北师大数学八年级下册第五章分式与分式方程分式的加减法2
异分母分式加减法法则与异 分母分数加减法的法则类似
• 异分母分式加减法的法则:
• 先通分，把异分母分式化 为同分母分式，再按同分 母分式相加减的法则进行 计算。 你会通
分吗？
如何找最简公分母？
根据分式的基本性质,异分母的分式可化为同分母 的分式,这一过程叫做分式的通分. 为了计算方便,异分母的分式通分时,通常取最简 单的公分母(简称最简公分母),作为它们的共同分 母. 做一做：找最简公分母 （1）
(1)上述计算过程,从哪一步开始错误,请写上该步的代号 (2)错误原因 (3)本题的正确结论为
拓展练习工效问题
一项工程,甲单独做ah完成,乙单独做bh完成. 甲、乙两人一起完成这项工程，需要多长时间？
v甲=，
v乙=。
设“甲、乙两人一起完成这项工程”需要x天，
则：=1。
解得x=。
帮帮小明算算时间
从甲地到乙地有两条路,每 一条路都是3km.其中第一条 是平路,第二条有1km的上坡路 ,2km的下坡路.小明在上坡路上 的骑车速度为vkm/h,在平路上 的骑车速度为2vkm/h,在下坡路 上的骑车速度为3vkm/h,那么:
xy xy
(2)
4x x-y
+ 4y y-x
=
_4_____
(3) 3 、 4x
、
的最简公分母是__1_2__x______
选择：
1.计算 的结果是（）
Ｂ
Ａ、
Ｂ、 Ｃ、
2.若则的值等于（）
Ｄ、
c
测测&自己 ☞ 计算：
（1） （2） （3）
（4）
0
阅读下面题目的计算过程。 测测&自己 ☞
①
②= ③= ④=
最简公分母。
• 例1.把下列各式通分
当分式的分母 都是单项式时， 最简公分母的： 系数是 各分母系数的
最小公倍数； 相同的字母 取最高次幂
（1）
与
(3)
把各分式化成相同 分母的分式叫做 分式的通分.
（2）
与
解： （1）最简公分母是
（2）
与
解：（2）最简公分母是
(3)
解：（2）最简公分母是
例1.计算： （1）
解：原式=
= =x+y
分母不同，先 化为同分母。
结果还能化简 吗？
=
例3.计算
解：原式=
把多项式中能 因式分解的先 因式分解，没 按降幂排列先 按降幂排列。
想一想：还能 化简吗？
练一练 计算：
当分母中有互为相 反数的因式时,要 提出某一个因式中 的负号,化为同因
式。
相减时，分子是 多项式的分子要 看成一个整体加 上括号。
初中数学课件
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思考：
异分母的分数又如何加减？ 异分母的分式呢？
小明认为,只要把异分母的分式化成同分母的分式,异分母的分式的问题就变成了 同分母分式的加减问题.小亮同意小明的这种看法,但他俩的具体做法不同：
你对这两种做法有何评判?
想一想
1、异分母分数加减法的法则是什么？
（2）
（3）
议一议
小明这样做:
小亮这样做:
你对这两种 做法有何评 论?
通分
根据分式的基本性质,异分母的分式可 以化为同分母的分式,这一过程叫做通 分.
为了计算方便,异分母的分式通分时, 通常取最简单的公分母(简称最简公 分母)作为它们的共同分母.
取各分母系数的最小公倍数 与字母因式的最高次幂的积 作公分母，这样的公分母叫
同分母 分母不变 分子（整式）
相加减 转化为
相加减
（2）分子相加减时，如果分子是一个多项式， 要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再 运算，可减少出现符号错误。
（3）分式加减运算的结果要约分，化为最 简分式（或整式）。
检测
（1）
计算：
（2）
（3）
（4）
0
测测&自己 ☞
填空：(1) 3 + 5 =______
注意 1.“把分子相加减”就是把各个 分式的分子“整体”相加减.在 这里要注意分数线的作用.
2.在“把分子相加减”的过程中, 会用到整式的加减中的去括号、 合并同类项等知识,运算要准确.
3.分式加减的结果,能约分的 要约分,要化成最简分式.
小结：
（1）分式加减运算的方法思路：
异分母 相加减
通分 转化为
分母是多项 式的则先因 式分解再通 分。
小结
【异分母分式加减法的法则】
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分 式，再按同分母分式的加减法法则进行计算. 在通分时主要运用分式的基本性质.
【通分】利用分式的基本性质,把异分母的分式
化为同分分母的过程
【通分的原则】异分母通分时,通常取各分母的
最简公分母作为它们的共同分母.
(1)当走第二条路时,他从甲地 到乙地需要多长时间? (2)他走哪条路花费时间少? 少用多长时间?
答:(1)
示意图
v
(2) 走第一条路花费时间少, 少用
3v
1 2v 2
这是关于分式 的加减问题，
你行吗？
路程 速度 时间
上坡 1km vkm/h
下坡 2km 3vkm/h
这是关 于分式 的加减 问题， 你行吗？
（1）走第二条路时,从甲地到乙地需要多 长时间是
h
路程 速度 时间
上坡 下坡 平路
1km
2km 3km
vkm/h 3vkm/h 2vkm/h
(2)他走第一条路花费时间少，少用
北师大数学八年级下册第五章分式与分式方程分式的加减法2
异分母分式加减法法则与异 分母分数加减法的法则类似
• 异分母分式加减法的法则:
• 先通分，把异分母分式化 为同分母分式，再按同分 母分式相加减的法则进行 计算。 你会通
分吗？
如何找最简公分母？
根据分式的基本性质,异分母的分式可化为同分母 的分式,这一过程叫做分式的通分. 为了计算方便,异分母的分式通分时,通常取最简 单的公分母(简称最简公分母),作为它们的共同分 母. 做一做：找最简公分母 （1）
注意 1.“把分子相加减”就是把各个 分式的分子“整体”相加减.在 这里要注意分数线的作用.
2.在“把分子相加减”的过程中, 会用到整式的加减中的去括号、 合并同类项等知识,运算要准确.
3.分式加减的结果,能约分的 要约分,要化成最简分式.
小结：
（1）分式加减运算的方法思路：
异分母 相加减
通分 转化为
xy xy
(2)
4x x-y
+ 4y y-x
=
_4_____
(3) 3 、 4x
、
的最简公分母是__1_2__x______
选择：
1.计算 的结果是（）
Ｂ
Ａ、
Ｂ、 Ｃ、
2.若则的值等于（）
Ｄ、
c
测测&自己 ☞ 计算：
（1） （2） （3）
（4）
0
阅读下面题目的计算过程。 测测&自己 ☞
①
②= ③= ④=
解：原式=
= = =x+y
分母不同，先 化为同分母。
结果还能化简 吗？
=
例3.计算
解：原式=
把多项式中能 因式分解的先 因式分解，没 按降幂排列先 按降幂排列。
想一想：还能 化简吗？
北师版八年级下册数学精品教学课件 第五章 分式与分式方程 第3课时 异分母分式的加减(2)
3
m
m3
3m
3
2m （m 3）
m 3m 3
m
m3
3m
3
从 1，-3，3 中任 选一个你喜欢的 m 值代入求值.
1. m3
当
m
=
1
时，原式
1 1
3
1 2
做一做
先化简，再求值： 1 x 1
x
2 2
，其中 1
x
2.
解：
1 x 1
2 x2 1
1 x 1
2 (x 1)(x 1)
(x 1)
2
(x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
计算结果要化为最简分式或整式．
例解4：原计式算： （m1）2m22
2m
5 2m
m
5 ••232m3mm4mm;41
2
(m
或
2)(2 2m
m)
9 m2 • 2m 2
先算括号里的
2m 3m
加法，再算括
3 m3 m 22 m
•
号外的乘法
2m
3m
2m 3 2m 6.
注：当式子中出现整式时，把整式看成整体，并把
第五章 分 式
5.3 分式的加减法
第3课时 异分母分式的加减(2)
复习引入 1. 分式的乘除法则是什么？用字母表示出来：
b d bd a c ac
b d b c bc a c a d ad
2. 分式的加减法则是什么？用字母表示出来：
b d bc ad bc ad a c ac ac ac
异分母 通分 相加减 转化为
同分母 分母不变 相加减 转化为
分子 (整式) 相加减
2. 分式的混合运算法则 先算乘除，再算加减；如果有括号先算括号内的.
北师版八年级下册数学第5章 分式与分式方程 异分母分式的加减法
整1数)＋，其1结＋果为1__＋____＋_____1____． 1 3 2 4 3 5 n(n＋2)
3n2＋5n 4(n＋1)(n＋2)
知1－练
感悟新知
知识点 2 分式加减的应用及分式混合运算
知2－练
例2 小刚家和小丽家到学校的路程都是3km,其中小丽走的是 平路，骑车速度是2vkm/h.小刚需要走1km的上坡路、 2km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在下 坡路上的骑车速度为3vkm/h.那么 (1)小刚从家到学校需要多长时间？ (2)小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间？
知1－讲
特别解读： 通分的关键是确定最简公分母，分式与分式相加减时的最简 公分母是各分母的所有因式的最高次幂的积.
感悟新知
例1 计算：
(1) (32) (3a) 15 ; a 5a
1 1; x3 x3
知1－练
2a 1
a2
4
a
. 2
解：(1) 3 a 15 15 a 15 15 a 15 a 1 ;
(2)分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式).
课堂小结
异分母分式的加减 法
某学生化简分式出1现了＋错误1 ，解答过程如下：
原式
x＋1 x2－1
＝（x＋1）1（x－1）＋（x＋1）2（x－1）(第一步)
＝（x＋1）1＋（2 x－1）(第二步)
＝
3 x2－1
.(第三步)
课堂小结
异分母分式的加减 法
C．D.
－x x＋2
x x－ 2
知1－练
感悟新知
3. 计算的结a2＋果2是ab(＋b2 －) b
A
a2－b2 a－b
北师大版数学八年级下册《分式的加减法》分式2
1
1• 2
2
x2 4 (x 2)(x 2) • 2 2 x2 8
x 4
x 2x
x 2( x
2)
x • (x 2) 2(x 2)( x 2)
x2 2
2x 28
做一做
1、
4 1 4a
a2 a
a2
2、 1 1 a b
ab
ab
3、 a b ab
bc bc
a bc
ab • c
1.当走第一条路时，她从甲地到乙地需多长时间？ 2.当走第二条路时，她从甲地到乙地需多长时间？ 3.她走哪条路花费的时间少？少用多长时间？
解: (1) 3 2v
(2) 1 2：h v 3v
(3) 1 2 3 v 3v 2v
想一想 同分母的分数如何加减？同分母的分式应该如何加减？
当 的整式； （3）使分母最终都变形为最简公分母。
（化归思想）
作业：
P86T1、2
例7.通分：
(1)
3 2a 2b
与
a b ab 2 c
解：最简公分母是2a2b2c
3 2a 2b
3 bc 2a2b bc
3bc 2a 2b 2c来自a b ab 2 c(a b) 2a ab2c 2a
2a 2 2ab 2a 2b 2c
a （1）2
3 2b
与
ab
a b2 c
（2）
2x x5
与
3x x5
分母的分式叫做
分式的通分.
(3)
1与x
x2 4 4 2x
a b 解：（1）最简公分母是 2 2 2 c
2
3
a2
b
2
3 • bc
a2b •bc
北师大版八年级下册数学《分式的加减法》分式与分式方程PPT教学课件
课程讲授
2 分母互为相反数的分式的加减
练一练：计算 x2 1 的结果是（ A ）
x 1 1 x A. x+1 B. 1
x 1 C. x-1
x D.
x 1
随堂练习
1.填空：
2019年森林覆盖面积增长率是 ________,2018年森林覆盖面积增长 率是________,2019年与2018年相比， 森林覆盖面积增长率提高了
-
__________.
课程讲授
1 通分
问题1：找出下面分式最简公分母：
3 与ab 2a2b ab2c
2 a2 b2c
最简公分母
最小公倍数 最高次幂 单独字母
第五章 分式与分式方程
5.3 分式的加减法
第1课时
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.同分母分式相加减 2.分母互为相反数的分式的加减
新知导入
想一想：
1.同分母分数的加减法则是什么吗？
同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减.
2.计算：
(1) 2 1 ___1__;
33
(3)
3
2
n 2n 3n
A. 1 2n
B. 1 3n
C. 7 6n
D. 11 6n
随堂练习
2.已知
A. 1 3
1 a
1 b
1 3
，则
ab ab
的值是（ C
）
B. 1
C.3
D.-3
3
3.对于任意的x值都有
2x x2
北师大版 八年级下册第五章分式与分式方程5.3分式的加减法(第2课时)教案设计
5.3 分式的加减法（第2课时异分母分式的加减）教学目标1.会找最简公分母，能进行分式的通分.2.理解并掌握异分母的分式加减法法则.教学重点异分母的分式加减法法则.教学难点异分母分式的通分.课时安排1课时教学过程导入新课小学我们学习过异分母分数的加减法，如13+12＝1×23×2+1323⨯⨯＝56，那么如何计算11x+-21x-呢？探究新知异分母的分式加减法法则异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再按同分母分式的加减法法则进行计算.[合作探究，解决问题]思考：通分的原则是什么？异分母通分时, 通常取各分母的最简公分母作为它们的共同分母.追问：如何进行通分呢？（1）找出各分式中各分母的最简公分母；（2）利用分式的基本性质，将各分式的分子与分母同时乘以同一个适当的式子，使各分式的分母化成最简公分母，使各分式化成分母相同的分式.思考：确定最简公分母的方法与步骤是怎样的？（1）最简公分母的系数是各分母的系数的最小公倍数；（2）各分母中所含的相同字母或多项式取最高次幂；（3）对于只在一些分母中含有的字母或多项式，连同它的指数一起当作最简公分母的一个因式.[练一练]找出下列各题中的各个分式的最简公分母.（1）22y a x ，23x y ，14xy ； （2）13x + ，13x - ； （3）214a - ，12a - ； （4）5x y - ，23()x y - .解：（1）12a 2xy 2；（2）（x +3）（x -3）；（3）（a +2）（a -2）；（4）（x -y ）2.【例1】计算：（1）3a +155a a-； （2）13x --13x +； （3）224a a --12a -.【互动】学生自主解答，小组讨论，老师统一讲解，对存在问题进行点评.解：（1）3a +155a a -＝155a +155a a -＝15155a a +-＝5a a ＝15； （2）13x --13x +＝3(3)(3)x x x +-+-3(3)(3)x x x --+ ＝(3)(3)(3)(3)x x x x +--+-＝33(3)(3)x x x x +-++-＝269x -. （3）224a a --12a - ＝2(2)(2)a a a -+-2(2)(2)a a a +-+ ＝2(2)(2)(2)a a a a -+-+ ＝22(2)(2)a a a a ---+ ＝2(2)(2)a a a --+ ＝12a +. [老师总结]分母是多项式时，应先因式分解，目的是为了找最简公分母以便通分.【例2】有一客轮往返于重庆和武汉之间，第一次往返航行时，长江的水流速度为a 千米/时；第二次往返航行时，正遇上长江汛期， 水流速度为 b 千米/时(b ＞a ).已知该船在两次航行中，静水速度都为v 千米/时，问该船两次往返航行所花时间是否相等，若你认为相等，请说明理由；若你认为不相等，请分别表示出两次航行所花的时间，并指出哪次时间更短些？分析：重庆和武汉之间的路程一定，可设其为s ，所用时间＝顺流时间+逆流时间，注意顺流速度＝静水速度+水流速度；逆流速度＝静水速度-水流速度，把相关数值代入，比较即可.解：设两次航行的路程都为s . 第一次所用时间为s v a+ +s v a - ＝222vs v a -， 第二次所用时间为s v b + +s v b - ＝222sv v b -. ∵b ＞a ，∴b 2＞a 2，∴v 2-b 2＜v 2-a 2， ∴222sv v b-＞222vs v a -. ∴第一次的时间要短些.【总结】(学生总结，老师点评)(1)运用分式解决实际问题时，用分式表示实际问题中的量是解决问题的关键；(2)比较分子相同的两个分式的大小，分母大的反而小.课堂练习1.计算1a ＋1+1a (a ＋1)的结果是( ) A.1a ＋1B.1a a +C.1aD.1a a + 2.计算24142x x ---的结果是( ) A.-12x + B.12x + C.-12x - D.264x x --- 3.计算： (1)32b a a b+ ； (2)21211a a +--；(3)22x y x y y x xy+-- . 4.已知实数a 、b 满足ab ＝1，求下列分式的值. (1)11a b a b +++ ； (2)221111a b +++.参考答案1.C2.D3.解：(1)22236b a ab + . (2)11a + . (3)2y x- . 4.解：(1)原式＝a ab a + +1b b+ ＝11b ++1b b+＝1. (2)原式＝2ab a ab+ +2ab b ab +＝b a b ++a a b +＝1. 课堂小结1、异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再按同分母分式的加减法法则进行计算.2、最简公分母的确定方法：（1）系数：取分母中各系数的最小公倍数；（2）因式：凡各分母中出现的不同因式都要取到；（3）因式的指数：相同因式取指数最高的.布置作业教材随堂练习/习题5.5的第1、2、3题板书设计异分母分式的加减法异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再按同分母分式的加减法法则进行计算.。
分式的加减法(共19张ppt)数学八年级下册北师大版
(3) 1 a 3 a2 a a2 1
= n 1 （n 1）(m+1) m+1 m+1
易错点：善 于发现公因 式
自学指导2（1分钟） 阅读P123例6化简求值的解题格式，并回答： 异分母的分式相加减，先_通__分_，化为同__分__母__的分式， 再按__同__分__母_分式的加减法法则进行计算. 先约分再
(r 1)2 r 1
r 1
当r=100时，
原式=r 1=100+1=101
3．请你先化简
，再从﹣2，2，
中选择一个合适的数代入求值．
4.某蓄水池装有A，B两个进水管，每小时可分别进水a t，b t.若单独开放A进水管，p h可将该水池注满.如 果A，B两根水管同时开放，那么能提前多长时间将该 蓄水池注满？
自学指导1（1分钟）
阅读P122例5，注意解题格式
(1) y 1 xy x xy x
(3)
a
a
3
a
1 2
9
a a
1 3
解：原式
y( y 1) x( y 1)( y 1)
1 ( y 1) x( y 1)( y 1)
y( y 1) y 1 x( y 1)( y 1)
通分后分子添括号
学生自学，教师巡视（5分钟）
第五章 分式与分式方程
5.3.3 分式的加减法
复习回顾（1分钟） 1.同分母的分式相加减，分母 不变 ，把分子相加减．
2.异分母的分式相加减，先 通分，化为同分母的分式， 然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．
3.练一练
4 a2
1 a
学习目标（1分钟）
1.会进行分母是多项式的异分母分式的加减法运算 2.能进行较复杂的分式化简求值 3.能运用分式解决一些简单的实际问题
【最新】北师大八年级数学下册第五章《分式的加减(2)》公开课课件.ppt
2、计算： (1) b a
3a 2b 12
(2)a11a2
解： 2原 b23a 式 22b23a2 6ab6ab 6ab
解： 原 a 1式 2 (a 1 )a ( 1 ) (a 1 )a ( 1 )
(3) x y x2 y2 y x xy
(aa1)1( a21)aa231
x2
y2
x2
y2
第五章 分式与分式方程
3 分式的加减法（二）
问题1：同分母分式是怎样进行加减运算的？
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
问题2：异分母分数又是如何进行加减呢？
异分母分数相加减，先通分，化为同分母分 数后，再加减．
问题3：那么
3 a
1 4a
?你是怎么做的？
对于问题3，小明认为，只要把异分母的分式化 成同分母的分式，异分母的分式的加减问题就 变成了同分母的分式的加减问题。小亮同意小 明的这种看法，但他俩的具体做法不同：
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
八年级数学北师大版初二下册--第五单元5.3《分式的加减法：第二课时--通分》课件
知1－练
1
分式
2 ，a - 1 ，2 3a - 2a2 4a3
的最简公分母是(
C)
A．24a2
B．24a3
C．12a3
D．6a3
知1－练
2
分式
1 ， 1 ，1 a＋1 a2－2a＋1 a－1
的最简公分母是
( B)
A．(a＋1)2(a－1)
B．(a－1)2(a＋1)
C．(a－1)2(a2－1)
D．(a－1)(a＋1)
知1－练
3 下列说法错误的是( D )
A.
1与 a 3x 6x2
的最简公分母是6x2
B. 1 与 1 的最简公分母是m2－n2 m+ n m- n
C.
1 3ab
与1 3bc
的最简公分母是3abc
D.
1
a(x -
与1
y) b(y-
x) 的最简公分母是ab(x－y)(y－x)
知识点 2 通 分
知2－讲
分式
x
1 2-
, 1
xx2 -
1 x
,
x2
+
1 2x +
1
的最简公分母是
__x__(x_＋__1_)_2_(x_－__1_)__.
导引：找最简公分母，需要将每一个分式的分母分解因 式，按照找最简公分母的方法求解. ∵x2－1＝(x＋1)(x－1)，x2－x＝x(x－1)， x2＋2x＋1＝(x＋1) 2. ∴此三个分式的最简公分母是x (x＋1)2(x－1).
中系数都取正数).
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
第五章 分式与分式方程
5.3 分式的加减法
第2课时 通分
北师大版数学八下《分式的加减法第2课时》教学课件%28共15张PPT%29
三、 探究新知
异分母的分式相加减和分数一样，即：异分母的分式相加减，先 通分，变成同分母分式，再加减。
用公式表示为： a c ad bc ad bc 。 b d Βιβλιοθήκη d bd bd三、 探究新知
3 a
1 4a
3 4a a 4a
a 4a a
12a 4a 2
a 4a 2
13a 4a 2
13 ； 4a
坡路上的骑车速度为v㎞/h，在下坡路上的骑车速度为3v㎞/h.那么
（1）小刚从家到学校需要多长时间？
（2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间？
（2）小丽从家到学校需要 3 h. 2v
因为 5 3 ，所以小丽在路上花费时间少。
3v 2v
5
小丽比小刚在路上花费时间少
3
10 9
1
(h).
3v 2v 6v 6v
五、 课堂练习
1.化简
x y
y x
x
x
y
的结果是（ B）．
A．1y
B．
x y y
C．x
y
y
D. y
五、 课堂练习
2.计算：（1）
n1 m1
n1
；（2）
1 a2
a
a3． a2 1
解：（1）原式
n1
n 1m 1
n 1m；
m1
m1
m1
（2）原式
aa
a1
1a
公式为 a b a b ． cc c
三、 探究新知
想一想 （1）如何计算
1 1 ? 23
11 ? 23
1 1 3 2 5，1 1 3 2 1 . 2 3 6 6 62 3 6 6 6