传热学-第三章 非稳态导热
传热学-第三章 非稳态热传导
( x, ) x cos(1 ) m ( )
2 1 0
2 1 0
与时间无关
28
考察热量的传递
Q0 cV (t0 t )
Q0 --非稳态导热所能传递的最大热量
第三章
非稳态导热
1
§3-1 非稳态导热的基本概念
1 非稳态导热的定义 . 2 非稳态导热的分类
t f (r , )
周期性非稳态导热 (定义及特点)
瞬态非稳态导热 (定义及特点)
2
着重讨论瞬态非稳态导热
3 温度分布：
t
1
4 3
2
1
t
0
0
3
4 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段)
6
7 毕渥数
本章以第三类边界条件为重点。 (1) 问题的分析 如图所示，存在两个换热环节： a 流体与物体表面的对流换热环节 rh 1 h b 物体内部的导热 (2) 毕渥数的定义：
tf
h
t
tf h
0
r
t
x
tf
h
r h Bi rh 1 h
0
7
x
（微细热电偶、薄膜热电阻）
当 4 时， 1.83% hA 0 Vc
工程上认为=4 Vc / hA时 导热体已达到热平衡状态
第三章 非稳态导热
17
3 瞬态热流量：
Φ ( ) hA(t ( ) t ) hA hA 0 e
hA Vc
W
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
传热学讲义——第三章
第三章 非稳态导热(unsteady state conduction)物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
0≠τ∂∂t，任何非稳态导热过程必然伴随着加热或冷却过程。
根据物体内温度随时间而变化的特征不同，非稳态导热过程可分为两类：（1）周期性导热（periodic unsteady conduction ）：物体的温度按照一定的周期发生变化； 如建筑物的外墙和屋顶温度的变化。
（2）瞬态导热(transient conduction)：物体的温度随时间不断升高或降低，在经历相当长时间后，物体的温度逐渐趋于周围介质的温度，最终达到热平衡。
分析非稳态导热的任务：找出温度分布和热流密度随时间和空间的变化规律。
第一节 非稳态导热的基本概念一、瞬态导热过程采暖房屋外墙墙内温度变化过程。
采暖设备开始供热前：墙内温度场是稳态、不变的。
采暖设备开始供热：室内空气温度很快升高并稳定；墙壁内温度逐渐升高；越靠近内墙升温越快；经历一段时间后墙内温度趋于稳定、新的温度分布形成。
墙外表面与墙内表面热流密度变化过程 采暖设备开始供热前：二者相等、稳定不变。
采暖设备开始供热：刚开始供热时，由于室内空气温度很快升高并稳定，内墙温度的升高相对慢些，内墙表面热流密度最大；随着内墙温度的升高，内墙表面热流密度逐渐减小；随着外墙表面的缓慢升高，外墙表面热流密度逐渐增大；最终二者相等。
上述非稳态导热过程，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）是过程开始的一段时间，特点是：物体中的一部分温度已经发生变化，而另一部分仍维持初始状态时的温度分布（未受到界面温度变化的影响），温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，物体内各处温度随时间的变化率是不一样的，即：在此阶段物体温度分布受t分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段或初始阶段（initialregime）。
（2）第二阶段（右侧面参与换热）当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受t影响，主要取决于边界条件及物性。
非稳态传热_传热学.最全PPT
t
四、边界条件对温度分布的影响 tf
一大平壁置于高温环境中。
h
tf h
问题的分析： 存在两个传热环节：
0
x
1、 流体与物体表面的对流换热
2、 物体内部的导热
r
rh 1 h
rh
r
tf
tw
tm
t
存在3种情况：
Biv
Fov
Biv
h(V
A)
Bi h
Fov (V
A)2
/
a
换热时间 热扰动扩散到(V A)2面积所用的时间
t t
hA
e vc eBivFov
0 t0 t
瞬态热流量：
hA
h A h A0 e vc
0~ 内传给流
体的总热量：
Q
0
d
0
hA
hA0e vc d
一、无限大平板的分析解
1、问题描述
λ=const a=const
h=const
因两边对称，只研究半块平壁
2、数学模型
t 2t
tx,0at0x2
导热微分方程
初始条件
t x
|x0
0
边界条件
t x
|x
ht
,
t
引入过余温度 t t
x,0ax202 t0 t
x
|x0
0
x
| x
h ,
3、求解（用分离变量法）
假设 x, x
a
2
x 2
x d
d
a
d 2
dx2
第三章 非稳态导热传热学
§3.1 非稳态导热的基本概念
二、非稳态导热的研究内容
1. 研究内容
温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t = f ( x, y , z ,τ ) ;
2. 数学模型
Φ = f(τ )
∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ɺ ρ c = ( λ ) + ( λ ) + ( λ )+Φ ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z 解的唯一性定律 初 始 条 件 边 界 条 件
τ4 τ3
τ2
t
1
τ1
t
0
τ0
第3章 非稳态热传导
§3.1 非稳态导热的基本概念
一、非稳态导热
6. 导热量的特点
Φ1
Φ2
由于物体各处本身温度的变化 要积聚或消耗热量， 要积聚或消耗热量，非稳态导热过 程中在与热流方向相垂直的不同截 面上热流量处处不等。 面上热流量处处不等。
第3章 非稳态热传导
Φ1－－板左侧导入的热流量 －－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量 －－板右侧导出的热流量
2δ
t
tf，h x
q
rh
rh = 1 h
rλ = δ λ
传热学 第3章-非稳态导热分析解法
第三章 非稳态导热分析解法1、 重点内容：① 非稳态导热的基本概念及特点；② 集总参数法的基本原理及应用；③一维及二维非稳态导热问题。
2、掌握内容：① 确定瞬时温度场的方法；② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。
如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。
因此，应确定其内部的瞬时温度场。
钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。
§3—1 非稳态导热的基本概念一、非稳态导热1、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
2、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间而作周期性变化1）物体的温度随时间而趋于恒定值如图3-1所示，设一平壁，初值温度t 0，令其左侧的表面温度突然升高到1t 并保持不变，而右侧仍与温度为0t 的空气接触，试分析物体的温度场的变化过程。
首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍保持原来的t 0 。
如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。
最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。
由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。
11-2 传热学第三章-导热四学时-3非稳态导热
物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。
下面用实例介绍这两类非稳态导热的特点。
§3-1 非稳态导热的基本概念
（1）周期性非稳态导热过程简介
室内墙 面温度
墙内各 处温度 最高值
★ 夏季室外空气温度以一天 24小时为周期变化；
★ 室外墙面温度也以24小时为 周期变化，但比室外空气温 度变化滞后一个相位、振幅 有所减小；
(
t n
)w
h(tw
t
f
)
★ 解的唯一性定理：
本章所介绍的各种分析法都被认为是满足特定问题的唯一解。
§3-1 非稳态导热的基本概念
5.第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响
在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征 与边界条件参数的关系。
t
已知：平板厚2δ、平板导热系数λ、
初温t0，将其突然置于温度为
第三章 非稳态导热
2
§3-1 非稳态导热的基本概念
2.非稳态导热的分类及其特点
非稳态导热分为周期性和非周期性（瞬态导热）两大类。
周期性非稳态导热：物体温度按一定的周期发生变化；
非周期性非稳态导热（非稳态 稳态）：
物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过 程）；在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温
(3)求解方法：分析解法、近似分析法、数值解法。
分析解法： 分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换； 近似分析法： 集中参数法、积分法； 数值解法： 有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、
分子动力学模拟。
§3-1 非稳态导热的基本概念
4.导热微分方程解的唯一性定律
非稳态导热问题的求解实质：在规定的初始条件及边界条 件下求解导热微分方程式。
03传热学第三章非稳态热传导
cV
dt
d
cV (t0
t )(
hA
cV
)
exp(
hA
cV
)
hA0
exp(
hA
cV
)
※0~ 时间内传给流体的总热量：
Q 0 d
0
h
A
0
e
xp(
hA
cV
)d
2021/1/14
0 cV
1
exp
hA
cV
15
（2） 时间常数
令
c
cV
hA
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e c
0
※当 时
0 0
即t t
※当
时
c
与几何参数、物理性 质、换热条件有关
(, ) m ( )
cos(1)
f
( Bi , )
则平板中任意点过余温度比 m 0 m 0
2021/1/14
31
相当于第一 类边界条件
2021/1/14
32
2021/1/14
任意时刻平板 内温度均匀
33
书中的诺谟图仅适用一维平板第一类边界条件下的加热及冷却
过程以及具有恒温介质的第三类边界条件，并且Fo>0.2
Q0
cV (t0 t )
0
τ时刻的平均 过余温度
当Fo>0.2时，正规状况阶段温度场与导热量的计算式可统一表示为：
( , 0
)
A exp(
12 Fo)
f
( 1 )
Q Q0
1
A exp(12Fo)B
其中，A、B、f(μ1η)的表达示见表3-1。
2021/1/14
30
传热学3-7章问答题及答案
第三章 非稳态热传导一、名词解释非稳态导热：物体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热。
数Bi ：Bi 数是物体内部导热热阻λδ与表面上换热热阻h 1之比的相对值，即：λδh Bi =o F 数：傅里叶准则数2τl a Fo =，非稳态过程的无量纲时间，表征过程进行的深度。
二、解答题和分析题1、数Bi 、o F 数、时间常数c τ的公式及物理意义。
答：数Bi ：λδh Bi =，表示固体内部导热热阻与界面上换热热阻之比。
2τl a Fo =，非稳态过程的无量纲时间，表征过程进行的深度。
hA cVc ρτ=， c τ数值上等于过余温度为初始过余温度的36.8%时所经历的时间。
2、0→Bi 和∞→Bi 各代表什么样的换热条件？有人认为0→Bi 代表了绝热工况，是否正确，为什么？答：1）0→Bi 时，物体表面的换热热阻远大于物体内部导热热阻。
说明换热热阻主要在边界，物 体内部导热热阻几乎可以忽略，因而任一时刻物体内部的温度分布趋于均匀，并随时间的推移整体地下降。
可以用集总参数法进行分析求解。
2）∞→Bi 时，物体表面的换热热阻远小于物体内部导热热阻。
在这种情况下，非稳态导热过程刚开始进行的一瞬间，物体的表面温度就等于周围介质的温度。
但是，因为物体内部导热热阻较大，所以物体内部各处的温度相差较大，随着时间的推移，物体内部各点的温度逐渐下降。
在这种情况下，物体的冷却或加热过程的强度只决定于物体的性质和几何尺寸。
3）认为0→Bi 代表绝热工况是不正确的，0→Bi 的工况是指边界热阻相对于内部热阻较大，而绝热工况下边界热阻无限大。
3、厚度为δ2，导热系数为λ，初始温度均匀并为0t 的无限大平板，两侧突然暴露在温度为∞t ，表面换热系数为h 的流体中。
试从热阻的角度分析0→Bi 、∞→Bi 平板内部温度如何变化，并定性画出此时平板内部的温度随时间的变化示意曲线。
答：1）0→Bi 时，平板表面的换热热阻远大于其内部导热热阻。
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3
4 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段)
正规状况阶段 (正常情况阶段) 导热过程的三个阶段 非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态
温度分布主要受初始温 度分布控制
温度分布主要取决于边 界条件及物性
第三章 非稳态导热
4
5 热量变化
Φ 1－－板左侧导入的热流量 Φ 2－－板右侧导出的热流量
9
(4) 无量纲数的简要介绍 基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参 数很多，为了减少问题所涉及的参数，于是人们将 这样一些参数组合起来，使之能表征一类物理现象， 或物理过程的主要特征，并且没有量纲。
因此，这样的无量纲数又被称为特征数，或者准则数，
比如，毕渥数又称毕渥准则。以后会陆续遇到许多类似
第三章 非稳态导热
无量纲 时间
20
5 集总参数法的应用条件 采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%
Biv
h( V A )
0.1M
M是与物体几何形状 有关的无量纲常数
V A A A V R 2 R A 2R 2 4 R 3 R V 3 2 A 4R 3 Biv Bi Bi Biv 2 Biv Bi 3
(3) 求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法
分析解法： 分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法： 集总参数法、积分法 数值解法： 有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力学模拟
第三章 非稳态导热 6
7 毕渥数
本章以第三类边界条件为重点。 (1) 问题的分析 如图所示，存在两个换热环节： a 流体与物体表面的对流换热环节 rh 1 h b 物体内部的导热 (2) 毕渥数的定义：
控制方程 hA - Vc d d ( 0) t t 初始条件 0 0
方程式改写为：
d
hA d Vc
12
第三章 非稳态导热
d
hA d Vc
积分
hA 0 0 d Vc
d
hA ln 0 Vc
m的物理意义是过余温度对时间 的相对变化率，单位是1/s，称 为冷却率（或加热率）。 上式说明，当Fo 0.2，进入正规状况阶段后，所 有各点的冷却率都相同，且不随时间而变化，其大小 取决于物体的物性、几何形状与尺寸及表面传热系数。 29 第三章 非稳态导热
2 a 2 x 0 0 x h x
第三章 非稳态导热
0 x , 0
0
x0 x
24
用分离变量法可得其分析解为：
( x, ) 2 sin( n ) cos( n x) e 0 n 1 n sin( n ) cos( n )
2 n a
( x, ) 2 sin( n ) cos( n x) ( ) e 0 n 1 n sin( n ) cos( n )
n
2
a
2
x 因此 ( x , ) 是F0, Bi 和 函数，即 0
( x , ) x f ( F0 , Bi , ) 0
Φ ( ) hA(t ( ) t ) hA hA 0 e
hA Vc
W
hA Vc
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
Q 0 Φ( )d Vc 0 (1 e
) J
Q Vc0 (1 e
c
)
当物体被加热时(t<t)，计算式相同（为什么？）
c
)
c
)
第三章 非稳态导热
19
4
Biv Fov 物理意义
l 物体内部导热热阻 Bi ＝ 1 h 物体表面对流换热热阻 hl
换热时间 Fo 2 l a 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体 内部，因而，物体各点地温度就越接近周 围介质的温度。
零维问题。 关，即 t f ( ) ，与空间位置无关，因此，也称为
2 温度分布
如图所示，任意形状的物体， 参数均为已知。
0时，t t0
将其突然置于温度恒为 t 的流 体中。
第三章 非稳态导热 11
当物体被冷却时（t>t）,由能量守恒可知
dt （也能从微分方程直接得到此式） hA(t t ) - Vc d 令： t t — 过余温度，则有
2 t t a 2 x
( 0 x , 0 )
初始条件
t t0
t 0 x
0
x 0
(对称性)
边界条件
t h( t t ) x
第三章 非稳态导热
x
23
引入变量－－过余温度 令
上式化为：
( x , ) t( x , ) t
上述可忽略固体内部导热热阻的加热或冷却又称为牛顿加热或冷却
第三章 非稳态导热 18
导热体在时间
由下式计算：
0~ 内传给流体的总热量也可
Q cV (t 0 t ) cV ((t 0 t ) (t t )) cV ( 0 ) cV ( 0 0 e cV 0 (1 e
tf
h
t
tf h
0
r
t
x
tf
h
r h Bi rh 1 h
第三章 非稳态导热
0
7 x
(3)毕渥数Bi对温度分布的影响的分析 平壁非稳态导热第三类边界条件表达式
h x x
x
x
x
x x h Bi
1 e 36.8% 0
0
Biv Fov
应用集总参数法时，物体过余温度的变化曲线
第三章 非稳态导热 16
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大），
那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，时
间常数 ( Vc / hA) 小。 对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对
第三章 非稳态导热 5
6 学习非稳态导热的目的：
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t f ( x, y, z, ) ;
Φ f( )
(2) 非稳态导热的导热微分方程式：
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
t t e 0 t0 t
hA Vc
过余温度比
hA hV A2 其中的指数： 2 cV A V c h(V A)
a Biv Fov 2 (V A)
ห้องสมุดไป่ตู้
Biv
h(V A)
a Fov (V A) 2
Fov 是傅立叶数
21
对厚为2δ 的
无限大平板
对半径为R 的 无限长圆柱 对半径为R 的 球
M 1 1 M 2 1 M 3
第三章 非稳态导热
§3-3 一维非稳态导热的分析解
1.无限大的平板的分析解
λ =const
a=const
h=const
因两边对称，只研究半块平壁
第三章 非稳态导热 22
此半块平板的数学描写： 导热微分方程
流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的
（微细热电偶、薄膜热电阻）
当 4 时， 1.83% hA 0 Vc
工程上认为=4 Vc / hA时 导热体已达到热平衡状态
5倍时间常数时过余温度为0.67%，有些场合按5倍作为达到热平衡的标准
第三章 非稳态导热 17
3 瞬态热流量：
1 的量纲相同，当 Vc 时，则 即与 hA
hA 1 Vc
此时，
e 1 36.8% 0
Vc
时，物体的过
上式表明：当传热时间等于
hA 余温度已经达到了初始过余温度的36.8％。 Vc 称 为时间常数，用 c 表示。 hA
第三章 非稳态导热
15
c
注意：特征值 n
特征数（准则数） 区别
第三章 非稳态导热 27
分析解的讨论 傅里叶数 Fo 对温度分布的影响 分析解的计算结果表明，当Fo 0.2时，可近似取级 数的第一项，对工程计算已足够精确，即 x, 2sin 1 x 12 Fo cos 1 e 0 1 sin 1 cos 1 a 因为 Fo 2 ，所以将上式左、右两边取对数，可得 2sin 1 x ln m ln 0 cos 1 1 sin 1 cos 1 2 a 式中 m 1 2 m为一与时间、地点无关的常数，只 取决于第三类边界条件、平壁的物性 与几何尺寸。 式右边的第二项只与Bi第三章 非稳态导热 、x/ 有关，与时间 无关。 28
的准则数。特征数涉及到的几何尺度称为特征长度，一 般用符号 l 表示。 对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义， 以及定义式中各个参数的意义。
第三章 非稳态导热 10
§3-2 集总参数法的简化分析
1 定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的
分析方法。此时，Bi 0 ，温度分布只与时间有
e 0
hA Vc
e
Biv Fov
物体中的温度 呈指数分布
方程中指数的量纲：
W 2 2 m hA w 1 m K Vc J s kg J 3 3 kg.K [m ] m