶点坐标是（ b ， 4ac b2 ）。
2a
4a
（5）二次函数有最大或最小值由a决定。
当x=－ —2ba 时,y有最大(最小)
值 y= 4ac－b2
______________________
4a
例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如 下图所示，x= 1 为该图象的对称轴，根
的平方
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
a x
b
2
4ac
b2
.
化简:去掉中括号
2a 4a
函数y=ax²+bx+c的对称轴、 顶点坐标是什么？
y ax2 bx c的对称轴是:x b 2a
顶点坐标是:( b , 4ac b2 ) 2a 4a
1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶 点坐标：
D. 4ac-b2 >0-1 o 1 x 4a
5.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向
下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ B ）
A.b=2 c= 6
B.b=-6 , c=6
C.b=-8 c= 6
D.b=-8 , c=18
沪科版九年级上册数学精品教学课件 第21章二次函数与一元二次方程 第2课时 二次函数与一元二次不等式
∴ 点 B 的横坐标为 -6.
B
根据图象可以看出，
kx + 1＞ax2 + bx - 2 的解集为
-6＜x＜1.
y
y2
OA x
y1
课堂小结
b2-4ac 的符号 二次函数
b2-4ac＞0
y
y = ax2+bx+c (a＞0) 的图象
O
x1
x2 x
一元二次方程
ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) 的根
y
02 x
0
x
y=-x2+x-2
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交点的坐标 与一元二次不等式的关系
二次函数 y = ax2+bx+c 的 图象与 x 轴交点
a＞0 时的解集
a＜0 时的解集
有两个交点 (x1,0),
有(x2一,0)个(x交1＜点x2) (x0，0)
没有交点
不等式 ax2 + bx + c < 2 的解集是__−_2_<__x__<_4___.
问题2：如果不等式 ax2 + bx + c＞0 (a ≠ 0) 的解集是 x ≠ 2
的一切实数，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有
__1__ 个交点，坐标是 (2 ，0) . 方程 ax2 + bx + c = 0 的根
0＜x＜3
ax2 bx＜kx
由图可知，不等式
ax2 bx＞kx 的解集为 x＜0或 x＞3.
方法归纳
不等式 ax2 bx c＞mx n 的解集是二次函数
沪科9年级数学上册第21章 二次函数与反比例函数2 二次函数 y=ax 2 +bx+c的图象和性质
a(x＋h)2＋k之间的关系 二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象特征与 a，
b， c 的符号关系
学习目标
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 知1－讲
1. 二次函数y＝ax2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象的 关系 它们的形状(开口大小、方向)相同，只是上、下位 置不同，二次函数y＝ax2＋k的图象可由二次函数y＝ax2 的图象上下平移|k|个单位得到.
解题秘方：紧扣抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2 间的关系及图象的平移规律解答.
知1－练
解：列表如下：
x
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝－x2＋1 … －8 －3 0 1 0 －3 －8 …
y＝－x2－1 … －10 －5 －2 －1 －2 －5 －10 …
描点、连线，即可得这两个函 数的图象，如图21.2-8 所示.
增减性
大而减小；当x>－
b 2a
时，大而增大；当x>－
b 2a
时，
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
续表 最值
当x＝－2ba时， y最小值＝4ac4－a b2
知5－讲
当x＝－2ba时， y最大值＝4ac4－a b2
特别解读 抛物线的对称性
知5－讲
(1)如图，若抛物线 上 x=m 和 x=n 对应的
感悟新知
知1－练
1-1. [ 月考·安庆迎江区 ] 二次函数 y=－x2－1的图象是一条 抛物线， 下列关于该抛物线的说法正确的是( B ) A. 开口向上 B. 当 x=0 时，函数的最大值是 －1 C. 对称轴是直线 x=1 D. 抛物线与x轴有两个交点
b， c 的符号关系
学习目标
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 知1－讲
1. 二次函数y＝ax2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象的 关系 它们的形状(开口大小、方向)相同，只是上、下位 置不同，二次函数y＝ax2＋k的图象可由二次函数y＝ax2 的图象上下平移|k|个单位得到.
解题秘方：紧扣抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2 间的关系及图象的平移规律解答.
知1－练
解：列表如下：
x
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝－x2＋1 … －8 －3 0 1 0 －3 －8 …
y＝－x2－1 … －10 －5 －2 －1 －2 －5 －10 …
描点、连线，即可得这两个函 数的图象，如图21.2-8 所示.
增减性
大而减小；当x>－
b 2a
时，大而增大；当x>－
b 2a
时，
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
续表 最值
当x＝－2ba时， y最小值＝4ac4－a b2
知5－讲
当x＝－2ba时， y最大值＝4ac4－a b2
特别解读 抛物线的对称性
知5－讲
(1)如图，若抛物线 上 x=m 和 x=n 对应的
感悟新知
知1－练
1-1. [ 月考·安庆迎江区 ] 二次函数 y=－x2－1的图象是一条 抛物线， 下列关于该抛物线的说法正确的是( B ) A. 开口向上 B. 当 x=0 时，函数的最大值是 －1 C. 对称轴是直线 x=1 D. 抛物线与x轴有两个交点
九年级数学上册第21章第4课时二次函数y=ax^2 bx c的图象和性质习题课件新版沪科版ppt
1 2
,y2),(3 1
2
,y3),则y1,y2,y3的大小关系为
y1＜y2＜y3 ．
9.已知二次函数y＝－x2＋2x＋3. (1)求抛物线的顶点及与x轴交点的坐标； 解：(1)它与x轴的交点为(－1,0),(3,0),顶点为(1,4)．
(2)x取什么值时,y的值随x值的增大而减小？ (2)x＞1时,y的值随x值的增大而减小．
知识点四 二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝ax2的关系
10.(2018·广西)将抛物线y＝1 x2－6x＋21向左平移2个单位长度后,得到新抛 2
物线的表达式为( D )
A. y＝12 (x－8)2＋5 B. y＝1 (x－4)2＋5
2
C. y＝1(x－8)2＋2
2
D. y＝1(x－4)2＋3
2
A.图象与y轴的交点坐标为(0，1)
B.图象的对称轴在y轴的右侧
C.当x＜0时,y的值随x值的增大而减小 D. y的最小值为－3
8.(1)如图,抛物线的顶点是P(1,3),则函数y随自变量x的增大
而减小的x的取值范围是 x＞1 ；
(2)小颖在二次函数y＝2x2＋4x＋5的图象上找到三点
(－1,y1),(
解：(2)△ABM是直角三角形,且∠BAM＝90°.理由如下：作BC⊥x轴 于点C.∵点A的坐标为(－1,0),点B的坐标为(2,3),∴AC＝BC＝3, ∴∠BAC＝45°.∵点M是抛物线y＝x2－1的顶点,∴点M的坐标为(0, －1),∴OA＝OM＝1.∵∠AOM＝90°,∴∠MAC＝45°,∴∠BAM＝ ∠BAC＋∠MAC＝90°,∴△ABM是直角三角形．
11.(2018·德州)如图,函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a(a是常数,且a≠0)在同 一平面直角坐标系的图象可能是( B )