概率论期末考试试题A卷及答案

07级《概率论》期末考试试题A 卷及答案
一、 填空题（满分15分）：
1.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则“第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为
10
1。

解答：10
1
!5!321=⨯=
p 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P =⋃==则=)(B A P q r - 。

解答：q r B P B A P B B A P B A P B A P -=-⋃=-⋃=-=)()()])[()()( 3.设随机变量ξ的分布列为 ,...2,1,0,3)(===k a
k X P k
则a =
3
2
. 解答：32233
111310
=⇒=-⋅==
∑
∞
=a a a a k
k
4.设随机变量为ξ与η，已知D ξ=25,D η=36,4.0,=ηξρ, 则D(ξ-η)= 37 . 解答：
37
4.065236252)(),cov()
,cov(2)(,,=⨯⨯⨯-+=-+=-=
-+=-ηξηξρηξηξηξη
ξηξρηξηξηξD D D D D D D D D D
5. 设随机变量ξ服从几何分布,...2,1,)(1
===-k p q
k P k ξ。

则ξ的特征函数
=)(t f ξ 。

()()
.1)(:1
1
1
1
it it k k it it
k k itk it qe
pe qe pe
p q
e e E t
f -====∑∑∞
=--∞
=ξ
ξ解 二、 单项选择题（满分15分）：
1.设.A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示“三个事件至多一个发生”为( ④ ).
① C B A ⋃⋃. ② C B A C B A C B A ++ ③ ABC -Ω. ④ C B A C B A C B A C B A +++
2.下列函数中，( )可以作为连续型随机变量的分布函数.
①.()⎪⎩
⎪⎨⎧≥<=010
x x e x F x
②()⎪⎩
⎪⎨⎧≥<=-010
x x e x G x
③()⎩
⎨⎧≥-<=Φ0100
x e x x x
④()⎩
⎨⎧≥+<=-0100
x e x x H x
3.下面是几个随机变量的概率分布，其中期望不存在的为（② ）。

①n k p p p k n k P k n k ,...,1,0,10,)1()(=<<-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==-ξ .
②,...2,1,3
1
)3)1((==-=k k P k k k
ξ. ③..2,1,0,0,!
)(=>=
=-k e k k P k
λλξλ .
④. ,...2,1,10 ,)1()(1
=<<-==-k p p p k P k ξ
4.设),(ηξ服从二维正态分布);,;,(2
22
121r a a N σσ，0=r 是ηξ,独立的（ ③ ）。

①充分但不必要条件 . ②必要但不充分条件.
③充分且必要条件 . ④.既不充分也不必要条件.
5. 设随机变量21ξξ、为相互独立的随机变量，下面给出的分布中不具有再生性的为（ ③ ）。

① 二项分布 ②. 泊松分布 ③均匀分布. ④ 正态分布
三、（满分20分）
（1）把长度为a 的线段，任意折成三折，求此三线段能构成三角形的概率。

解：设y x 、分别表示其中二条线段的长度，第三条线段的长度为)(y x a +-，则
{}a y x a y a x y x ≤+<≤≤≤≤=Ω0,0,0),(，
又设
A =“三条线段能构成一个三角形”
={}
x y x a y y y x a x y x a y x y x >+-+>+-++->+)(,)(),(),( =()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<<>
+2,2,2,a y a x a y x y x ,
A 的面积为8
)2(212
2a a =
⋅，则 41
2
81)(22
==Ω=a
a
A A P 的面积的面积。

（2）炮战中，在距目标250米，200米，150米处射击的概率分别为、、,而在各处射击时命中目标的概率分别为、、,现在已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。

解：设A 表示“目标被击中”，1B 表示“炮弹距目标250米射出”，2B 表示“炮弹距目标200米射出”，3B 表示“炮弹距目标150米射出”，
23
1
2.02.01.07.005.01.005.01.0)
()()
()()(3
1
111=
⨯+⨯+⨯⨯=
=
∑=i i
i
B A P B P B A P B P A B P = 四、（满分16分）设ηξ,的密度函数为
()其他
1
00
8,<<<⎩⎨
⎧=y x xy
y x p
求：（1）求ηξ,的边际密度函数；（2）ηξ,是否相互独立？为什么？（3）()
y x p ；（4）ηE 。

解：(1)
()
.
100
4)(,
100141
00
8),()(3
2
1
其他
同理其他其他
<<⎩⎨
⎧=<<⎩
⎨⎧-=<<⎪⎩⎪⎨⎧==⎰⎰∞
+∞
-y y y p x x x x ydy
x dy y x p x p x
ηξ
（2）.)()(),(不独立与，故因为ηξηξy p x p y x p = （3）当10<<y 时，
()其它
其它y
x y
x
y x y xy y x p <<⎪⎩⎪⎨⎧=<<⎪⎩⎪
⎨⎧=00
200482
3
(4)5
45
44)(10
51
4=
=
==
⎰⎰
+∞
∞
-y dy y dy y yp E ηη 五、（满分8分）若ξ服从指数分布，其密度为
⎩⎨
⎧≤>=-0
00
)(x x e x p x
λλ
求η=
)(y F η。

解：
2
2
2
2000()
())0
00()0
000
100
0y y x y
y P y F y P y y y p x dx
y y y e dx e y y ηλλξλ-->⎧<=<=⎨
≤⎩⎧>⎪=⎨≤⎪⎩⎧⎧>>-⎪⎪==⎨⎨≤≤⎪⎪⎩⎩
⎰⎰
六、（满分18分）
（1）若随机事件A 与B 互斥，且0)(>B P ，证明：
)
()
(1)(B P A P B A P -
= 证明：由A 与B 互斥，从而0)(=AB P
()1()()()()
()1()()()
P AB P A P B P AB P A P A B P B P B P B --+=
==-
（2）.设{
}k ξ是独立随机变量序列,且 {}
,...2,1,2
1
3==
±=k k P k ξ 证明{
}k ξ服从大数定律. 证明：
{}).
(01
111)(1,,
2
1)(21)(,021)(213
132********
232
2312312
313
1∞→→=⋅⋅≤===⋅-+===-+⋅=∑∑∑===n n n n n k n D n D n k k k E D k k E n k n k k n
k k k k k k ξξξξξξ独立时当 故{
}k ξ满足马尔可夫条件,从而{}k ξ服从大数定律. 七、（满分8分）设随机变量n ξξξ,...,,21相互独立、同分布，且
n i D E i i ,...,2,1,,2=+∞<==σξμξ，
令
1
1n
n k k n ζξ==∑，
求：（1）,n n E D ζζ；（2）i ξ与ζ的相关系数r 。

（3）用特征函数法证明2221
1n P
k k n ξσμ=−−
→+∑ 解：（1）
n
D E 2σζμζ=
=
（2）k
i k i k i =≠⎩⎨
⎧=2
),cov(σ
ξξ
n n n n k k i n
k k i i 2
1
1),cov(1),cov(1),cov(σξξξξζξ===∑∑==
n
n
n
D D r i i 1),cov(2
=
⋅
=
=
σ
σσζ
ξζξ。