全等三角形经典模型总结教学提纲
等三角形经典模型
结
一）角平分线的性质模型
G作GE⊥射线AC
、例题
、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那
D到直线AB的距离是 cm.
、如图，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC.
、模型巩固
、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：
A＋∠C＝180°.
、例题
ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF∥射线OB
1、如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD
F .
1()
BEACAB.
2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB＝
，作CM⊥AD交AD的延长线于M. 求证：1()
AMABAC.
ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△
、例题
、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于
，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB＋BP＝BQ＋AQ .
、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试
PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由 .
、模型巩固
、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重
.
AB－AC＞PB－PC .
、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，
AD＋BD＝BC .
、如图，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，
AC＋CD＝AB .
1）将△ABD逆时针旋转90°，得△ACM ≌ △ABD，从而推出△ADM为等
.
2）辅助线作法：过点C作MC⊥BC，使CM＝BD，连结AM.
AD.
1）使BF＝AE（或AF＝CE），导出△BDF ≌ △ADE.
2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，导出△BDF ≌ △ADE.
、例题
、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在斜边BC上滑
MAN＝45°，试探究 BM、MN、CN之间的数量关系.
、两个全等的含有30°，60°角的直角三角板ADE和ABC，按如图所示放
E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC.
EMC的形状，并证明你的结论.
、模型巩固
、已知，如图所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC中点，
M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN＝CM.
1）试判断△OMN的形状，并证明你的结论.
2）当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变
、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF为多少度.
1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）；
2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.
、例题应用
、如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P为三角形ABC
PB＝PC，AP＝AC，求证：∠BCP＝15° .
、例题
ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC中点，AF
BD于点E，交BC于F，连接DF .
ADB＝∠CDF .
1、已知：如图所示，在
△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM于
，交BC于F，连接NF .
1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN .
2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点
，
1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF .
、△ABE和△ACF均为等边三角形
1）△ABF≌△AEC .
（2）∠BOE＝∠BAE＝60° .
（3）OA平分∠EOF .（四点共圆证）
ABC和△CDE均为等边三角形
1）AD＝BE；
（2）∠ACB＝∠AOB；
（3）△PCQ为等边三角形；
（4）PQ∥AE；
（5）AP＝BQ；
（6）CO平分∠AOE；（四点共圆证）
（7）OA＝OB＋OC；
（8）OE＝OC＋OD .
（7），（8）需构造等边三角形证明）
如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为
ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接
．
1）求证：△AMB≌△ENB；
2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC的
AMB、∠BMC、∠CMA的度数；
3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，
ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、
，设交点为M，则点M即为△ABC的费尔马点．试说明这种作法的依
、△ABD和△ACE均为等腰直角三角形
1）BE＝CD；（2）BE⊥CD .
、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方
1）BD＝CF；（2）BD⊥CF .
1、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，AS⊥BC交FD于T，
1）T为FD中点；（2）
ADFSSVV .
2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，T为FD中点，TA交BC
S，
AS⊥BC .
、如图，以△ABC的边AB、AC为边构造正多边形时，总有：
2180
1,+=180
且，两边相等 .
1、旋转
CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF
②将△ADN绕点A顺时针旋转90°得△ABF，注意：旋转需证F、B、M
1）MN＝BM＋DN；
（2）=2
CABV；
（3）AM、AN分别平分∠BMN、∠MND .
、翻折（对称）
AP⊥MN交MN于点P
②将△ADN、△ABM分别沿AN、AM翻折，但一定要证明M、P、N三点共线 .
、例题
1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN＝
＋DN，
1）∠MAN＝45°；
（2）=2
CABV；
（3）AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM .
ABCD中，已知∠MAN＝45°，若M、N分别在边CB、DC
⊥MN，垂足为H，
1）试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系；
2）求证：AB＝AH
2、在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，若E、F分别为边
、CD上的点，且满足EF＝BE＋DF，求证：1
EAFBAD.
ABCD中，∠B＝90°，∠D＝90°，AB＝AD，若E、F分别
BC、CD上的点，且1
EAFBAD，求证：EF＝BE＋DF .