唯一分解整环
近世代数课件-42唯一分解环
05
唯一分解环的应用实例
在数学中的应用
唯一分解环是数学中一个重要的概念，它在代数数论、代数几何等领域有着广泛的应用。例如，在代 数数论中，唯一分解环可以用来研究整数的分解质因数问题，以及求解一些代数方程的根的问题。
唯一分解环还可以用来研究一些代数学的基本问题，如群的构造和性质、环的理想理论等。这些问题 的研究对于深入理解代数学的基本概念和原理具有重要意义。
码学等领域的研究中。
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证明方法二
采用数学归纳法，假设存在一个非零元素可以表示为有限个 不可约元素的乘积，那么可以构造一个新元素，该元素可以 表示为无限个不可约元素的乘积，与假设矛盾。
定理的应用
01
在整数的唯一分解定理中，每个非零整数都可以唯 一地表示为有限个素数的乘积。
02
在多项式的唯一分解定理中，每个非零多项式都可 以唯一地表示为有限个不可约多项式的乘积。
近世代数课件-42唯一分 解环
• 引言 • 唯一分解环的定义和性质 • 唯一分解环的定理和证明 • 唯一分解环的推论和证明 • 唯一分解环的应用实例 • 总结与展望
01
引言
什么是唯一分解环
01
唯一分解环是一种特殊的环，其每个理想都可以唯一地表示为 一个有限生成的理想和若干不可约理想的乘积。
02
在工程领域中，唯一分解环也有着广 泛的应用。例如，在通信和信号处理 中，唯一分解环可以用来研究信号的 频谱分析和调制解调等问题。
在计算机科学中，唯一分解环也可以 用来研究一些算法和数据结构的设计 和分析问题。这些问题的研究对于深 入理解工程技术和应用具有重要意义。
06
总结与展望
总结唯一分解环的重要性和应用
唯一分解整环
又 a 不是 b 的因子，故 a, b 的最大公约元不能是 a ．另一方面，
( ) a = 3 2 + − 5 ，
而 3 和 2 + − 5 都是既约元，从而 a, b 的最大公约元如果存在的话，只能是 3 或 2 + − 5 ．亦
见 3 或 2 + − 5 都不是 a, b 的最大公约元，即对于 R 中这两个元 a, b 来说， (a,b)不存在．
下证
3 /| 2 + − 5 ， 3 /| 2 − − 5 ．
若
2 + − 5 = 3(x + y − 5) ，
则 3x = 2, 3y = 1 应有整数解 x, y, 这是不可能的．同样可得 3 /| 2 − − 5 ．
有了因子的概念，我们可以定义公因子、最大公因子的概念．
定义 8 设 R 为整环，对 a, b ∈ R ，存在 d ∈ R 满足
１８３
（1） d | a, d | b ；
（2）对任意 c ∈ S ，若 c | a, c | b 则， c | d ．
则 d 是 a, b 的一个最大公约元，记为 d = (a, b) ． 由定义可知若 d 是 a, b 的一个最大公约元，对任意 ε ∈U , 则 dε 也是 a, b 的最大公约元．
p = ab ，
那么 a 或 b 至少有一个为单位，则 p 为 R 的一个既约元．
显然，在整数环中，既约元即为素元，所以我们在数论中并未区分两个概念的区别．在一 般整环中，既约元与素元未必是两个等价的概念．二者的关系通过以下定理与例子便可知晓．
定理 3 在整环 R 中，每个素元都是既约元． 证明 设 p 是 R 的素元，且
a的相伴元, 记为 a ～ b ．
第四章-整环里的因子分解
第四章 整环里的因子分解§4.1 不可约、素元、最大公因子1. 证明:0不是任何元的真因子.注 这里的0是指整环I 的零元,“任何元”是指整环I 中的任何元.证明 由于0不能整除整环I 中的非零元,因此0不是整环I 中的非零元的真因子.虽然0整除0,但0与0相伴,因此0不是0的真因子.所以0不是整环I 中任何元的真因子.2.找出Gauss 整数环},|{][Z Z ∈+==n m ni m i I 的所有单位.解 假设Z ∈b a ,,使得bi a +是I 中的单位,则存在Z ∈d c ,,使得1))((=++di c bi a ,从而,1))((2222=++d c b a .由此可见,i bi a ±±=+,1.所以i ±±,1就是I 中的所有单位.3.证明:在Gauss 整数环][i I Z =中,3是不可约元,5是可约元.证明 显然,3和5既不是零元,也不是单位.设Z ∈d c b a ,,,,使得3))((=++di c bi a .于是9))((2222=++d c b a .显然322≠+b a .因此122=+b a 或122=+d c ,从而,bi a +是单位或di c +是单位.所以3是不可约元.由5)2)(2(=-+i i 可知,i +2和i -2都是5的真因子.所以5是可约元.4.设I 是整环,I b a ∈,,直接证明:a b a ⇔=)()(～b .证明 由于I 是有单位元的交换环,根据定理3.16的推论1(3),aI a =)(,bI b =)(. 因此⇔=)()(b a 存在R s r ∈,,使得rb a =,sa b =a ⇔～b .5.设p 是整环I 的素元,m a a a p 21|(2≥m ),证明:至少存在一个i a (m i ≤≤1),使i a p |.证明 我们用数学归纳法来证明.当2=m 时,根据素元的定义,我们的断言成立.假设当n m =(2≥n )时,结论成立.当1+=n m 时,根据素元的定义,n a a a p 21|或1|+n a p .若p 不整除1+n a ,则n a a a p 21|.于是,根据归纳假设,至少存在一个i a (n i ≤≤1),使i a p |.所以当1+=n m 时,我们的断言成立.6.设整环I 中任意两个元的最大公因子都存在,m a a a ,,,21 是I 中m 个不全为零的元,若m m db a db a db a ===,,,2211 ,证明:d 是m a a a ,,,21 的最大公因子m b b b ,,,21 ⇔互素.证明 假定m m db a db a db a ===,,,2211 .m b b b ,,,21 不互素⇔I 中存在元素',,','21m b b b 和非零、非单位的元素c ,使得',,','2211m m cb b cb b cb b ===⇔I 中存在元素',,','21m b b b 和非零、非单位的元素c ,使得',,','2211m m dcb a dcb a dcb a ===d ⇔不是m a a a ,,,21 的最大公因子.所以d 是m a a a ,,,21 的最大公因子m b b b ,,,21 ⇔互素.§4.2 惟一分解环1.证明:整环},|10{]10[Z Z ∈+==n m n m I 不是惟一分解环.证明 显然,I ∈10,10,5,2,10,5,2都不是单位,也都不是零元,2和5都不是10的相伴元,但是10105210⋅=⋅=.所以I 不是惟一分解环.2.证明:Gauss 整数环][i I Z =中,5是唯一分解元.证明 首先,由§1习题第2题知,在I 中只有1±和i ±是单位.其次,显然i ±2都不是零元和单位元.事实上,i ±2是I 中的不可约元.为了阐明这一事实,考察任意的Z ∈d c b a ,,,.若i di c bi a ±=++2))((,则5))((2222=++d c b a ,由此可见,122=+b a 或122=+d c ,从而,bi a +是单位或di c +是单位.因此i ±2没有非平凡的因子.所以i ±2是I 中的不可约元.当然,它们的相伴元)2(i ±-,)2(i i ±,)2(i i ±-也都是不可约元.现在设Z ∈d c b a ,,,,使得5))((=++di c bi a . (*)于是,25))((2222=++d c b a .由此可见,122=+b a 或522=+b a .当122=+b a ,i bi a ±±=+,1是I 中的单位,从而,di c +是5的相伴元.这时(*)式不是5的不可约元分解式.当522=+b a 时,bi a +的值只能是如下八个数之一:i ±2,)2(i ±-,)2(i i ±,)2(i i ±-.显然,这八个数都是5的真因子.这样一来,根据(*)式可以断言,)2)(2(5i i -+=是5的不可约元分解式,并且:对于5的任意一个不可约元分解式n p p p 215=,必有2=n ;必要时,交换1p 和2p 的下标和次序后,1p 与i +2相伴且2p 与i -2相伴.所以5是唯一分解元.2.按惟一分解环定义直接证明定理4.11.注 定理4.11的内容如下:在一个惟一分解环I 中,每一个不可约元都是素元.证明 设I p ∈是一个不可约元.任意给定I b a ∈,,并假设ab p |.于是,存在I c ∈,使得pc ab =.当0=a 或0=b 时,显然a p |或b p |.当a 为单位时,有pc a b 1-=,从而,b p |.同理,当b 为单位时,有a p |.现在假定a 和b 都不是零元和单位.显然,c 不是零元,也不是单位.由于I 是惟一分解环,不妨设m p p p a 21=,n q q q b 21=,u r r r c 21=.其中,j p (m j ≤≤1),k q (n k ≤≤1)和l r (u l ≤≤1)都是不可约元.于是,n m u q q q p p p r r pr 212121=. (*)由于I 是惟一分解环,可以断言:或者存在j (m j ≤≤1),使得p 与j p 相伴,从而,a p |; 或者存在k (n k ≤≤1),使得p 与k q 相伴,从而,b p |.总而言之,a p |或b p |.这样一来,由于I b a ∈,的任意性,我们断言p 是素元.4.设I 是惟一分解环,m a a a ,,,21 是I 中m (2≥m )个元,证明:在I 中m a a a ,,,21 的最大公因子存在,且任意两个最大公因子互为相伴元.证明 首先,我们用数学归纳法来证明m a a a ,,,21 有最大公因子.事实上,定理4.10告诉我们,当2=m 时,结论成立.假设当n m =2(≥n )时结论成立.现在考察1+=n m 的情形:根据归纳假设,不妨设a 是n a a a ,,,21 的一个最大公因子.根据定理4.10,可设d 是a 与1+n a 的最大公因子.显然,d 是121,,,,+n n a a a a 的一个公因子.假设'd 是121,,,,+n n a a a a 的一个公因子.则'd 是n a a a ,,,21 一个公因子.由于a 是n a a a ,,,21 的一个最大公因子,因此a d |'.由于1|'+n a d ,因此'd 是a 与1+n a 的公因子.这样一来,由于d 是a 与1+n a 的最大公因子,因此d d |'.所以d 是121,,,,+n n a a a a 的一个最大公因子.所以当1+=n m 时m a a a ,,,21 有最大公因子.§4.3 主 理 想 环1.设I 是主理想环,d 是I b a ∈,的一个最大公因子,证明:I t s ∈∃,,使bt as d +=. 证明 根据定理3.16的推论2,),()()(b a b a =+,其中),(b a 表示},{b a 生成的理想.根据定理 4.15,),()(b a d =.因此)()()(d b a =+.由)()(b a d +∈可知,存在I t s ∈,,使bt as d +=.2.设I 是主理想环,I b a ∈,,证明:b a ,互素I t s ∈∃⇔,,使1=+bt as .证明 根据定义4.8、第1题、定理3.16的推论2以及定理4.15,我们有b a ,互素⇔1是a 与b 的一个最大公因子⇒存在I t s ∈,,使1=+bt as)()(1b a +∈⇒),()()()1(b a b a =+=⇒⇒1是a 与b 的一个最大公因子.所以b a ,互素I t s ∈∃⇔,,使1=+bt as .3.设I 是主理想环,I b a ∈,,证明:(1)若b a ,互素,且bc a |,则c a |;(2)若b a ,互素,且c a |,c b |,则c ab |.证明 (1) 当0=a 时,由bc a |可知,0=bc ;由a 与b 互素可知,b 是单位.因此0=c .所以c a |.当a 是单位时,显然c a |.假设a 既不是0,也不是单位.由于bc a |,因此bc 既不是0,也不是单位;从而,b 和c 都不是0.若b 是单位,则由bc a |可知c a |.现在假定b 不是单位.由于I 是主理想环,根据定理4.14,I 是惟一分解整环.不妨设m p p p a 21=,n q q q b 21=,其中m p p p ,,,21 和n q q q ,,,21 都是R 中的既约元.于是存在I k ∈,使得c q q q p p kp n m 2121=.由于a 与b 互素,因此i p (),,2,1m i =与j q (),,2,1n j =不相伴.这样一来,由上式可知,c 可以表示成如下形式:m p p p k c 21'=.所以c a |.(2)显然,当0=a 或0=b 时,0=c ,从而,c ab |;当a 是单位或b 是单位时,c ab |.现在假设a 和b 既不是0,也不是单位.由于I 是主理想环,根据定理4.14,I 是惟一分解整环.不妨设m p p p a 21=,n q q q b 21=,其中m p p p ,,,21 和n q q q ,,,21 都是I 中的既约元.于是,n m q q q p p p ab 2121=,n m q q q k p p kp c 2121'==.如果a 与b 互素,那么,i p (),,2,1m i =与j q (),,2,1n j =不相伴.这样一来,因为I 是唯一分解整环,c 可以表示成如下形式:ab k q q q p p p k c n m ''''2121== .所以c ab |.4.在整数环Z 中,求出包含)6(的所有极大理想.证明 我们知道,整数环Z 是主理想环.设)(a 是包含)6(的一个极大理想.根据定理4.4,a 是6的真因子.因此2±=a 或3±=a .所以)2()2(-=和)3()3(-=就是包含)6(的所有极大理想.5.在有理数域Q 上的一元多项式环][x Q 中,理想)23,1(23+++x x x 等于怎样一个主理想?解 显然,1+x 是13+x 与232++x x 的一个最大公因子.根据定理3.16的推论2和定理4.15,)1()23,1(23+=+++x x x x .6.证明:)3/(][2+x x Q 是一个域.证明 首先, 由于Q 是域,根据§3.7中的例1,][x Q 是主理想环.其次,显然32+x 是][x Q 中的不可约元.这样一来,根据定理4.16和定理3.23,)3/(][2+x x Q 是一个域.§4.4 欧 氏 环1.证明:域F 是欧氏环.证明 定义}0{\F 到到}0{ N 的映射φ如下:1)(=a φ,}0{\F a ∈∀.显然,对于任意的}0{\F a ∈和F b ∈,存在F q ∈,使得0+=aq b .所以F 是欧氏环.2.证明:整环},|2{]2[Z Z ∈-+=-n m n m 关于*-]2[Z 到}0{ N 的映射222)2(n m n m φ+=-+是一个欧氏环.证明 考察任意的*-∈]2[Z α和]2[-∈Z β:设2-+=b a α,,2-+=d c β其中Z ∈d c b a ,,,.于是,222222)(2(22222222-+-+++=+---+=-+-+=b a bc ad b a bd ac b a b a d c b a d c αβ. 根据带余除法,存在Z ∈v u q q ,,,21,使得u q b a bd ac ++=+122)2(2,)2(21||022b a u +≤≤; v q b a bcd ad ++=-222)2(,)2(21||022b a v +≤≤. 令221-+=q q q .则222222222222b a v u q b a bc ad b a bd ac αβ+-++=-+-+++=, 从而222)2(b a αv u q αβ+-++=.注意到]2[,,-∈Z q βα,由上式可知,]2[2)2(22-∈+-+Z b a αv u .令222)2(ba αv u r +-+=,则]2[-∈Z r ,并且 r q αβ+=.当0≠r 时,222222||)2(|)2(|||)(αb a v u r r φ⋅+-+== )(2||22||222222αφb a v b a u ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= )()(2141αφαφ<⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤. 所以整环]2[-Z 关于*-]2[Z 到}0{ N 的映射φ是一个欧氏环.3．证明:整环},|2{]2[Z Z ∈+=n m n m 关于*]2[Z 到}0[ N 的映射|2|)2(22n m n m φ-=+是一个欧氏环.证明 令},|2{]2[Q Q ∈+=b a b a .定义*]2[Q 到Q 的映射ψ如下:|2|)2(22b a b a ψ-=+,*∈+∀]2[2Q b a ,其中Q ∈b a ,.于是,对于任意的*∈++]2[2,2Q d c b a (其中Q ∈d c b a ,,,),我们有)2()2(d c ψb a ψ+⋅+|)2)(2(|2222d c b a --=|)2)(2)(2)(2(|d c d c b a b a -+-+=|)2)(2)(2)(2(|d c b a d c b a --++=|)2)()2)((2)()2((|bc ad bd ac bc ad bd ac +-++++=|)(2)2(|22bc ad bd ac +-+=)2)()2(bc ad bd ac ψ+++=))2)(2((d c b a ψ++=.此外,显然]2[]2[Q Z ⊆,并且ψ在*]2[Z 上的限制就是φ.任意给定]2[2,]2[2Z Z ∈+=∈+=*d c βb a α,其中Z ∈d c b a ,,,.为了证明]2[Z 是欧氏环,现在只需阐明存在]2[,Z ∈r q ,使得r q αβ+=,其中,0=r 或)()(αφr φ<.事实上,我们有222222)()2(2)2)(2(b a bc ad bd ac b a d c b a αβ--+-=-+-=.根据带余除法,存在Z ∈v u q q ,,,21,使得u b a q bd ac +-=-)2(2221,|2|21||022b a u -≤≤; v b a q bc ad +-=-)2(222,|2|21||022b a v -≤≤. 令221q q q +=.于是,2222222b a v b a u q αβ-+-+=, 从而,αbc v b a u q αβ)222(2222-+-+= 22222222b c bu av b a bv au q α-++-++=. 注意到]2[,,Z ∈q βα,由上式可知,2222b a bv au -+和222b a bu av -+都是整数.令 22222222ba bu avb a bv au r -++-+=. 于是,]2[Z ∈r ,并且r q αβ+=.当0≠r 时,)()(r ψr φ=)()222(2222αψb a v b a u ψ⋅-+-= )(222222222αφb a v b a u ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)(22222222αφb a v b a u ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤ )()(2141αφαφ<⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤.§4.5 惟一分解环上的一元多项式环1.证明:设)(),(21x f x f 是][x I 中两个本原多项式,若它们在][x Q 中相伴(Q 为I 的商域),则在][x I 中也相伴.证明 假设)(),(21x f x f 在][x Q 中相伴,则存在][x Q 中的单位u ,使得)()(21x uf x f =.由于][x Q 中的单位就是Q 中的非零元,且Q 为I 的商域,因此可设ab u =,其中b a ,是I 中的非零元.于是,)()(21x bf x af =.这样一来,根据引理1可以断言,)(),(21x f x f 在][x I 中相伴.2.设I 是惟一分解环,][)(),(x I x g x f ∈,且)()(1x af x f =,)()(1x bg x g =,I b a ∈,,)(),(11x g x f 是本原多项式,证明:若)(|)(x f x g ,则a b |.证明 不妨设)()()(x q x g x f =.于是,)()()(11x g x bq x af =.由于)(),(11x g x f 是本原多项式,根据上式和引理1可以断言,a ～)(x bq .由此可见,I x q ∈)(,从而,a b |.3.设)(x f 是][x Z 中首项系数为1的多项式,证明:若)(x f 有有理根a ,则a 是整数. 证明 假定)(x f 有有理根a .则))(()(a x x q x f -=,其中][)(x x q Q ∈.根据引理1,存在Q ∈21,r r 和本原多项式)(),(21x f x f ,使得)()(11x f r x q =,)(22x f r a x =-.于是,)()()(2121x f x f r r x f =.根据Gauss 引理,)()(21x f x f 是本原多项式.由于)(x f 的首项系数为1,由上式可知121=r r ,从而,)()()(21x f x f x f =.由此可见,)(2x f 的首项系数为1或1-.这样一来,由)(22x f r a x =-可知,a x x f -=)(2或a x x f +-=)(2.因为)(2x f 是本原多项式,所以a 是整数.4.域F 上的二元多项式环],[y x F 是惟一分解环,但不是主理想环. 证明 ]][[],[y x F y x F =.由于F 是域,根据定理 4.17可以断言,][x F 是欧氏环.根据定理4.18又可以断言,][x F 是惟一分解环.由于]][[],[y x F y x F =,根据定理4.21,可以断言,],[y x F 是惟一分解环.令A 表示],[y x F 中次数大于或等于1的所有多项式和零多项式组成的集合.显而易见,A 是],[y x F 的一个理想.考察任意的A y x f ∈),(:显然,或者)),((y x f x ∉,或者)),((y x f y ∉,但是A y x ∈,.因此)),((y x f A ≠.由此可见,A 不是],[y x F 的主理想.所以],[y x F 不是主理想环.5.证明:1053532),(22---+-=y x y xy x y x f 是],[y x Z 中不可约多项式. 证明 令][x I Z =.则][],[y I y x =Z .由于整数环Z 是惟一分解整环(参看§4.2),根据定理4.22,],[][y x y I Z =也是惟一分解整环.由于][5)53()1032(),(22y I y y x x x y x f ∈++---=,53+x 是I 中的不可约元,53+x ł5,)53(|53+-+x x ,53+x ł10322--x x ,根据定理4.23(Eisenstein 判别法),),(y x f 是],[y x Z 中不可约多项式.§4.6 因子分解与多项式的根1.问:][16x Z 中多项式2)(x x f =在16Z 中有多少个根?答 由直接演算知,][16x Z 中2)(x x f =在16Z 中有如下四个根:]0[,]4[,]8[,]12[.2.证明:][6x Z 中多项式x x x f -=3)(在6Z 中有6个根.证明 由直接演算知,6Z 中的]4[],3[],2[],1[],0[和]5[都是][6x Z 中多项式x x x f -=3)(的根.所以][6x Z 中多项式x x x f -=3)(在6Z 中有6个根.3.试求][5x Z 中多项式1)(5-=x x f 在5Z 中的根.解 由于5Z 是特征为5的域,因此55)1(1)(-=-=x x x f .由于5Z 无零因子,因此只有当]1[=x 时)(x f 的值为]0[,从而,)(x f 只有]0[=x 这个根.显然它是5重根.4.判断:(1)][3x Z 中多项式1)(2+=x x f 是否可约?(2)][5x Z 中多项式1)(2+=x x f 是否可约?解 (1)显然1)(2+=x x f 在3Z 中没有根,所以)(x f 是][3x Z 中的不可约多项式.(2)显然,5Z 中的]2[是)(x f 的根,所以)(x f 是][5x Z 中的可约多项式.5.设0ch =I ,][)(x I x f ∈,I a ∈，1≥k ,证明:a 是)(x f 的k 重根⇔a 是)(x f 的根,且a 是)('x f 的1-k 重根.证明 我们有a 是)(x f 的k 重根⇔存在][)(x I x g ∈,使k a x x g x f ))(()(-=,且a 不是)(x g 的根⇔存在][)(x I x g ∈,使1)))()((')(()('---+=k a x a x x g x kg x f .由于0ch =I ,0)(≠a g ,因此0)())((')(≠=-+a kg a a a g a kg ,从而,a 是)('x f 的1-k 重根.所以a 是)(x f 的k 重根⇔a 是)(x f 的根,且a 是)('x f 的1-k 重根.复 习 题 四1.设整环⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=}0{,2 N Z n m m I n ,找出I 中的所有单位与不可约元. 解 假设n m 2(其中Z ∈m ,}0{ N ∈n )是单位.于是,存在Z ∈k 和}0{ N ∈s ,使得122=⋅s n k m .由此可见,存在Z ∈j ,使得j n m 22±=.反过来,显然,对于任意的Z ∈j ,有I j ∈±2.显然I j ∈±21并且是j 2±的逆元.所以I 中的所有单位为:j 2±,Z ∈j . 假设n m 2(其中Z ∈m ,}0{ N ∈n )是不可约元.于是,0≠m 且s m 2±≠,Z ∈∀s .不妨设r s p p p m 212±=,其中1≥r ,Z ∈s ,r p p p ,,,21 为奇素数.若1>r ,则0212222r n s n p p p m ⋅±=.由于n j p 221和022r p p 都不是单位,这与n m 2是不可约元矛盾.所以1=r ,从而,n s n p m 2221±=,即存在Z ∈j 和奇素数p ,使得p m j n 22±=.反过来,设Z ∈j ,p 是奇素数,考察p j 2:显然,I p j ∈2并且既不是零元,也不是单位.假设I k m s n ∈2,2(其中Z ∈k m ,,}0{, N ∈s n ),并且|2p j s n k m 22⋅,即存在I l t ∈2(其中Z ∈j ,}0{ N ∈t ),使得s n t j k m l p 2222⋅=⋅.于是,m p |或k p |.当m p |时,我们有)2(22)(j n j n pm p m +-⋅⋅=, 其中I p m j n ∈⋅+-)(2,从而,n j m p 2|2.同理,当k p |时,s j k p 2|2.由此可见,p j 2是素元.因此p j 2±是不可约元.所以I 中的所有不可约元为:p j 2±,Z ∈j ,p 为奇素数. 2.求模8剩余类环8Z 的所有非零理想,以及它们的交. 解 8Z 的非零理想有:8Z ,]}6[],4[],2[],0{[,]}4[],0{[;它们的交是]}4[],0{[.3.证明:在惟一分解环I 中,任意两个元b a ,都有一个最小公倍元,即I m ∈∃,使m b m a |,|,并且若n b n a |,|,则n m |.(用],[b a 表示a 与b 的任意一个最小公倍元.)证明 设b a ,是惟一分解环I 中任意两个元.根据定理 4.10,b a ,有最大公因子.令),(b a 表示a 与b 的任意一个最大公因子,p b a a ),(=,'),(p b a b =. 由§4.1习题第6题知,p 与'p 互素.令'],[ap b a =.现在我们来阐明],[b a 就是a 与b 的一个最小公倍元.事实上,首先,由],[b a 的定义知],[|b a a .其次,我们有bp p p b a pp b a ap b a ===='),('),('],[,从而,],[|b a b .最后,假设I c ∈,使得c a |且c b |,则存在I q q ∈',,使得'bq aq c ==.于是,我们有''),(),(q p b a pq b a c ==.当0),(=b a 时,由pq b a aq c ),(==可知0=c ,从而,c b a |],[.当0),(≠b a 时,由等式''),(),(q p b a pq b a c ==可知''q p pq =.由于p 与'p 互素,根据等式''q p pq =和§4.3习题第3题可以断言q p |'.设t p q '=.于是,t b a t ap t pp b a pq b a c ],[''),(),(====,从而,c b a |],[.所以],[b a 是a 与b 的一个最小公倍元.4.证明:在一个惟一分解环I 中,ab ～),](,[b a b a . 证明 设),(b a 是a 与b 的任意一个最大公因子,],[b a 是a 与b 的任意一个最小公倍元,p b a a ),(=,'),(p b a b =,'ap m =.由上题知,bp m =,并且m 是a 与b 的一个最小公倍元.此外,我们我们还有),(),(b a m pb b a ab ==.此外,由最小公倍元的定义可知,m ～],[b a .因此),(b a m ～),](,[b a b a ,即ab ～),](,[b a b a .5.设I 是惟一分解环, ),(,),(),(21x f x f x f n 是][x I 中本原多项式的序列,并且)(|)(1x f x f i i +, ,,,2,1n i =.证明:这个序列只有有限个互不相伴的项.证明 由于I 是惟一分解环,根据定理4.21,][x I 也是惟一分解环.由惟一分解环的定义可知,][x I 中每个非零元至多有有限个互不相伴的因子.假设序列 ),(,),(),(21x f x f x f n 中有无限个互不相伴的项.不失一般性,假定其各项互不相伴.由于)(|)(1x f x f i i +, ,,,2,1n i =,因此)(|)(1x f x f i ,N ∈∀i .这样一来,)(1x f 有无限个互不相伴的因子.因此0)(1=x f .这与)(1x f 为本原多项式的事实矛盾.所以 ),(,),(),(21x f x f x f n 中只有有限个互不相伴的项.6.设I 是惟一分解环,][)(),(x I x g x f ∈,且1))(),((=x g x f .证明:1))()(),()((=+x g x f x g x f .证明 由于I 是惟一分解环,根据定理4.21,][x I 是惟一分解环.令d x g x f x g x f =+))()(),()((.由1))(),((=x g x f 可知,0≠d .假设d 不是单位.则存在素元][)(x I x p ∈,使得d x p |)(,从而,)()(|)(x g x f x p 且)()(|)(x g x f x p +.因为)(x p 是素元,由)()(|)(x g x f x p 可知,)(|)(x f x p 或)(|)(x g x p .又因)()(|)(x g x f x p +,故)(|)(x f x p 且)(|)(x g x p ,这与1))(),((=x g x f 矛盾.所以d 不是单位,从而,1))()(),()((=+x g x f x g x f .7.设0I 是一个主理想环,I 是整环,且0I ≤I .证明:假若d 是0I 中的a 和b 的一个最大公因子,那么d 也是I 中的a 和b 的一个最大公因子.证明 设由于d 是0I 中的a 和b 的一个最大公因子.由于0I ≤I ,因此d 也是I 中的a 和b 的一个公因子.设'd 是I 中的a 和b 的任意一个公因子.则存在I b a ∈',',使得''a d a =,''b d b =.其次,由于d 是0I 中的a 和b 的一个最大公因子,根据§4.3习题第2题,存在0,I t s ∈,使得bt as d +=,从而,)''('''''t b s a d t b d s a d d +=+=.因此d d |'.所以d 也是I 中的a 和b 的一个最大公因子.8.设一元多项式环][x I 是主理想环,][)(),(x I x g x f ∈,)(x m 是)(x f 与)(x g 的一个最小公倍元,证明:))(())((())((x g x f x m =.注 这里假定I 是整环.证明 由于][x I 是主理想环,根据定理 4.14,][x I 是唯一分解环.由于)(x m 是)(x f 与)(x g 的一个最小公倍元,不妨设)()()()()(x g x q x f x p x m ==.显而易见,1))(),((=x q x p .这样一来,对于任意的][)(x I x h ∈,我们有))(()(x m x h ∈⇔存在][)(x I x r ∈,使得)()()(x m x r x h =⇔存在][)(x I x r ∈,使得)()()()()()()(x g x q x r x f x p x r x h == ))(())(()(x g x f x h ∈⇒⇒存在][)(),(21x I x r x r ∈,使得)()()()()(21x g x r x f x r x h == )(|)(x h x m ⇒))(()(x m x h ∈⇒.所以))(())((())((x g x f x m =.9.证明:(1)1)(3++=x x x p 是][2x Z 中不可约多项式;(2))1/(][32++x x x Z 是域.证明 (1)显然,1)1()0(==p p .因此x 和11+=-x x 都不是)(x p 的因子.由此可见,)(x p 是][2x Z 中不可约多项式.(2)首先,由于2Z 是域,根据§3.7中的例1,][2x Z 是主理想环.其次,根据(1),13++x x 是][2x Z 中的不可约元.这样一来,根据定理 4.16和定理3.23,)1/(][32++x x x Z 是一个域.10.设I 是一个主理想环,I a ∈≠0.证明:当a 是不可约元时,)/(a I 是一个域;当a 是可约元时,)/(a I 不是整环.证明 当a 是不可约元时,根据定理4.16和定理3.23,)/(a I 是一个域.当a 是可约元时,存在a 的真因子c b ,,使得bc a =.于是,)()(a a b ≠+,)()(a a c ≠+.但是)()()()()())())(((a a a a bc a c a b =+=+=++.这就是说,)(a b +和)(a c +是)/(a I 中的零因子.所以)/(a I 不是整环.。
近世代数第四章整环里的因式分解
第四章整环里的因式分解§1. 素元、唯一分解本讲中, 总假定为整环, 为的商域.1. 整除定义1 设D为整环, Db,, 如果存在Da∈c∈, 使得则称整除, 记作; 并称是的一个因子, 是的倍元.•整环中的整除概念是整数环中整除概念的推广, 因此有许多与整数的整除相类似的性质.•整除有下列常用的性质:(1) 如果, , 则;(2) 如果, , , 则.2.相伴定义2整环D的一个元叫做D的一个单位，假如是一个有逆元的元。
元叫做元的相伴元，假如是和一个单位的乘积：定理１两个单位的乘积也是一个单位.单位的逆元也是一个单位.例１因为整数环的单位仅有１与-１，故任一非零元有２个相伴元：与a-.例２有四个单位，１，-１，i,-i,所以任一非零元，有四个相伴元：定义3 单位以及元的相伴元叫做的平凡因子.若还有别的因子，则称为的真因子.３. 素元定义4 设D为整环，Dp∈，且既非零也非单位，如果只有平凡因子，则称为一个素元.定理２单位ε与素元的乘积也是一个素元.定理３整环中一个非零元有真因子的充分且必要条件是：，这里，都不是单位.推论设，并且有真因子：.则也是的真因子.定义5 我们称一个整环D的元在D中有唯一分解，如果以下条件被满足：(i) (为D的素元)(ii) 若同时有（为的素元）则有，并且可以调换的次序，使得（为的单位）整环的零元和单位不能有唯一的分解.所以唯一分解问题研究的对象只能是非零也非单位的元.例３给整环.那么有：(1)的单位只有.(2)适合条件的元一定是素元.首先，；又由(1),也不是单位.设为的因子：那么但不管，是何整数，或４若，则是单位.若，则而为单位.因而是的相伴元.从而只有平凡因子，故是素元.(3)没有唯一分解：我们有(A) ,,故由(2),2,都是的素元.由(1),都不是２的相伴元，因而给出了４的两种不同分解从而４没有唯一分解. 这说明并不是任意整环中的非零和非单位的元都有唯一分解.$2. 唯一分解环定理１一个唯一分解环有以下性质：若一个素元能够整除，则有整除或.定理２做定整环有如下性质：(i)的每一个非零非单位的元都有一个分解.（为的素元）(ii)的一个素元若能够整除，则有整除或，则一定是一个唯一分解环.定义6 元叫做的公因子，如果.定理３一个唯一分解环的两个元和在里一定有最大公因子.和的两个最大公因子和只能差一个单位因子：（是单位).推论一个唯一分解环的个元在里一定有最大公因子.的两个最大公因子只能差一个单位因子.定义一个唯一分解环的元称为互素的，如果它们的最大公因子是单位.$3. 主理想环引理１设是一个主理想环.若在序列里的每一个元是前一个元的真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.引理２设是一个主理想环，那么的任一素元生成一个最大理想.定理一个主理想环是一个唯一分解环.证：我们证明是一个唯一分解环.设且不是零也不是单位.若不能写成有限个元的乘积，则不是一个素元，所以由$４.１的推论，都是的真因子.的这两个真因子中至少有一个不能写成素元的乘积，否则就是素元的乘积而与假设矛盾.于是有这样的结论；若没有分解，则一定有一个真因子也没有分解.这样，在没有分解的假设之下，就得到一个无穷序列在此序列中每一个元都是前一个元的真因子.依照引理１，这是不可能的，所以一定有分解.即满足$４.２定理２中的条件(i).又设的素元能整除的元乘积，那么这就是说在剩余类环里，所代表的类与o所代表的类相同：由引理２，是最大理想，因而由$３.９的定理，是一个域.因为域没有零因子，所有由上面等式有或即有或亦即或从而或，故也满足$４.２定理２的条件(iii).因而是一个唯一分解环.$4. 欧氏环定义一个整环叫做一个欧氏环，如果(i)有一个从的非零元所作成的集合－｛０｝到全体非负整数作成的集合的映射存在；(ii)任意给定的一个非零元，的任何元都可以写成的形式，这里有或例整数环是一个欧氏环.因为：定理１是一个适合条件(i)的映射并且任意给定整数，则任何整数都可写成这里或上面定义中的映射称为欧氏映射.定理１每一个欧几里德环都是主理想整环, 因而也是唯一分解环.证明设为欧几里德环的任一理想, 为欧氏映射.(1) 如果, 则.(2) 如果, 令则非空, 且. 设, 使得为中的最小数, 下证.任给, 因为, 所以存在, 使得. 于是, .如果, 则, 与的选取矛盾. 所以, , 则, 于是. 由的任意性可知.又, 所以, 从而.这就证明了, 的任一理想都是主理想, 故为主理想整环.定理２整数环是主理想，因而是唯一分解环.定理３一个域上的一元多项式是一个欧氏环.因而是一个唯一分解环.$５. 多项式环的因子分解本章讨论唯一分解环上的一元多项式环.我们称的素元即素多项式为不可约多项式，日有真因子的多项式叫做可约多项式.定义的一个元叫做一个本原多项式，如果的系数的最大公因子是单位.我们有如下结论：(A)的单位是的仅有的单位.(B)一个本原多项式不会等于零.(C)若本原多项式可约，那么且有（表示的次数）引理1 设，那么是本原多项式的充分且必要条件是和都是本原多项式.设是的商域，那么多项式环是唯一分解环.引理2 的每一个非零多项式都可以写成的形式，这里是的本原多项式.如果也有的性质，那么，（为的单位）引理3 的一个本原多项式在里可约的充分必要条件是在里可约.引理4 的次数大于零的本原多项式在里有唯一分解.有了以上的结论，我们就有定理如果是唯一分解环，，则也是唯一分解环.$６. 因子分解与多项式的根定义整环的元叫做的多项式的一个根，如果有定理１是的一个根的充分且必要条件是整除定理２的个不同的元都是的根的充分且必要条件是整除推论若的次数为，则在中至多有个根.定义的元叫做的一个重根，如果能被整除，这里是大于1的整数.定义由多项式唯一决定的多项式叫做的导数.导数适合如下计算规则：,定理３的一个根是一个重根的充分且必要条件是整除推论设是唯一分解环.的元是的一个重根的充分且必要条件是：能整除和的最大公因子.。
本原多项式
数学术语
01 定义
03 应用
目录
02 定理
Hale Waihona Puke 本原多项式是近世代数中的一个概念，是唯一分解整环上满足所有系数的最大公因数为1的多项式。本原多项 式不等于零，与本原多项式相伴的多项式仍为本原多项式 。
定义
设是唯一分解整环上的多项式，如果，则称为上的一个本原多项式 。（符号表示最大公约数） 本原多项式满足以下条件，本原多项式要求为不可约多项式： 1）是既约的，即不能再分解因式； 2）可整除，这里的； 3）不能整除，这里。
应用
1）在MATLAB中，本原多项式可以通过函数primpoly(x)来产生。 2）在MATLAB中，通过函数gfprimfd(m,'min')可以找到一个最小的本原多项式。
谢谢观看
定理
高斯引理：本原多项式的乘积还是本原多项式。 证明：设和分别是n次与m次的本原多项式。 令 其中 这里，当s>n或t>m时，规定及。 假定不是本原的，则存在上的不可约元，使。（式表示整除） 已知，设及中最先一个不能被整除的元素分别为与，则 因为且，而不整除、，所以不整除，这与能整除矛盾。 这就证明了为本原多项式。
整环里的因子分解讲解
不可约元。 由此可知，环 Z[ 5i]中的元素 3 及 2 5i 都是不可约元。
由于 3 2 5i 2 5i ，但 3 不能整除 2 5i 与 2 5i
定理 4.1.1 设环 K 的全体单位组成的集合为 G ，则 G 对 K 的乘 法构成一个交换群。
证明 对任意 a,b G ，有 a,b K ，存在 a1,b1 K ，因
aa1 1， bb1 1 ，
从而有
(ab)(b1a1) a(bb1)a1 1。
所以 ab 为单位，故 ab G 。 因 K 满足结合律，所以在 G 中亦满足结合律。 由于 K 的单位元 1 是可逆的，所以1G 。 G 中的每一个元都有逆元，且逆元在 G 中。 故 G 对于 K 的乘法构成交换群。
约元。
定理 4.1.3 整环中一个不等于零的元 a 有真因子的充分 必要条件是：a=bc (b 和 c 都不是单位)。
证明 若 a 有真因子 b ,那么 a=bc 这里的 b 由真因子的定义不是单位。c 也不是单位，不然 的话 b ac1 ，b 是 a 的相伴元，与 b 是 a 的真因子的假定 不合。 反过来，假定 a=bc b 和 c 都不是单位。这时 b 不会是 a 的相伴元，不然的话
不可约元。 证明 设 是 K 中的任意一个单位，则 a 是 a 的任意
一个相伴元。 下证 a 是 K 中的不可约元。
由于 0 ， a 0 ， K 无零因子，所以a 0 ；又由于 a 是不可约元，所以 a 不是单位，否则，存在 K ，使得
( a) 1，从而有 a( ) 1 ，于是 a 为单位，这与 a 是不可
第五章 惟一分解整环
定义
对于 K 中的单位 ε， aε 叫做 a 的相伴元，也称为做 a 的
平凡因子，其余的 a 的因子，叫做真因子.
K 中元素的相伴关系是一个等价关系。即 a, b 在 K 中相伴
⇔ a, b 互相整除。
例 4 因为整数环 Z 的单位仅有 1 与 -1, 故任一非零元 a 有 2 个相伴元: a 与
例 1 整数环是一个欧氏环。 其欧氏映射为: ϕ x） | x |, x ∈ Z . （ = 例 2 一个域 F 上的一元多项式环 F[x]是一个欧氏 环。
（ = 其欧氏映射为： ϕ f ( x)） ∂ ( f ( x)), f ( x) ∈ F [ x] .
二
主要结论
定理 任何欧氏环 K 一定是一个主理想环，因而一定是一个
惟一分解环。
逆命题不成立：主理想整环未必是欧氏环。
欧氏环 ⊂ 主理想整环 ⊂ 惟一分解环 ⊂ 有单位元素的环 。
作业
P240-241，习题 5.4
1，2，3
§5.5* 惟一分解整环的多Байду номын сангаас式扩张
一 基本内容
定义 个推广。 惟一分解环 K 上的多项式环 K[x]就是 K 的一个扩张。 如果环 R 是环 S 的一个子环，则称 S 是环 R 的一
−a .
例 5 Z [i ] 有 4 个单位, 1, -1,
,
.
任一非零元 a + bi (a, b ∈ Z ) 有 4 个相伴元: ± (a + bi ), ± (b − ai ) . 例 6 设 a, b ∈ K . 证明: a ∼ b 当且仅当 ( a ) = (b) . 例7 求 Gauss 整环的所有单位以及整数 5 在 Z[i]中的所有真因子。
唯一分解整环
例：① 整数环(Z,＋,· )是唯一分解整环，每个非零元都 可以分解为素数的乘积．
②数域P上的一元多项式环P[x]也是唯一分解整环, P[x]中每个非零元多项式都可以分解为不可约多项 式之积，且分解满足有限性和唯一性． 唯一分解整环有下列性质：
Th1:设R是唯一分解整环，则R中每一个不可约元都是 素元，即若p不可约，则p |(ab) p|a 或 p|b. 证明：设p不可约， p|(ab) .显然，若a,b中有一个是0或 可逆元，则必有p|a 或 p|b．
Th2: 设R是有单位元的整环，则以下命题等价：
⑴ R是唯一分解整环;
⑵ R满足如下条件:
1°R中的任何真因子链｛ai｝(ai+1是ai的真因子)只有 有限项; 2°R中每一个不可约元都是素元. ⑶ R满足如下两条件:
1°同⑵中的条件1°;
2°R中任两元素均有最大公因子. End
由定义可得以下基本事实： 1°0是任何元素的倍元； 2°单位元1是任何元素的因子； 3°可逆元u是任何元素的因子：a =u (u-1 a)
4°传递性： a|b，b|c a|c
5°a～b相伴，则a，b相差一可逆元因子；
6°相伴关系是等价关系
7°可逆元无真因子，且所有可逆元都与1相伴。
Def：设R 是一个整环，a，b∈R，p≠0 (1) 若p无真因子，则称p是不可约元（即p≠0不是可逆 元， p的仅有的真因子是可逆元）; (2) 当p|ab 时必有p | a 或p | b，则称p为素元.
设环r是一个有单位元的整环若满足以下两个条件r中每个非零的非可逆元a可分解为有限个不可约元之积有限分解性上述分解式是唯一的唯一性既若有i12
§4.3 唯一分解整环
(4.3 Uniquely Factorial Domain Ring)
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①若 p|a，则 p～a，从而b可逆；
②若 p|b，则 p～b，从而a可逆；
即 a，b 中总有一个可逆元，p 不可约）
4.3.2 唯一分解整环(Uniquely Factorial Domain)
Def: 设环R是一个有单位元的整环，若满足以下两 个条件 (1) R中每个非零的非可逆元a可分解为有限个不可约 元之积 (有限分解性） a=p1p2…pm (2) 上述分解式是唯一的(唯一性) ，既若有 a=p1p2…pm＝q1q2…qn 则m=n,且经适当排列有pi ~ qi, i=1,2,…,n 称环R是唯一分解整环.
由定义可得以下基本事实： 1°0是任何元素的倍元； 2°单位元1是任何元素的因子； 3°可逆元u是任何元素的因子：a =u (u-1 a)
4°传递性： a|b，b|c a|c
5°a～b相伴，则a，b相差一可逆元因子；
6°相伴关系是等价关系
7°可逆元无真因子，且所有可逆元都与1相伴。
Def：设R 是一个整环，a，b∈R，p≠0 (1) 若p无真因子，则称p是不可约元（即p≠0不是可逆 元， p的仅有的真因子是可逆元）; (2) 当p|ab 时必有p | a 或p | b，则称p为素元.
§4.3 唯一分解整环
(4.3 Uniquely Factorial Domain Ring)
在整环中，每一个大于1的正数可以分解成 有限个素数之和；在数域F上的一元多项式环F[x] 中，每个次数大于1的多项式 f(x) 可以分解为不 可约多项式的积。
本节讨论整环中的因式分解问题，首先我们 把初等代数中因子和倍式的概念推广到一般的整 环上。
例: ① 在整数环中，全体素数既是不可约元，也是
素元. ② 在高斯整数环Z(i) 中，素数不一定是不可约元， 例如: 2是素数，但 2=(1+i)(1-i). 其中1+i 与1-i均不可逆，故 2在Z(i)中不是不可约元， 显然也不是素元。 所以，确定一个环中的不可约元与素元并非一件容 易的事。
不可约元与素元的关系有如下定理： Th：设R是有单位元的整环，则R 中的素元必是不可 约元 （其逆不真）. （事实上, 设素元 p=ab，
例① 整数环(Z,＋,· )是唯一分解整环，每个非零元都 可以分解为素数的乘积．
②数域P上的一元多项式环P[x]也是唯一分解整环, P[x]中每个非零元多项式都可以分解为不可约多项 式之积，且分解满足有限性和唯一性． 唯一分解整环有下列性质：
Th1:设R是唯一分解整环，则R中每一个不可约元都是 素元，即若p不可约，则p |(ab) p|a 或 p|b. 证明：设p不可约， p|(ab) .显然，若a,b中有一个是0或 可逆元，则必有p|a 或 p|b．
Th2: 设R是有单位元的整环，则以下命题等价：
⑴ R是唯一分解整环;
⑵ R满足如下条件:
1°R中的任何真因子链｛ai｝(ai+1是ai的真因子)只有 有限项; 2°R中每一个不可约元都是素元. ⑶ R满足如下两条件:
1°同⑵中的条件1°;
2°R中任两元素均有最大公因子. End
4.3.1 基本概念(Basic Concept)
Def：设R是有单位元的整环，a,b∈R, b≠0
(1)若存在c∈R，使a=bc，则称b是a的因子，a 是b的倍元，并称b可整除a，记作b|a.
否则记为b a . (2)若a|b且b|a，则称a与b是相伴元，记作a～b. (3)若 b|a 但a b，则称b是a的真因子，即b是 a的因子，但不是相伴元.
下设a,b均不是0，也不是可逆元．因为p|(ab)，故存在 c∈R, 使ab=pc,此时c≠0.若c不是可逆元，设a,b,c的不可约 元分解式为：
a=p1p2…pm, b= q1q2…qn , c=r1r2…rs 则由ab=pc得
p1p2…pm q1q2…qn = p· r1r2…rs
由唯一分解整环的条件⑵可知，p与p1p2…pmq1q2…qn中 的某一个是相伴元，从而p|a或 p|b. 显然当c为可逆元时，也有p|a 或 p|b，即p为素元．