第四章 整环里的因子分解
高等代数第四章整环里的因子分解
第四章整环里的因子分解§1、素元、唯一分解一、整除、单位、相伴元定义在整环I中，若a=bc，则称a能被b整除，也说b整除a，记为b|a。
b不能整除a记作b|a。
定义整环I的一个元ε叫做I的一个单位，假如ε是一个有逆元的元。
元b叫做元a的相伴元（a与b相伴），假若b是a 和一个单位ε的乘积：b=εa。
单位元必是单位，反之不然。
例1在整数环Z中，单位即是1和-1，b是a的相伴元⇔b=±a。
在数域F的多项式环F[x]中，单位即是零次多项式c∈F*，g（x）是f（x）的相伴元⇔g（x）=cf（x）。
定理1 两个单位ε1和ε2的乘积ε1ε2也是单位。
单位ε的逆元ε-1也是一个单位。
推论整环I中全体单位的集U关于乘法作成群。
二、素元定义单位以及元a的相伴元叫做a平凡因子。
其余的a的因子，假如还有的话，叫做a的真因子。
定义整环I的一个元p叫做一个素元（注：应是不可约元），假如p0≠，p不是单位，并且p只有平凡因子。
例2 在例1的Z中，素元就是素数。
在F[x]中，素元就是不可约多项式。
定理2 单位ε同素元p的乘积εp也是一个素元。
定理3整环I的一个非零元a有真因子⇔a=bc，b和c都不是单位。
推论假定a≠0，并且a有真因子b:a=bc。
那么c也是a的真因子。
三、唯一分解定义一个整环I的一个元a说是在I 里有唯一分解，假如以下条件能被满足：（i）a=p1p2…p r（p i是I的素元）（ii）若同时a=q1q2…q s（q i是I的素元）那么r=s并且我们可以把q i的次序掉换一下，使得q i=εi p i (εi是 I的单位)零元和单位都不能唯一分解。
例3 在整环I={}Z+,3中：a∈-bab（1）ε是单位1=⇔。
⇔ε=1ε2±（2）若4α2=，则α是素元。
（3）4∈I有两种不同的分解（不相伴分解）：()()3+-=-⋅=113224-§2、唯一分解环一、唯一分解环定义一个整环I叫做一个唯一分解环，假如I的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解。
唯一因子分解整环证明
唯一因子分解整环证明在数学中，唯一因子分解整环（Unique Factorization Domain，UFD）是一种重要的概念，它指的是可以进行唯一因子分解的整环。
唯一因子分解整环在许多数学领域都有应用，例如代数、数论、几何等。
在本篇文档中，我们将从以下五个方面证明唯一因子分解整环的特性：1. 因子唯一性2. 素因子唯一性3. 整除关系4. 乘法封闭性1. 因子唯一性定义：设R是一个整环，如果对于R中的任意非零元素a，都存在R中的唯一一对非零元素p和q，使得a=p×q，那么我们就称R 是一个因子唯一整环。
证明：假设a和b是R中的两个非零元素，且a=p×q=r×s。
根据因子的定义，我们知道p、q、r和s必须为非零元素。
由于p×q=r ×s，我们可以得出p=r且q=s，或者p=s且q=r。
如果p=r且q=s，那么a=b；如果p=s且q=r，那么a=-b。
因此，因子唯一性得证。
2. 素因子唯一性定义：设R是一个整环，如果对于R中的任意非零元素a，都存在R中的唯一一对非零素因子p和q，使得a=p×q，那么我们就称R 是一个素因子唯一整环。
证明：假设a和b是R中的两个非零元素，且a=p×q=r×s。
由于p和q是a的素因子，r和s是b的素因子，我们可以得出p=r且q=s，或者p=s且q=r。
如果p=r且q=s，那么a=b；如果p=s且q=r，那么a=-b。
因此，素因子唯一性得证。
3. 整除关系定义：设R是一个整环，如果对于R中的任意元素a和b（其中b≠0），都存在R中的唯一一对元素x和y，使得a=x×b且y×b=1，那么我们就称R是一个整除关系整环。
证明：假设a和b是R中的两个元素，且b≠0。
如果a是0，那么我们可以定义x=0和y任意。
如果a不是0，那么我们可以定义x=a/b和y=1/b。
根据整除的定义，我们知道x和y是唯一的。
《近世代数(I)》教学大纲
安徽师范大学近世代数精品课程内容简介教学大纲教学队伍讲义教案电子课件习题试题教学录像历史资料网文精选分支学科教学资源返回首页《近世代数（I）》教学大纲课程性质：专业基础课先修课程：高等代数总学时：51 学时学分： 3理论学时：51 学时实验或讨论学时：无开课学院：数学计算机科学学院适用专业：数学与应用数学大纲执笔人：吴俊大纲编写时间：2006年8月教研室主任审核：教学院长审定：一、说明1. 课程的性质、地位和任务近世代数（又名抽象代数）是现代数学的重要基础，也是高等代数的一门后续课程。
近世代数不仅在数学中占有极其重要的地位，而且具有丰富的实际应用背景，在相关学科中有着广泛的应用，对其他学科产生了越来越大的影响，如计算机科学、信息科学、近代论物理与近代化学等。
理解和掌握近世代数的基本内容、方法和理论，对于学生加深理解数学的基本思想和方法，提高抽象思维能力，培养数学修养都有重要意义。
近世代数的基本概念、理论和方法，是基础数学和应用数学的重要基础，是每一个数学工作者所必须的基本数学素养之一。
2. 课程教学的基本要求近世代数的基本内容包括群、环、域等代数系统的基本结构，要求学生能了解群的各种定义，循环群，n阶对称群，变换群，陪集，不变子群的定义及其性质，了解环、域、理想、唯一分解环的定义。
能够计算群的元素的阶，环中可逆元，零因子、素元，掌握Lagrange定理，群、环同态和同构基本定理，掌握判别唯一分解环的方法。
通过本课程的学习，可以为其它近代数学知识提供必须的代数学基础，进一步提高学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、运用代数方法解决实际问题的能力。
3. 本课程的重点与难点重点是群、环、域的概念与性质。
由于本课程是理论性较强的学科，且教学时数所限，学生接受与掌握群、环、域的概念较为困难。
二、课堂教学时数及课后作业题型分配（含数量）章目教学内容教学时数教学方式或手段课后作业思考题练习题第一章基本概念 6 讲授√第二章群论18 讲授√√第三章环与域15 讲授√√第四章整环里的因子分解12 讲授√√合计51三、正文•基本概念【教学目的】•使学生掌握集合的基本概念；•使学生掌握代数运算的概念；•使学生掌握映射、单射、满射、一一映射以及变换的概念；•使学生掌握同态、同构、自同构的概念；•使学生掌握等价关系与分类的概念与思想。
第四章-整环里的因子分解
第四章 整环里的因子分解§4.1 不可约、素元、最大公因子1. 证明:0不是任何元的真因子.注 这里的0是指整环I 的零元,“任何元”是指整环I 中的任何元.证明 由于0不能整除整环I 中的非零元,因此0不是整环I 中的非零元的真因子.虽然0整除0,但0与0相伴,因此0不是0的真因子.所以0不是整环I 中任何元的真因子.2.找出Gauss 整数环},|{][Z Z ∈+==n m ni m i I 的所有单位.解 假设Z ∈b a ,,使得bi a +是I 中的单位,则存在Z ∈d c ,,使得1))((=++di c bi a ,从而,1))((2222=++d c b a .由此可见,i bi a ±±=+,1.所以i ±±,1就是I 中的所有单位.3.证明:在Gauss 整数环][i I Z =中,3是不可约元,5是可约元.证明 显然,3和5既不是零元,也不是单位.设Z ∈d c b a ,,,,使得3))((=++di c bi a .于是9))((2222=++d c b a .显然322≠+b a .因此122=+b a 或122=+d c ,从而,bi a +是单位或di c +是单位.所以3是不可约元.由5)2)(2(=-+i i 可知,i +2和i -2都是5的真因子.所以5是可约元.4.设I 是整环,I b a ∈,,直接证明:a b a ⇔=)()(～b .证明 由于I 是有单位元的交换环,根据定理3.16的推论1(3),aI a =)(,bI b =)(. 因此⇔=)()(b a 存在R s r ∈,,使得rb a =,sa b =a ⇔～b .5.设p 是整环I 的素元,m a a a p 21|(2≥m ),证明:至少存在一个i a (m i ≤≤1),使i a p |.证明 我们用数学归纳法来证明.当2=m 时,根据素元的定义,我们的断言成立.假设当n m =(2≥n )时,结论成立.当1+=n m 时,根据素元的定义,n a a a p 21|或1|+n a p .若p 不整除1+n a ,则n a a a p 21|.于是,根据归纳假设,至少存在一个i a (n i ≤≤1),使i a p |.所以当1+=n m 时,我们的断言成立.6.设整环I 中任意两个元的最大公因子都存在,m a a a ,,,21 是I 中m 个不全为零的元,若m m db a db a db a ===,,,2211 ,证明:d 是m a a a ,,,21 的最大公因子m b b b ,,,21 ⇔互素.证明 假定m m db a db a db a ===,,,2211 .m b b b ,,,21 不互素⇔I 中存在元素',,','21m b b b 和非零、非单位的元素c ,使得',,','2211m m cb b cb b cb b ===⇔I 中存在元素',,','21m b b b 和非零、非单位的元素c ,使得',,','2211m m dcb a dcb a dcb a ===d ⇔不是m a a a ,,,21 的最大公因子.所以d 是m a a a ,,,21 的最大公因子m b b b ,,,21 ⇔互素.§4.2 惟一分解环1.证明:整环},|10{]10[Z Z ∈+==n m n m I 不是惟一分解环.证明 显然,I ∈10,10,5,2,10,5,2都不是单位,也都不是零元,2和5都不是10的相伴元,但是10105210⋅=⋅=.所以I 不是惟一分解环.2.证明:Gauss 整数环][i I Z =中,5是唯一分解元.证明 首先,由§1习题第2题知,在I 中只有1±和i ±是单位.其次,显然i ±2都不是零元和单位元.事实上,i ±2是I 中的不可约元.为了阐明这一事实,考察任意的Z ∈d c b a ,,,.若i di c bi a ±=++2))((,则5))((2222=++d c b a ,由此可见,122=+b a 或122=+d c ,从而,bi a +是单位或di c +是单位.因此i ±2没有非平凡的因子.所以i ±2是I 中的不可约元.当然,它们的相伴元)2(i ±-,)2(i i ±,)2(i i ±-也都是不可约元.现在设Z ∈d c b a ,,,,使得5))((=++di c bi a . (*)于是,25))((2222=++d c b a .由此可见,122=+b a 或522=+b a .当122=+b a ,i bi a ±±=+,1是I 中的单位,从而,di c +是5的相伴元.这时(*)式不是5的不可约元分解式.当522=+b a 时,bi a +的值只能是如下八个数之一:i ±2,)2(i ±-,)2(i i ±,)2(i i ±-.显然,这八个数都是5的真因子.这样一来,根据(*)式可以断言,)2)(2(5i i -+=是5的不可约元分解式,并且:对于5的任意一个不可约元分解式n p p p 215=,必有2=n ;必要时,交换1p 和2p 的下标和次序后,1p 与i +2相伴且2p 与i -2相伴.所以5是唯一分解元.2.按惟一分解环定义直接证明定理4.11.注 定理4.11的内容如下:在一个惟一分解环I 中,每一个不可约元都是素元.证明 设I p ∈是一个不可约元.任意给定I b a ∈,,并假设ab p |.于是,存在I c ∈,使得pc ab =.当0=a 或0=b 时,显然a p |或b p |.当a 为单位时,有pc a b 1-=,从而,b p |.同理,当b 为单位时,有a p |.现在假定a 和b 都不是零元和单位.显然,c 不是零元,也不是单位.由于I 是惟一分解环,不妨设m p p p a 21=,n q q q b 21=,u r r r c 21=.其中,j p (m j ≤≤1),k q (n k ≤≤1)和l r (u l ≤≤1)都是不可约元.于是,n m u q q q p p p r r pr 212121=. (*)由于I 是惟一分解环,可以断言:或者存在j (m j ≤≤1),使得p 与j p 相伴,从而,a p |; 或者存在k (n k ≤≤1),使得p 与k q 相伴,从而,b p |.总而言之,a p |或b p |.这样一来,由于I b a ∈,的任意性,我们断言p 是素元.4.设I 是惟一分解环,m a a a ,,,21 是I 中m (2≥m )个元,证明:在I 中m a a a ,,,21 的最大公因子存在,且任意两个最大公因子互为相伴元.证明 首先,我们用数学归纳法来证明m a a a ,,,21 有最大公因子.事实上,定理4.10告诉我们,当2=m 时,结论成立.假设当n m =2(≥n )时结论成立.现在考察1+=n m 的情形:根据归纳假设,不妨设a 是n a a a ,,,21 的一个最大公因子.根据定理4.10,可设d 是a 与1+n a 的最大公因子.显然,d 是121,,,,+n n a a a a 的一个公因子.假设'd 是121,,,,+n n a a a a 的一个公因子.则'd 是n a a a ,,,21 一个公因子.由于a 是n a a a ,,,21 的一个最大公因子,因此a d |'.由于1|'+n a d ,因此'd 是a 与1+n a 的公因子.这样一来,由于d 是a 与1+n a 的最大公因子,因此d d |'.所以d 是121,,,,+n n a a a a 的一个最大公因子.所以当1+=n m 时m a a a ,,,21 有最大公因子.§4.3 主 理 想 环1.设I 是主理想环,d 是I b a ∈,的一个最大公因子,证明:I t s ∈∃,,使bt as d +=. 证明 根据定理3.16的推论2,),()()(b a b a =+,其中),(b a 表示},{b a 生成的理想.根据定理 4.15,),()(b a d =.因此)()()(d b a =+.由)()(b a d +∈可知,存在I t s ∈,,使bt as d +=.2.设I 是主理想环,I b a ∈,,证明:b a ,互素I t s ∈∃⇔,,使1=+bt as .证明 根据定义4.8、第1题、定理3.16的推论2以及定理4.15,我们有b a ,互素⇔1是a 与b 的一个最大公因子⇒存在I t s ∈,,使1=+bt as)()(1b a +∈⇒),()()()1(b a b a =+=⇒⇒1是a 与b 的一个最大公因子.所以b a ,互素I t s ∈∃⇔,,使1=+bt as .3.设I 是主理想环,I b a ∈,,证明:(1)若b a ,互素,且bc a |,则c a |;(2)若b a ,互素,且c a |,c b |,则c ab |.证明 (1) 当0=a 时,由bc a |可知,0=bc ;由a 与b 互素可知,b 是单位.因此0=c .所以c a |.当a 是单位时,显然c a |.假设a 既不是0,也不是单位.由于bc a |,因此bc 既不是0,也不是单位;从而,b 和c 都不是0.若b 是单位,则由bc a |可知c a |.现在假定b 不是单位.由于I 是主理想环,根据定理4.14,I 是惟一分解整环.不妨设m p p p a 21=,n q q q b 21=,其中m p p p ,,,21 和n q q q ,,,21 都是R 中的既约元.于是存在I k ∈,使得c q q q p p kp n m 2121=.由于a 与b 互素,因此i p (),,2,1m i =与j q (),,2,1n j =不相伴.这样一来,由上式可知,c 可以表示成如下形式:m p p p k c 21'=.所以c a |.(2)显然,当0=a 或0=b 时,0=c ,从而,c ab |;当a 是单位或b 是单位时,c ab |.现在假设a 和b 既不是0,也不是单位.由于I 是主理想环,根据定理4.14,I 是惟一分解整环.不妨设m p p p a 21=,n q q q b 21=,其中m p p p ,,,21 和n q q q ,,,21 都是I 中的既约元.于是,n m q q q p p p ab 2121=,n m q q q k p p kp c 2121'==.如果a 与b 互素,那么,i p (),,2,1m i =与j q (),,2,1n j =不相伴.这样一来,因为I 是唯一分解整环,c 可以表示成如下形式:ab k q q q p p p k c n m ''''2121== .所以c ab |.4.在整数环Z 中,求出包含)6(的所有极大理想.证明 我们知道,整数环Z 是主理想环.设)(a 是包含)6(的一个极大理想.根据定理4.4,a 是6的真因子.因此2±=a 或3±=a .所以)2()2(-=和)3()3(-=就是包含)6(的所有极大理想.5.在有理数域Q 上的一元多项式环][x Q 中,理想)23,1(23+++x x x 等于怎样一个主理想?解 显然,1+x 是13+x 与232++x x 的一个最大公因子.根据定理3.16的推论2和定理4.15,)1()23,1(23+=+++x x x x .6.证明:)3/(][2+x x Q 是一个域.证明 首先, 由于Q 是域,根据§3.7中的例1,][x Q 是主理想环.其次,显然32+x 是][x Q 中的不可约元.这样一来,根据定理4.16和定理3.23,)3/(][2+x x Q 是一个域.§4.4 欧 氏 环1.证明:域F 是欧氏环.证明 定义}0{\F 到到}0{ N 的映射φ如下:1)(=a φ,}0{\F a ∈∀.显然,对于任意的}0{\F a ∈和F b ∈,存在F q ∈,使得0+=aq b .所以F 是欧氏环.2.证明:整环},|2{]2[Z Z ∈-+=-n m n m 关于*-]2[Z 到}0{ N 的映射222)2(n m n m φ+=-+是一个欧氏环.证明 考察任意的*-∈]2[Z α和]2[-∈Z β:设2-+=b a α,,2-+=d c β其中Z ∈d c b a ,,,.于是,222222)(2(22222222-+-+++=+---+=-+-+=b a bc ad b a bd ac b a b a d c b a d c αβ. 根据带余除法,存在Z ∈v u q q ,,,21,使得u q b a bd ac ++=+122)2(2,)2(21||022b a u +≤≤; v q b a bcd ad ++=-222)2(,)2(21||022b a v +≤≤. 令221-+=q q q .则222222222222b a v u q b a bc ad b a bd ac αβ+-++=-+-+++=, 从而222)2(b a αv u q αβ+-++=.注意到]2[,,-∈Z q βα,由上式可知,]2[2)2(22-∈+-+Z b a αv u .令222)2(ba αv u r +-+=,则]2[-∈Z r ,并且 r q αβ+=.当0≠r 时,222222||)2(|)2(|||)(αb a v u r r φ⋅+-+== )(2||22||222222αφb a v b a u ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= )()(2141αφαφ<⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤. 所以整环]2[-Z 关于*-]2[Z 到}0{ N 的映射φ是一个欧氏环.3．证明:整环},|2{]2[Z Z ∈+=n m n m 关于*]2[Z 到}0[ N 的映射|2|)2(22n m n m φ-=+是一个欧氏环.证明 令},|2{]2[Q Q ∈+=b a b a .定义*]2[Q 到Q 的映射ψ如下:|2|)2(22b a b a ψ-=+,*∈+∀]2[2Q b a ,其中Q ∈b a ,.于是,对于任意的*∈++]2[2,2Q d c b a (其中Q ∈d c b a ,,,),我们有)2()2(d c ψb a ψ+⋅+|)2)(2(|2222d c b a --=|)2)(2)(2)(2(|d c d c b a b a -+-+=|)2)(2)(2)(2(|d c b a d c b a --++=|)2)()2)((2)()2((|bc ad bd ac bc ad bd ac +-++++=|)(2)2(|22bc ad bd ac +-+=)2)()2(bc ad bd ac ψ+++=))2)(2((d c b a ψ++=.此外,显然]2[]2[Q Z ⊆,并且ψ在*]2[Z 上的限制就是φ.任意给定]2[2,]2[2Z Z ∈+=∈+=*d c βb a α,其中Z ∈d c b a ,,,.为了证明]2[Z 是欧氏环,现在只需阐明存在]2[,Z ∈r q ,使得r q αβ+=,其中,0=r 或)()(αφr φ<.事实上,我们有222222)()2(2)2)(2(b a bc ad bd ac b a d c b a αβ--+-=-+-=.根据带余除法,存在Z ∈v u q q ,,,21,使得u b a q bd ac +-=-)2(2221,|2|21||022b a u -≤≤; v b a q bc ad +-=-)2(222,|2|21||022b a v -≤≤. 令221q q q +=.于是,2222222b a v b a u q αβ-+-+=, 从而,αbc v b a u q αβ)222(2222-+-+= 22222222b c bu av b a bv au q α-++-++=. 注意到]2[,,Z ∈q βα,由上式可知,2222b a bv au -+和222b a bu av -+都是整数.令 22222222ba bu avb a bv au r -++-+=. 于是,]2[Z ∈r ,并且r q αβ+=.当0≠r 时,)()(r ψr φ=)()222(2222αψb a v b a u ψ⋅-+-= )(222222222αφb a v b a u ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)(22222222αφb a v b a u ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤ )()(2141αφαφ<⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤.§4.5 惟一分解环上的一元多项式环1.证明:设)(),(21x f x f 是][x I 中两个本原多项式,若它们在][x Q 中相伴(Q 为I 的商域),则在][x I 中也相伴.证明 假设)(),(21x f x f 在][x Q 中相伴,则存在][x Q 中的单位u ,使得)()(21x uf x f =.由于][x Q 中的单位就是Q 中的非零元,且Q 为I 的商域,因此可设ab u =,其中b a ,是I 中的非零元.于是,)()(21x bf x af =.这样一来,根据引理1可以断言,)(),(21x f x f 在][x I 中相伴.2.设I 是惟一分解环,][)(),(x I x g x f ∈,且)()(1x af x f =,)()(1x bg x g =,I b a ∈,,)(),(11x g x f 是本原多项式,证明:若)(|)(x f x g ,则a b |.证明 不妨设)()()(x q x g x f =.于是,)()()(11x g x bq x af =.由于)(),(11x g x f 是本原多项式,根据上式和引理1可以断言,a ～)(x bq .由此可见,I x q ∈)(,从而,a b |.3.设)(x f 是][x Z 中首项系数为1的多项式,证明:若)(x f 有有理根a ,则a 是整数. 证明 假定)(x f 有有理根a .则))(()(a x x q x f -=,其中][)(x x q Q ∈.根据引理1,存在Q ∈21,r r 和本原多项式)(),(21x f x f ,使得)()(11x f r x q =,)(22x f r a x =-.于是,)()()(2121x f x f r r x f =.根据Gauss 引理,)()(21x f x f 是本原多项式.由于)(x f 的首项系数为1,由上式可知121=r r ,从而,)()()(21x f x f x f =.由此可见,)(2x f 的首项系数为1或1-.这样一来,由)(22x f r a x =-可知,a x x f -=)(2或a x x f +-=)(2.因为)(2x f 是本原多项式,所以a 是整数.4.域F 上的二元多项式环],[y x F 是惟一分解环,但不是主理想环. 证明 ]][[],[y x F y x F =.由于F 是域,根据定理 4.17可以断言,][x F 是欧氏环.根据定理4.18又可以断言,][x F 是惟一分解环.由于]][[],[y x F y x F =,根据定理4.21,可以断言,],[y x F 是惟一分解环.令A 表示],[y x F 中次数大于或等于1的所有多项式和零多项式组成的集合.显而易见,A 是],[y x F 的一个理想.考察任意的A y x f ∈),(:显然,或者)),((y x f x ∉,或者)),((y x f y ∉,但是A y x ∈,.因此)),((y x f A ≠.由此可见,A 不是],[y x F 的主理想.所以],[y x F 不是主理想环.5.证明:1053532),(22---+-=y x y xy x y x f 是],[y x Z 中不可约多项式. 证明 令][x I Z =.则][],[y I y x =Z .由于整数环Z 是惟一分解整环(参看§4.2),根据定理4.22,],[][y x y I Z =也是惟一分解整环.由于][5)53()1032(),(22y I y y x x x y x f ∈++---=,53+x 是I 中的不可约元,53+x ł5,)53(|53+-+x x ,53+x ł10322--x x ,根据定理4.23(Eisenstein 判别法),),(y x f 是],[y x Z 中不可约多项式.§4.6 因子分解与多项式的根1.问:][16x Z 中多项式2)(x x f =在16Z 中有多少个根?答 由直接演算知,][16x Z 中2)(x x f =在16Z 中有如下四个根:]0[,]4[,]8[,]12[.2.证明:][6x Z 中多项式x x x f -=3)(在6Z 中有6个根.证明 由直接演算知,6Z 中的]4[],3[],2[],1[],0[和]5[都是][6x Z 中多项式x x x f -=3)(的根.所以][6x Z 中多项式x x x f -=3)(在6Z 中有6个根.3.试求][5x Z 中多项式1)(5-=x x f 在5Z 中的根.解 由于5Z 是特征为5的域,因此55)1(1)(-=-=x x x f .由于5Z 无零因子,因此只有当]1[=x 时)(x f 的值为]0[,从而,)(x f 只有]0[=x 这个根.显然它是5重根.4.判断:(1)][3x Z 中多项式1)(2+=x x f 是否可约?(2)][5x Z 中多项式1)(2+=x x f 是否可约?解 (1)显然1)(2+=x x f 在3Z 中没有根,所以)(x f 是][3x Z 中的不可约多项式.(2)显然,5Z 中的]2[是)(x f 的根,所以)(x f 是][5x Z 中的可约多项式.5.设0ch =I ,][)(x I x f ∈,I a ∈，1≥k ,证明:a 是)(x f 的k 重根⇔a 是)(x f 的根,且a 是)('x f 的1-k 重根.证明 我们有a 是)(x f 的k 重根⇔存在][)(x I x g ∈,使k a x x g x f ))(()(-=,且a 不是)(x g 的根⇔存在][)(x I x g ∈,使1)))()((')(()('---+=k a x a x x g x kg x f .由于0ch =I ,0)(≠a g ,因此0)())((')(≠=-+a kg a a a g a kg ,从而,a 是)('x f 的1-k 重根.所以a 是)(x f 的k 重根⇔a 是)(x f 的根,且a 是)('x f 的1-k 重根.复 习 题 四1.设整环⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=}0{,2 N Z n m m I n ,找出I 中的所有单位与不可约元. 解 假设n m 2(其中Z ∈m ,}0{ N ∈n )是单位.于是,存在Z ∈k 和}0{ N ∈s ,使得122=⋅s n k m .由此可见,存在Z ∈j ,使得j n m 22±=.反过来,显然,对于任意的Z ∈j ,有I j ∈±2.显然I j ∈±21并且是j 2±的逆元.所以I 中的所有单位为:j 2±,Z ∈j . 假设n m 2(其中Z ∈m ,}0{ N ∈n )是不可约元.于是,0≠m 且s m 2±≠,Z ∈∀s .不妨设r s p p p m 212±=,其中1≥r ,Z ∈s ,r p p p ,,,21 为奇素数.若1>r ,则0212222r n s n p p p m ⋅±=.由于n j p 221和022r p p 都不是单位,这与n m 2是不可约元矛盾.所以1=r ,从而,n s n p m 2221±=,即存在Z ∈j 和奇素数p ,使得p m j n 22±=.反过来,设Z ∈j ,p 是奇素数,考察p j 2:显然,I p j ∈2并且既不是零元,也不是单位.假设I k m s n ∈2,2(其中Z ∈k m ,,}0{, N ∈s n ),并且|2p j s n k m 22⋅,即存在I l t ∈2(其中Z ∈j ,}0{ N ∈t ),使得s n t j k m l p 2222⋅=⋅.于是,m p |或k p |.当m p |时,我们有)2(22)(j n j n pm p m +-⋅⋅=, 其中I p m j n ∈⋅+-)(2,从而,n j m p 2|2.同理,当k p |时,s j k p 2|2.由此可见,p j 2是素元.因此p j 2±是不可约元.所以I 中的所有不可约元为:p j 2±,Z ∈j ,p 为奇素数. 2.求模8剩余类环8Z 的所有非零理想,以及它们的交. 解 8Z 的非零理想有:8Z ,]}6[],4[],2[],0{[,]}4[],0{[;它们的交是]}4[],0{[.3.证明:在惟一分解环I 中,任意两个元b a ,都有一个最小公倍元,即I m ∈∃,使m b m a |,|,并且若n b n a |,|,则n m |.(用],[b a 表示a 与b 的任意一个最小公倍元.)证明 设b a ,是惟一分解环I 中任意两个元.根据定理 4.10,b a ,有最大公因子.令),(b a 表示a 与b 的任意一个最大公因子,p b a a ),(=,'),(p b a b =. 由§4.1习题第6题知,p 与'p 互素.令'],[ap b a =.现在我们来阐明],[b a 就是a 与b 的一个最小公倍元.事实上,首先,由],[b a 的定义知],[|b a a .其次,我们有bp p p b a pp b a ap b a ===='),('),('],[,从而,],[|b a b .最后,假设I c ∈,使得c a |且c b |,则存在I q q ∈',,使得'bq aq c ==.于是,我们有''),(),(q p b a pq b a c ==.当0),(=b a 时,由pq b a aq c ),(==可知0=c ,从而,c b a |],[.当0),(≠b a 时,由等式''),(),(q p b a pq b a c ==可知''q p pq =.由于p 与'p 互素,根据等式''q p pq =和§4.3习题第3题可以断言q p |'.设t p q '=.于是,t b a t ap t pp b a pq b a c ],[''),(),(====,从而,c b a |],[.所以],[b a 是a 与b 的一个最小公倍元.4.证明:在一个惟一分解环I 中,ab ～),](,[b a b a . 证明 设),(b a 是a 与b 的任意一个最大公因子,],[b a 是a 与b 的任意一个最小公倍元,p b a a ),(=,'),(p b a b =,'ap m =.由上题知,bp m =,并且m 是a 与b 的一个最小公倍元.此外,我们我们还有),(),(b a m pb b a ab ==.此外,由最小公倍元的定义可知,m ～],[b a .因此),(b a m ～),](,[b a b a ,即ab ～),](,[b a b a .5.设I 是惟一分解环, ),(,),(),(21x f x f x f n 是][x I 中本原多项式的序列,并且)(|)(1x f x f i i +, ,,,2,1n i =.证明:这个序列只有有限个互不相伴的项.证明 由于I 是惟一分解环,根据定理4.21,][x I 也是惟一分解环.由惟一分解环的定义可知,][x I 中每个非零元至多有有限个互不相伴的因子.假设序列 ),(,),(),(21x f x f x f n 中有无限个互不相伴的项.不失一般性,假定其各项互不相伴.由于)(|)(1x f x f i i +, ,,,2,1n i =,因此)(|)(1x f x f i ,N ∈∀i .这样一来,)(1x f 有无限个互不相伴的因子.因此0)(1=x f .这与)(1x f 为本原多项式的事实矛盾.所以 ),(,),(),(21x f x f x f n 中只有有限个互不相伴的项.6.设I 是惟一分解环,][)(),(x I x g x f ∈,且1))(),((=x g x f .证明:1))()(),()((=+x g x f x g x f .证明 由于I 是惟一分解环,根据定理4.21,][x I 是惟一分解环.令d x g x f x g x f =+))()(),()((.由1))(),((=x g x f 可知,0≠d .假设d 不是单位.则存在素元][)(x I x p ∈,使得d x p |)(,从而,)()(|)(x g x f x p 且)()(|)(x g x f x p +.因为)(x p 是素元,由)()(|)(x g x f x p 可知,)(|)(x f x p 或)(|)(x g x p .又因)()(|)(x g x f x p +,故)(|)(x f x p 且)(|)(x g x p ,这与1))(),((=x g x f 矛盾.所以d 不是单位,从而,1))()(),()((=+x g x f x g x f .7.设0I 是一个主理想环,I 是整环,且0I ≤I .证明:假若d 是0I 中的a 和b 的一个最大公因子,那么d 也是I 中的a 和b 的一个最大公因子.证明 设由于d 是0I 中的a 和b 的一个最大公因子.由于0I ≤I ,因此d 也是I 中的a 和b 的一个公因子.设'd 是I 中的a 和b 的任意一个公因子.则存在I b a ∈',',使得''a d a =,''b d b =.其次,由于d 是0I 中的a 和b 的一个最大公因子,根据§4.3习题第2题,存在0,I t s ∈,使得bt as d +=,从而,)''('''''t b s a d t b d s a d d +=+=.因此d d |'.所以d 也是I 中的a 和b 的一个最大公因子.8.设一元多项式环][x I 是主理想环,][)(),(x I x g x f ∈,)(x m 是)(x f 与)(x g 的一个最小公倍元,证明:))(())((())((x g x f x m =.注 这里假定I 是整环.证明 由于][x I 是主理想环,根据定理 4.14,][x I 是唯一分解环.由于)(x m 是)(x f 与)(x g 的一个最小公倍元,不妨设)()()()()(x g x q x f x p x m ==.显而易见,1))(),((=x q x p .这样一来,对于任意的][)(x I x h ∈,我们有))(()(x m x h ∈⇔存在][)(x I x r ∈,使得)()()(x m x r x h =⇔存在][)(x I x r ∈,使得)()()()()()()(x g x q x r x f x p x r x h == ))(())(()(x g x f x h ∈⇒⇒存在][)(),(21x I x r x r ∈,使得)()()()()(21x g x r x f x r x h == )(|)(x h x m ⇒))(()(x m x h ∈⇒.所以))(())((())((x g x f x m =.9.证明:(1)1)(3++=x x x p 是][2x Z 中不可约多项式;(2))1/(][32++x x x Z 是域.证明 (1)显然,1)1()0(==p p .因此x 和11+=-x x 都不是)(x p 的因子.由此可见,)(x p 是][2x Z 中不可约多项式.(2)首先,由于2Z 是域,根据§3.7中的例1,][2x Z 是主理想环.其次,根据(1),13++x x 是][2x Z 中的不可约元.这样一来,根据定理 4.16和定理3.23,)1/(][32++x x x Z 是一个域.10.设I 是一个主理想环,I a ∈≠0.证明:当a 是不可约元时,)/(a I 是一个域;当a 是可约元时,)/(a I 不是整环.证明 当a 是不可约元时,根据定理4.16和定理3.23,)/(a I 是一个域.当a 是可约元时,存在a 的真因子c b ,,使得bc a =.于是,)()(a a b ≠+,)()(a a c ≠+.但是)()()()()())())(((a a a a bc a c a b =+=+=++.这就是说,)(a b +和)(a c +是)/(a I 中的零因子.所以)/(a I 不是整环.。
抽象代数基础2.6整环的因子分解教案
（1）a是单位 （a）=R
（2）
（3）a与b相伴 （a）=（b）
（4）b是a的真因子
（5）a是既约元 （a）是非零的极大主理想，即不存在主理想（b）使
命题3设R是整环，则R的既约元的相伴元也是既约元。
证明：设a是既约元，b是a的相伴元，则（a）=（b），于是得证。
定义3设R是整环， 且p不是单位，如果对任意的a，b属于R，由 必有 或者 ，则称p是素元。
《 抽象代数基础 》教案
授课时间第30次课
授课章节
2.6整环的因子分解
任课教师
及职称
xx教授
教学方法
与手段
讲授法、板书
课时安排
6
使用教材和
主要参考书
《抽象代数基础》 唐忠明 编 高等教育出版社 2006，4
《近世代数》 杨子胥 编 高等教育出版社 2000，7
教学目的与要求：
明确单位、相伴、素元、主理想整环、欧式环、唯一分解整环
例如：在Z中，素数是素元，F[x]中，不可约多项式是素元。
命题4设R是整环， 且p不是单位，则p是素元 （p）是素理想
定义3设R是整环，如果R的每个理想都是主理想，即都可以由一个元素生成，则称R是主理想整环。
命题5设R是主理想整环，I是R的非零真理想，则I是素理想 I是极大理想
命题6设R是主理想整环， 是非零非单位的元素，则p是素元 p是既约元
定义4设R是整环，假设从R的非零元的集合 到非负整数集合有一个映射 使得对 ， 都存在 使 ，其中 或 ，（*）则称 是欧式环，简称R是欧式环，简称R是欧式环，而算式（*）称为欧式除环。
定理1欧式环一定是主理想整环
证明：设 是欧式环，I是R的任意一个理想，若I={0}，则显然I是主理想。假设 ，则集合 非空，且存在最小数，设 使得 是这个集合中的最小数，则对 都有 ，下证I=（a）。
近世代数第四章整环里的因式分解
第四章整环里的因式分解§1. 素元、唯一分解本讲中, 总假定为整环, 为的商域.1. 整除定义1 设D为整环, Db,, 如果存在Da∈c∈, 使得则称整除, 记作; 并称是的一个因子, 是的倍元.•整环中的整除概念是整数环中整除概念的推广, 因此有许多与整数的整除相类似的性质.•整除有下列常用的性质:(1) 如果, , 则;(2) 如果, , , 则.2.相伴定义2整环D的一个元叫做D的一个单位，假如是一个有逆元的元。
元叫做元的相伴元，假如是和一个单位的乘积：定理１两个单位的乘积也是一个单位.单位的逆元也是一个单位.例１因为整数环的单位仅有１与-１，故任一非零元有２个相伴元：与a-.例２有四个单位，１，-１，i,-i,所以任一非零元，有四个相伴元：定义3 单位以及元的相伴元叫做的平凡因子.若还有别的因子，则称为的真因子.３. 素元定义4 设D为整环，Dp∈，且既非零也非单位，如果只有平凡因子，则称为一个素元.定理２单位ε与素元的乘积也是一个素元.定理３整环中一个非零元有真因子的充分且必要条件是：，这里，都不是单位.推论设，并且有真因子：.则也是的真因子.定义5 我们称一个整环D的元在D中有唯一分解，如果以下条件被满足：(i) (为D的素元)(ii) 若同时有（为的素元）则有，并且可以调换的次序，使得（为的单位）整环的零元和单位不能有唯一的分解.所以唯一分解问题研究的对象只能是非零也非单位的元.例３给整环.那么有：(1)的单位只有.(2)适合条件的元一定是素元.首先，；又由(1),也不是单位.设为的因子：那么但不管，是何整数，或４若，则是单位.若，则而为单位.因而是的相伴元.从而只有平凡因子，故是素元.(3)没有唯一分解：我们有(A) ,,故由(2),2,都是的素元.由(1),都不是２的相伴元，因而给出了４的两种不同分解从而４没有唯一分解. 这说明并不是任意整环中的非零和非单位的元都有唯一分解.$2. 唯一分解环定理１一个唯一分解环有以下性质：若一个素元能够整除，则有整除或.定理２做定整环有如下性质：(i)的每一个非零非单位的元都有一个分解.（为的素元）(ii)的一个素元若能够整除，则有整除或，则一定是一个唯一分解环.定义6 元叫做的公因子，如果.定理３一个唯一分解环的两个元和在里一定有最大公因子.和的两个最大公因子和只能差一个单位因子：（是单位).推论一个唯一分解环的个元在里一定有最大公因子.的两个最大公因子只能差一个单位因子.定义一个唯一分解环的元称为互素的，如果它们的最大公因子是单位.$3. 主理想环引理１设是一个主理想环.若在序列里的每一个元是前一个元的真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.引理２设是一个主理想环，那么的任一素元生成一个最大理想.定理一个主理想环是一个唯一分解环.证：我们证明是一个唯一分解环.设且不是零也不是单位.若不能写成有限个元的乘积，则不是一个素元，所以由$４.１的推论，都是的真因子.的这两个真因子中至少有一个不能写成素元的乘积，否则就是素元的乘积而与假设矛盾.于是有这样的结论；若没有分解，则一定有一个真因子也没有分解.这样，在没有分解的假设之下，就得到一个无穷序列在此序列中每一个元都是前一个元的真因子.依照引理１，这是不可能的，所以一定有分解.即满足$４.２定理２中的条件(i).又设的素元能整除的元乘积，那么这就是说在剩余类环里，所代表的类与o所代表的类相同：由引理２，是最大理想，因而由$３.９的定理，是一个域.因为域没有零因子，所有由上面等式有或即有或亦即或从而或，故也满足$４.２定理２的条件(iii).因而是一个唯一分解环.$4. 欧氏环定义一个整环叫做一个欧氏环，如果(i)有一个从的非零元所作成的集合－｛０｝到全体非负整数作成的集合的映射存在；(ii)任意给定的一个非零元，的任何元都可以写成的形式，这里有或例整数环是一个欧氏环.因为：定理１是一个适合条件(i)的映射并且任意给定整数，则任何整数都可写成这里或上面定义中的映射称为欧氏映射.定理１每一个欧几里德环都是主理想整环, 因而也是唯一分解环.证明设为欧几里德环的任一理想, 为欧氏映射.(1) 如果, 则.(2) 如果, 令则非空, 且. 设, 使得为中的最小数, 下证.任给, 因为, 所以存在, 使得. 于是, .如果, 则, 与的选取矛盾. 所以, , 则, 于是. 由的任意性可知.又, 所以, 从而.这就证明了, 的任一理想都是主理想, 故为主理想整环.定理２整数环是主理想，因而是唯一分解环.定理３一个域上的一元多项式是一个欧氏环.因而是一个唯一分解环.$５. 多项式环的因子分解本章讨论唯一分解环上的一元多项式环.我们称的素元即素多项式为不可约多项式，日有真因子的多项式叫做可约多项式.定义的一个元叫做一个本原多项式，如果的系数的最大公因子是单位.我们有如下结论：(A)的单位是的仅有的单位.(B)一个本原多项式不会等于零.(C)若本原多项式可约，那么且有（表示的次数）引理1 设，那么是本原多项式的充分且必要条件是和都是本原多项式.设是的商域，那么多项式环是唯一分解环.引理2 的每一个非零多项式都可以写成的形式，这里是的本原多项式.如果也有的性质，那么，（为的单位）引理3 的一个本原多项式在里可约的充分必要条件是在里可约.引理4 的次数大于零的本原多项式在里有唯一分解.有了以上的结论，我们就有定理如果是唯一分解环，，则也是唯一分解环.$６. 因子分解与多项式的根定义整环的元叫做的多项式的一个根，如果有定理１是的一个根的充分且必要条件是整除定理２的个不同的元都是的根的充分且必要条件是整除推论若的次数为，则在中至多有个根.定义的元叫做的一个重根，如果能被整除，这里是大于1的整数.定义由多项式唯一决定的多项式叫做的导数.导数适合如下计算规则：,定理３的一个根是一个重根的充分且必要条件是整除推论设是唯一分解环.的元是的一个重根的充分且必要条件是：能整除和的最大公因子.。
第四章 整环里的因子分解
第四章整环里的唯一分解概述：本章主要讨论与因子分解有关的问题，我们知道在整数环里有唯一分解定理，即任何大于1的整数皆可唯一的写成一些素数的乘积. 在这一章我们要看一看，在一个抽象的环里这个定理是否成立；但由于在一个一般的环里去研究这个问题有相当的困难，所以我们仅把整数中的因子分解的概念推广到一般的整环中.*.本章中的环I均表示整环，I的单位元均记为1，I中的非零元记为}0{\II=第一节素元、唯一分解基本概念：整除，单位、相伴元，平凡因子、真因子、素元，唯一分解.重点、难点:唯一分解.正文定义4.1.1：整环I中的可逆元ε称为I的一个单位(Unit）.注1：单位与单位元是两个概念，单位元一定是单位，而单位未必是单位元.注2：整环I中的全体单位关于I的乘法构成一个Abel群, 称为I的单位群，记为U(I) .定义4.1.2：我们说，整环I的一个元a可以被I的元b整除，假如在I里找得出元c，使得a=bc. 假如a能被b整除，我们说b是a的因子，并且用符号b|a 来表示，否则用b a来表示.定义4.1.3：元b叫做元a相伴元，假如b=εa ,其中ε是I的一个单位.定义4.1.4：单位以及元a的相伴元叫做a的平凡因子，其余的a的因子，叫做真因子.定义4.1.5：整环I的一个元p叫做一个素元，假如p既不是零元，也不是单位，并且p只有平凡因子.定理4.1.1：两个单位ε和ε′的乘积εε′也是一个单位，单位ε的逆ε-1也是一个单位.定理4.1.2：单位ε同素元p的乘积pε也是一个素元.ε;证明：(1) 0pε,0≠≠p≠⇒pε.(2) 不是单位p p I )()(1εεεεε‘‘‘使得若不然，==∈∃是素元矛盾是单位与p p ⇒.(3) 只有平凡因子p ε.定理4.1.3： 整环中一个不等于零的元a 有真因子的充分而且必要条件是：bc a =，c b ,都不是单位元.证明：(⇒) 的相伴元不是且使得有真因子a b a b I U b a )(∉∃⇒.bc a I c =∈∃⇒使得.若)(),(I U c b a I U c ∉∈是相伴关系，故与则.(⇐) 假定bc a =，的相伴元不是a b I U c b ⇒∉)(,，否则)(1I U c c bc a b ∈⇒=⇒==εεε,矛盾.故a 有真因子.定义4.1.6：我们说，一个整环I 的一个元a 在I 里有唯一分解，假如以下条件能被满足：(1) 中的素元是其中I r i p p p a i r ),1(,1ΛΛ==;(2) 若又有中的素元是其中I s j q q q a j s ),1(,1ΛΛ==，那么的一个排列是其中且n i i r i q p s r r i i i j ,,1,,,,,1,1ΛΛΛ===ε.例： 设则},,3{]3[Z b a b a Z ∈-+=- (1) 是整环]3[-Z . (2) }1,1{])3[(-=-Z U设''1]3[]),3[(3εεεε=-∈∃-∈-+=使得则Z Z U b a .则 2'222')3(1εεεb a +==10,11322±=⇒=±=⇒=+⇒εb a b a . (3) 为素元，则＝若ααα4],3[2-∈∀Z . (4) 的相伴元都不是231-±. (5) 中两种不同的分解在是]3[4)31)(31(224----+=⋅=Z .作业：1．设I 刚好包含所有复数(,)a bi a b +是整数的整环. 证明5不是I 的素元. 5有没有唯一分解？第二节 唯一分解环基本概念：唯一分解环，唯一分解环的性质. 公因子、最大公因子，最大公因子的存在性.重点、难点: 唯一分解环.正 文定义4.2.1：整环I 叫做一个唯一分解环(UFD), 如果I 的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解.定理4.2.1：唯一分解环有以下性质：(3) 若一个素元ab p , 那么b p a p 或.证明：当b a ,中有一个是零或是单位时，定理显真.现设b a ,皆非零元，也非单位. 也非单位c c pc ab ab p ,0,≠=⇒ .)(之积矛盾可写成两个非单位的元是素元与是单位，则否则若pc pc c于是皆素元诸i n p p p p c ,21Λ=.又令皆素元诸',''2'121,,k j s r q q q q q b q q q a ΛΛ==.于是p q q q q q q s r ＝''2'121ΛΛn p p p Λ21.由分解唯一性知的相伴元或是某个'j i q q p , 如a p p q 则,1ε=；如b p p q 则ε='1.推论：在一个UFD 中，若素元i n a p a a a p 必整除某一个则,21Λ.定理4.2.2：若整环I 满足：(1) 解式；中每一个元均有一个分)(\I U I *(2) 若I b a b p a p ab p I p ∈∀⇒,,,或则必有的素元是.那么I 一定是唯一分解环.定义4.2.2：n i n a a d n i a d I a a d ,,,,,1,,,,11ΛΛΛ为则称如果假定=∈ 的一个公因子；d a a a a d n n 除的每一个公因子都能整若的一个公因子为假定,,,,,11ΛΛ，则称的一个最大公因子为n a a d ,,1Λ.定义4.2.3：，则称中的最大公因子是单位在如果假定I a a I a a n n ,,,,11ΛΛ∈ 互素n a a Λ,1.定理4.2.3：假定I 是唯一分解环, 那么有,,I b a ∈(1)在I 中, 有最大公因子；和b a(2)是相伴关系的最大公因子，则和均为若d d b a d d '',,.作业：1. 假定,()().()()I a b I a b =是一个整环和是的两个主理想证明：当且仅当b 是a 的相伴元的时候.2．证明：10.⎡⎤⎣⎦不是唯一分解环Z第三节 主理想环基本概念：：主理想环，主理想和极大理想、主理想环与唯一分解环的关系. 重点、难点: 主理想、极大理想.正 文定义4.3.1：如果整环I 中的每一个理想都是主理想，则称I 是一个主理想环，记为P.I.D.例 1：是主理想环整数环)1,0,,,(⋅+Z .证明：设A a a A Z A ⊆⊂)(,}0{则中的最小正整数为的理想，记是）（. 另一方面，若a a m A m 则),(,∉∈∃,0,,a r e as m m <<+=设则)().(a A a A a A as m r =⊆∈-=从而的最小性矛盾，故此与.例 2：是主理想环是域，则)1,0,,],[(⋅+x F F .证明：设的理想，是）（][}0{x F A ⊂A x f x f A ⊆))((),(则中次数最低的多项式为记.另一方面，若)()),(()(,)(x f x f x g A x g 则∉∈∃),(x g次数最小矛盾此与而设)()())(())((),()()()(x f A x v x f x v x v x u x f x g ∈∂<∂+=. 故))(()),((x f A x f A =⊆从而.引理4.3.1：设)1,0,,,(⋅+I 是一个PID, 则I 中的每一个真因子序列一定是有限序列. 即若序列)(,,,21I a a a i ∈Λ中每一个元素都是前面一个元的真因子，则该列一定是有限序列.证明：由于i i a a 1+，所以Λ⊂⊂)()(21a a令)(Y ii a A =，则的一个理想是I A . 事实上：A a ra I r i ⊆∈∈∀)(,.)()()(),()(,,j i j i a a a a b a a j i j i A b a ⊂∈⇒∈∈≤∃⇒∈∀使得不妨设A a b a j ⊆∈-⇒)( .而PID I 是，则存在).(,d A I d =∈使得 而Y ii a A d )(=∈，则)(n a d n ∈∃使得，我们断言，n a 为序列中的最后一个，如若不然，设还有一个的真因子为使得n n n a a a 11++. 由于111,)(),(+++⇒⇒∈∈n n n n n n a a a d d a d a a d 又n n a a 1+，则n a 是1+n a 相伴关系，这与的真因子矛盾为n n a a 1+.故原结论成立.引理4.3.2：设)1,0,,,(⋅+I 是一个PID,p I 是中的素元， 则(p)为I 的极大理想. 证明：设()()()()A a I p A I p a a p =⊂⊆⇒∈⇒是的理想，.()().1a p p a p a p a A a εε⎧=⇒⊂⇒=⇒⎨=⇒∈⇒⎩是的相伴元()()矛盾是单位()=I.故(p)为I 的极大理想.定理4.3.1：设)1,0,,,(⋅+I 是一个PID, 则I 是UFD .证明：(1) \(),.a I U I a a *∀∈一定有分解式事实上，若是素元，则不用再证. 现设,a a bc b c =有真因子，若皆素元，则不用再证. 对a 的不是素元的真因子重复上面的讨论过程，这样的分解过程经有限步后必终止（否则会得到无穷序列12,,,a a a L 后面的元是前面一个元的真因子，这与I 是PID 的前提矛盾）,此时已把a 分解成有限个素元之积.(2) 设素元()(),0.p ab ab a b ==⋅I I 于是在中有但是域p p 因此 ()()00a b a p b p p a p b ==⇒∈∈⇒或或或.由定理4.2.2知I 是UFD.注：定理的逆不成立. 例如[].x UFD PID ¢是但不是作业：证明：一个主理想环的非零最大理想都是由一个素元所生成的.第四节 欧氏环基本概念：欧氏环的定义，欧氏环和主理想环的关系.重点、难点: 欧氏环.正 文定义4.4.1：设I 是整环，若(1) 存在映射{}::0.I n n ϕ*→∈≥=Z Z(2) ,,0,,a b I a q r I ∀∈≠∈则存在使,b qa r =+其中0()().(..)r r a I E D ϕϕ=<或则称是一个欧氏环.例1．整环(,,,0,1)+⋅是一个欧氏环.Z证明：令:;,.a a a ϕ**→∀∈a Z Z Z则,,,,a b q r ϕ*∀∈∈是一个映射且一定存在使得Z Z,0()().b aq r r r r a a ϕϕ=+==<=或故(,,,0,1)+⋅是一个欧氏环.Z例2．数域F 上的多项式环([],,,0,1)F x +⋅是一个欧氏环.例3．Gauss 整数环([],,,0,1)i +⋅是欧氏环.Z证明：易证([],,,0,1)i +⋅Z 是整环. 令22:[]\{0};i a bi a b ϕ→++a Z Z ，则ϕ是一个映射.设[]\{0},[]a bi i c di i αβ=+∈=+∈Z Z ，,,k li k l βα=+∈Z ，则存在'',k l ∈Z 使得''11,22k k l l -≤-≤.令''[],k l i i γδβαγ=+∈=-Z ，则βαγδ=+. 若20,βδϕδϕβαγϕαγα≠则（）＝（－）＝（）－ 22''1()()()2k k l l ϕϕαϕα-+-≤<＝. 因此([],,,0,1)i +⋅是欧氏环.Z定理 4.4.1：任何一个欧氏环一定是一个主理想环，因而一定是一个唯一分解环.证明：设{0},.A I ϕ≠是欧氏环的一个理想是欧氏环的映射 令a A a ϕϕ∈≠∈使（）=min{(x)x(0)A}，则()A a =. 事实上, ,,b A q r I ∀∈∃∈使得,0b qa r r a ϕϕ=+=∈或（r ）<(),r A .若0().r a a a ϕ≠∈则与（）的最小性矛盾. 故r=0,b=q 注：定理4.4.1的逆不真，P.I.D 未必是欧氏环. 如复数域的子环,R a b ⎧⎫⎪⎪=+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭Z 是一个P.I.D 但不是欧氏环. 定理4.4.2：(,,,0,1)+⋅是欧氏环,从而是唯一分解环.Z引理4.4.1：假定[][]I x I I x 是整环上的一元多项式，的元1110()n n n n g x a x a x a x a --=++++L的最高系数(),()[],(),()[]n a U I f x I x q x r x I x ∈∀∈∈那么对存在使得()()()(),f x q x g x r x =+其中()0()r x r x x =或的次数小于g()的次数.n定理4.4.3：域F 上的一元多项式环[].F x 是一个欧氏环证明：显然[]F x 是一个整环，令[];()deg(()),()[].F x f x f x f x F x ϕ*→∈a ：Z则ϕ是一个映射. ()[],()[],g x F x f x F x *∀∈∈()0()0,,.n n n g x g x a a F a *≠⇒≠∈的最高项系数而则可逆由引理4.4.1可知，(),()[]q x r x F x ∃∈使得()()()(),f x q x g x r x =+其中()0()r x r x x =或的次数小于g()的次数.n即()0(())(()).[].r x r x g x F x ϕϕ=<或故是唯一分解环作业：1.下列环是否是欧氏环，并证明之：(1) {},.a b =+∈Z Z(2) {},.a b =+∈Z Z 2. 证明：一个域一定是一个欧氏环.附注 本章中介绍的几种常见的整环之间有如下的关系图：其中，例①可取Z ； 例②可取[]x Z ；例③可取12⎡+⎢⎣⎦Z ； 例④可取Z 或数域F 上的一元多项式环[]F x ；例⑤可取有理数域、实数域、复数域等．第五节 多项式环的因子分解基本概念：本原多项式的定义及其引理.重点、难点:多项式的可约性判断.正 文设..I U F D 为，[]I x F 为上的一元多项式环，则有如下简单事实：(1) ([])(),[]U I x U I I x =且为整环;(2)[]()()I x f x f x 中多项式称为本原多项式，如果系数的最大公因子是单位.(3) 若本原多项式(),f x 可约则()()(),(),()[]deg ()deg ()0f x g x h x g x h x I x f x g x =∈>>且.(4) ()()()()();f x g x h x g x h x =⇔是本原的和均是本原的(5) ()[],deg ()0,()()([])f x I x f x f x f x U I x ∈=⇔∈若则是本原的.引理4.5.1: ,0()[],I f x x ≠∈设是的商域则Z Z (1) 00()(),,,()[];b f x f x a b I f x I x a=∈是中的本原多项式 (2) 0000()()(),,,,,(),()b d f x f x g x a b c d I f x g x a c ==∈若 []I x 均为中的本原 多项式，则00()([])()().U I U I x f x g x εε∃∈==使得引理4.5.2: 假设00()[],()[]f x I x f x I x 是中的一个本原多项式在中可约的充分必要条件是0()[].f x x I 在Q 中可约，其中Q 为的商域引理 4.5.3: []()[]I x f x I x 的任一个次数大于零的本原多项式在里有唯一分解.定理4.5.1: 若..,[]...I U F D I x U F D 是则也是定理 4.5.2: 若1212..,[,,,]...,,,,n n I U F D I x x x U F D x x x L L 是则也是其中是 I 上的无关未定元.作业：1． 假定[].()[],()I x I f x I x I f x 是整环上的一元多项式环属于但不属于并且的最高系数是I 的一个单位. 证明：()[].f x I x 在里有分解2. 设12,()1,().p p p x x x x x ϕϕ--=++++L 为素数判断在上是否可约Z第六节 因子分解与多项式的根基本概念：多项式的根、重根、导数；重根的判别定理.重点、难点: 多项式和多项式的根.正 文定义4.6.1: 设()[],()0,().f x I x a I f a a f x ∈∈=如果存在使得则称是的根 定理 4.6.1: 假定,()[],,()I f x I x a I a f x ∈∈是整环那么是的根的充分必要条件是()().x a f x -定理4.6.2： 12()[],,,,,k f x I x a a a I k ∈L 是中个不同的元素则12,,,()k a a a f x L 均是的根1()()().k x a x a f x ⇔--L推论：()[],()f x I x n f x I n 若是中的次多项式则在中至多有个根.定义4.6.2:,()[],1,a I f x I x k ∈∈∃>如果使得()(),()k x a f x a f x -则称为的一个重根.定理4.6.3：()(),,f x I x a I ∈∈设那么'()()().a f x x a f x ⇔-为的重根推论：...,()[],,I U F D f x I x a I ∈∈若为那么'()()()()a f x x a f x f x ⇔-为的重根能整除与的最大公因子.作业：1. 假定216.[]I I x x I 是模的剩余类环的多项式在里有多少个根？2. 假定F 是模3的剩余类环, 我们看[]F x 的多项式3().f x x x =-证明：不管是的哪一个元f a a F()0,.11。
唯一分解环
f (x) ag(x) (a Z, g(x) 为本原多项式），（1） 其中 f (x) 的最高系数为正整数。
若 f (x) 为本原的，则由高等代数知， f (x) 可唯一分解成不可约多项式之积； 若 f (x) 不是本原的，则由（1），a 可唯一分解成素数之积，而 g(x) 可唯一分解为 Z 上不可约多项式之积（最多有符号差异）。从而 f (x) 可唯一分解成 Z[x] 内不可约元 之积。因此， Z[x] 是唯一分解成整环。
第四章 整环里的因子分解
§2 唯一分解环
一、 唯一分解环
定义 1 设 a K 满足： （1）有一个因子分解式：
a p1 p2 L pr （ pi 中 K 中不可约元）； （2）若同时又有因子分解式： a q1q2 L qs （ q j 是 K 中不可约元）；
那 么 r s ， 且 适 当 交 换 不 可 约 元 的 次序 后 ，使 pi 与 qi 相 伴
证明 设 p 是 K 的一个不可约元，且 p ab ，令 ab pc ， c K ，
若 a，b 中有零元或单位，则显然 p 至少整除 a，b 中的一个。因
此，下设 a 与 b 既不是零元也不是单位。
由于 K 无零因子，这时 c≠0。同时 c 也不是单位，否则，由上节 定理 2 知 pc 是不可约元且表成两个非单位的乘积，即 pc 有真因子，
矛盾。
因为 K 是唯一分解环，c 0 且 c 不是单位，因此，c 以及 a，b 都
可唯一分解, c p1 p2 pn ，
其中 qi , qj , pt (i 1, 2,L , r; j 1, 2,L , s;t 1, 2,L , n) 为不可约元，则有
q1q2 qrq1q2 qs pp1 p2 pn 。 由唯一分解定义知，不可约元 p 一定与某个 qi 或 qj 相伴。
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单位
两个单位 和 的乘积 是一个单位， 1 也是一个单位. 的逆
定 理4.1.2 单位同素元p的乘积也是一个素元. 证明 (1) 0, p 0 p 0;
(2) p不是单位, 若不然，‘ I使得1 ‘ (p) (‘ ) p
因此
(Z[i], , ,0,1)是欧氏环.
定理4.4.3 域F上的一元多项式环 F[ x]是一个欧氏环. 证明 显然 F[ x]是一个整环，令
则
：F[ x] Z; f ( x) deg( f ( x)), f ( x) F[ x]. 是一个映射. g ( x) F[ x] , f ( x) F[ x],
g ( x) 0 g ( x)的最高项系数an 0, 而an F , 则an可逆.
由引理4.4.1可知，q( x), r ( x) F[ x]使得
f ( x) q( x) g ( x) r ( x),
其中 r ( x) 0或r ( x)的次数小于g(x)的次数
n.
a1,an互素.
定理4.2.3
假定I是唯一分解环, a, b I , 那么有
(1)在I中, a和b有最大公因子； (2) 若d , d 均为a和b的最大公因子，则d , d 是相伴关系.
§4.3
主理想环
定义4.3.1 如果整环I中的每一个理想都是主理想，
则称I是一个主理想环，记为PID.
p是I中的素元， 则(p)为I的极大理想.
定理4.3.1 设 ( I ,,,0,1)是一个PID, 则I是UFD. 注：定理的逆不成立. 例如 Z[ x]是UFD但不是PID.
§ 4.4- § 4.6
目的与要求:
◆掌握欧氏环的定义以及欧氏环和主理想环的关系 ◆掌握本原多项式的定义与性质,以及多项式的可 约性判断. ◆掌握多项式的根,重根,导数；重根的判别定理.
例 2 F是域，则(F[ x], , ,0,1)是主理想环.
证明：设（{0} ）A是F[ x]的理想，
记A中次数最低的多项式为f ( x), 则( f ( x)) A.
另一方面，若 g ( x) A, g ( x) ( f ( x)),则f ( x)
g (x ),
设g ( x) f ( x)u( x) v( x), (v( x)) ( f ( x))而v( x) A此与f ( x)次数最小矛盾.
p是单位.此与p是素元矛盾.
(3) p只有平凡因子.
定 理4.1.3 整环中一个不等于零的元a有真因子的充
分而且必要条件是：a=bc，b和c都不是单位元.
证明 ()a有真因子 b U (I )使得b a且b不是a的相伴元.
c I 使得a bc. 若c U ( I ), 则a与b是相伴关系，故c U (I ). ()假定a bc，b, c U ( I ) b不是a的相伴元，否则
定理4.4.1 任何一个欧氏环一定是一个主理想环，因而一
定是一个唯一分解环.
注：定理4.4.1的逆不真，P.I.D未必是欧氏环. 如复数域的子环
19 1 R a b a, b Z 是一个P.I.D但不是欧氏环. 2
定理4.4.2 (Z, , ,0,1)是欧氏环,从而是唯一分解环.
相伴元
定义4.1.3 元b叫做元a相伴元，假如b=εa ,其中ε是I的一
个单位.
平凡因子；真因子 定义4.1.4 单位以及元a的相伴元叫做a的平凡因子，其
余的a的因子，叫做真因子.
素元 定义4.1.5
整环I的一个元p叫做一个素元，假如p既不 是零元，也不是单位，并且p只有平凡因子.
定 理4.1.1
' ' 则存在 k , l Z
: Z[i] \{0} Z; a bi a2 b2 ， 则 是一个映射.
使得
k k'
1 1 , l l' 2 2
2
令 k ' l 'i Z[i], ， 则 . 若
0, 则（）＝（－）＝（） － 1 ' 2 ' 2 ＝ ( k k l l ) ( ) ( ). 2
引理4.5.1
设Z是I的商域, 0 f ( x) Z[ x], 则 b (1) f ( x) f 0 ( x), a, b I , f 0 ( x)是I [ x]中的本原多项式; a
(2) 若f ( x) b f0 ( x) d g0 ( x), a, b, c, d I , f 0 ( x), g 0 ( x) 均为I [ x]中的本原
即 r ( x) 0或 (r ( x)) ( g ( x)).故F[ x]是唯一分解环.
附注 几种常见的整环之间的关系图：
整环①
UFD② PID③ ED④ 域⑤
例①可取 Z 3 ； 例②可取 Z[ x ]；
1 19 Z 例③可取 ； 2
例④可取 Z 或数域F 上的一元多项式环 F [ x] ； 例⑤可取有理数域、实 数域、复数域等．
不同的分解.
证明 (i)
(ii)
a b 3(a, b Z )是单位 ＝1.
适合条件 ＝4的元是素元 .
2
. (iii) 1 3都不是2的相伴元
§4.2
唯一分解环
唯一分解环
定义4.2.1 一个整环I叫做一个唯一分解环(UFD)，如果I
的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分
定义4.2.2 假定d, a1,an I , 如果d ai , i 1,, n, 则称d为a1,, an的一个公因子；
假定d为a1,, an的一个公因子, 若a1,, an的每一个公因子都能整除d，则称 d为a1 ,, an的一个最大公因子.
定义4.2.3 假定a ,a
1
n
I , 如果a1 ,, an 在I中的最大公因子是单位 ，则称
由分解唯一性知 p是某个qi或q j 的相伴元， ' ；如 q1 p则p b . 如 q1 p, 则p a
an p 推论 在一个UFD中, 若素元 p a1 a2 ，则 必整除某一个
a ．i
定理4.2.2 若整环I满足：
(1)I \ U (I )中每一个元均有一个分解式； (2) 若 p是I的素元, 则必有p ab p a或p b, a, b I . 那么I一定是唯一分解环.
则 是一个映射, 且a, b Z , 一定存在q, r Z使得 b aq r, r 0或(r ) r a (a). 故 (Z, , ,0,1)是一个欧氏环.
定义4.4.1 设I是整环，若 : I n Z : n 0 Z. 存在映射
§4.4
欧氏环
使得对a, b I , a 0, 存在q, r I 满足 b qa r , 其中 r 0或 (r ) (a).则称I 是一个欧氏环( ED). 例1 整环 (Z, , ,0,1)是一个欧氏环.
证明 令 : Z Z; a a , a Z.
(否则若c是单位，则pc是素元与pc可写成两个非单位的元之积矛盾).
于是 c p1 p2 pn , 诸pi皆素元 .又令 a q1q2 qr , b q1'q2' qs' , 诸q j ,qk '皆素元. 于是 q1q2 qr q1' q2 ' qs '＝p p1 p2 pn .
第四章 整环里的因子分解
§ 4.1- § 4.3
目的与要求: ◆掌握整除,单位,相伴元,平凡因子,真因子,素元, 唯一分解的概念及性质. ◆掌握唯一分解环的概念及等价定义,了解公因子 最大公因子的概念与最大公因子的存在性. ◆掌握主理想环的概念和性质，以及主理想环与 唯一分解环的关系.
§4.1
素元
引理4.4.1 假定 I[ x]是整环I 上的一元多项式，I[ x]的元
f ( x) q( x) g ( x) r ( x),
其中r ( x) 0或r ( x)的次数小于g(x)的次数 n.
g ( x) an xn an1xn1 a1x a0 的最高系数 an U (I ), 那么对 f ( x) I [ x], 存在q( x), r ( x) I [ x]使得
例2 数域F上的多项式环 ( F[ x], , ,0,1)是一个欧氏环. 例3 Gauss整数环 (Z[i], , ,0,1)是欧氏环. 证明 易证 (Z[i], , , 0,1) 是整环. 令
设 a bi Z[i]\{0}, c di Z[i], k li, k , l Z，
b a bc c 1 c U (I ) ,矛盾.
故a有真因子.
推论 假定a≠0，并且a有真因子b，a=bc，那么c也是a
的真因子.
唯一分解 定义4.1.6 我们说，一个整环I的一个元a在I里有唯一分
解，假如以下条件能被满足： （i） a p1 p2 pr (
pi 是I的素元);
qi （ii）若同时 a q1q2 qs 是I的素元); ( qi i pi 那么 r s. qi ,且可把 的次序掉换 i （ 是I的单位）.
例
(Z[ 3],,,是整环， 0,1)
4 2 2 (1 3)(1 3) 是4在此环中两种
唯一分解
单位 定义4.1.1 整环I中的可逆元ε称I的一个单位.
注:
单位和单位元是两个不同的概念，单位元一定 是一个单位，而单位未必是单位元.
整除 定义4.1.2 称整环I的一个元a可以被I的元b整除，假如
在I里找得出元c，使得a=bc.假如a能被 b整除，我们 说b是a的因子，并且用符号b|a 来表示，否则用 b a 来表示.